Google
This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scannod by Google as pari of a projcct
to make the world's books discoverablc online.
It has survived long enough for the Copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to Copyright or whose legal Copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from the
publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken Steps to
prcvcnt abuse by commcrcial parties, including placing technical restrictions on automatcd qucrying.
We also ask that you:
+ Make non-commercial use ofthefiles We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for
personal, non-commercial purposes.
+ Refrain from automated querying Do not send aulomated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machinc
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encouragc the
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.
+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout this projcct andhclping them lind
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in Copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any speciflc use of
any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search mcans it can bc used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.
Äbout Google Book Search
Google's mission is to organizc the world's Information and to make it univcrsally accessible and uscful. Google Book Search hclps rcadcrs
discover the world's books while hclping authors and publishers reach new audiences. You can search through the füll icxi of ihis book on the web
at |http : //books . google . com/|
Google
IJber dieses Buch
Dies ist ein digitales Exemplar eines Buches, das seit Generationen in den Realen der Bibliotheken aufbewahrt wurde, bevor es von Google im
Rahmen eines Projekts, mit dem die Bücher dieser Welt online verfugbar gemacht werden sollen, sorgfältig gescannt wurde.
Das Buch hat das Urheberrecht überdauert und kann nun öffentlich zugänglich gemacht werden. Ein öffentlich zugängliches Buch ist ein Buch,
das niemals Urheberrechten unterlag oder bei dem die Schutzfrist des Urheberrechts abgelaufen ist. Ob ein Buch öffentlich zugänglich ist, kann
von Land zu Land unterschiedlich sein. Öffentlich zugängliche Bücher sind unser Tor zur Vergangenheit und stellen ein geschichtliches, kulturelles
und wissenschaftliches Vermögen dar, das häufig nur schwierig zu entdecken ist.
Gebrauchsspuren, Anmerkungen und andere Randbemerkungen, die im Originalband enthalten sind, finden sich auch in dieser Datei - eine Erin-
nerung an die lange Reise, die das Buch vom Verleger zu einer Bibliothek und weiter zu Ihnen hinter sich gebracht hat.
Nu tzungsrichtlinien
Google ist stolz, mit Bibliotheken in partnerschaftlicher Zusammenarbeit öffentlich zugängliches Material zu digitalisieren und einer breiten Masse
zugänglich zu machen. Öffentlich zugängliche Bücher gehören der Öffentlichkeit, und wir sind nur ihre Hüter. Nie htsdesto trotz ist diese
Arbeit kostspielig. Um diese Ressource weiterhin zur Verfügung stellen zu können, haben wir Schritte unternommen, um den Missbrauch durch
kommerzielle Parteien zu veihindem. Dazu gehören technische Einschränkungen für automatisierte Abfragen.
Wir bitten Sie um Einhaltung folgender Richtlinien:
+ Nutzung der Dateien zu nichtkommerziellen Zwecken Wir haben Google Buchsuche für Endanwender konzipiert und möchten, dass Sie diese
Dateien nur für persönliche, nichtkommerzielle Zwecke verwenden.
+ Keine automatisierten Abfragen Senden Sie keine automatisierten Abfragen irgendwelcher Art an das Google-System. Wenn Sie Recherchen
über maschinelle Übersetzung, optische Zeichenerkennung oder andere Bereiche durchführen, in denen der Zugang zu Text in großen Mengen
nützlich ist, wenden Sie sich bitte an uns. Wir fördern die Nutzung des öffentlich zugänglichen Materials für diese Zwecke und können Ihnen
unter Umständen helfen.
+ Beibehaltung von Google-MarkenelementenDas "Wasserzeichen" von Google, das Sie in jeder Datei finden, ist wichtig zur Information über
dieses Projekt und hilft den Anwendern weiteres Material über Google Buchsuche zu finden. Bitte entfernen Sie das Wasserzeichen nicht.
+ Bewegen Sie sich innerhalb der Legalität Unabhängig von Ihrem Verwendungszweck müssen Sie sich Ihrer Verantwortung bewusst sein,
sicherzustellen, dass Ihre Nutzung legal ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass ein Buch, das nach unserem Dafürhalten für Nutzer in den USA
öffentlich zugänglich ist, auch fiir Nutzer in anderen Ländern öffentlich zugänglich ist. Ob ein Buch noch dem Urheberrecht unterliegt, ist
von Land zu Land verschieden. Wir können keine Beratung leisten, ob eine bestimmte Nutzung eines bestimmten Buches gesetzlich zulässig
ist. Gehen Sie nicht davon aus, dass das Erscheinen eines Buchs in Google Buchsuche bedeutet, dass es in jeder Form und überall auf der
Welt verwendet werden kann. Eine Urheberrechtsverletzung kann schwerwiegende Folgen haben.
Über Google Buchsuche
Das Ziel von Google besteht darin, die weltweiten Informationen zu organisieren und allgemein nutzbar und zugänglich zu machen. Google
Buchsuche hilft Lesern dabei, die Bücher dieser We lt zu entdecken, und unterstützt Au toren und Verleger dabei, neue Zielgruppcn zu erreichen.
Den gesamten Buchtext können Sie im Internet unter |http: //books . google .corül durchsuchen.
^
3/
>v.
k
i
)
* - «
■ t
N '
^"- I
J-
Hit
timtntt t»e« €ttcU&e§;
al i
? e i t f a t> e tt
tum
Unterrid)te in bcr @(fmetttar^®eometrif/
mit loitUn Anmerkungen
'" - »?^
^ tranig tititn
» • n
7> 9o|^ 0o0$\aigiii^offiiianti»
9r*ftff»r b«r 0)?«tb(mttif l|ll^ ^(9fif Am Ktfntgl. Cpc^nii», crftem Vr^feffer •«
dem jtvnigr. S^rft^fie^rfnftitute , mitqlitht htt ^tttttauif^tn (9efeUf4)ftft ftfr
Die geftmmre 9laturfttnbe , »er ilaiferltd) # Setpelbim'f«^ « ^ir^Iiiiifd)«! V(a^em(<
Ut 9latttrftrf(^er )0 Senn^ ^tr (Senfenftergtfc^eii ii«tiirf»rfd)cndea ®efeUfib«ft
|n Srtnffurr am <D7«iii/ der ®cfeUfd^aft }ur Sefi^rderung nii Glieder ytünflc und '
htttü ^urfl»iffeiif(d«ften NfdM; «nd der ^erj^alti^ » (Sod^fen « fi9«tft«if4cii
und 9)lciiiin8if4^cti StcktSt der ^»rfi« und 3«gdf«iid( |n
2)rei(t9«(!ef*
9Rtt fec^jeM @teintafe(m
Ü)?ainx/ 1829.
SB. ei SloriftR Jtujxfer^era*
ü
a
V y
•*■ fr
< »-
r%
y*4*'\^'il' U iV) '\ *.\ \'. \
•J^
» »
« '
n s •
. f • .. .
*< » .
.* > ' i;
' .Ti,;. '
/ .1 . '
'. <
t! .' !';.•'
■,u ...
t .
11 •;
» .
• •
/-•;
V
j . . .
@ e i n c m
verehrten Steunbe
tt n b
i^ormaligen ani^tizidintttn @d^ü(er/
^ z X t n
Sodann SiU^elm »ufc^r
^attptmaane im £inieits%irität ber fretcn 6tabt Sranffurt, Dtitgrtebe
\ > mehrerer flele^rten Ocfettfc^aften ic,
^ mit
^ aufrichtiger ^cd^adttiin^
^ ge toi bittet
SSrrfaffcr.
■1« <
• » *
J 4
^ * »
A»
' 1 f| '"
. l
•i ,i
7kt.C , (h^-^C^^ -
f' 2^-3
95 r e r i tt n e t tt » 3-
^ie (SIettettte be< @ucHbe< ftrb ouf fo manttidf}#
faltige üCrt herausgegeben nn)rben ^ caf eüte neue Q9ear^
bettung berfeibett utinü^ f^Ktneit mbgte* S>0(6 iDtrb
biefer ^^t\n ht\ denen fc^winben^ mef^e ben ®egem
fianb nac^folgenber ^>i)x\\i, i(^ren 3^<^^ u><^ ^^^ ^^ '^
benfelben )u frrei<ben^ genauer crmAgen« IDenn in
jeber biefer brei 9t6cl|t(^ten mirb ft^ biefe neue 9lu^
gäbe ber ^VtmtnXt wn ben berejts t>or9anbenen untere
fc^iben/
iSSenn Altere unb neuere @c6riftftefler entmeber bie
bretie|n ober f&nf^e^n ®i(ber allein \n ber ©runbfiNra^e^
9ber mit beigefügter latetnifcben Iteberfe^uhg ^ ober nur
in ber latcinifcfren / beutfcbcn ober in mxt anbern
®px^t J^erouSgegebeit f ober wentt Slnbere (ebtgli<() bie
fed^S erflen SAcber^ nebfl bem eüfien unb jn^Mflen auf
biefe. Sßeife be^anbelt^ ober audb nur bie tier erflen
fB&cber \yxvx @ebrau(be ber aUererflen 9(nfdnger )iifammen^
geflelTt ; ober wenn fte biefe Elemente auf eigne %xi
freier bearbeitet miß ju eignen Sebrb^^^^tn geflaltet
^oben/ fo flnb^ na(b meinem Sßiffen^ bloß bie geome/
trifc^en ^Ader bed (Suclibe« b« ^. ba< L IL lU.
IV. VI. XI. unb XU. »ttc^A mit 3(u«f4^(u9 be< V.^
VI
mlii^i arit^metifc^ tfi/ noci^ nic^t im^cittf(()en
erfd)ienen» Unter ben g^iitjofen M ^* Peyrard (Les
r
El^mens de Geometrie d'Euclide, traduits litterale-
ment etc. a Paris, 180i) eine wo^Igelungene Ue6er#
fejung berfelfeen gelwftrt* r • : . ^
Daö fünfte S5urf>, weld)e« bie Se^re wn 3Jer#
l^dftniffen unb Proportionen ent^dft/ fonnte Äci biefer
neuen %üi%abt um fp fägttä^yer ü&ergaiigen. werben > a(^
ÖucJibed barin (3. hid 8. grfWrO einen^ eigne«
begriff i^on ben $erH(tniffen ttab ^proportion^it
ymm drunbe Iegt> morftfrcr )>it(fa(^ ;g^ritttn vo9xb^n
Ifi./ ' unb üH bie borauf folgenben geometvifi^n: S&üdftt
nur ber @(em entarte^ ren von- ^er^dltniffen unb ^riM
)M)rtionen $u ^ölfeifft|cn'^bärfen/ xotidjt in jjebem ^uteii
^aiib6ucbe ber ^rit^metif tefricDigenb ^»orgetragcri finfeu
(Si hat bemnac^ ^ai folgenbe $er( ju ftitum
©egeufiahbe bie Sutli^iidft:^lcknimttritf im
I. II. IILIV. unb Yh unb t)!ie'€u(Hbtfd)e ©lereo»
ntftrie im XI. unb XU. fdu^ti Mit 9(it«{!cf)(uß aRet
artt^metif(6eti Q3ä(6er> loeldre/ obm^^ ^do^ft b^rreiil^
unb !üon bem %xo$tn @(ftarffinne ^lee Grfiiiiber< seugenb^
nic^t ju^m ^(ane biefet (Sd>tift ge^ürem
IBeiiter beutfd)en iBearJKitung fiat 1t(i^ ber J^rmdir
gt6er> (tuifer einigen' ber 6e{lea dUern Sudgaben / wäf
folgenber neuem- bebient:
. 1) 3o(^artn griebr* Eorenj, Suelib*« &tmtnU,
> fönfiel^n iEBä(^er> au« bcm^ne^. ^aBe/1781«
2> JP. Peyrurd , Les Elemeas de Geometrie
d'Gttdide. k Paris, 180«.
'ini
3> 3o^* (Eart^rie^T* 4!)aitff/ <Sm\Wi IStmttM^
bo» I. Ms sttm VI. fantmt bem XI/ ii. 1^
Su<^e u. f* f. Swtitt Stuft fOtar^urg/ 180%
4) <^- GuSM. 'Camerery Euelidis Elementomm
likri VI/' priores ^aece et iatitte ete* T. &
Berollkiiy 1S24. T. IL 182B/
5) (Savl Sranbati aRi^IImetbf^ @ui(ib^» @(ttttrttte,
fön^e^ti Söc&er t>pn 3« $. eorcnj* ^aSc 1834»
X)ef Smiftt bkfer neitett 3(«<§abi tft^eiii bo)»peUer»
et ioUmfom^ bir'f(nf4n^r> M attbm SkbIdBet bc^
^ümetrtff^ii (Stubium^ mit bem @tifhs ber (Siicfibifc^
^(ometrie fo beftutiit : werben / buf i^rti eine ffare
^tnftd^t in bte wiffenfd&aftlic^c IJSerfettnng ber cinjelnen
St^rtn tttfb in bie fhren«p biiAenbe ^a^ #rer Siemetfe
)tt W^it n>trb/ um ftd^ lirrbutd^ t>on ber VoHreff{i<^fett
bieft« c{af(l^in SSl^erf« ja Afterjeugem
ibam ^U btef^ 9(ii<gobe burc^ bie 9itt, wix bit
(Suc(ibtf(&en itfyttn bargefleSt unb burd^ bitmüfik4t
beigefügten Stnmerf ungen / morin fie erldutert/ berichtigt
ober erweitert werben/ tin tnigtic^fl boflfldnbtged Se^rbui^
ber @(ementftr^iSeometrie-]fe9ri/ utib fewofK gum iffent^
lidl^ett ali ptvoat Unterrichte bienem
9ßel(&e fefie ®tunb(age biefe geontetrifc^en SIemetote
}uai eifweiterten Stubinm ber (Geometrie unbli^rer
Z^tiU ber Wlatftt^ legen ^ bemeifet utrtec anbtm hat
3ßnfpitl ber Sngidnber/ bei welchen fie. bot iO0t$äg#
liti/He Se^uc^.ber Geometrie finb^ buvii beffen (Stubium
^ fi> t)ifle au<gesei<^nete SSutl^matibr gcfailtet . (aben;
(Si Witt bo^r fe^r ju wönfc^en / baf auc^ benlDeittgl^
V,
.CKaiie^ Jwerju bettragen!
. ..Sa3«i«:,rtftn- ftie ^rt be« böYti»«!}« befttfftV fo
)t>aif.ctnr ^ouptforge beö J^rau^geb^rei. btrauf geric^tet^
btn ®(tfl tcr grometrifc^en @(titi'«nte Auf vtiijt
fdfltd)^/ angfne^e/ au^ &en älnfdnser fef (en&e ; Sßeife
Aar juflcttem
loirtlic^ett Udbecfe^ng wn ^|) auf f tutb. t)et f(]^ . i^b^
füO'jten/' a0gemetn ^eac^teteit Qludgabe «fort Sor.eit^ ein
trag^ bi^ofr bte. £)ar^nmig . bÄd' 1« @a^ed im li Dltcde
ber Elemente nacfo -^auff/ £i)trn| unb itac& gege^
m4rti:ger ^ui^abu S>ic gK^ur ftfie ntwi Skif« L j
!
l< ■ ' . ^ : ;
» '
I, Ü? a 4.|)s,ft u f f.
• ■ » « «
* • •
^' yt\xf%aht4 ^nf tiner ^egeBentn Segtftttjtett
geraden Sitiit ein gUic^fcitigc« S^re^ecC ju
\ ■' Q'i \tt^ AB cöteL gegebene begrdn^te gerabe Sinie^
unfa «n(in fidl (uif - berfelben ein gleid^feitige«. S^ce^ed
kffl^ieeiften«.
1HHt(l( 'A^ mit .^r JgSeite AB, (3. Sp«^) einen J(m<
BCP^ nn^ auf betfi !{>rittcli^iiitftt B mit Der SBeite BA
einen. Areid AGJ^, al^bMn.itc^e man.Mn btm ^untt$
€9 in xotlditm bie 6eiben Greife eiraui&er fcflfttitai^
tto^ "ben Moniten A unb B bir iinkn CA, GB.
i3.emeie. SBei( ber ^iiffft A be« ihretfcd CDB
SDlittf{«Hinlt ifi, fo ifl, bie Siitic AG (15. SrflO bet
£tnie AB g(ei<ft* ferner/ weil ber ^utift B bei Aretfij
GAE 9Ritte())unft ifl, fo ifl bie Sinie BG ber BA
%Ui^. Q&'i^füb^t ^e^ej^t werben / baf af0) bie Sinie
AB *) ber AB g(ei<i& fe^ ; fo(gIi(f> ftnb bie be^ben CA^
€B ber britten AB ^(eic^« ^in^t ahtv, iüt einem
britten gleid^ finb/ f|nb einiut^r felbfl gleich; fo(9lt(^
itfiW* bie ftinif*G4j>«i^j(yS.|iefÄ# ufft mi^in ftnb
bie brei. jSi^w AG^ AP» Bfi eiminber gleiÄ. ©twr
IHK^ 4fi (34^. (SxtU) bü6. iDte^ecT ABG dleicf^feitig/ aud}
ift. e|. aufv^ber qt^tUnm ^grinsten gerii^en iinU AB
I^ft^riel^en / toai ju t)erri(^ten wan
- « • .
It. 91 a (^ 2 tr e n s;
© e r ,!♦ © a $.
Uuf timx gegebenen begrenzten getcaben
Sinie^ AB, einen gUid^feitigen- $£riangel )»
Befc^reibem
♦) f»H^ treffen AC , mld)ti md)t unter be« DradPfe^Iern
bemerft ifL
> '
* Kul'tttm 5)uttfte A. UfiyttiU (3. ^Qfl.) Htlt A9
^en €ivfe( BGk>, unb aud Htm fünfte B mit BA Mtt
Civfd ACE. 9)om fünfte G, in welc^cth f!c^^tbe
6trl(( f^nndtn^ jte^e (L ^ofl.) na(& A, B, Mü
Oer«tteii Siitien CA, GB.
Ga (15* IDefO AG =: AB, unb BG =:BA, fi^
i<l (1. 2i|f.) AG = BG» Cemna* ifl AG == AB =
BG, foIg(4<^ (24. tDefO^er auf AB 6^f<^rUbnit
A GAB dIeWeittd.
in. 9^0* gegenttxlfttget ?ftt^ga6e.
© e r 1« @ c |.
81 tt f g a 8 e.
9fuf eilte gegebene begrenste^erabettnie
fin gUi4feittged iDretect ju brfc^reibeti«
@6 fei (Sig« 10 AB bie gegebene begrenjte getabe
Einie, auf wtli)tt bai g(ei<^feitige !Dmed( ^tirtc^tet
werben foff*
STttftAfttng.
^an befd^eibe au« bem ^ncte A mit AB ben
Äret« BCD, auS bem ^nnctc B mit BA ben Ärci«
ACE (3* gorbO/ jie^e ^om ©urcf>f*nitt«|)uncte C
mdf A ixt gera&e Sinie GA unb na«^ B bie gcrabe
GB (1. gfort.)
S e to e t f .
^ter tfl AG = AB, unb «
: = BA (15. (SrfrO fb(9K(^ att(^
AG == BG (1. ®r.) ba^ ifl
XI
AG = AB == BC ttnt fri%üdi (74« SrflO IM
Mf AB befitrübenr jDrmcf ein gletcftfeittget.
®a| biefe ^arfielUingimeife te^t 3(nfdnsern M
geometrifc^cii Stubtumd t^orittüglü^ iufas^itb ifi, mil
^ $apltc6fett mit ®rinb(ici)feit t)erbttibct/ ^t Um
^eraiid^cber ein fe^r t^utjd^iger OSottra^ bet ®rmtetric
m einer ff%rn Untetnc^tä^^nftalt gr(eM* @c^r jmecBr
m&fiis ifl e^/ tvenn Ui tun tHui^tndt \ttzi (Bal^tip
tx fei 8cf?rfa§ ober. Stufgabe, bit J^^pot^^cfi« wn
Nr S^efid itnterfc^ieben unb fon>o^( jene a(d biefe
bur(& Kare SBvrte auägefpro^en n>irb* 3(u(ferbem/ bap
ber SlnfAnger ^terburc^ tint beutli(^cre Sin(U^t m bem
Sinn btefer ®d§e er(;Alt/ ifl btefe« au(i(^ fe^ erlci(^
ternb jur U m f e ^ r u n g ber l£|^oreme / toai bett
Ungeübten nic^t feiten (Sc^miertgfeiten maift.
tSiai mtn bie, biefer SCudgabe betgefögten SInmeW
ffitigen betrifft, fo f)at fu& ber J^erau^gebet htm&^tp
£>ad)enige in biefelben au^une^men, mai, naäi mtU
jAbr^en (Erfahrungen im 6ffentlt^en QSortrage bcr ®e^
metrte/ burijb Q3er(^ttgung^ @r(duterung oberSrmettierung
ber @tt€libif4;en£e{^ren, )n>e(l!mdßig jum gf j&ndli4)en Untere
richte ber SInfdnger gef(^ienen ^CkU Sttini (Srfldrung,
fein ^oflulat unb %xiom, fo wie fein @a| ber
geometrifff^ Sbüd^t ifl of^ne tint folifte Slnmerfung
. geblieben, welche ntcbt feiten au$ mehreren, unb bisweilen
aud bieten einzelnen Slbfc^nitten befielt»
Sei htn Srfldrungen ifl bor SCSem ber wicbttge
Unterf<i)ieb {mifc^en @a4>^ unb Sort^@rfIdrungen
berüdCftd^tigt n>orbem ^tnt entölten IBe^)>tiingen^
XII
iotldit etwtefen werben mAffctt/ mm fle tütffeiffc^afty
({(^en SBert^ falben foKen. £)er Segrtff^ tDeb^en fi<
tarfletten / muß dc^t geometrtfi:^ b« 1^« t>ollfommcfn ft6er# '
^ugenb cDtifiVuirt ober in ber ^nfc^iauurtg bargefteSt
merben« @o lange biefed nicbt gefd^^en ifl/ hkib^ ein
gegtänbeter 3n>eife( ober biz fRzalitit btß. ®egen{lanbe6/
»elc&er erfWrt »erben fott. Jffienit (Suclibeö in ber
30« @rftdr« be$ I. Sitd)ed fagt: «Unter ben üierfeiHgen
giguren l^cift jene ein Süuabrat, welche gleicbfeitij
unb rec^tmin^elig ifl / » fo bleibt biefed fo lange eine
b(oße SBotterfldrung. b« ^* eine bloße Eingabe be£ ®^grtff^^
n)e(c()en man mit bem Sporte £^uabrat:oerbinbet^ iii
bit wtffenfcbaftlic^e @nt{}ebung bejTelben gelef^rt mirb«
S^e biefed gefc^ie^t^ barf man mit Slecbt an ber 9ßirf#
lidfUit biefer gigur {weifelm SDa^er möfifen aQe SSSorfir
@cf(drungen/ burd^ öberjeugenbe ®x&nbe, in ®ad^^
(Srfldrungen t>enoanbett merbem Guclibed ^at biefett
Unterfcbieb jipar nicbt amibx&dUdi bemerft/ uttb feute
Q'rfldrungen j[ebedmal an bie €)t)t|e jebeö ißucbd gefleftt;
bo(ä(> beweifet er im Saufe ber ©d^e bie wijfenfcbaftlid)«
(Sntfle^ung jener t)i)jecte, beren €onjlructton nic^t f&r
flc^ felbfl \<hon tinUnitUnb iü^
(Si M bem J^erau^ber jwecfmdßig gefc^ienen/
bei ben meiften Sr^drungen bti @utl ibe£ |»ierauf
aufmerffam ju mad^en, mil biefed jur gränbti(i&en unb .
faßlichen @inftcbt in ben n)i{fenf(baft(i(ben 3uf<^^^ni
(lang feiner Se^ren fe^r for ber lieb ift»
3(uf d^nlic^e ^rt f)»b bie ^ o r b e r u n g e n unb
©runbfd^e ertdutert worben. . ^efonberl ifl bad
Xfll
Qemerftin$en gcblte^ett/ mel(l(>c bann f^er ($ii I, 29;®.)
n^etter au^gefft^rt tüerben mv^ttn. $Der Jg)erdu^ge6fr
M ottc^ jle^t tioc^ bie Ueberseugung ^ baß bu befrte#
btgcnbe Xarfleflung ber ^axattikttf^tmt nur burd)
Oeifuälfe folc^r @d|e/ noelci^jc auf einer ebibenten^ nic^t
nte^r fertter ju bem^nftrirenbeii unb barum ben @ritnS
i^rer 9ßa^r^ett in ft(6 felbft trogenben StnfdjauKHg gegeben
werben f anm Seber ber ^a^lreic^en !Berfu$e^ biefe Sefire
ganj frei t)on einem fofc^en aufd^auHdben (Elemente ju
BegrÄnben^ ifl miflungen/ mie ber Herausgeber feibfl
' Mi wtkn berfetben 6ffent(i^ nac^gewiefen ^at itnb für
oRe befannte S)arfle((ungen naci^sumeifen bereit flebt
3n ben 9(nmerfungen ju betiSe^rfft^en unb S(uf#
gaben ^t ber Herausgeber t^or Stdem baSjenige beu
gebra(&t/ tpaS i^m jurgrdfierni^far^eit/ oberiSc^drfe^
ober ^oUddnbigfeit beS .^ucfibifcbeh Vortrags
tt6tHg f4)ien« 3(u(^ ifl berfefbe tj^eitS. butc^ Slngabe
neuer IBemeife^ ober nmtx S(ufl6fungm/ ober burc^
U^vttii)t Weigerungen Mi bewtef^nen SJeberfd^en txtotu
tert morbrn/.: %%ti biefeiS ^ier onSinjelnen aufiugd^Ien/
n>ärbe }u weit f A^rem £)a^er werben bie Steb^aber ber
©eometrie auf btefe 3(nmerfungen felb(l t^ernoeifen ^ in
welchen auc^ bie ©ad^funbigen nic^t eine b(oße Sotnpi^
latton beS ^or^anbeneu/ fonbern nid^t feiten eigene
tj^ämlic^e CarfleUungen unb £)arfleirungSn)etfen erblicfen
Werbern Sei. ben (Erweiterungen ifl bte oben (@« V.)
bemerfte griec^ifc^e unb lateinifc^e treff(t4)e 3(uSgabe oon
CTamerer ^ie unb t^ benA^t unb äber^au)>t fär biefe
xtr
$Sfr^6fetimg M XtxM /Cttt qcm^ti ^a$ htohadjtti
toövhtn, bamit f!e ntc^t tne^r tnti^altt, atö ju einem
htiiu4ibattn fit^thixdit btt ®tontitxk gef^rt/
®äistmt(tcf)e^nmerFun^en ftitb am ©c^Iuffe be<
(Sucfitffc^en Xerte«, f6r jebe« ber fte^n gepmctr^
fc^en SSäc^er {nSbefonbere/ 6etgefägt toorbert/um jenep
jtext bitr(^ {(üte SScrbtnbuiig mit bemfelben . niibt aUsn
fc^r ju trennen/ mad ifterS bie hqueme Ueberftd^t
beffel^cn erfd)mert f^dtte. .
©a ba« fünfte S3u^ nicfet in gegenwärtige 2(u*5
gäbe aufgenommen iDorben t(t ^ fo muf[ wx bettt 3(nfange
beS fcc^fren.aSuc&Ä baijeaige gelefen »erben/, wai i^
ben.^nmtrfungen/ atö fBorerinnerung .ba|u (fl^^fi
CLX) gefagt worben ifJ.
Q»6gte biefe« SBtr!/ gleicfemie e8 [mi6 gie^e. gut
Sßtffenfc^aft entfprungen ifl^ aud^ He6e)ooff aufgenommen
nnb }ur Verbreitung eine^ gr&nblid)en S^ffen^ eifrig
Benfi^t werben!
Slfc^üffenBürg, Im Octobtt 1S28,
I •4
4 «
1 '4 «
r
^ i n i f I i u 11 ö.
i.'f
.S'f
». :f'
bt« 9>^t(ofoy^|ftm fftr (itte 9)etfQii gn^altnt; jctoc^.ntif
Unrci^t Sicfrr / jit 9Begara geboren ^ toat einet ber erflen
Schiller bti @ottatti nnb ,ber @tifler einer p^üofop^ifc^ett
Gecte, tütldit ftc^ me^r bnrd^ fd^arfflnnige @o))^i(lif ali in
«K^^«ft «r^tc^q $^rfc^8#n M^ie^tti^e ^fyatt, 9(^ott
l^^alfe^i^Wii ^er SRai^einattrfr (f^ilibf «^ an« befE^n pdßif»,
mit i^ep;9'»frlet feytt. Sbtffo^em ittfib: iidi.,^latß , nMe
iC|{p4<Ai(;^ <S«Mi4it( bfiri^Cit:^ nad^ bm. 2obe ,iM#
^;^^«a|f jt/in eine« Slttor MnitiitxQ. 3t^ren> Mxtßm^
(cinfT 9Rttfc^(er: tß bei» ^ttoiiotP^es (SitcIibetS^t jDa.ttm
<ß«^r«tii(» ^pb auf 393Dor (S^«:9i6^ f&itt$ «itclibef
b«^ Qf^weter aNt/r tmc^ |>t«l(it<<^ dn 3cit0tttoffe bc«
iHfni)9>4oUni:ftii< 0ci»efcn ifl^ f» teHe berfeUe fapt nm ein
3i^|iii^^jf|)iler nnb torn ftmit . bnn^ii« ttiii^t: nttt btt»
Cuellbf fl boir SRtt arä nertted^ftt tt^arbe».
XVI
t
IL
£)6n)o^I Sttclibei ber ®eometet^ tiac^ orabifc^ett (Sie«
f(^id}tfd}rct6eni, dn @ot)n bed 9|2aucrated gewefen unb in
2^9ru^ geboren fe^n foD/ fo jtnb biefe DueOen ntcbt idtit, unb
cd tfl Dtelme^r fet)r iDa^rfc^etnnc^ / baf er ®rtect)en(anb unb
fp&ter^ut Sderanbrien 6eh)o^nr tjattc. Seine @tubien foU er
}U Sitten ttnter ben Schülern be£ ^(ato gemadie unb feinen
Slufent^aU )u ^leranbrieu/ wegen beö 9Qo^(tt)cI[en6 bed Aftern
^tolemeu^/ gew&^It ^aben. $appud fd^ilbert i^n alt
einen fanfri^ uiib 6efd}eibenei^ SR^nn,^ »e^er jfiDetlf^drberern
ber mat^ematifc^en i^e^re oorjägltc^ gewogen noar. ICiefe
SorjAge Ijattt er t)or SlpoKoniu«/ »efcber, nac^ bed
^appud S^Mgniß/ (ite( unb geneigt war, bie Serbienfle
Ruberer gu fc^m&(ern. Daß Suclibeö fein S}iflitiQ gewefen
tfi/ beweifet bie 9(ntwort, we(c^ er bem Könige ^tolemeui
auf bie $rage gab : Ob ed (einen bequemern 9Beg )um @tubium
«er" &tomtiir gefe Oi: beh< gewi^nI«(IEren9> Mttk oet' tmiÜ
>me t> <S<{ gibt felbgpf ^r ;»i%e feinen foid^tn; . 1 > ! ! i ^ : . i
!-j" •) Tt . . ' ^K'.v. . •'. ' '. i; , rvNi'JT .vV..,.* ^:*
' '. ^'u \,. ' !:.;•■•■• *:y\ rui'rn ^%wj;^
«tf^y -ber^ feinem ^lÄkleft' MeHH<lÄbl{(l)fH^ W^I?J -«•'
fTeOfe in biefem tfaffff^tn SBer^e l^i^ ^'(^tigfleWtS}(»|^l»^j{^n^
»et« ®Mm<tifie nltb ttrvt^wifieifii' f^flimtttift^tt^^&rl^ Itt«^
f^men/^ Obwohl It niMfi e^Ibfkevilnbyr'bdit '^BM)iß'> fo
magi ^ bo(^ iioa^I ber gr j0eri a[^( Da» ' aUfuitar ifefttlrV eKgtteir
etuHen unb ter duiSgvjettiMiet^tt ^aft fMn^S'^eifle« fe^n«
tAe «uiVfinmt^ be^O0&nieirv liefert bto ftJ^re^re^bfRn - 8^iMt«
wti beht witfenfc^aftlic^tn ®itm be» Cuctibedp ^ill»litf fan^
Jeber ©a© aW gofge be«) fov) »wr^^rgelH^iWW /« kÄer * tffti'
0rttnb f ine« balb folgetibur trf(4eint. ^^t^^^t^^^iitt^
lid^feit ber SarfteSnng nmnt ^anff (in feiner* •«nt^üübcf
XVII
eucribe«« aRortorg, 1807. ©• IV. b. SSorrO biefe diu
^ente bad S3u(^ berSäc^er^ toelc^e^ feit mt\)x cAi )t9C&
taufenb Sauren ba« Se^rbuc^ fär bte 9BeIt gewefen x^.
Sejie^t man biefen Sluebrucf auf bte in ben (SIementen ^err^
fdjenbe @piben} nnb tt)i(fenf(^aft(id)e gornt/ nac^ n>el(l)er fte
aSen äbrigen SQiffenfc^aften jum k>or(eud^tenben SRußer bieneit
(o^ne einer berfelben tUtai k)on t^rem eigenr^Amlic^en äSert^e
entjie^eit jit ipoKen)/ fo mii0 man i^m «loSfommeit bei^id^tett.
IV.
£)6n)o^I Altere unb neuere SRot^entattfer bte Cfemente/
in St&tfficbt ber SInorbnnng t^rer @&9e u* bgL im ®an{eit
l^erbeffern woOten/ fp ifl ibnen biefed nicbt {ur 3ufriebent)ett
ber £eriner gelungen. SBad ber gränb(td)e jtdßner loormald
(Slnfangögrunbe ber 3lrtt^m.u. f. f. ®6tting. I8OO. @« 453>
gefagt \siCiXiti «Ueber bte unjd^Iigen geometrifc^en Ce^rbädier
lann ic^ nur fagen , ba^ , Don bem eignen 9Bert^e ber ®tt>^
metrte: X)eutlid}feit unb ©ewi^l^eit, jebeö beßo weniger
beftet/ je ipeiter ed flc^ von (Eucltb^ (Elementen entfernt,»
gilt anc^ nod) ^eut jn 2!age unb (ann leicht im (Sinjedten
nad^gewiefen werben. SQie einer ber größten Senfer, ber
fa{l in aVitn »ifTenfc^aftlicben g^dc^ern aXi ®enie gldnjenbe
%eibnt$ ^ieräber geurtt)eilt b^tte, berid)tet und ber f(^arf#
(Innige SBoIf (Elem. Mathes. univ. T. Y. pag. 36) inbem
^ fftgt: «Praeter nos alii etiaixi Mathematici agnoverunt^
reformatores Elementorum Euclidis non faisse in ausu
sao saiis felices ; sed Euclidis Elementis palmam adbuc
merito tribaeiidam esse. Memioi hanc fuisse Leibnitio
sententiam, cum me inviseret, dum Elementis Geoinetriae
coDciDnaDdis operam darem ipsique referrem, me mul-
tiplici modo tentasse, ut eo ordine Elemeota Geometriae
digererem, quo usus est Bernhardus Lamy ^ sed nunquam
XVIII
hoc fierl potaisse^ xjisi ^naedam assumerem absque demon«
»tratione, quae essent demojistranda, Tel in demonstrandö.
ac debniendo admitterem. confuise^täätummodo percepta. »
* f ■ - 4
Unter beit Ättcrn (Bdivift^eUm i(l ^etcr Slamiid al^
®^3ncr ber (SfemenN aufgetreten , bercn Slnwenbun^ er nirg^
billigt l)atte. Sr gab etne.Sctrift (Scbolae Mathematicae.
Francof. ad Moenum. ' 1599. 4«) J)erauö , in bercn britter
Slbt^eilung foldje critifc^e SSeinerfungen ober bie ffinfjet^n
S9&ct)er bed @ uc I ib e^ entt)a(teit (inb. 3lud) ^at Stamuö
felbfi ein/ nad) feiner 3lnf[d}t t^oUfommnere^.matbematifdied
SBerf (Arithroeticde libri duo , Geometriae Septem et
viginti , a Lazaro Schonero recogniti et aucti. Francof.
ad Moenum, 1599. 4) Ijerauö^eget^n ; weldjeö jeboct^^ nac^
803olf'6 Seugniß (Elem. Mathes. univ. Tom. V, pag 34
et 35. Halae 1741) ben (guci ibifd)en (Elementen, fowo^I
an f^fiemarifcber SSerbinbung ber ©d^e^ al^ an Strenge ber
SBenoeife nadjjie^t.
Sinbere fabelten an ben Sfementen beö @uc(tbe^ baö
t)on tl)m öftere benähte ^rincip ber ^cngruenj ber S^igurett/
}. 8» gweier Xreiecfe, tod&it gwei ©eiten, neb(i bem von
t^nen eingefd)(oßnen SOinfet gemein t)aben, tveld^ed f\(b auf
bad fagenannte^Slufeinaiiberfallen it)rer t}omoIeg'en Seiten nnb
äßtnfef gränbet , unb nannten btefed eine med)antfc^e
Sewei^art, »elAe jTd) nid)t mit ber (ireng tt>i(fenfd)aftiici)ett
9Retl)obe t)ertritge. — 92un ifl jivar unl&ugbar/ baß matt
ind)t von einem 'JlufeinanberfaOen^ fonbern Don bem 3netn^
anberfaDen groeier Ebenen, gmeier geraben ?inien ober gn)eier
JlÖinfel fpred)en foB, inbem @bencn, ffiinfel unb Sinien feine
2)icfe t)aben/ unb fomit auc^ nidft aufeinanber fallen fonnett«
Setrac^tet man aitt bie (Songruenj auf gehörige SQSeife, fo
XIX
f&St jebet ^inxontf gegen t^re Sotben) tücg; man fiSerjettgt
flc^, tai }. S. ixoti Dreiecfe^ n>e(ct}e fo in etnanberliegeit /
ta$ fte nur ein etn{iged bilben, ali oeOfommen' ibentifc^
b. tf. nur aK ein etngiged erfcbeinem ©erabe biefe mtffen#
fd^aftlid^^anfcfoaultc^e 1Car|leOung i(l ber eigenf^&mlic^e
(S^aracter ber geomerrtfd^en ®runblel)ren unb ^ierburd) ber
®runb it)rer @t)tben}. X)at)er ^aben fo(d;e Sen>eiöarten /
noeie entfernt unmiffenfd^aftlic^ ju fepn^ noc^ t)or anbern ben
SJoriUg eineö ^6^ern 9Raßed Don ^lavl^eit
VI.
9Ber bie (Elemente bed Sucitbeö al< ein t)ortrefjIic^ef /
im ©aujen btd }um gütigen Stage unäbertroffned SOerf
liere^rt, wiü bamtt ntd)r bet)aupten/ baß ed auc^ im @tn#
leinen burcbaud frei t)on ©ebred^en fei. ©eine n)drniilen
93ert|)eibiger ^aben btefed nict}t geleugnet, (fuclibed toax
ali SRenfd), g(eid) aOen anbern ^ bem @prid)n)orte : ^e^Ien
ijl menfcfalid) / untern)orfen« Sittetn ed muß feinem fo fe^r
reid}t)alttgen 3Qerfe ju gr6gter @l}re gereid^eu/ baß man,
bnrd) eine, Aber {n)eiraufeub Sa^re fortgefegfe ßririf; baffelbe
)e(t tt)ie t)ormaM al€ c(af(tfd) erfennt unb nur in S3e{ug auf
einjelne ©d$e gegrunbete iSemerfungen ju mad^en t)etmogte«
@o ge^en a(fo biefe Elemente, burd) forgfditig n)i{fenfd)aft'
Itd}e Prüfung, immer meljv it)rer ^6i)ern SScUfommen^eit ent^
gegen. (St^a^t barin befielt aud) ber 3n)ecf ber i)terif0lgenben
neuen Slu^gabe ber geometrifd)en IBifd^er biefer Elemente, baß
in SInmerfungen ju jebem ®age ba^jenige beigebrad)t wirb/
d)ad t^eild Slnbere verbeffert Ijaben , ober toa^ ber ^eraud#
igeber burd) ad)l unb imanjfgjdbrige 5ffent{id)e Sortrdge unb
eignet SJad^benfen al^ f6rber(i(^ }um gränblic^en ^tniium
ber (S(ementar#@eometrie gefunben ^at.
VII.
Qn dilti M feine (Elemettte in bYCtse^n SB&cderit
vorgetragen , beren 3it^a(t ficb ( itac^ ? o r e n } in fetner
Ueberfe^ung berfelbem ipaUe, 1781) auf folgenbe 9(tt am
Sequemflen äberfe^en Idpt, IDad @an)e bef}ei)e auö oier
älbt^etlungem £ie erfle ^anbeK loon beit ebenen gtgttrest
im erfien btö fed)(ten Sucbe; bte j weite wn ben 3<it)Ien im
ffebenten bi^ neunten Suc^e; bte britte von commenfurabelit
unb incommenfurabeln ©roßen im }el)nten Suc^e unb bie
))ierte Don ben ^jrpern im eilfteU/ {n>6lften unb bretjet^nten
aSttc^e.
X)te nd^ere Ueberffc^t t(l foFgenbe:
I. 9t b 1 1) e i I u n g. SSon ebenen ^tguren,* in Se{ug auf
il^re ©leic^^eit unb a[el)nltc^fett.
I. Sind). SSon Dretecfen unb ^araüelogrammem
!• Son I)reie(fen. ©aß 1 btd üö*
3, SSon ben ^araKeEtnien unb ^araüelograntmen« @a$
37 bi« 36.
3. Son ber SSergfetc^ung ber ^reiecfe mit ben ^araSelo^
grammen« @a^ 37 bid ^8*
IL S3uc^« SSon INec^tccfen unb OuabrateU/ toeldje invd)^
Slbfc^nitte geraber Stnien entilet)en , n>enn btefe auf befummle
3Irt get^eüt ober »erlAngert werben. @a$ 1 bt^ 14.
IIK 8u*. JBom Äreifc.
i« SSon geraben Smten tn unb an bem jFreife« @. l bt^ 19»
3. Son 9Binfe(n in unb an bem greife. @a$ 30 bii 36«
IV. Suc^. Son ber Sonflruction ber ebenen ^tguren in
etnanber unb um etnanber.
1. 93om IDreiecfe unb jf reife« 6a$ i bii 5.
3. 93om Ouabrate unb ^ret/e. (Sa$ 6 bii 9.
3., SSom regelindßigen Stelecfe unb greife. @. 10 bt4 16..
y. S3u(^. 93on ben SSer^&Itniffen unb ^Proportionen fletigcr
®rdpen übttljanpu
XXI
% Sott ^roporriottalgrö^en. ^a^ 7 6td 15.
3. Sott bett SerAnberuitgett ber ^roportionett. <5a^ 16
Ü« 35.
VI. fBudf. Sott bett 9>vo9orttottett ftettger (Sxi^tn im
Sefcttbcrn«
1* Sott bett ^ro)>orttonett bei Dtetecfett uttb ^araIIfIo#
gr^tttmen. ®a$ l btö 17.
2. Son ber Sie^tiltc^fett ber ^igurett« ®a$ 18 bt^ 33.
II. 9 b t ^ e i ( u tt g. Sott ben ^aijUn , wexin alle ©dße
Dott 3<^M^n ben^iefen toerbett, toelc^e titt V. Suc^e t)on fiettgett
@r£pen betoiefett toorben ftnb*
YIL 93 u d). ' Sott bett unflettgen Proportionen ber S^f^Un^
i." Son gteid^oielfadien 3^1)1^»* @a| 1 bid io«
3« Son utiflettgen. ^roportionalja^Ien. @a0 li btd 4i*
VIII. 8 neb* Son ber flettgen Proportion ber S^¥^^*
1. Son ßettgen ^roportionaljo^len. @a| 1 bii 13.
% Son &t)nli(^en ^l&c^en^ unb Aörperja^Ien. @ag 14
hü 27.
IX. Sucb* Son einigen bcfonbern arten ber S^f)Un.
1* Son Dnabrat^ unb @ubif{at)(en. ®a$ l bi^ 10.
ü. Son ben ^rimjai)(en. @a^ li bid 20.
3. Son geraben unb ungeraben B^\^Un. @a$ 21 bi£ 34.
4. Son ben t)o0ftdnbigen 3^tjk^. ®a^ 35 bi^ 36.
m
III. Slbt^etlung. Son ber SonimenfurabilitAt ber
C9rjten*
X. Sttc^. 1. Son commenfurabeln unb tncommenfurabeln
@r6ßem @a$.l biö 19.
2. Son rationalen unb mebtalen ©rdflem ®. 20 bid 36«
3. Son Srrationalgrjpen aud bem Sttfantmenfe^en. @a$
37 bii 73»
4. Son Srrationalgropen burc^ 90egna^nte* eai 74
hii 111.
XXII
5« Sott ber gkrglefd^ung aUtt t^or^erge^enbat Srrattottari^
ffci^tn. &ati im 6td 117.
IV. 9( 6 t ^ e i ( u n g. fßon ben geomehrtfcbf n ^drpent.
XI. fQndj. 1. Son ber Sage ber Sbenen* ®a$ 1 biö 19«
2« fßon ben ßörperu^infeln. @a$ so btd 33*
3* SScn ben ^aralleloptpeben. @ag 34 bt^ 40.
XII. föüd). i. Son ben ^yramiben unb ^xiimtn» &a1f
1 tu 9.
2* Scn ben Regeln nnb g^Itnbern.- ®a{i lo ii& 15*
3. !Bon ber AugeL @ae 16 btd 18.
XIII. ^ndj. i« 93on ben, nac^ ßettger Proportion
Qüf)i\lUn Stnten. @a$ l bt^ 6.
2* Son regelmäßigen ^tguren. @a^ 7 bU 13*
3. S3on ben fünf regelmdßigen jtärpern* Sag 13 hii 18»
vin.
Sluffer biefen bretje^n 93&c^ern gibt man bi^meifen nod^
ein Dierje^nteö unb fünfje^nted; a(d ju (S'ucnbö Elementen
gehörig / an. Snbeffen flnb ffe fein n6rl)iger 93eflanbtl)ei(
berfelben unb man ifi überzeugt; baß itjv SSerfaffer nid)t
(Suclibeö/ fonbern ber ©eometer $iop fielet toon 3I(eran#
brien n>ar / ber im jn>eiten 3a^r^unbert nad) @t)r. ®eb. gelebt
j^atte. Da jebed biefer fQ&d)tx nur aud fieben @d$ett
be|let)t/ fo fonnen beibe ali ein 3lnl)ang }u ben Sfementen
betrad^tct n)erben , ber aber nict)t norl)n)enbtg ju ibrem 3t|t)a(te
ge^irt. Da^er jlnb aud) biefe {wet $ud)cr in oielen ^uögaben
ber Elemente nic^t mit aufgenommen n>orben«
auffer betf (SUm^nUn fjat Suclibeö no4l ^e^rere«
gefdilricben. @etn toic^tigjlee 9Ber( beflanb ani bm
xxm
fBidjtm mit ber Slufft^nft: Porismata ^Ut ^otiihtn^
lf>e(cbe^ aber t)erroren QtQanqtn ifL ^afpit^, tveleber
beri*tctV eö babe fetjr fcbroierigc aufgaben an^ Der SlnalpfM
ber ällten aufge(6fet^ tnbem er fagte; collectio arli6ciosissiiiia
multarain reruin quae spectant ad analjsin difficiliorum
et generaiiorum problernatum , quornm ingentem copiam
praebet natura , etc. , tjat ^df bemA^t , etiitged {tcbt Aber
bafrlbe ju t)erbrettett ; )ebod^ o^ne bffrtebigenbe SIefuItate;
X)ein irP ber (Seometrte ber Slüen ^od)erfa^rtten Stöbert
©tmfon war ed &i>rbet)a(ten , ftd^ um biefe ^ortömeit bei
<Suc(tbe^ t^orjt'igttcbe^ Serbtenfl gu erwerben«
©ein Sßerf ^ei^t: Robcrti Sims ort , Matbeseos nnper
in Acad. Glasguensi Professoris bpera quaedam reliqua,
scilicet I. Apollonii Pergaei de sectione determinata Libri
IL restitnti , duobus insuper libris aucti ; II. PorlsTnajtom
liber , quo doctrinam banc Teterum Geometrarum ab
oblivione yindicare et ad captnm bodiernorum adumbrare
constitutum est; III. De Logaritbmis liber; IV. De limiti-
bus quantitatum et rationum, fragmentum ; V. Appendit,
pauca continens problemata , ad illustra-ndam praecipne
veterum Geometrarum analjsin. Nunc prinium post Auc-
toris mortem in lucem edita , impensis quidem Pbil.
Comitis Stanhope j cura vero Jac. Clovi^ , in ead. Acad.
Prof. cui Auetor omnia sua manuscripta testamento lega«
verat... Glasguae-, '776, 4*o.
I)er SSeg'riff »om ^oriöma wirb )um Zt^til terfc^teben
angegeben, ©tmfon fagt: Porisma est propositio, in qua
proponitur demonstrare rem aiiquam , vel plures datas
esse j cui vel quibus , ut et cuilibet ex rebus innuoieris ,
non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt, eandem
habent'rationem, convenlre ostendendum est alTectionem
quandam communem in propositione descriptam. ^a^btefc
(Srfl&rung nic^t befonber« fa^lic^ fei^ bebarf feiner Srinnernng.
XXIV
v^otidma tfl ein ®ag^ in tvelc^em andgefagt »trb ^ baf
einem ober mehreren gegefceiten (uitberÄnber(td)en) £)itigen/
fo n)te auc^ un}&t)(tg töteten 'Dingen; bie jwar ntcbt gegeben
itoerben^ aber ju ben gegebenen Dingen eine beßimmte Stelation
^aben , eine gen>iffe gemeinfcbaftlict)e Sefcbaffeni^etr {ufomine« »
ßber: «^oridma ifl eine aufgäbe, worin gefobert »irb^
enoad Seflimmled , ba^ mit einem Uribeßimmten nai) gemiffem
®efe^e tjerfnüpft fei, ju finben. »
(&in gjeifpier auö SRobert ©imfon Ctt>ojtt man fldf
Uid)t bie S^^cljnung entwerfen wirb ) fei folgenbed. — Sßentt
tin ^rei^ ber Sage unb Or^ße nad) unb eine gerabe Sinie
anffer ibnt ber Sage nad) gegeben ift, fo n>irb ein 'punct
gegeben fef^n, ber bie (Sigenfc^aft f^at, baf , n>enn irgenb eine
gerabe , burc^ ifun gezogene Sinie fbmo^f jenen Sxii^ al6 jene
gerabe Sinie fc^neibet, hai auö it)ren Segmenten gebübete
Stecbted immer t)on beflimmter unt)erdnberlicber ®xi^t iß« —
X)er ))er(angte ^unct ift jener, in wefcbem ein t>cn bem
QRittelpuncte be^ ^reifeä auf bie gegebene gerabe Stnte gejogned
{ot^ bie 9eript)erie biefeö j(reife^ burc^fc^neibet , tpot^on ber
fßmzii iutd) bie entße^enben d^nlic^en Sreiecfe leicht gefunben
loirb.
X. • ■
I
, gerner war (Suclibe« Berfaffer einer Schrift, »eldje
bett Sitel fä()rt: Die Data bed (Suctibed« Slud) ber
JBegriff biefer tiata iß üerfd)ieben angegeben worben. Sti&qtt
(SRat^em. OBörterb* JCf). I. ©. 706) fagt fofgenbe«: «gRitrelß
biefer @d$e fucbt man bei ber Sußöfung einer Slufgabe, n>ad
aui ben gegebenen Dingen fofgt , wad aud biefem mieber
^hergeleitet wirb u. f. w., bii bag>nan ßnbet, baf bad, xoai
in ber Aufgabe ju Icißen »erlangt wirb , gegeben fei. Dber
man ^tfft wn beut (Sefucfftctt a\i gegebeit aai, ittib fucfit^ tüit
«tan bitrcb ®r6fett ttnb Ser^&Ittitffe , bereit tmi burcb ba<
onbere gegeben mtrb , auf tttoai ©egebenej f omme , um ton
tiefem toieber auf bad ®efuci}te {ur&rfjuge^en«
Setfpiele. i) SBenn jioet ober mehrere (Briden }»
ettianber gegebene SerbÜrniffe baten / unb wenn f[e {u anbers
®ri6en gegebene / toenn aucb ntcbt einerlei SerbAltniffe ^aben,
fo werben biefe anbern ®r60ett aucb gegebene SerbdltnifT^ )tt
etnanber baben. 2) SBenn in einem Sreiecfe ein SBinfel gegeben
iß, fo bat bad 9Ied)te(f wn ben ibn einfcblte^enben Seiten jtt
hm Sretecfe ein gegebene^ Serb^Itnig. »
)Diefe ^Data finb, mit ben äbrtgen @cbriften Ui Cnc(t#
htif oon Saf9))obtu< jn (Strasburg t« 3« i57l juerfl
grtecbifd) iinb (ateinifd) herausgegeben loorben* @p&eer, t. 3*
1625 , erfcbten eine befonbere aufgäbe mit lateinifcber lieber^
fe^ung unb mit Sinmerfungen wn SlaubiuS i^arbp, toelcbe
®regor9 fetner griecbifcben Suögabe bti (Eudibed^ Orforb,
1703 beigefägt bat Durcb Stöbert @imfon ifl fpdrer eine
cnglifcbe Ueberfe^ung geliefert tt)orben, mit Serbcfferungen
unb 9(6dnbcrungen beS 5Certej. )Diefe SiuSgabe i|l bann i. 3*
1780 oon 3ob- (S^riil« @cbn>ab unter bem S:ite(: (Suc(ibe4
2) ata, ))erbe{fert unb loerme^rt »on Stöbert @ im fon, auf
htm ([^ngnfcben ftberfe^t utib mit einer Gammfung geometrifcber,
ttatb ber anal^tifcben 9Ret^obe ber 9I(ten aufgelegter Probleme
begleitet toorben« 3m3abre 1825 erfcbien: (EucIibe^Data,
itacb bem ©riecbtfcben mit Stöbert @imfon4 3.afA$en ijtu
aufgegeben oon inU grieb« SQurm. Serltn, 8. Wlit a
®teintafe(n, toelcbe Scbrtft ali n>o()lfeiIe ^anbaufgabe }tt
empfeblen iß. — Ueberbaupt toerben biefe £ata ali ein fcb&b^
baref Ueberbleibfel ber ©eometrie ber Sllten anerfannt*
XJCVI
XI.
STufferbem ifi (Srxclibti itoc^ ali Serfaffcr folgettber
©c^riftcn befannt i
i) SSter Sud)er aber hie ^egelfdinttte^ k)on web
li^en ^appud fagt, ba§ (te tiefe Set)re fet)r ertt)ettert l^atteit
»itb einen grog^n S!t)eü ber mer erßen SSuc^er beö $lpoiIo^
ttiud über biefen ©egenfl^nb bilbeten;
2) 3n>ci Q3&ci)er öber,bte geometrtfc^en Drte auf
£)6erflAd)en/ too\>on man nur tozi$ , bag {te bie Siniett
t)on boppelter Krümmung iiim @egenflanbe t)atten;
3) 3lod) füiftt ^roclu^ tint ©djrift bed (SucHbe«
mter bem Zitü: De Divlsionibus an, chne ben @egenflanb
{^re6 ^n^atte^ ndt)er ju be^eicfonen« SSteOetcbt war eö ettte
ätb^anbfung über bie ^^etlung ber Figuren jum t^eoretifc^ett
ober practifcben ©ebraudie.
4) 3n einer ©cbrift De PHaenomenis ifat Sucjibed
geometrifd^e IBewetfe aber bie (Srfcbeinungen bed 31uf ^ unb
Untergang^ ber ©eftirne gegeben, ©onooi)! biefe^ a(d aucb fein
HDerf ober bie SRuiif / unter bem Sattel: Isagoge sea Intro-
duclio musica , in jttjei d^cbern, worin er üorjüglie^ bie
SRuftf ber Elften UtfanMi, ift m^ überliefert worbem
5) (Snb(id) fd)reibt man bem @ u c 1 i b e ö noc^ } w e t
S3üc()er über bie Optif ju, t)on welchen e^ aber ungewiff
ift, ob ffe il)n wirflieb jum SSerfaffer i)aben, obwot)( ^rocfud
unb X^eon bejeugen, baß er überbiefenSegenftanb gefcbrieben
l^abe. dbzn fo weitig if} e^ wabrfcbeinhcb/ baß (Suciibe6
Urheber ber ©cbrift; De Levi et Ponderoso fei,
XII.
di gibt wenige 3Berfe , wefcbe fo \>kk 3Iuögaben erlebten,
tn fo Dielerlei @pract)en äberfe^t würben unb auf fo üielerlei
Slxt bearbeitet worben (inb, ali bie Siemente be^ Suclibeö«
xxvn
Z)te Waid^tifiMt Ui ®to^^ utib hit fßoxtttf^idjMt feiner
jDarfieUung rechtfertigen tiefet. $int au<fu^r(td)e SInjetge
bat)on ^ iDärbe ein eigned 9Qcrf 6ilb>n^ Sa^er feS ^ier nnr
(Einiget betgebrad}! n>erben«
Xl^ton Don Slleranbrien fc^mb }uerfl einen Sommentar
Aber bie breije^n 93ä(^er ber SlemenU nnb erlaubte ffc^
«ancderfet Slenberungen im ZtxU.
9Vroc(u^ commentirte mit großer SudfA ^rlic^f eit Aber
lai erße Sud) ber @(emente.
Unter ben Orientalen Derbient 92 a f f i r^(S b b i n, eitt
^ri^mter perftfcfcer ©eometer, n^eld^er um bad Sa^r ia50
lebte , genannt ju tt)erben , beffen fci)^^barer Kommentar ü 3;
1594 in einer fd)dnen arabifd^en 9ludgabe erfd^ienen ifl« Üud^
^aben bie ipebr&er SRofed $lben^S;ibon , Sfaac ben#
iponain n. 91. . Ueberfegungen geliefert, xotld^t jtc^ in einigen
IBibliot^efen Dorftnben.
Suf di)nlic^e Sfrt erfd^ienen im Saufe ber 3^it Sfu^gaben
itnb Bearbeitungen ber Elemente in Der lateinifd^en, bentfd)en/
frangdflfd^en, italienifd^en, fpanifc^en, englifAen^ ^oJIdnbifc^en/
fc^n>rbifd}en/ b&ntfdyen Spradje, unb ti tt>irb/ auffer ber
^. ^d^rift , tiidit Ieid)t ein Sud) geben , weld^ed meiter auf ber
<Erbe »crbreitet »orben ift, a\6 biefe (gifmente.
(Sint fe^r DoOfommne aiu^gabe bed ©runbterte« ifl bie
))on IDaDib ©regorp unter bem XiUl: Euclidis quae
snpersunt omnia , ex recensione Dav. Gr^egorii. Oxon.
1705. Fol., noefd)e au* eine iateinifdje Ucberfe^ung entl)A(t.
T)te er(le gebtucfte Iatetnifd}e .Slu^gabe ifl bie t)on bem
beritt)mten Sud)brucfer @rt}arb 9tatbo(b }tt Slugdburg,
toddjt u % 1482 }u Senebig in goL erfd^ienen ifl. Xdflner
f^at t>on i^r in einem @ri)reiben an ben Sarbinal D u i r i n i^
itip^xQ 1750, ndt}ere 9{ad)rid)t gegeben. ®ie ifl nac^ dam
pani^i Ueberfe^sung aui bem Sirabifc^en bearbeitet .
XXVIII '
ttittet aUtn ^ttartiitUm itttb Kommentatoren her (Stt^
tnente, tiat fcd) ber fc^arf finnige 3efmt S(at>tud t)oriägUc^
bttiitimt gemacht (Seine Schrift bet^t: Eaclidis Elementoram
librl Xy. Äccessit über XVI. de solidoram reguiarium
cujuslibet intra quodlibet comparatlone. Omnes perspicuis
demonstrationibus , accuratisque scholiis illufitrati , Ddnc
gnartö editi, ac multorum reram accessione poAt primam
editionem locupletatl. Auetore Christophoro Clavio , Bam*
bergensi i.societate Jesu. Franc o furti , ex oiYicina Typo-
grapbica JVicolai Hoffmanni. Samptibus Jonae Rbodii«
MOCVli. 8. IDer erfle Sanb ber t)or und Itegenben ausgäbe
entt)d(t 671 ©etten Stert unb Kommentar, bann 138 ßntzn
t^etlö Storerinnerungen ; metfl a6er bie audfilt)r(td)e SarfleUung
aller etn}e(nen ®d$e in ben Elementen/ mad aUerbtngd
eine bequeme Ueberftdit gen>&l)rt Uebrigend ftnbet man in
tiefem Sanbe bie VI. erften 95fidjen t)er gweite 8anb gibt
fobann bie fofgenben IX. Siicber nebfi einem XVI. Sucbe De
solidorum regulariUm cujuslibet intra quodliböt compara-
tlone, in 680 ©eiten, — Die fröljere britte ausgäbe tfi u%
1591 }U @6((n in ^ol. erfc^ienen« Z)er Kommentar beö @(a#
^x\xi {eid)net (id^ burd) ®r&nb(ic^feit unb Sluefut)rlid)fett
Cweldje jeboc^ bisweilen etwa6 ju weit ju geben fd)eint) t)ot
Stnbern fe^r riii)m(id9 au6« Die er(le Sludgabe erfc^ien ju
Stom i. % 1574 in jwei Octaobdnben.
^ierre ^erigone bat in feinem Gursus Mathematicus
noya , brevi et clara methodo demonstratus per notas
reales et aniversales , citra usum cujuscunque idiornatis
intellectu faciles. Paris. i654 bie XIV. Süd)er ber Elemente
lateintfd) unb franj6ftfd9; mit üielen SIbfurjungen unb Seid^en
l[)eraudgegeben , itnb xoax, nad) Jtd flner'd Meinung , ber
tx^t, tt)e(d)er flc^ biefed ^JRitletö bediente , Mm eine Slei^enfolge
t^on ec^Iüjfen bequemer M burc^ ä&orte barjuileUen.
xxn
Soit Sarrom ift Mcatnt: Euclidis Elementoram Libri
XV 9 breTiter demonstrati opera Js* Barrow^ Cftntabr ,
1675 , lüODon t. 3. 1676 }u Cdna6rficf ettt Slacbbrurf erfitfennt
ifl. Cnrd^ ben ^ebraud^ arit^metifcber 'iti^tn tfi txt ®c^nft^
gegen fräi)ere Slu^gaben, fei^r compcnbtid geworben«
. 3nm S9eflen ber erfien SlitfAnger ^atte oKftt fc^ott (ingfit
(efonbere Siit^gaften ber erflen fec^ä ISöc^ev i^eranßalM ; g. $8*
Euclidis Elementomtn Libri -6 .... a Mauritio Steinmetz.
Lips. 1577^ toorin bte ®d$e griet^tfc^ ttnb lateitufc^, jebod^
nur bte erften bret Sucher mit Setoetfen oorfommen. Ibti0
gleichen: Joe. PeUtarii in Euclidis Elemeota Geometrica
Demonstration um Lrbrirex. 1610. apud Joaän. Tornaesiant^
4to, welche bie @&$e gtiedltfcl^ itnb lateinifc^ mtb tl^re SBenmfe
enr^altem
xin.
SoR fpdtent ausgaben bemerfen tt>tr folgenbe :
(Suclib'd (S(emenre, funfje^n SBäc^er, and bem ®rtec^ii»
(c^elt iiberfe$t t)on 3o^. grieb. Sorenj. ^aSe, i7&i, 8«
«tU eingebrutften ipeljff^nülen. (Ein fei^r brauchbarem 98erf
«nb befonberd wegen ^ärje nnb bequemer UeberfTc^t ber 2)ar#
fleOung ju em))fet)(en« (&i erfd^tenen niet)rere ausgaben; beren
neuefie bte oon Sari Sranban aRoUweibe tfl* ipaUe/
i824* 8. XXXII. unb 444 ©eitern
(Suclib'm (Slemente; ba« erfle hü {um fed^flen^ fammt
bem eüfeen unb jwöiften Suc^e* Siufö neue aud bem (Srted^u
fffeen Äberfe^t DOn Soj)* garl grieb» ipauff. 3n>eite oei^
befferte, mtt einer neuen $araIleIentl)eorte oermet)rre älu^tagt.
SRarburg, 1807« Uli unb 369 @. 8. ^it oielen eingebrntftett
j^oljfc^nttten« Serbient ald wo^Igelungene tt^rtUc^e Ueber^
^^ng Ui UütxM k)or)äg(id^e (ErmAJ^nung.
Les Eliim^na de Geometrie d^aclide, tradoits Iitt^«»
xalement^ et siiivis d'un Traitd du Gerde, da Cjlindre ,
du- Cane. et de la Spliere; de la mesure des Surfaces et
4e8 Solides, ayec des notes. Par F. Peyrard, Biblioth^caire
de l'lfecole Polytechnique. A Paris. 1804. XV. et $75 p. 8.
mit a&ft iJtupferlafein. ^tefe fet)r empfei)(ungdtt)ertbe @d)rift
eßtt)4lt ba« I. II. III. IV. VI. XL «nb XII. 5Bu* ber glemente
in einer n>o^(ge(ungenen ^ Haren / mdttltc^en Ueberfe^ng beS
®runbrejrteö« Die ©uppletnente ftnb gaitj nac^ bev
9Ret^obe beö (Sucitbed abgefaßt unb bie 3lottn ^nt^alten
{toecfmäßige S3emerfungen juth Zzxtt^ 9u(^ t)erbient ber 33ru(f
Vor}&gUd9en SBeifall.
X)ie fec^d erflen Sucher, ttej&ft bem eilften nnb }n)6ffrett
ber Elemente beö @uclibeö. STcit 93er6e{ferung ber ^e^Ier^
IDoburd) SC^eon unb SInbere biefe ^udjer entflellt ^aben,- unb
ben @(ementen ber ebenen unb fpl)anfd)eTt ^Trigonometrie. Son
Stöbert ©imfon, M. D, ebemal^ ^rofejfor ber ÜKatl)ematif
)u ®Ia^gon>. 9luö bem @ngnfd)en iiberfegt t)on SSRoit\).
9leber....\S)erauögegebett üon 3. ^. 3©f. SRiefert, ^aflor
jtt ÜBefen u. f. f. ^aberborn, b. Sof. ffiefeuer. 1806. XVI.
it* 6ao @. gr« 8. WliX t)ielen etngebrucften ^ofjfcijnitten unb
5 6teintafe(n* IDiefed, burd) ffi)r gute^ ^^pier unb guten
jDrucf audgejeid^nete SBerf fdietnt nid^t bie t>eTbiente %\xftia\}jn\t
gefunben ju ^aben, obuoo^I bie critifd)en älnmerfungen unb
3uf&$e (©. 641 bid 748) t)on 9Bici)tigfeit ftnb.
@ine, burd) 6orrectl)eit bje^ griec^ifd^en 2!erted unb ber lux
®eite fle^enben lateinifd^en Ueberfe^ung^ burd) eine ^enge fe^r
Ie^rreid)er Sinmerfungen ^ burd) eigene beigefügte Slb^anb^
luttg^n^fiber fo!gettbe@d^e: I, 29; I,j47; I, 47, 48; II, IQ,
13 ; in, 16 ; V, (grfL 5 u. 7 ; VI, (5rf I. 5, unb bur* guten
X)rucf unb guted Rapier ganj t)or{ägtid)e 9tuögabe ifl fofgenbe:
Enclidis Eiementorum Libri sex priores , graece et latine,
commentario e scriptis veterum ao recentiorum" mathema«
ticomm et Pfleidereri niaxime illostrati. Edidit Jb« GuileU
mus Cameretj Gjmnasii Stuttgardiani Rector.. Betolini y.
i8^4* Tom. L Complecteas Libr. I. — III. XXX. et 4^2.
pag. 8vo cam lo tabalis. Tom. IL Gopiplecteos Libr«.
IV — VI. cum 6 tabulis. BeroHni iSaS. 579 pag.
SSott friit)ent guten Slu^gaben t>crb(enen ttoc^ folgenbe
itmixtt }u merben«
a) Die lateinifcfce t)on Sdrmaittt. ?eipjig, 1743^ 8*
b) Die Jateinifd)e »on Xacquet SJorn^ 1745. 8.
c) Die lateinifi^e von Stöbert @ im fett. ©langem /
1756. 4-
d) Die franjäjifc^fe tjon Äönig. i laHaye, 1758. 4.
9Ber itmßdnblid)ere 92acbrid)t t)on ben oetfd^iebenen SIuö^
gaben ber (Elemente loerlangt; ftnbet (Te in folgenben @d)riften:
@d)etberö @inteitung jur mat^eoiatifc^en Süc^er^
fenntniß I. ©tucf.
Fabricius Bibliotb. Graec. Lib, III. cap. 14.
Matthias Böse Schediasma litterarium, quo contenta
Eiern. £ucl. enunciat, simui de Tarlis editionibus post
Fabricium disserit. Lips. lySy.
3lbrat|. ®ottt). je&flner'^ ®efc^ic^te ber aRat^ematit
L SSanb, ®. 248 u. f.
/. F, Montucla (de l'institot nationale de France)
Histoire des Matb^matiques, duns laqüelle on rend compte
de leurs progres depuis leur origine jusqu'a nos jours ;
oü Ton expose le tableau et le developpeuient des prin-
cipales d^couvertes dans toutes les parties des MaHi4-
matiques , les contestations qui se sont dlev^es entre le
Matb^maticienSy et les principaux traits de la vie de plns
cölebres. Nouvelle Edition , considerablement augmentee et
prolong^e jusque vers l'^poque actuelle. A Paris. An VIL
Tome I, VllI et 739 p. 4to. ÜMit gwilf Äuj)fertaf. Tome IL
717 p. mit 14 ^u))fertaf. (Sin fe^r rei(^l}altige^^ t)ortreffIid^ed
äBerf*
Sofept 9BoIfg. Wlilltt fb^itAtUnt natbemattfc^e
Sibliol^ef iL f* t». Mtnba^, 1830. 8. XXII ».266 6. —
Seffcn Stfprrtonum brr matl^ciiiarifcfaen iiieratnx, in alp^cu
bctifd^er Crbtiung. 144 @* 3fl fc^r )u enipfe^Ieti*
Sie
geDttietrift^en fQii^et
bet
SIemetite t)e^ ettclii)el
^
.' »■
>
® a «
e r fl e Sä u i)
t> et
(5 Um ettte^e^ antlitci.
S)tefed Sttd^ ^anbeK:
1. Son ben Dreiecfett» Saft I~a6*
2., SSon ben ^araOeUtnten utib ben (Tc^ hierauf grünbenben
Sfgenfd^aften ber Sretecfe ttnb ^araIIe(ogramme. @a^ 27—40.
3* S3on ber Sergleic^ung ber Sretecfe mit ben ^araKelc^
Srammem ®a$ 41—48*
(Sr f Idruttgcn bc< erflett 9ud^<*^
1. ^in ^itttct ifl iaiitni^t, t^at feine 5tl^etle tfat
2. X)te {tnte tfl eine Sdnge o^ne Sreite.
3. Die ^renjen ber Sinie ffnb ^uncte.
4. Stire getabe Sinie {|l jene, »e(d^e jwifc^eft bett in '
tbt 6effnb(i(|ien ^uncten einerlei Sage ^at
5. Um ^I&d^e ijt ba^ienige/ roai nnr tdnge itnb fßttitt
6. IDie (Srenjeit ber ^(dc^e (Inb tinien.
7/ (Eint ebene ^Idd^e (ober Sbene) ifl jene, tDelc^e-
^tDifd^en ben in i^r befinblidifett geraben Linien gleichförmig
UtQt
8.. Sin ebener SQinfel ift bie 92eignng (toeier (intett
gegen etnanber, bie ffc^ in einer (S6ene berühren/ o^ne tint
gerabe Stnie gn btiben.
\^ 9. ®inb bie Linien, tDelcbe ben !8}tnfel titbtn, gerabe
Simen^ fo ^ei^t ber SQinfel tin g er abiin ig er.
10* Gte^t eine gerabe {{nie fo anf einer anbem^ bafi fle
mit i^r gleiche 92e6enn)tnfel bilbet, fo ^^eift fle fenfrecbt
Cober lot^rec^t, ober ^er|)enbt€uldr) auf ber anbern^
unb ieber ber beiben gleid^en SBinfel l^ift tin rechter
SQBinfef.
11. din pumj^fer SOinfel I^ei^t jener, ber gr60er i|i,
als ein re^ter.
12. (Sin fpifter ffiinfel aber ein folii^er, ber Heiner
aW ein rechter ifl.
13. Die ©renje ^eift baSjenige, wai iai S(eu|er|le
tmi "^it^ti \%
N
14* eine^^tgut ifi ba^jentge; }»ai ^on einer ober
mehreren ®rerije« umfefeloffett i|l»
15* Xtx l^ttii tfi eine ebene $igur, n)elc^e t)on einer
einjtgen fruntmen Sinte^ bem Um f reife ober ber $eri^
pf^tvitf fo eingefc^bfen ijl; baM^^ d^rabe Stnien , mtd^c
ani timm innerhalb berfelben beftnblic^en ^uncte an bie
©renje /gebogen toerben^ einanber gleich finb» .
^ 16* ©iefer^unct ^eißt STOitterpunct be8 Äreife«. -
17* Der Duri^meffer be^ Äretfe^ i(l jebe gerabe gittie,
»elrf^e burx^ feinen, gKittelpunct an beibe^fiten ber ^eri^
p^erie ge^t, nnb anc^ bcn Mxtiä ^cilbirt. . .,
18. ©er ip ai bix^i ö ift tint .mn .beut JDurcftmefier nnb
t)pn .bjet^^i^ur^ biefcn. ab^efi^ininenen ^rei(J6Qgen atm^c^Iciffene
^ignr* ,. ,. . ^ /.:••/ '.»' ' •«•
19* , «Der fliid^nitt ^ti Ä.reifejf.Ci^fjr.bö^^egmenO
ifi jeneö @täd( beffelben^ toeld^ed ))on eitler geraben Sinie itnb
einem Äretöbo^en nwfi^Jtofijfn. tft*,. - r. - .^ ;. ,
?o* ©frabUnige g^ignrett ffn^ iföt/, wid&e öon
21. D'reifeitige Figuren (ober Dreiede) jene^
^öpejd^e «pn.brei; .,.,„:
, J^^*, JBi^rfeiHge^.gijgttjcen ; (ober SierecfO; JJW^f
.23. Sirlfe,iU.0e. ^i^inren (ober .Sielerde) ytni)
welche öon me^r, aW »icr geraben Linien nmfdjioffen f[iBb,.Tj*?
. a4^ Untei;. ben tg^eif^itigen g^ignren ^%\^iizvit%vxa\tx^^
fe.it]|^^§^15.reied^ teelc^f brei gleiche ^txUn \iaX. - .
, iiit^, ßin g I e^ c^ f 4i c n f f I i g e « ^ r e i c^ . \p>%i, ; jtöif ^ «
»eUje^nnr jtt)ei aleidie. ©eiten ^at ^ ,.:r ^z:.
26. <?in ttrigleictffeitige« ^retecf i|l ba|Sjt8.ige^
n)e(ci;ie^ brei uiigUic^e @eiteri. I^at
27* ferner I)eißt nnter ben 2)reie(fen jeneä ein rec^t#
toinfeliged, loelc^fd einen redeten . SSSinfel t)at; ,
28. 3ene$ ein iinm))ftt)in(engeä>. ipelc^ed einen
jlumpfcn/ nnb ^
29. Sene^ ein fpi^winfelige« Dreied, toelc^eä brei
fpi^ Sinfel ^at
/ r^aa. Umt bttt Mix^tiH^tn %ipatn kti9t fem titt Oitd^
brat/ meiere gteidifetttg unb rfd^twutfeltg i%
31* (Sin t&ttg(i(^e« Sit tec( otitr IRet^tece^ei^tjltnt/
toeld^e }n)at ret^nvteffitg , ober iticbt gletc^feittg {ft
j32., Sitt Sl^ctmH« ober nttc 3tAUU itwt, teelcfte gleid^
fettig , a6cr hifbi xtAttoinMi^ ift*
33. (Sitte St^etiii^oibe itttt/ iDoritt bie eitfgegftt^^iAett
&tiua ttttb äBinfd eiyoiibfr gtitcb ffttb^ o^ite d(etc^et% ober
xtdjttoinUliQ ju fe^tt.
34. V llBe. Übtiffi t^ierfeitidc Sigttrett: ,i»erbett 3;r.t|pe}e
genennt
35. parallele Linien fftib jlene^ gerabe tinien in einer#
(et (Sbene/ tt>e{c^e^ fo n^eit ffe auc^ nac^ beiben @tiUn ttu
Idngert merben, boc^ an feiner (Seite {nfammentrefem
t^iTbernngeit, * -
i* Son jebem $at0f nac^ iei^m anbern tiut gerabe Sinie
2._^ne i^^gret^te/gerabe {inte (letig in < gerober Slt^tnng
2tt tjerldngern.
X i* 9M iebem ^nncte mit jebem .Sl^anbe einen SUxtii tu
Ikfi^reüben« . $ •
: .®r.itnbf d$e«
1. Dtnge, meiere einem brttten gleich ffnb, ffnb ondlf
einanber felbfl gleich«
% SDenn man @(eic^eS |tt ©(eitlem iHtinfegt/ fft ffnb andji
bie (S(anjen gli^id^. . - .. .
3. iQienn ©le^ed i^i^n (Sleidj^em »weggenommen iiwirb , fo
^b bk {Refte gleic^.
4. SOBenn man ®Iei<|e« bem llngleic^en beif>^ fo/flnb
bte @änjen ungleich«
5. ÜBenn man ®Uidjti t)om .Ungleichen wegnimmt ^ fo
ffnb auc^ bie Wejle ungleich.
6. SQenn jn^ei 2)inge einanber: gleich ffnb / fo ffnb anc^ i^re
Stoppelten einanber gfei<^.
7. SBenn jmei I>4nge einanber g(ci(^ ftnb/ fo ffnb anc^ i^re
^dtften eatanber ^Uiif,
10
S> c r 4. @ a $*
? c ^ r f a g.
^tnn in jvoet I^reieden )met Seiten lbe< einett^
efnjeln. genommen/ {meien @eiten be^ antern gleich
finb/ nnb ber t)on i^nen etngefc^Ioffene Stnfel
6eiberffili^iigletc^ ififfo iß ^uc^ bie britte @eile
be^ eititfn(t)<tr brit$en ®titt bti anbern.gleic^/^ unb
e^ finb bie ganjen^ .^re ie^^z fo. tpie auc^jene
aOSinfel, weld^e gleichen @eiten gegenüberliegen,
einanber gleich*
€« fei in ben Dreiecfen (^tg. 4*) ABC unb DEF bie @efte
AB=DE, bann AC = DF nnb 3cBAC=:5;EI>F, fo ip auc^
3CB=:^E, 3CC=j:F, unb BC=EF, a«c^AABC =
ADEB";
S5 e » e i «♦
Wlan lege ba« X)retecf ABC fo &Ux baf SreiccT DEF , ba$
A auf D, mtb AB auf DE fdttt, fo mu^ au*, ba AB=DE
ifi, B auf E faDen. Danun 3:BAC=i:3CEDF, fo fdUt AG
auf PF unb ba AG =DF, andi C auf F* SRun f&W na* bem
aSorigen aüd) B aufE, folgfi* BG aufEF. Denn, fiele BC
über ober unter EF , fp n^if ben; bie geraben Sintf n BG unb EF
timn Staum etnf*(te0en / v>ai a^« ®tO mmi^lidi iß. 2)a^er
iflBC=5EF, AABC=ADEF; äCABC.p 5:I>EF, ttUb
5CACB = 3cDFE(8.,®rO
£> c t 5* © a ö»
«
Se^rfag*
* ■ •
3n jebem glet*f*enfeligen SDretecfe finb bie
SfBinfel an bcr.^rnnblinie, nnb, xotnn bie gleiten
^dj^nUl t>erldng^rt werben, an^ bie äBinfel.nnter
ber ®runb(inie etnanber g(et*« •
,(Sö fei (gig. 5.) BAG ein gfei*f*enfeh'ge« Breierf , worin
ABzzAG iß, unb fon)o^( AB na* D, a(ä AG na* E »er^
Idngert wirb, fo iß 3: ABC = 3c: AGB , unb and) äcCBD
= 3c;bce.
9
Si fet A (gig. 30 bev gegebene ^tmet/ BC bfe gegebette
gerabe {inte , ititb man fcQ an A eine ^erabe Sinie legen^
I9e((^e ber BG gletd^ tft
Slttflifung.
SRan {te^e (i« gotb.) Don A nad^ B bie gevabe ^inte AB,
befc^rei^ &6er btefelbr (i. ®a$) ba« gleid^feittge i)nie(f DAB,
nnb oerldiRgete bie ttniett DA nnb DB nac^ E «nl^Fi (s. gorb.)
2>aiin befd^reibe nron an« B mX BC (3« gotbO^ben ^et<
CGH, nnb an« D xAt DG ben ^et« GRL. ^ H ^
iBetoei«.
^ier ifl DL = DG (15. (frfl.) nttb
DA=DB (24> COT.) folgKc^ »trb
AL=BG <3. ®r.) "Sim ijl aber
BC=BG ( 1 5. «rf r. ) folglii^ anc^
AL = BC (1. @rO
»
SD c r 3. © a §♦
Sin f gäbe*
3B^nn jmet nngletc^e gerabe iftnitn gegeben ftnb/
fo foll )9on ber gvjßern ein @tft(f abgefc^nitten
merben, n>elc^e6 bet fleinern gleich \%
(Sd feien (gig. 3«) AB nnb C bie gegebenen nngleid^n
/Einien/ AB.bi^grij(lere/ C bie fleinete/ nnb xaml foK^on AB
'einen S^eil wegnehmen/ toeld^er fix groß aM G i(L
S(nfI6fnng«
gRan lege aca A bie Ap=c (3. @0 nnb befd^reibe an«
A mix AD ben Areid DEF.
S e tt) e i 0«
2)a Ap=C nnb anc^ (15. Srff.)
ADr=:AE,.fo'^an9<liii(^<i.:®r.) bie )M>n AB »eg«
genommene 9inie A£ ber gegebenen Sinte C gletd^ feyn.
k ♦
^
10
*
? c ^ r f a 6»
@enn in )n>ei IDreiedPen )mei Seiten \>ti eittett^
etitjeltt genommen, }n>eien (Stittn iti anbern gleich
ftnb/ unb ber t)on ifynen eingefc^Ioffene SEBtnfel
6eiberffildjnglet(^ tft^fo i(i üuc^ bte britte @eüc
bej ein^n(t)tr britten @eite iti anbern.gleic^f^ unb
ti ftnb bie ganjen. :&r e iecf r, (p; ^ie anc^jene
ÜBtnfel, n>eldl)e gleichen @eiten gegen&betliegen,
einanber g(etc^.
(Sd fei in ben Dreiecfen (^ig. 4«) ABC unb D£F bie Qdtt
AB=DE, bann ACrsDFnnb JC BAG =^ jc EI>F> fo ifl «»c^
5c;B=:^E, xGzz^cF» nnb BC = EF, aiicl^AABC =
ADEF;
S3 e n> e i ö*
^an lege ba« X)retecf ABC fo it6er baf Sreiecf DEF ^ bafi
A auf D, unb AB auf DE fißt, fo muß an^b, ba AB=DE
i(l, B auf E fallen. Danun 3:BAC=BCEDF, fo fdUt AG
auf PF unb ba AC=DF, and^ C auf F. «Run fdW nac^ bem
»origen aU) B auf E , folglich BG auf EF. Denn fiele BG
über ober unter EF, fo mürben; bie geraben Cinif n. BG unb EF
timn SRaumeinfc^neßen/ roai a^* ®tO unm^tici^ iß« Da^er
ijlBC5=EF^ AABC=ADEF; ä^ABCp K^E?» unb
5c;ACB = 3cI>FE(8. ®rO
© c r 5* ® a §»
Se^rfag.
3n intern gleic^fc^enfeligen SDreiecfe finb bie
äBinfel an ber ©runbXiniC/ uttb, wenn bie gleichen
^(beixif^l Derl&nge,rt »erben/ anc^ bte äBinfel.untcr
ber ©runbitnie etnanber gleich. «
* ,@ö fei (gig. 5.) BAG titt gleic^fcftenfelige« JDreiecf , worin
AB=AG i\t, unb fott)ot>l AB nac^ D, aW AG nac^ E »er^
Idngert »irb, fo ijl äc ABC = 3C AGB , unb auc^ KCBD
11
Wlan tie^me auf BD Un toiUtiiiixlid^tn ^uttct F , mad^e auf
AE We AG = AF (3» ©•) mb |(e^e FC «nb GB.
^a tjivc AF = AG , ferner
AG=AB ititb aind)
3CA = jcA, fo t(t (4. ®0
FC = GB, ferner
3:ACF=kABG iin^.
3:AFC=3CA0B. {«un ift o^r
AF,qpAG, bann
AB=:AC, unb ba^er
, BF = CG (3* ®ro gqröri* tff in bcnDreterfrn
FBC , GCB, BF = CG unb FC r= GB , fpmie Ott^
5CAFC=^AGB. '2)fl^er . ...
5:BCF=5CCBG, unb ■'
3t;FBC=:3CGCB ([*> ©^)r V
► »a nun 3cabg=:3cACF unti ' -
. gcCBGsiiXBCF^ fo iU att^
^ABQte^ACB (3. ©r!)
© /jf 6. ©.a 6.
SBenn itt einem .2>re{f(;re ^ntti HBtnfel einanber
gleich finb/ f;p fit^V ^^^ bie@eit.en;. tDtlc^e biefen
SBinfeln gegenäi^er Ijegett/ einanber o^^i^^*
(Si \€l ABC c^ig. 6«) lai fie^fbene Xuitd, tooxin
^ABCp^^ACB^ (o ifl flwc^ ACäAB. ^ ,
» e w^e i «♦ )' j : ' :.,•
SDB&ren bte Q^iUn AB nnb AC ungleich; fo mi$tt eine
ffci^tx al6 bte anbete fepn« 9Bäre.nun/AB>AC, fo nel^nte
man DB=^C (3/(So «nb jiel)e DQ.
!Run n>dre in ben Sreierfen ABC nnb DBC
. BD=CA, ferner
BC =BC unb auc^ v '
12
ADBCsrAABC fe^tt (4. ©.)>
' mli)ti ahtt nnm jgTtc^ tft c 9. ®r. )
©et 7» (S a t*
C e ^ IT f a ^«
SQettn auf einer gerabett Unit in i^ren Snb^
ipuncten 2tt>ei gerate {inien fe aitfgeflellt finb,
*bag fie in einem ^nnctt iitfanfvientreffen, unb
ipenn 2tt>ei anbere gerabe iinitn, töildft, einzeln
genommen/ ben erflen gleid^ finb/ in eben biefen
@nb^u»cten anfgefleHt tottben, fo tinntn fie in
feinem anbern ^nncte an eben biefer @ette 2^^
f ammentreffen.
(Si feien ( ^ig« 7. ) ani ben ^nb^nncten ber geraben Sinie
AB bie geraben Sinien AC unb BG , unb bann änä:f bie gera^
ben 8inien AD unb DB, niotjon AC=:AD unb BC = BD ijl,
nad^ ber n&mlid^en (Seite f)\n aufgefieKt/ fo finnen bie beiben
le^teren nic^t in einem anbern ^uncte ali ber ^unct C iftj
nnb {. S» in D {ufammentreffen* v
S3 e U) e i 8»
äBenn man bie Sinie CD jte^t/ fo ifi tt>egen
AC=AD nun auc^
^ADC=j:DCA (5* ©.)^ 8i>rflfli*
• 3c;äDC>5cI>CB , boljer um fo mel)r
^laDB>3c^>CB. 3htn i|l aber
:' ' .: X . 'CBrsDB, folglid^ äu(^
3CCDB = 9CDCB iC5;@0> weh*ej bem SSorti
gen, baß 3:CDB>xDGB ijl/'»iberfprici^t
D c r 8» ® a 6.
Jel^rfaft.
fßtnn in )tt)ei £reie(fen ixoti Seiten bti einen^
einjel|tt ge]nommen/ in)eien ®eiten be£ anbern gleich
13
iini, ttitb ti tft tto(^ ixt hxitit @ette bti erßett bet
britten @eite bed anberit gletc^^ fo ifl att(^ in itu
bcn ietter aßtttfel, toelc^er t)on bett gleichen ®e{tctt
gcbilbet Yoixbf gleid^ fltco^.
(S< fei in ben Dretecfen (^tg. 8.) ABC unb DEF, AB
= DE unb AC=DF, audj fei BC = BF, fo ifl mdi 3CBAC
S e » e i 0.
Wian Bttttge ba< A ABC fo A6er ba« ABEF, baf B auf E
nnb BC I&ng« EF fdKt 2)a nun BC=:£F, fo f&St aud^ C in F.
Ütun i(i aber auä) BA = ED unb
CA = FD ; ba^er mn9 A in D fallen
(7. 6.) unb folglich and) BA in ED nnb CA in FD, unb e«
ifl 5:BAC=3cEKF ( 8. @r- > .
©er 9* © a §.
Slttfgabe.
einett gegebenen gerabtinigen 9&tnfel in )toei
gleiche Steile }tt t^eileui ^
9i fei C^ig. 9.) B^C bev gegebene SQinf et , unb ti foft
berfelbe l^albirt loerben.
«uflÄfung.
Wian neunte in AB ben n>tlltö^rlic^en $unct D , nnb mac^e
AE = AD c 3« ®0 / iie^e DE , nnb befc^reibe anf bei felbett
bad gleic^feitige AI>FE (!.©•) SflSirb nun AF gegogen,
fo ifr K BAC bui* AF ^albirt
fd t to t ii.
Xa ^ier DA = EA, auc^
DF = EF nnb enbli*
. AF = AFi(t^ fo mnf att(^
5:DAF = JCEAF feijn. (8. ©•)
S) e r 10« @ a $.
SI u f g a 6 e«
<Sttte gegebene begrenzte g^erabe Sinie gn ^al#
birem
f.
14
di fei AB (gig. la) ixt gegebene gerabc leitiie'/ unb matt
fcK biefe l^alfrtirett.
Sluflifttttg.
gWait bcfc^rci6e auf AB iai flleicf^feittfle ©reierf ACB
(1* ©•)/ ialWte 3CACB bUT(^ CD (9. ©O/ fo toixi bte
Slnie AB in D ^albirt fc^tt*
S e tt> e i «♦
SBeil f)itt AC=CB, anti)
CD = CD iinb enbli^
BCACDzrJCBCD i|l, fO OTUß audf
AD=BD fepm (4. ©O^
©er !!♦ © a §♦
Slttfgabe-
3(u^ eiitem^ itt einer gegebenett geraben Sinie^
gegebenen ^uncte eine [entrechte Sinie auf fie ju
errichten.
@d fei c^tg« 11«) AB bic gegebene tinie unb G ber in
i^r gegebene ^unct, fo fcD arxi ifim ein iotf^ auf AB errief»
Ut werben* ^
SlufUfung.
aWan ne^me in AG bcn roiüt&ijxlid^cn ^unct D, ntad&e in
CB bie GE = GD ( 3. © J , befc^reibe auf DE ba« gleid^feitigc
ADFE (1. ©0 unb jie^e bie FG, fo pe{)t biefe fenfr^t auf AB.
S e tt> e i ?.
Da ^ier GD==GE, ferner
CF = CF unb enblidi auc^
DF=:EF iß, f o mug auc^
3CDCF = 5:;ECF (8. ©o utib folglich auc^ bie
GF fenfred^t auf AB fe^n* ( lo, @rfr. ^
© e r 12. © (> |. ^
31 uf gäbe..
SSon einem auffer^alb einer gegebenen un&e#
grengten geraben iini^ gegebenen ^uncte ein iott)
auf fie ju jie^en.
I
dt fei AB (gig. 12») bie gcgcBeiic gerabe ?inie> C ber
f)ttnct aitffer i^r, unb man fott t)oit C auf AB eine fenfrec^te
<inte tiefen.
$Iuf(6fttna.
*
9Ran neunte auf ber anbern ©eite wn AB einen Beliebigen
glittet D , befcl)reibe au« C mit ber Sßtitt CD bcn Äreid EFG,
l^albite GE in H (lo. ®0/ unb iittjc bie 8mie CH, fp ijl
biefe fenfrec^t auf AS.
» e tt> e i d.
Sbenn man bie 8thieh CG unb CE jie^t , fo ifl
GH=:EH, ferner
-CH = CH «IIb enbrid^
GC = EC (1 5, &n. ) gor|Iic^ ^
äCGHC=3CEHC. (8. ©.) Da^)er benn bie CH
fetffrec^t auf AB. ( lo. (grfl. )
«e^rfal-
SBenn eine gerabe Sinie fo auf einer anbern
aufgefteüt iß, ba0 fie mit i^r {mei SBinfel bitbet,
fo finb biefe SBinlel eniioeber, einjeln oenommen^
{toei Steckte, ober fie finb {ufammengenommen
Itotitn Stetsten gfeic^« j
Cd fei auf ber geraben Gb (gig. i^p.) bie gerabe BA fo
aufgefleUt/ ba^ {Te mit t^r bie SBinfel DBA nnb ABC bilbet,
fo i(l ennoeber jeber biefer SBinfel ein Kelter , ober fie bt^
tragen jufammen ^ti redete SBtnf el ( ober 2 B ).
S3 e w e i £•
9Benn ber SQinfel DBA bem SBinfel ABC gleich i{}, fo ffnb
ffe jroei Weckte ( 10. &tl. ) ©inb ffe aber ungleidi , fo errichte
man bie BE ani B auf DC lot^rec^t (11. ©•)/ fo ift fotoo^I
DBE , ali £BC ein rechter ÜBinler. C io* (Srfl. )
S«ttn ijl 3C CBE = je CB A + 3C ABE unb
^feBDa=jCEBD, folglich
^ CBE + 5C EBD=^5: CBX+ X, ABE + X EBD. (3. ®rO
16
gBBeii ttutt 3:abd=:5:dbe+3:eba, fo tu
3c; ABD + 5;CBA = 5:;DBE + ^EBA + 3C ABC. J)a^er oild^
5:ABD + 3::CBA=3c;CBE + 3c:EBD=2R. (1. ®rO
S) e r 14. (S a $♦
' SBenn mit einer gerabeu Sinte in einem ^nncte
berfe(6ett ^tofi anbete, nic^t nac^ ber nimliditn
®titt (iegenbe gerabe Stnien itoti neben einanber
(iegenbe 98tnfel bilben, ti>el4e jtt)eien Siechten
gleich ftnb, fo liegen btefe beiben geraben Sinien
in einer einjigen geraben.
SBenn ($tg. i4. ) mit ber geraben Sinie AB bte pooti qu
raben Stnten BG nnb BD bte neben einanber (iegenben 9Qtnfe(
ABC nnb ABD bilttn, nnb biefe jufammengenommen jmei
redete äßinfel betragen, fo mn^ BD nnb BG in einer geraben
8inie CBD liegen*
S3 e m e i 0.
9Bdre CBD feine gerabe Stnie , fo fei zi irgenb eine anbere
j. S. CBE. ^ier »Are nun ( 13, ©•)
X. ABC + 5c ABE = 2 R. SlKein e^ i|l an*
3C ABG + x: ABD = 2 R md) beV annale ; alfo
3C ABG + äc ABE = $; ABC + 3C ABD (1. @xO, allein
jCABGasjcABC, folglich tt>dre
3C;ABE=3CABD (3. ®r.)/ »elc^e« abernnmigfic^
iH, ( 9. ®r. )
S> e r 15* <3 a !•
? e ^ r f a 6*
SflSenn fic^ itoti gerabe einten bnrc^fc^neiben, fo
bilben fie gleidye ©c^eitelminfeL
SBennfd) (^ig. 15.) bie ?imen AB nnb CD im ^uncte E
fd^neiben, fo i(l 3c AED = jc CEB , nnb 3cAEC=5c:l>EB-
I
r
'}
t
17
^
«a fjitt 3C CE A + 3C AED rrTa R , «tlb
5: CE A + 3C AED = ^ AED + 5; DEB (1 , ^r.)
9?ttn ifl aber 3CAED=jc:AED, folglich auc^ '
3::CEA=5::DEB. (3. @r.)
(Sattj auf d^tttic^c STrt »irt bewiefcn, bc^ß 3:CEB=3c; AED
in-
su f a e.
ipferauö Qtift ^erDor, 4)aß alle SQBinfel,, »elt^e ring« um
2eit gemeinfc^aftltc^en 3)urc^fd^nttt^punct mehrerer geraten
iinitn liegen/ {u[ainmengenommen 4^. betragen*
r
? e 1^ r f a $.
» «
SBenn man bte ©eüe eine« Drefecfg »erldngert,
fo ifl ber SInffentt)infeI grifer^ aH jeber feiner
innern ©egenminfef«
SQ3cnn ABC (gig. 16.) ba« ^gegebene 1Drete<f wnb BCD
bie »erldngerte (Btitc BD ijl, fo mn^ ber auffenwinfel ACD
großer , ali jeber feiner jtoei (Segenminfel CBA nnb BAC
fejjn.
S e tt) e i 8.
SKan ^albire AC in E (lo^.©.) jie^e Bß nnb »erldngere
fte, hi^ EF=:EB ijl. SIuc^ jie^e man FC.
2)a itttii ^ier BE=EF, ferner
AE=:EC nnbanc^
^ gC AEB = ^CEF, (i5> 6.) fo f|l auc^
5c; BAE = < FCE (4. ©. )
SRutt i|i aber 3C ACD > 9c ECF ( 9. ®n ) Da^er andäf
5C; ACD > jc BAC.
SInf Ä^nlic^e 2lrt fonn anc^ BC ^afbirt nnb beriefen n>er/
ben, baß ber ffiinfel BCG, bai ^eißt ber SBBinfel ACD,
(15* (3.) größer ali ber mnUl CBA ijl.
18
*
©et 17* © a !;•
Sn jebem Sreiecfe ftnb jebe }ioet 9BtnfeI ju^
fammettgenommen üetnet/ alö jiDet Siechte«
g« fei ABC (gig. i70 eitt flegeBeneö Drciecf , fo (crtb jebc
2i9ei SBinfel beffelbcn {ufammen {(einer, atö jwei Steckte«
93 e tt> e i g*
SQSeittt man bie ^z\it BG nacti D t)erlingert, fo tfi
3c:ACD>^ABC (16. ®0 ober
3c; ABC < 3c: ACD. Da ttutt
5: AGB = SC AGB , fo i|l auc^
3CABC + 3CACB<3c:ACD + 3cACB (4. ®rO
SrCeitt 3c:AGD + 3:AGB = 2R ( i3> ©Of ba^er auc^
je ABC + ^C AGB < 2 R.
Stuf sattj AEinlic^e, 3(rt tütrb bie Sel^aii))tmtg auc^ ))on
3CBAC + 3: AGB «ttb »Ott
5c: GAB + sc ABC bemiefeit^
©er 18* © a !♦
«e^rfag* '
3n jebem Dr^iecfe fte^t ber gr6flertt ^t'xH auc^
ber griflere SBittfel gegen&ber*
(£« fei vx bem Dreiecfe AGB (gig. 180 bie Seite AG>
AB/ fo ifl aud^ ber äBinfel ABC großer al« t)er äBinfel AGB.
S3 e tt> e i d*
Da AC>AB, fo ttel^me xxml AD=AB (3. ©•) unb jie^e
BD, »obur* 3cADB = 5cABD ip^ (6. ©O Sttun ip aber
attc^ jCADB > AGB ( 16* ©• ) , ba^er
5:ABD>ACB. Sltteitt
3CABG>ABD, folglich xtxx fo me^r
3;ABC>3CACB.
19
O e r 19. (S a |.
8 e M f $.
Sit jebem Drelerfe fle^t bcm flrjgerit aßfitfel
attc^ bie größere ©eite flegeniificr.
di ferin bem Brcitde ABC (gfig, 19;) jer aöfttfel
ABC > 3c; BGA, fo i|l aud) bte ©eite AC>AB.
9) e tt> e i ö.
SBdre bfc ©eile AC tjic^t Qti$nal$ AB , f© maßte etitweber
AG = AB ober
AC < AB fe^jt/ 3m erffen gotte »Are and) 3C ABC
=3CACB C5. ©.) Unb im jweiteit goße mfiftc 3cABC<
3c; AGB fe^n (18.©.)/ mldjei Uibti ber STnnaJimc, baS
3CAB03CACB in, »ibetft)ri(^t.
8 c M f « e.
Stt jeb,em.Dreie(fe finb it j»e{©eiten attfammen«
genommen großer, ali bie britte.
€e fei cgtg: 20.) ABC ba« flegetene ©reied, fo ffnb je
jttei ©eiten bejfeften aufammengcnommen flrif er, ali bie britte.
85 c tt> e i «.
aSenn man bie ©eite BA &Ut A »errdngert, AD=AC
mod^t nnb DG jiettt, fo ifl wegen
AD=AG nnn aüd)
X ACD = 3C ADC ( 5. ©. ) folglich
3CBCD>3CADC «nb bo^er awc^
BD>BG C19. ©.) (g« ijl a6er
BD=BA + AC, bttfter and)
BA + AC>BG.
3r«f d^nlt^e aftt wirb 6e»l«f«t/ baf AB + BC>AC nnb
bftßBC + CA>AB i|l.
20
D e t 21. © a 6*
SBetttt itoti ))ott ten dnbpnncttn einer ^retedFöi^
feite aniQtijtnit gerabe ginien ficft inner^^Ib fre*^
2)reierfd bur^fd^ncibert, fo finb fie gufammettflc*«
nommen ficiner, ali bie beiben öbriflen Seiten
it6 Dreietfö; 6ilben aber einen Qx6$txn aßinlel,
ali biefe*
(§ö feien an« ben ^nncten B nnb C (gig. aio ber 3)rei#
erfÄfeite BC bie «inien BD nnb CD gejogcn , mldjt inncrl)alb
be« jDreiedP« ABC \idj in D fdineiben, fo ip;BD + pc<BA.
+ AC nnb SC BDC > sc BAC.
S3 e n> e i d
SBBenn ntan bie ?inie BD bi« E miangert, fo i(l im Drei#
ecfe ABE
BA + AE >EB (HO* ®. ) Da nntt
EC = EC , f mnß anc^
BA + AC > BE + EC fe^m .
gerner ijl im Dreiecfe CDE
CE + ED>CD (ao* ©o Unb ba
DB = DB, fo ift anc^
CE + EB > CD + DB, folfllid^ tm fo me^r
BA +AC>CD + DB,
5ßje« nnn j^bdobec ci6: eo nnb -
^BEC>^BAC (16. @o fo ijl um fo weVt
, SCBDOäCBAC.
SD e t 22* © a !♦
31 n f g a b e.
$(ttd breigeraben Linien/ tt)el(l^e breien gege«
benen ein|eltl genommen gUit^, nnl? »Oüon je jwei
jttfammen grij^er aU bie britte finb^ tin Dreiecf
)ii bilbem
21
I
& fefen C^ifl. aao A, B tinb C bfe brei geflebettett
«inieit^ Unb ed fei A + B>C, ferner A + C > B unb B +
C > ^. Wlan foK mit biefen brei Qtiun ein X)reiecf bilben.
a u f I 6 f tt ii 9.
QRan gie^e eine gerabe ginie DE »on unbeflimmter Ün^t,
ite^m?DF = A, FG=B unb GH = C. SRun befc^reibe man
and F mit FD ben Ärei« DKL «nb and G mit GH ben Ärei«
HLK , jie^e fobann bie geraben Sinien KF unb KG , fo \fk
KGF toai »erlangte Dreierf,
S5 e tt) e i ft
i^ier ijl ridmlic^ FD=:Fk, unb GH = GK (15. $r«.)
25a aber FDm A unb GH = C, fo mu9 and)
FK = A unb
KG = C fe^tt* (1. ®rO
S?un ifl au* FG = B. Datier ffnb bie brei &cxttn hti Drei*
ccfd KGF tttt gegebenen Sinien A, B unb C, eingeln ge#
stemmen g(eic^.
© er 23* © a |*
aufgäbe*
Sin riner gegebenen geraben Stnie unb tintm in
tl)r gegebenen ^uncte einen gerablinigen SBinfel
ju bilben^ melc^er einem gegebenen g(eic|i ift.
dd fet AB (gig. a3.) bie gegebene gerabe ginie", A ber
in if)x gegebene ^unct unb DCE ber gegebene üBinfeL
' ^an foQ and A eine Sinie AF licliitn, n^eld^e mit AB beti
«ßinfel DCE bilbet.
auflifung.
' !D?an nef^me fon)ol^I auf C£ ali auf CD einen toiUf&ijt^
lid^en^unct D unb E, unb jiel)e DE. !RunbiIbe man ein
25rcierf AFG, worin AF=CD, AG==CE unb FG=:DE i|l
( 20. ©0 / fo tt>irb auc^ 3C FAG r= x DCE f e^n, ^
S e n> e i d. .
Sa in ben beiben Dreiecfen ECD unb GAP bie ßtiit
CE=: AG, ferner
GD = AF unb enblij^
r
22
ED = GF {fl ^ fo tm9 a»d)
j; ECD = X GAE fqjtt ( 8. @.)
2) e r 24, <S a 0»
8 c ^ r f <i 6» '
SOenn in jtoei Sr eiecf en bte jtoei (Seiten bti
efttett/ einsein genommen^ ben jwei Seiten beö
anbern gleich finb; aber bet t)on jenen eingefc^Iof^
fene ÜBinfel grißet, aH ber Don biefen gebilbete
iji/ fo i|i an^ bie britte @eitrbed erfien '^xtitdli
großer aU bie britte (Scitt bti anberm
di feien (^ig. 24.) BAC nnb EDF bie gegebenen Srei#
edPe, worin BA = ED, AC=DF nnb ^^BAO^EPF ijl,
fo mn^ and) BG >EF fc^m
35 e tt> e i «•
3)a 3:;BAC>3CEDF, fo uta*e man 3cEDG=BCBAC
C23*@o fo tt)ic awcfe DG-=AG = DF nnb aie^e bie iinUn
GE nnb GF. '
Da nnn l^ier AB = DE , ferner \
AC = DG nnb enblic^
JCBAC=:3CEDG, fo i(l Au*
EG =:EG (4* @.) SRnn ifl aber
DG = DF nnb ba t)er
jCDFGpxDGF (5* @.) folglich anc^
5:I>FG>3CEFG iinb bal^er nm fo nie^^r nod^
3;;EFG>3cEGF nnb alfo anc^
EG>EF (19, @0 ober
BC>EF.
® e r 25/ © a §♦
? e l) r f a t»
9Benn in itoti Dreiecfen in)ei Seiten bed einen,
einjeln genommen/ }n)eien (Seiten bzi anbern gleich
finb; aber bie btitte &titt be« erfien gr6ßcr i|l/
23
ali iit britte @eite hti anbztn, fo ifl and) ter
bicfer gröfern @eite 9egen&6erjle^enbe SDtnfel
9r6ger^ aU ber äBtnfel, tpelc^er ber flethern
(Seite gegenüberliegt.
. (&^ feien (gig- 25 ) ABC nnb DEF bte gmef J)refecfe,
worin AB z= DE, AG = DF unb BC > EF ifl, fo tnuf
3C:BAC>3C.EDF fepn^
S e n> e i d*
SBdre ^ier 5cBAC nic^t großer, ali 3C EDF, fo md^tt
enttoeber
! 3CBAG=:5c:EDF ober
^ äC BAC < ^ EDF fe^n.
3m erileren %aUt to&xt nun and) BCsEF (4. @«) itnb im
imiun ^aUt to&n BC < EF ( 34. e. ) loeld^eö beibed btr
annähme/ baß BC>EF ifl, loiberfprid^t
S) c r 26i © a $♦
8 e ^ r f a 6*
SSenn in jtoei Sreiecfen stt>(i SBinlel Veö einen,
cinjeln genommen, ixotitn 3Bin(e(n iti anbern
gleich finb> unb ti ifl noc^ eine &tiU bti einen
einer &titt beö anbern g(eict), fte mag an btn
gleid^en äBinfeln ober einem berfe(6en gegeniiber
liefen, fo finb and^ bit iibrigen (S^ittn in ben
betben ^r eiecfen, einjeln genommen, einattber
gfeid^, nnb ber britte SQinf ef beö einetf ifl bem
britten äQinfel be^ anbern gleich*
@ö feien (gig. 26.) ABC nnb DEF bie gwei 35reiedPe,
tt>orin X, ABC = 5c DEF, nnb ^ BGA =z= 5; EFD , anc^ fe{
für ben erflen %all
BC = EF, fo ifl aud^ AB = DE, AG = DF, unb ^BAC
= X. EDF.
8 e n> e t ö.
Ußdren bie Seiten AB unb DE unglejcl&, fo fei j. ».
AB>DE. .SWan ihqd^e GB=DE (3. ©.) unb ^ie^e GC.
24
«
®a mm fjUt BG = ED , ferner
BC = EF unb aiic^
^GBG = 3c:I>EF, fo ijj
3c:BGGz=3cEFD (4* @0 SRutt ijJ aber
. 3c; BGA = 5c; EFD ttac^ ber annähme,
^ foffllid) »Are 5: BGA = x. BGG , ipelc^e« nnmJglic^ iji (9e ®r. j
2)a nun ferner AB=ÜE «nb
BG = EF, enblic^ and)
^ ^ABG-^DEF, fo ifl
AC=DF unb
5:BAG = 3CEDF (4. ©.) @« fei nutt
für ben jiDetten %^ll
AB=DE, fo iflanc^ AG=DF, BG=EF«nb3CBAC=5c:EDF:
Senoe !«♦ '
jDenn ivenn BC nnb EF ung(eicl^ tvdren/ fo tnäfite eine
grjfer/ afö bie anbere unb ?• S5» BG > EF fepm '9Wan
ue^e ba^er BH=EF unb gie^e AH.
® a nun t)ier BH = EF , anc^
AB = DE unb enblicft
3;ABd = 5:DEF, fo i(l (4. ©J
3e;; BHA = ^ EFD. JWun war aber nac^ ber »n^
tia^me 3C BGA z= 5:; EFD ; ba^er »Are awc^ 5: BHA = ^ BGA,
welches mmiQÜdi ifl c 16. ®. )
Da nun auc^ BG = EF , ferner
AB = DE unb enbric^
^ABG = jcJ>EF> fo ip aut^
AG = DF unb
5CBAG = 3c;EDF(4, ©O
© e r 27. © a |.
ße^ffafe.
SBenn ^ixoti gerabe Sinien fjo t)on einer britten
gefdinitten tDerben, baf bie '^e(^fe[n>tnfel ein#
anber gleich finb/ fo muffen bie jmei geraben.Si'nien
mit rinanber })araUeI fe^n.
25
6* »erben bie jwei geraben Linien AB itnb CD (gtg. 117.)
t)on ber brittcn EF fo gefc^nttten, baß bie fflec^felminfcVAEF
unb EFD einanber gleich flnb^ fo muß AB mit CD paraUel feym
S e n) e i «.
SDSdre AB ttic^t mit CD paraKe(/ fo^ müßten ffe, nac^' einer
(Seite ^tn genugfam »erldngert , einmal }ufamm'en(aufen« ®e^
fegt; bieß g€fct}ei^e in G, fo entfidnbe ein Dreiecf EFG, in
welchem ^ AEF > ^ EFD »dre ( i6* S. ) , »eld^e« ber «n^
na^me, baß 5; AEF = je: EFD ifl, »iberfpric^t.
Sluf d^nlic^e S(rt n)irb gejeigt, b^ß bie gerabeit Sinien
BA unb DC , wenn ffe aber A unb C t>^rldngert loerben/ ftc^
aud^ ^ier ixit burc^fc^neiben f6nnen.
iD c r 28. © a §♦
. «eMfae.
SBenn jn^ei gerabe Sinien fo t)on einer britten
gefc^nitten n)erben/ \iOi^ ber duffere SQinfel feinem
innern^ an einerlei Qz\Xz (iegenben ®egenn)inf^[
gleid) ifl, ober>baß \i\z beiben innern, an einerlei
QtxXz liegenben UÖinfel gufammen gmeien Steckten
gleich finb/ fo möffen bie jmei geraben Sinien aud^
t^arallel fepn«
(50 »erben "txt j»ei geraben Sinien AB nnb CD (gig. 28.)
fo >5on ber britten EF gefdjnitten, baß ber duffere «Binfel EGB
feinem innem GHD gleich i(l, ober baß bie beiben innern
SBBinf el BGH nnb GED gufammen gwei 9{ecl;te betragen ^ fo i|l
AB mW CD paraUel^
25 e » e i «♦
I. Da nac^ ber annähme 5c EGB = je: GHD
unb auc^i JCEGB== ^ AGHj: 15. S. ) ,
fo i|l ( 1. @r. ) X AGH =± $; GHD nnb e« muß
bie 8inie AB m\X CD parattel fepn ( 27. ©aß^ >
> II. 2)a nac^ ber Slnna^me
^ BGH + 3c: GHD = 2R / nnb m^
^AGH + jc:BGH = 2R (13. @O/f0 i(t aue^
3CBGH + 3C^HD = äCAGH + 5:BGH(l,®r.)
26
Da nun jcB^H=|c5GH^ fo i|l
5c; AGH = 5C GtHD c 3^ ®r. )
ütib ti m\i9 iafjit AB mit CD ^axaM fepn (27* @0 .
© c r 29* (S a $•
« c ^ r f a $.
SQSenn gtoei gleic^Iaufenbe Stntett k)on einet btiU
ten geraben Sinie gefc^nitten n>erben/ fo finb bie
l^ierburc^ etttflet|enben üBec^f el n> tnf el eittanbet
g(eic^; and) ifl ber ditffere feinem innern ®egen^
n>infel gleich, nnb bie beiben innern, an einerlei
Qtitt liegenben Eintel finb jnfammengenommett
itotitn Steckten gleich*
(S^ feien bie Sinien AB nnb CD (^tg« 290/ totldit )oon
ber brittenxEF in G nnb H gefdjnitten n)erben> mit einanber
paraKel, fo ifl 5:AGH = 3c:GHD, ferner
5; E Gß = 5c; GHD nnb enbli*
je BGH + 5c; GHD = aR.
S5 e tt> e i «/
I. SBenn 3C AGH nnb x, ^^^ nic^t nnter fid) gleich »iren/
fo fei i. S5.
X, AOH > 5c; GHD. Da nnn
jCBGH =5c:BGH, fo m&^tt aucfr
5CAGH + 5c;ßGH>5c;GHD + 5c:ß^Hfe9n (4/®rO
Jßnn iji aber 5c; AGH + 5c; BGH =2R (13. ©O Dal^er todre
5C: GHD + 5C BGH < aR, nnb bie ginien AB nnb CD m&^un ,
gehörig t)erldngert/ einmal {ufammcntrejfen (ii. ®r.) nnb
ludren baljer nic^t mit einanber paxaUtl (35« @rf(.)/ totldjti
ber Slnna^me, baß jte gleic^Iaufenbe finb/ tt>iberf))ric^t.
IL Da l^ier ^ AGH z= 5:; GHD nnb and) '
5c: AGH = 5c; EGB (i5> ©. ) , fo muß onc^
5C EGB =^ 5c GHD fe^n ( 1- ®r.)
IIL '^Oa ferner 5c; EGB = 5c GHD nnb ani*
5C:BGH = 5CBGH/ fo ifl ja. ®rO
3:;EGB + 5c:BGH = 3: GHD + 3: BGH-
27
»tttt iH aber JC EOB + jCBGH = aR ( i3> ©.)
goIflIic^a«c^3C^HD + 3c;B^H=z2R (i. @r.)
»
©er 3(X © a !♦
e e ^ r f a $.
3u)ei gerabe iinitttf welche mit ber n&mlic^ett
fcrttten geraben parallel ftnb/ m&ffett auc^ unter
fic^ feI6|l gletc^Iaufenb fe^n.
@d fei ( gig« 30. ) fotoo^I bie gerabe AB , ali andf bie
flerabe CD mit ber getaben EF poraHel, fo ijl andj AB mit
CD gtcic^Iaufenb,
S e tx> e { ö«
SDBenn bie brei Sfnien AB/EF unb CD tjon ber brüten MN
gefd^nitten tperben/ fo tfl, n)et( AB unb £F gleid^Iaufenb ftnb/
3C:AGH = 5c;^HF (29. ©O
iWtttt ifl aber auc^, mit EF mit CD paraKel ijl,
3C: CHF = 3C GRD (W- ©O
Da^er muß aud) 5; AGH = 5; <^KD (i. @rO unb folglid^ AB
mit CD paraßel fe^n ( 27. ©• )
© e r 31^ © a §♦
$( u f g a % e.
©urc^ einen gegebenen ^uitct eine gerabe Unit
{u gießen, n>elc^e mit einer gegebenen geraben
gleic^Iaufenb ijt.
di fei A c^tg. 310 ber gegebene ^unct, BC bie gegebene
gerabe iSinie / unb man foK burd^ A tixit mit BG gleid^Iaufenbe
bilbeit«
Sluflifung*
Wlan nel^me in BC ben toiUtüffxlid^m ^nnct D, jie^e AD
unb lege an A ben aöinfel DAE , welcher bem SÖinfer ADC
gleicf; ifl (23. ©0/ t)ann t^erldngere man bie EA nac^ F tjin*
93 e n) e f 6;
Da ^icr nac^ ber 6on jlruction 5c EAD = x ADC i(l, fo
mu9 aud) bie gerabe EF mit ber geraben BC parallel fe^n (a7. @0
28
©er 32. © fi §♦
? e ^ r f a g.
SBenn man bte @eite tint6 IDreiecTd verl&tigert,
fo iß jber SIuffeniDtnfcl fo grof / ali feine jwei
innere ®egenu>in{e( {ufammengenommen. ^n,d) ftnb
bie brei innern SQinfel beö Z)reiecf ö jnfammen
{weien Steckten gleich«
$d fei ABC (gig. 320 bag gegebene Iireied unb BC mdi
D öerfdngert, fo ifl 3C ACD = 5c;CAB + 5:; ABC. gcrner i|l
and) 3C ABC + 5c; BGA + 5c CAB = 2 R.
S5 e » e i ^*
L SBenn man burc^ C bie Sinie C£ mit BA gleic^Ianfenb
jie^t ( 31. @0 , fo ifl
5CBAC = 3c:ACE (M. ©.) «nb ferner
^ ABC=;=jCECD (2 9.®0/ ba^er aud^^
5c:BAC + 3c;ABC = ^ACE+5c;ECD. *3ltteitt
^ ACE + ^ECD = ^ACD> Da^er and)
^^BAC + 5C ABC z= ^ ACD ( % ®r. )
II. Da l^ier d: B AC + ^ ABG^ ^ ACD , and)
jCACBzrjcACB, f o ifl aud^
3CBAC + 5c; ABC + 5c; ACB = 5C ACD + JCACB.
i2. ®rO aaein 5cACD+3CACB = aR (13. ©.) Da^er
anc^^BAC + 5c;ABC + $:ACB = 3ji ci* ®rO
© e r 33. © a |/
8 e ft r f a ۥ
SQenn jmef gerabe Sinien nnter fid^ gleich unb
paxalUl \int , fo finb auc^ jene gerabe Sinien,
Moelc^e i^re @nbpuncte an einerlei j@eite t^erbinben,
einanber gleich unb paradeL
@^ feien (^tg. 33.) bie Linien BA unb DC einanber gleich
unb pavaM , fo ftnb auc^ bie S3er6inbung${inien BD unb AC
einanber g(eicl^ unb |)aral{e(*
S3 e tt) e i d*
9Benn man bie gerabe BC jie^t/ fo ifl/ M>eitBA mirDC
gleic^Iaufenb tft/
29
3C ABC = 3C BCD ( 29. S. ) Äa tttttt
AB = DC tinb andi
' BC = BC , fo mn^
AC=DBmib
5:;ACB = 5CDBC fe^tt (4. ©0 Da^et, ifl.aue^
AC mit BD flteic^Iaufenb (27. ©O
© e r 34» © a §.
? e b r f a 6.
3n jebem ^aradelogYamme finb bie ge'genäSer^
llf^enben ©eiten unb bie gegenä6er{le^enben 28in#
fei einanber gleich* SIuc^ tDiirb baffelbe Dott ber
diagonale Ifalbixt
e« fei (S^'fl» 34.) BACD bai ^axaMo^tamm «itb BC
fcitic 35itt8onaIe , fo ifl BA = DC ,. BD = AC , 5: DBA = 3c
DC A , 5:; BDC = 3C B A.C , unb A ABC = A BCD.
18 t tu t ii.
h Xia fomo^l AB mit CD, aü and) BD mit AC pataM
ijl, fo muß
5;ABC = 5;BCD ttttb
. 3CACBz=5CGBp fe^m (29* ©O
Kutt ijl aitd^ BC = BC, baljer
AB = CD (26- ©O
AC=BD unb
5c;BAC = 3cBDC.
^ä) ift, mil 3cA3C = ^BCD unb
gC:CBD = ^ACB; itu
3: ABC + 3CCBD5=3CßCD + XACß (2. ®r.)
golflli* 5:ABD = 5:ACD. -
II. Da ferner AB=CD, bann
BC=BC, unbenblic^
3C:ABC = ^BCD; fo ifl aud)
A ABC = A CBD (4. ©0
3Ö
« e ^ t f a e*
SQentt Parallelogramme auf einerTet ©runblittte
itnb jiptfc^en einerlei ^araHellinien fie^en^ fo finb
fie einanber g(eici^.
(?d feien bie ^araaefogramme Cgifl. 35.) ADCD nnb EFCB
auf ber ndmlic^en ©runblinie BG nnb 2n)tfc^en ben n&mlicben
parallelen AF nnb BG , fo iji tai ^arattelogramm ADGB bet^
^araßeloflramme EFCB glcic^.
S e n) e i g«
Sixtx t|l BG=AD, ferner
BC=:EF (34> ©•) ^olgltc^
AD = EF(i. ®n) Tbamn
DE = DE,foi(l
AEm DF ( % @r. ) Kutt ift ferner
AB = DC (34. ©O nnb
3C FAB = ^ FDG ( 29. ©♦ ) Da^er
A ABE = A JDCF C4. ©O SJa nurt
AEDG = AEDG, f o tt)irb
ABGD = EGGF (3. ®r.), e8 ijl aber
A GBG = A GBG , forglic^ auc^
ABGD = EBGF ( % ®r. )
© e r 36. © a §♦
? e ^ r f a !•
9)araHeIogramme, »elc^e auf flleid^en ©rnnb^
Itnien nnb iYo\\&jzn einerlei parallelen ilel^en,
finb einanber gleic^^
di feien bie ^arafferogramme (^ig. 36.) ABGD nnb EFGH
auf gleichen ©rnnblinien BG nnb FG, nnb jioife^en ben ^aral#
Wen AH nnb BG, fo finb biefe gtoei ^araßerogramme einanber
gleich«
55 e tt) e j «•
SDSenn man bie Sinien B£ nnb GH jte^t, fo ifl
31
BC=FGauc^
i FG = EH ( 34. @0 Ba^et betttt
I BCbzEH (\1. ®r.)
IDa nm auc^ BC mit £H gfctc^Iaufenb ffl / fo tnttg and)
EB bcr CH flleic^ iittb paraffel fcpti ( 33. ©♦ ) Da^cr t|l
EHGB ein ^araDelogromm , uttb
ABGDrziEBCH (35* ®0/ öKem
EFGH=EBCH ( 35. ©.) 2)al)er
AßCD = EFGH ( 1. @r. ) V
© c r 37, © a §♦
i
^ « e ^ r f $•
9Qenn jtDet I^retecfe auf einerlei (Srunblinie
, itttb jtDifd^en eittetlei parallelen fielen/ fo finb f(e
einanber gleich«
Sd feien (gi8»370 bie ©reiede ABC unb DBG auf eincrfei
@runbltnie BG unb }tt){fc^en einerlei parallelen AD unb BG,
fo ijl AABC = AI>BC.
S e tt) e i «/
SBenn man bie gerabe AD ä6er A unb D Derl&ngert, burd^
B bie BE mit CA unb burc^ C bie CF mit BD paraBel iief)t
(31. ©O/ fo ffnb bie ^araffelogramme EBCA unb DßCF
einanber gleid^ (35. ©♦)• 9^«« i(l aber aiic^ Dreiect ABC
bie jpdlfte bed ^araKelogrammö EACß unb ba« Dreied DBG
bie ^dlfte be« 5)aratteIogramm« DBCF (34. ®.)v folglich
m&ffen aud^ biefe «Dreiecfe einanber gleich fe^n. ( 7. ®r. )
© c r 38. (S a !♦
^ ?e^rfa$. f
I SQenn lYoti ^Dreiede auf gleichen ©runblinien
unb 2tt)if(^en einerlei ^aradeflinien fle^eu/ fofinb
f|e einanber gleich. .
<Si feien ( gig. 38. ) bie 2)reiede ABC unb DEF auf bcn
gleichen ©runblinien BC unb EF, aud^ itüifc^en einerlei ViataU
lefen AD unb BF , fo i|t A ABC = A DEF.
32
^ t to t i i.
SQetttt man bte AD &6er A unb D t^erl&ttgerf/ burc^ B tte
BG mit CA itnb burc^ F bie FH mit ED paxaM iUijt (31. ©0/
fo ftnb bie Parallelogramme GBCA unb DEFH einanber g(ei^
C36- ©.). 5Rutt ip aber bad ireiccf ABC bit ipdJfte öon GACB
itnb ba«Drei.ccf DEF bie ^&lfu »on DHFE (34. ©.)/ folglich
ijl ouc^. A ABC = A DEF ( 7. ®r. )
©er 39. ® a §♦
S e ^ r f a $.
SQenn iwti gleiche IDretecfe nad) ber n&mlid^^n
&citt auf einerlei ®runblinie flehen/ fo finb ft?
andf jtt>ifc^en einerlei ^arollelen.
& feien bie gleichen Dreiecfe (gig. 39.) ABC unb DBC
auf einerlei ©runblinie $C unb auf einerlei Seite t)on ber«
felBen, fo muß bie ?inie AD, ipclc^e i^re ©pigen üerbinbet^
mit BC paraßel feiin.
S5 e tt) e i 8.
SDBenn bie 8inie AD nic^t parallel mit BC i(l, fo mu9 eine
öubere burc^ A gejbgene mit BC gleict)[aufenb feij«. 2Bdrc
nun AE biefc mit BC parallele ?inie, fo müpt, toznn EC
gejogen wirb,
AABC = AEBC fep (37.©.}
SRun {(l aber AABC==aDBC nac^ ber Slnna^me, foIgKc^
todre A DBC = a EBC , mldjti unm6glic^ ijl (9. @r.)
©er 4a © a !♦
S e 1^ r f a $.
SBenn gleidje IDreiecfe auf gleichen ©ruttblinieit
flehen unb auf einerlei ©eite berfelbeu (iegen, fo
tfi bie SSerbinbung^Iinie i^rer ©p igen parallel mit
ben ©runbfinien..
(S^ feien (5ig-/4o.) bie gleichen DreiecTe ABC unb DCE
auf ben gleichen ©runblinien BC unb CE , anäj *auf einerlei
33
*
eette t>oti berfcKett/ fo ntitf bie !Bev(ihbttttflönn{e AD mit BE
parafiel fq^m
» e » e { «.
2Betin bie AD itid^t mit BE paraffer Xbhxtp fo fei AF mit
BE greic^Jaufenb. 3i^l)t vxqlix min FE , fo mAre
AABC = AFCE (38* @.) SlUetn e« tfl auc^
A ABC = AJ555-"^^ *^^ annähme, folglidj wdre
ADCE=A FCE (!• ®rOr tt>eld^e« n>iberf|>re(^ettb i|i (9* ®r.)
© e r 41^ © a |.
8 e ^ r f a 6»
SQettn eilt Parallelogramm mit einem Creiecfe
ottf einerlei ©runblinie ße^t^ unb beibe in einerlei
parallelen liegen/ fo iß ba^ ^aratlHogramm baS
Sop|)eIte beö ^reiedö.
e^ fei (gig* 41O ba« ^araHerogramm ABCD mitbcm Dreif
f de feÖC auf einerlei ©runbRnie BC , nnb bie ?inie ADE fei
))araM mitBC, foijl baö^araUelogramm ABGDbaf ;Do})peIte
b.e8 Breiecfg EBC.
85 e » e i «.
SBenn m^n \i\t Diagonale AG }iet|t/fo ifl
A ABC = A EBC ( 37- ® . ) Kutt i|i aber
ABCD = aA ABC (34* ©O Da^er mnß and^
ABCD=z=2AEBC fe^m
© e r 42» © a §♦
S( u f 8 a b_e.
<E^ iji ein'Sreied gegeben, nnb m^n foll ein ^a^
rallelogramm bilben t)on einem gegebenen^ äQinfel/
toeli^e« jenem Dreiecfe gleich \%
(Sd fei (gig* 420*ABC ba* gegebene Dreiecf «nb D ber
gegebene SBinfcf* \ 9Ran foS ein ^araDe(ogramm bifben, meb
d^ed \>tvx gegebenen Drekcfe gleid^ iß nnb roorin ftc^ ber 3Binf et
b befinbet. '
anflifung*
STOan ^albire BC in E (10, ®o «nb jieljebie AE, fefte Ij^ieranf
att E ben ÜBinfel CEF=3CD (M. S.) nnb %\t\^t bnrci^ A bie
3
34
AG mit BC uttb tutiSj C bie CG tnit FE paraM (31. @.),
fo tfl FECG b(rt »erlangte ^araDelogramm*
8 e tt) e < «•
i5)ier ifl A ABE = A AEC ( 3a. ®. ) , f offlHc^
A ABC = a A AEC. SlBeftt e« ifl
FECG = aAAEC (Al. ©.)/ forglid^
A ABC = FECG (6. ®rO
© e r 43* @ a ^*
8 e ^ r f a ©.
3n jebem ^Aradclo gtamme fitib bie $rgdtt{#
itngett ber um bie X)tagpnale liegenben ^aradelo^
gramme einanber gleich«
di fei ($tg. 43.) ABCO iai gegebene Parallelogramm itnb
AC feine Z)iagona(e , itm tücldjt bie Parallelogramme EH unb
GF liegen/ bereu (Srgdnjungen BK unbKD finb, fo ifiBK=&D.
S3 e n) e i «.
Da A ABC = A CAD ( 34. ©. ) unb ebenfo
AAEK =AAHK, fp ijl ,
EKCB=KHDC (3. ®r.) Kun ifl aber
A KGC = A KCF ( 34. ®. ) Da^er mu$
BK=KD fepn (3. ®rO .
• \
© et 44» © a $•
9( tt f g ä b e*
afuf einer gegebenen geraben Sinie ein ^aralfelo^
gramm }U bilbeu/ n>e(d)e^ einem gegebenen X)rei#
ecfe gleich ift unb n)orin fic^ tin gegebener üBinfel
befiitbet
' a^ fei AB (gig. 44.) bie gegebene ginie, C ba« gegebene
Dreied unb D ber gegebene 9BinfeL SBlan foU auf AB unter
bem SQinf el t) ein ^araKefogramm bilben , totld^ti bem 2)rei#
ecfe C gleich iß.
«uflÄfung.
gRan bilbe ein ^ar<iKeIogramm BEFG= A C (45. ®.) fo,
baf x£BGz=:3c:I> iß/ unb lege baffelbe fo an bie gegebene
35
Jmic AB, baß AB unb BE eilte ettijfge getabe.?inie Bifbe«.
»uit jic^e man burc^ A bie AH mit EF paraffel C3l. ©.)/
Widngere FG iii H, iinb jtel)e HB, fo ift 5CAHF + EFH
=:2R (M. ©.) Da^er5CBHF + 3CEFH<2R, unb bie
(inten HB unb FE mäffen über B unb £ ^inl&ngltc^ üerl&ngert
einmal jurautmentreffen ( li* ®r. ) äBenn bieg in K gefc^ie^t/
fo iie^e man burdi K bie KL mit FH parallel (31* ©.)/ fo
i|i HLKF ein ^aVaKeloflramm.
99 e n) e i 0.
* i&ier i(l in bem ^araßelogramme HLKF bie* ßinie KH
diagonale, um toeldje bie Parallelogramme AG unb ME liegen^
bcren Srgdnjungen LB unb BF jtnb. 3)afyer i(l nun LB = BP
(43. ©o ®Ö i(l abe r BF =z=AC, folglich awc^ -
LB=AC(1. ®r.)
2)a nnn 5: GBE = j: ABM = 5; D C15. ©♦)/ fo t(l au(||
3:abMss:5:;D.
© e r 45* © a 6*
21 tt f g a b e.
. SIBetitt eine gerablinige ^i^nx gegeben ip, fo foll
ein ^aradefogramm gebilbet werben, n>e(ct)e^ t^r
gleich ifi/ unb einen gegebenen SOinfel entt)dlt
@^ fei C^ig. 45.) ABCD bie gegebene gerablinfge ^tgur/
nnb E ber gegebene äBinfeL SSRan foO ein Parallelogramm
bilben, toel^ed ber ^ignr ABCD gleid^ ifl unb bin SBinfel
E ent^drt
Sfttfrifnng.
SWan jic^e DB unb mac^e unter Um aDBinfef HKF=:5:;E
ein ^araUefogramm FH , »eldied bem IDreiecfe ADB gleid) i(l
(4a. @.) I)ann bilbe'man auf GH ein Parallelogramm GM,
totl&iti Um X)reiecfe DBC gleid^ i(l , unb einen SBittfel GHM
=:5:E ent^dU (44. @0
S e n> e f $.
Ba 9C FKH = 3C E , unb ferner
^GHM=jcE , fo ifl anc^
SCOHMzzJCFKH (1. ®r.) 5Da «tttt ^
36
/
^GHK=jc^GHK, fö toixi and)
®a^er Iiegeti KH mh HM in einet geraben ?inie KM (24» @.)
Da nun FG mit KM gleic^Iaufenl) i(l, fo ^at man
3c: FGH = 3c GHM ( 29. @. ) Da ferner
3CLGH=3CLGH, fo iff aucf|
5: FGH + 3c:LGH = 3c;GrHM + 3CLGH=2R (29. ©O
Datier lit^tn and) FG unb GL in eiqer geraben ?inie FL (i4* ©O
Da nun ferner FK unb GH , fott)ie aucb GH unb LM tin^
anber gleich unb !paxaM ffnb (34. ©,)/ fo ijl auc^ FK bef
LM gleich unb parallel (30. @0 Da^er jinb aud) FL unb KM
gleich unb parallel (33. ©.)/ unb eö mn^ KFLM ein ^araßelo^
gramm feijn, worin 3CFK.M = 3[^E ijl.
Da cnblic^ FH =: a ABD„ unb ebenfo
GM=ADBC, fo muß auc^
RFLM=:ABCDi fe^U (2. ®r.)
© c r 46* (S a !•
Sl u f g a b e* .
(Si ifi eine gerabe Sinie gegeben, unb man foll
i^r Quabrat auf i^r bilben.
@ö fei AB (^ig. 46.) bie gegebene Sinie, unb e« foK ba$
£tuabrat t)on AB auf berfelben gebilbet toerbem
SlufUfung.
SKan erriete in A auf BA bie AC fenfrerfit (li."©0 unb
mac^e ADz=:AB. ©obann gie^e man burcfe D bie DE mit AB,
unb burc^ B bie BE mit AD paraKel ( 3i* ©. )
S3ett)eiö.
3lad) ber Sonjlruction i(i ADEB ein Parallelogramm/ folglid^
AB=DE (34. ©.) Slber e« i(l and) .
AB = AD, folglich i|l
AB=:AD=:tDE = EB uub ba« Parallelogramm
ADEB ijl gleidjfeitig. '
Da nnn AB unb DE parallel ftnb, fo i|l 5:; BAD + jc ADE
= a R ( 29. ®0 SlHein ti ip K BAD = R , folglich auc^
^ADE = R.
' \
57
2)a ititn in^^aralfefogrammen bic mtn&balUßtnhtn SQtnfel
eittanbtr glet* flnb (34* @0, fo id auc^ 3cABE=3c:BED
= R «ttb folglich ADEB auc^ wd^tipinfelig» Da^er muß ADEB
ein Quabrat fe^n (30» SrflO
, © e r 47* ® a !♦
S e ^ r f g.
Stt jebcm rec^ttt){nfengcn 2)re{ecfc ift ba« Qua^
brat^ totld}ti über ber^ bem rechten 3Qtn!eI enU
gcgettfle^cnbcn ©eitc befc^ricbeit wirb, fo groß,
aU bie beiben Duabrate, tvelc^e t)on ben it^n eitt^
fd;Iießenben @eiUn gebilbet n>erben, gufaminen^
genommen»
ffi^ fei (gffl. 470 BAC ein rec^[ftt)infelige« I)reiecf, ttjorm
BAC = R, fo i|i baö Duabrat über BC fo groß, cA^ bie bei#
ben Duabrate fiber BA unb AC jufammengenommen.
S e tt) e i ö*
aSenn man fiber BC baö Duabrat BCED, ober BA ba«
Guabrat BAGF unb ober AC baö Duabrat ACkH befcbreiBt
C46* @0/ fo i(l 5CBAG=:3c:BAG = R uub bie Linien CA
atnb AG bilben eine gerabe ?inie CG ci4, <S0 Kun jie^e man
AD unb FC unb an^ A bie AL mit BD gteic^Iaufenb i3U ©♦)
^ier Tjl 5CDBC = 5: FBA ( lo. ®rO unb --
3CCBAj= 5c; CBA, ba^er
^ DBA = 3c FBC c ?• ®r. ) ferner i|l
ABzzrBF, au*
D B = BC, f orglic^
AABD=:^FBG (4* ©.)
Stun {p, weil AL mit BD unb GC mit FB gteid^Ionfenb fjl,
- BL=2A ABD (41. @0 «n» ^
GBZZ 2AFBG, ba^er auc^
BL=GB (6. ®rO
3ieJ&t man bie ?imen AE unb BK, fo wirb auf d^nlic^e
SIrt bewiefen, baß CL = CH i(l, baljer muß aucft
BL + CL = GB + CH fe^n* Mm '
BL+CL = BE, fo tglid) i|t
BE i£: GB + CIL
38
S) e r 48. <5 a- ^
? e ^ r f a $.
SQSentt in einem I^retecfe ba^ £lu abtat einer (Seite
fo groß ifl/ aU bie Duabrate ber ito^i anbern
Seiten {ufammengenommen ftttb, fo ifl b^rt)onbie^
fen anbern Seiten eingefc^Ioffene SQtnfel ein
aiecfcter*
(Sd fei in bem Dreiecf e BAC ( gig. 48 ) ba« Qnabrat Don
BC fo groß/ a(ö bie Quabrate pon BA nnb von AG jufammen^
genommen, fo i(l ber SBinfel BAC ein SRcctiter»
S e tt) e i ö.
^an errichte auf AG au^ A bie AD fenfrec^t / mac^e AD
.B nnb jiel^e DG , fo ifl
Ct. AD=Q. AB*). Da nun
Ct. AC=a. AG, fo m ng
Ct. AD + Q. AG = Ct. AB + O. AG fe^n ( 2. ®r-)
di ijl aber Cl AD + D. AG = Ct, DG (47. @0 nnb
Ct. AB + Ct. AG = Ct. BG na* ber Mmafime.
%olilid) G..DG = Ct. BC, nnb ba^er
DG = BG.
aia nun AD = AB , ferner
AG = AG nnb enbüc^
DG = BC , fo^ ifl
3Cl>AG = 3c:BAG (8. ©•) C« ifl aber
^ DAG = R , b al^er ai^d) ,
3C;BAG=:R.
*) S)ie SSeaeid^tinng £1. AD Gebeutet Ui üier AD befd^riebene i^uä:
br^t, unb fo Hi ben üiti^^n Sinien.
Sntt be^ erflen fBu^i.
/
S) a<
{weite IBu<4
t e e
S)iefed Su(6 ^attbelt ^on Jetten Sted^tecFett mtb Ouabraten,
»elc^e entfielen , n>enn eitte gerate Smie auf beßimmte Strt
iUf)eilt tptrb. Kud^ ber Ser8(eic^ung bte(er ^tgttren ge^t ritte
9teif)e tnerhofirbtger ®&$e ^ervor , tpelc^e tttit anbern dj^nlic^er
Üxt kidjt Derme^rt werbett f^tttttetu Gae i— 14«
MMMMka
-/
i
/
\
41
(Sttl&xun^tn beijmeiteri Sud^ed*
1. ^on UUm t^ttoinUHm DaraOelodtamnte (ober
Sled^teefe) fagt nian> e$ fet ani ben beiben geraben
Sittiett/ mid)t bcn redeten SBmfel einfc^Iiefen^ geStlbet
2. 3tt einem ^araUelogramme ^et^e jebed ber 6eiben um
ixt diagonale {^erumliegenben ^araUelogtamme ne(fi beu bei^
Im (&VQ&nimQtn ^ ein ©nemo m
i^f >.i i
£> e r !• (S a §♦
8 e ^ t f a 6. ^
9Benn toon gmef gegebenen geraben Linien bie
eine in beliebig )){ele Stbfc^nitte get^eilt tpirb, fo
ifi bad auö ben beiben ganjen hinten gebtibete
Stec^tecf ber @umme jener 9te;^tecfe gleid^/ totld^t
ani ber unget^eilten Sinie, unb ani jiebem ber Slb^
fd^nitte gebilbet nverbem
. a^ feien C^ig. 49) A unb £C iit gegebenen geraben Sinien,
and) fei bie £G in ben ^mtcttn D unb E tt)illfu^rlic^ get^eilt ,
fo iß ba^ fRtd^Ud aud A unb BC ber @umme ber Siec^tecfe
auö A unb BD, an^ A unb DE unb ouö E unb EG gleich*
(SInßatt atec^tecf tpirb fünftig immer tfttd)t gefegt)
S trw t i i.
äWan errichte auf CB avA B bie fcnf redete BF (I, ii. ©.)/
^mac^e BG = A , jte^e burc^ G bie GH gleidiraufenb mit BC
unb burc^i D, E unb C bie DK, EL^unb CH gleid^Iaufenb mit
BG ( I, 31* ©O fo i(i
42
BH = BK + DL + EH. »tttt ifl a6er
BH = 3ied)t auö GB unb BC, ferner
BK = 5Re(^t wA GB «nb BD, be^gleicftett
DL = 3lec^t. ^xA KD itnb DE unb enblic^
EH=5Wec^e. au« LE unb EC unl) e6 i|l '
LE = KD = GB = A (I. 34. ®0
golglic^ iß Stecht, au« A utib BC = Stecht oxA A unb BD4-
Sled^t au« A viVi\> DE + ERed^t. oxA A unb EC
© c r 2/ @ a 6»
8 e 1^ r f a 6*
Sßeutt eine gerabe Stute tu einem minf&^rlid^en
^uncte gefc^nitten wirb/ fo ftnb V\z jnoei Slec^fccfe^
an« ber ganzen Sinie unb jebem i^rer Slbfc^nitte
^ufamtnengenommeu/ bem Duabrate ber gaujen
?inie gletd).
SBenn (^ig. 50.) AB \Xi C »ittffi^tli* get^Feilt i(l, fo i(l
bie @umme bie SNec^tecfe au« BA unb AC, unb B£ unb BG beut
Ouabrate t)on AB gleic^.
© e tt) e i «.
aWan errichte fiter AB \^^% Qüabrat ABED (I, 46. ®.) unb
itel)e bur* C btc CF mi AD unb BE gleic^Iaufenb (I, 31. ©.)/
fo tjl ABED =r AF + GE. JRutt ifl aber
ABED = Quabr. »on AB , femer
AF = 3{e(*t (IVA DA unb AG, be«gretc^en
CE=i9?ec^t. au« FG unb GB, enbli^ wO)
FG = DA =;: AB , f oIgIid|
D. Don AB = Stectit. oxA BA unb AC + JRec^t au« ABr
unb BC.
©et 3* ® a !•
8 e ^ r f a $.
36enn eine gerabe Sinie ]tn einem n>inffil^rlicll^eti
|>uncte gefd^niUen wirb, fo ifl ba« Stec^tect au« ber
45
gattjen Zinic itnb tintm ber (etbett 3I6fc^ttttte htt
Summe an^ bem 3?e(ktecfe ber betben 3i6fc^nitte
ttnb bem Duabrate beö erftett Slbfdinttte^ gleich.
@ö fd AB cgtg. 51.) in C tt)ittfii^rrict) gcfc^mtten, fo i(l
bad Stec^tecf aud AB unb BG ber Summe aud bem Sied^tecte
))on AG unb GB uebjl bem Ouabrate t)ou BG gfetc^* .
S e n) e t «.
SKan erriete Aber BG bai Quabrat BGDE (I, 46. @0 tjer*
längere ED nac^ F unb jte^e burc^ A bie AF mit GD unb BE
jleid^Iaufenb (l, 3i* 60y fo ift
AE = AD + CE. Kutt ifl aber
AE '= 3?e(^t. aui FA unb AB ,
AD=:Me*r. aug FA unb AG,
G£ = Duabr. t)on BG unb enblic^
FA = DG = GB.
^olgHcl^ ifl [Rec^t. an^ AB unb BG = iRec^t aud AC unb CB
+ Öuabrat »on GB.
\ S) e r 4; (S fi §♦
S e 1^ r f a §.
^^nn eine gerabe Stute tu einem beHebtgen
^uncte gefc^nitteu tt>irb/ fo ijl bai Ciuabxat ^on
ber ganjen Stute ben £iuabraten ber befben Slb^
fc^nttte uebfi bem bcppetteu Siec^tecfe attö tiefen
Slbfc^nitten gleic^.
@« fei .C^ifl* 520 bie ?inic AB in C »iHfö^rlic^ flefrf^nitteu^
fo ifl Cluabrat k>on AB = Duabrat t>ou AG 4- Duabrat »Ott GB
+ a SRec^t. aui AB unb GB.
83 e tt) e i *.
3Wan errichte ober AB bai Qnabxat ABED (1, 46. @0/ Jietfe
feine Diagonale BD, unb burc^ G bie GF mit AD unb BE^
burc^'G aber bie HK mit AB unb DE pataM (I, 31. ©O
X>a nun GF mit AD ^jarattel t|l, fo ifl auc^ ^BGG = X
BDA (I , M. @.) äße« aber aud^ AD = AB, fo i|l äCB^A
= 3C ABD (I, 5. ©.) golflli* and) 3C BGC = X. ABI>
\ „
44
(I, 1. ®r.) urtb ba^cr BC = CG (I, 6. @.) «Ifo i(l bai
SSwrce! CK glcic^fcittg.
2)a itun and) CF paxaUcl mit BE ijl, fo i(i 3cKBC +5:;
GBG = 2R (I, 29* ©0 Kun tfl aber 3CKBC unb ba^er auc^
3CGBG = R (I, 34. @0 goIflUc^ i(l ba6 Sicrecf CK au*
rec^tn)tnfe(tg* £)a e^ auc^ flletc^fefttg tfl/ fo mn^ CK bad
Ö6er BG bcfc^riebenc Quabrat fe^n c h 30. @rf(. )
9uf t)oIIfommen &l)nlidit 3lre n)trb bemiefett^ baß HF
baÄ über HG=: AC befd^riebene Quabrat ijl.
Da nun AG = GE (I, 43. ©•) attem
AGzzrMec^t auö AC unb CG == Stecht. au8 ACu. Cß,
fo'ijlauc^GE=!»ec^t. fiu^ AC uub CB, unb folglich
AG + GE = 2 3ted)t and AG unb CB,» S«un toax aber
CKzrQuabr- CB unb
HF = Quabr* AG , auc^
ADEB =r Guabn AB.
gotglic^ ffl Quabr. AB = Quabr* AC + Quabr. CB + aSScc^t
t)ou AG unb CB.
3 tt f a &•
^terofud folgt/ baß in jebem Duabrate bie nm bie Stagonafe
liegenben Parallelogramme and) Quabrate finb«
© e r 5* @ a §.
? c ^ r f a g.
SBeutt eine gerabe ?inie in einem ^uncte gleid^
unb in einem anbern ^uncte ungleid) get^eilt mirb/
fo ijl baö Stecfjterf* au^ ben ungrctc^cn 3Ibfc^nitte«
nebfl tem Duabratc beö Slbfd^nitte^ jwife^en ben
S^eilpuncten in\ammcn bem Duabrate ber falben
8rnie gleich*
(&d fei bie gerabe AB (gtg. 63.) in C gleich, unb in D
ungleid) getl)eilt/ fo i(i baö 9iect|tcd au^ AD unb DB nebjl bem
Guabrate öon CD bem Quabrate »on CB gleich*
© e tt) e i g.
^an errid)te- fiber CB ba« Quabrat CBFE (I, 46. ©.)/
bejfen S)iagortafe BE ifl, jie{)e burdj D bie DHG mit CE unb
■'45
» *
BF; bttt* H bic KHM mit CB unb EF jtnb burd^ A bie AK. '
mit CE unb BF paraHel (1, 31. @0
Da «litt ^ter CH =z HF (i, 43* @0 «nb ^
. DM = DM , f o tfl
CM = DF Cl, 2. ®rO
Da aber AC = CB , fo ijl avi6:i
AL = CM ( 1 , 36. ®. ) fofglic^ a«c^
AL = DF (I, 1, ®r-) Da aber
. CH = CH, fo in
AH = @nom. JVOP itnb ba
LG z= LG, fo ijl auc^
AH + LG == CEFB.
SRutt ijl aber AH=:5Rcd)t. auö AD unb DHzzKed^t. a«« AD
öttb^DB, ferner ijl LG = Quabr. LH = Ciuabr. CD (li, 4*
3uf. ) ferner CEFB = Quabr. Don CB. Da^er ijl
SRecfet. . au« AD «nb DB + Quabr* CD = Quabr. CB.
© c r 6* ® a !♦
8'e ^rfag»
äBentt eine gerabe Sinie ()albtrt uitb biefelbe um
eine bejlimmte Sinie t)erldngert xoix\>, fo ijl tai
Stec^tecf/ n>el^e« avii ber Serl&ngerung nnb aud
ber ganjen nebjl ber SSerldttgerung gebilbet tpirb,
itebjl bem Duabrate ber falben Unit fo gro^, aU
ba« Quabrat arxi ber falben Sittie nebjl i^rer 93er^
Idltgerung»
S« fei (gig. 540 bie AB in C ^albirt unb aber B um bie
bejlimmte Sinie BD t)er{dngert/ fo ijl ba« Stec^tecf^u« AB
unb Bt) tiebjl bem Ouabrate Don CB bem Ctuabrate soon CD
gleid^.
S e tt) e i «♦
5Kan Mibe »ou CD ba8 Quabrat CDFE (I, 46. (ä.)/ beffett '
SDtagonale DE t|l^ jtt^e burd^ B bte BHG mit CE unb DF,
Durcb H bte MHK mit ad unb £F unb burd^ A bie AK mit
GE unb DF flfeitlilaufettb C 1,31. @.)
46
Da fitttt ^ier AG = CB uttb fofglic^
AL = GH (I, 36. ®0 aitx
GH = HF (I, 43* ©0 nni
AL = HF (I, 1. ®rO bann
CM = GM, fo tfl .
AM = ®ttok NOP; Da aber '
LG = LG, fo i(l
AM + LG = GEFD. mntt tft aber
AM = Sfted^U ani AD unb DM = SWec^t
an^ AD «nb DB
LG = Quabr. LH = Quabr* GB unb GEFD
= Zlixatv. GD ( II , /i. 3uf. )
golflli* tfl SWecIit. au« AD unb DB + Duabn GB = Quabn GD,
5D c r 7. (3 a §♦
8 e ^ r f a 6.
üBenn eine gerabe Sinte in einem noülf&^rltc^en
^itncte gefc^nitten n)irb^ fo finb bie Duabrate aud
ber ganjen Sinie unb ani einem i^rer 3lbfd)nitte
jufammen fo grog, aH ba^ boppe^te Sted^tecf au^
ber ganjen Sintt unb be'm ebenbemerften 9lbfd)nitte
ttebfl htm Duabrate be^ anbern Slbfc^nitte^ gufam^
men«
& fei bie ?inie BA (^ig. 55.) in G »iafii^rri* get^eilt,
fo ifi baö Duabrat ))on AB nebfi bem Duabrate Don BG bem
Sted^tecfe au^ AB unb BG nebfl bem Quabrate k)on AG g(eic^«
8 e tt) e t ^i
yjlan bifbe Aber AB ba« Duabrat ABED (I, 46. ©o^
jie^e bie Diagonale BD, burc^ G bie GN parallel mit BE unb
AD, unb burd? G bie FH mit BA unb ED gleic^laufenb
(I, 31. @.)
jpier i(l AG = GE (I, 43. @.) ba nun
GF = GF, fo ijl
AF = GE unb ba^er
AF + CE i= 2AF. .
.47
t
»tttt ifl aber AF + CE = Ottom KLM + CF: ' Zdfftt aud)
®nom. KLM+ CF = aAF; attcm
HN = HN, folfllic^
ADEB + CF = 2 AF + HN ; aUtitt ti i(l
ADEB = Qwabrat t)ott AB.
CF = Quabrat wn BC c n , 4. 3uf. ) ,
AF=S«ed)t aud AB unb BF=Kect)t. aui AB
unb BC uttb
HN = auabr* HG = Qttobr. AC (IJ, 4. 3«f*)
golgli* in Ouabr» AB + Duabr. ]BC = a SRec^t. »on AB unb
BC + Quabr* AC.
£) c r 8* ® a I*
? e 6 r f a |.
95enit eine gerabe Sinte in einem ^itncte roilU
fö^rlic^ gefc^nitten wirb, fo ifl bad Dierfac^e ^td^u
ed aud ber ganjen Sinie unb einem i^rer 9I6fci)nitte/
ne6|i bem Ouabrate bed anbern 3I6fc()nittd, }ufam^
men fo gro^ aU bad Duabrat einer Sinie^ n)e[cf)e
an^ ber ganjen unb bent erfien 9lbf cbnitte 6eße{)t
Sd fei bie iitdt AB ($tg. 56.) n>tllfäf|rltc^ in C gefd^nitteU/
fo ifl bai ^ierfac^e Siec^tecf aud AB unb BC, nebfi bem Dua^.
brate wn AC, gufammen fo gro^ a(d bad Quabrat »on AD =:
Aß + BC.
JB e tt) e t d.
I 3Benrt man bie ?inie AB über B Dert&ngert bid BD = BC,
fo ijl AD = AB + BC. 3lxm errid^te man über AD ba'd Dua^
brat ADFD (I, 46. ©.), jiel)e bie Diagonale DE, burc^ B unb
C bie BL unb CH paraBel mit DF unb AE unb burc^ K unb Q'
bie MN unb OP paraOef mit AD unb EF (1 , 31. ©O
I)a I)ier CB z=t BD unb
BC = GK :;= QR auc^
BD := KN = RP (I, 34. ©O fo i|l
GR=: KN unb QR = RP (I, ±. ®r.) ba^er
CK= BN unb GR = KP (I, .^6. ©•)
1
'48
Sa d6er CR =Kf (I, 43. @0< f» fhtb alle vier ^atraHelo«
gramme ctnanber gleich itnb GP=:4CK.
Do CB = BD «nb BD= BK. (II, 4. 3uf.) = CG CI, 34.
©. ) aud) CD =^ GK = GQ , fo tjl CG = GQ. di war aUt
auc^ QR=RP, folgltd) ift
AG = MQ unb QL = RF (I, 36. <S.)
(Sd t'fl aber im ^arallelogramnte ML bai Siec^tecf MQ =
9te(^t.QL(I, 4i.@.), folglich attc^ AG =RF. t)a^eriflAG =
MQ = QL = RF unb t^re 6umroe.=4AG, iröeittCP=4CK..
Z)a^er auc^ ©nom. SXV = 4AK., aber
OH = OH , folfllit^
AEFD rr Duabr. AD = 4 AK. + OH.
Mtin AK = 3tei*t. aui A-B unb BK. = ffttd^t. uni AB
unb BG unb
OH =r,Guabr. OQ = Ouabr. AC (II, 4. 3ttf.). foffll^ tft
4 fHi^t mi AÖ unb BC + Duabr. AC = Duobr. AD.
©et 9, • @ fl |,
8 c M f a 6*
SQettn eine gerabe Sinie in einem ^uncte gleic^.^
Itnb in einem anbern ungleich get^eilt n>irb^ fofinb
bie Ouabrate ber ungleichen 316fc^nitte {ufammen
fo gro^/ ali bie bop^elten Onabrate an^ ber f)aU
ben Sinie unb au^ bem 3(6fc^nttte jnoifc^en ben
SC^eilpuncten gufammem ^
(gö fei fgig. 57.) bie AB inC greijfe unb in D ungfeicft
get^eilt^ fo ifl ba^ Quattat t>on AD unb bad Duabrat von
DB jufammengenommen fo groß^ ali bie Summe ani bem
bopptlUn Ouabrate t)on AC unb bem boppelten Quabrate
»Ort CD.
S e tt) e t «*
^an erricfite auf AB au6 C bie CE fenfrec||t (I, ii* ©.)
mac^ie CE = CA=CB ^nb gief^e bie AE unb EB. auc^ jie^c
man t>nxdi D bie DF mit CE unb burc^i F bie FG mit BA
paxaM (I, 31. ©.) unb bie aSerbinbungöIinie AF.
49
5Da ^ler ^cACEirrR unb AC = CE, fo ift
3c; AEC = 1/2 R (I, 3a. n. s. 0. ) ttnb rtenfo
äCCEB = 3:CBE=:%R, ba^er ijl
5c:aeb=r.
IDa nun GF mit AB unb FD nttt EC gUic^faufenb , unb foIg#
lirfj 5::EGFr=:3:;FDB = 3c;ECB=iR (I, 29. ©0/ aud) 3c;
GEF=r5c:DßF = i/2R, fijifiauci)^EFG = 5c:DFB — 1/5R
(I, 3a. 6.)/ bafjer EG = GF unbFD = DB (I,«. 0.) Ca
Je ACE = R unb ACinCE, fo ijl Duabr. AE = a Quabr.
ACfl, 47;eo 1Ja5:EGF = RunbEGzzGF, fo i(l ba«
Duabt. EF = a Cluabr. GF (I, 47. ©• ) unb weil au(^ GF
= CD ( I, 34, ®o / fo ifl tai Quabn EF =- 1 Quabr. CD*
Da aber 5c AEF = R, fo ifl bad Quabt. AF = bem Duabr.
AE nebll bem Quabr. EF ( I, 47. ©. ) Kurt xoat ober ba6
Ouabr. AE = a/Duabr. AC unb ba« Duabr. EFäü Quabr.
Cd. Dal)er ifl bad Duabr. AF=ia Cluabr. AC +^ 2 Quabr.
CD. @d ifl aber, mit 3cFDA = R, bad Duabr. AF = bem
Duabr. AD + bem Duabr. DF, ober, »eil DF=:=DB, fo ifl
aud) bad Duabr. AF bem Duabr. AD nebfl bem Duabr. DB
gleich« 2>at)er ifl hai Duabr. AD nebfl %cm Duabr. DB sä
2 Duabr. AC 4- 2 Duabr. DC.
>
? e M f Ä 6*
SBenn etne gerabe fiittie ^albirt ttnb fn tl^rer
SSerldngerung eine anbere i^r angefe$t wirb, fo
ifl bad Duabrat ber aui ber g^njeu unb ber ati^^f
festen beflel)enbett Sinie/ nebfl bem Duabrdte ber
angefegtett/ fo gro^, <i(6 bai bopptlu Duabrof auö
ber falben/ nebfl bem boppeften Duabratt dui hit
falben unb ber angefe^ten Sinie.
@^ fei (gtg- 68.) bie AB in C ^albirt/. ttnb dn bfe bet#
Ungertf AB bie Sinie BD gefegt ^ fo iß ba« Duabrat wn A!>
*
50
+ bcm Qttatrore mu BD =: 2 dtttteof ms äC -f- 1 Cluobrat
wn CD.
S e tD e t d*
Wlan tttiditt ättf AB au^ C bte CE Icthrtd^t (I, ii« @.)/
inac^e C£ zr CA = CB unb iitljt A£ unb £B. 3ie^t man nun
burc^ £ bte £F mit AD utib tuxdi D bic DF mit C£ gleic^^
raufenb (I, 3l* ©.)/ fo tft-j; C£F + ^c EFD = 2 R
tl, 29. ©. ) gpiflii* ^ BEF + EFD < 2 R , unb ed mfiffcÄ
bie Sintrn £B unb FD über B unb D oerl&ngert einmal jufam^
mentrrfen (I, ii. ®rO 3Qcnn biep üt G gefc^ie^t, fo {ie^e
man AG.
Z)a 5C ACE = R unb AC = CE, fo ijl and)
X AEC = % R (I, 32. tt- 5* ©.) (gbenfo tfl
X CEB = SC CBE = 1/2 R. Dal^er aud^
X, AEB = R.
3lm ijl 5:I>B0 = 3C CBE (I, 15. SO iwb, tocil FG mit CE
8lci.*Iauf enb ip , au* 3C DGB = ^ CEB ( I, 29. 6- ) Dafecr
ijl ^ DBG = X, DGB = V2 R unb DB = DG (I, 6. ®.) 5Rutt
i|l 3c; ECI> = B ttwb EFD = ^c ECD. Da^er auc^ EF z= FG
(1, 32. u* 6. ©.)
Da nun 5c ACE = R unb AC=: CE, fo i(l baö Quabr. AE
= 2 Quabr. AC (I, 47. ©.) Da au* EFG = R unb EF
= FG , fo ifl ba« Quabr. EG = 2 Quabr. EF ( I, 47. ®. )
(g& i(l aber EF = CD (I, 34* ©.) Da^er Quabr. EG =
2 Duabr. tjon CD.
Da ferner 3C AEG = R , fo ip Guabr. AG = Quabr. AE
+ Qnaör. oon EG (I, 47. ©.) (So »ar aber Quabr. AE
= 2 Quabr. AC unb Quabr. EG =2 Quabr. CD; golgli* ifl
Qüabr. AG = 2 Quabr. AC + 2 Quabr. CD.
(gd ifl, aber, »eil 3cADG=R au* Quabr. AG = Quabr.
AD + Quabr. DG (I, 47. ®.) Mein DG = BD, folgli*
Qnabr. AG = Quabr. AD + Quabr. BD unb ba^er benit
Quabr. AD + Quabr. BD = 2 Quabr. AC + 2 Quabr. CD.
&> e r 11« (S a ^.
9[ tt f g a 6 e.
@tne gegebene gerabe Stnfe fo ju t^edett/ ba0
ba6 SRecbtecF ani bet ganjen Sinie unb einem ^6^
fAnttte bem Duabrate tti anbern Slbfc^nittd
flleid) ijl.
@d fei (gig. 590 AB bie gegebene «inie, fo foß biefelbe in
H fo getbeift toerben , baß iai Stec^tecf an^ AB itnb BH bem
Duabrate t>on AH gleich i%
81 u f I 6 f it tt g.
man bilbe fiSer AB baö Quabrat ABDC (I, 46^ ©•) f^aU
bire AC in E (I, lo. ©o, jie^e BE, Derldngere CA nadf
F biii EF = EB, bilbe über AF ba« Duabrat AFGH unb üer#
I&ngere GH biö K, fo ifl bie ginie AB im ^uncte H auf bie
verlangte SIrt get^eilt ,
SB e tt) e { ^.
iwi CEsrEA ifl unb CA bid F üerlAngert lourbe, fo ifl
9led)t. aud CF unb FA + Duabr, AE=Quabr. EF (II, 6. @.)
= Duabr* EB, weil EF=:EB. 5Run ift, toeif 5:BAE = R,
Öuabr. EB = Ctuabr. AB + Ouabr. AE (I, 47. ©•) golglic^
r au* Quabr. AB + Duabn AE = 3ted)t m^ CF unb FA
+ Ouabr. AE (I, i. ®r.) SBirb nun beibrtfettd t>ai Clua#
brat oon AE weggenommen / fo bleibt füttdit aud CF unb FA
= Quabr. AB (I, 3. ®r.) ober FK = AD. Wimmt man
beiberfeü« HG weg/ fo ijl au* FH = HD; attein ed ifl FH
ba^ Ctuabrol aber HA unb HD baö Dted^tecf quo DB unb BH,
ober aud) an& AB unb BH, weil DB=:AB; fofglicfe ifl JRec^t^
etf ani AB unb BH =; Quabrat über AH.
© e r 12. <S a ^» .
« e M f a $•
3« jebem flumpfwi^nfeligen 2)re{erfe Äbettrtfft
iai Duabrat ber^ bem ^umpftn SQinfel Qt^tnühtt^
\
I
X
>-.
52
{ie.genben 6ette bie Beiben Ctuabrate bert^n ein^
fc^Hegenben @etfen jtifammengenommeit; um bai
bo}>peIte Dtedjled an^ einer biefer ©eiten unb anö
ber i^r in toerldngerter Dlic^tung angefe^en Sinie
Dorn (lumpfen SK}infe( bi^ ju bem iottjc, xo£ld)ti
man auf fie t)on tl}rent ®egenn)tnfe(-^era6}ie^t.
SBenü (gifl- 60/) GAB bad (iumpfwinfeftge Dreiecf unb
vBAC ber (lumpfe aßinfel, öu* ED Da^ ?ctl) i(i, »erdjed
t)on B auf bte t)erldngerte CA gejogen toitt, fo ifi ba^ Dua#
brat Don CB = bem Duabrate t)ott CA + Quabrat t)on AB
+ aSRedjL aud CA unb AD.
S e w e t «.
Da bte ?inie CD in A mmif)YUd) Qttf)dU i^, 'fo ^at man
Duabr, CD = Duabr. CA + Ctuabr. AD + 2 Stecht an^ CA
iihb AD (II, 4. ©0 ©e|t pan nun beiberfeitd ba6 Duabrat
von BD l)inju , fo ifi Quabr. CD + Quabr. DB = Quabr.
CA + Quabr. AD + Quabr. DB . + 2 3?ed)t. au^ CA unb
AD (I, 2. Or.) )• Da nun ber ffiinfef bei D ein D?ed)ter ifl,
fo ijat man Quabr. CD + Quöbn DB = Quabr. CB (I, 47.
©.) unb ebenfo Duabr. AD + Ctuabr. DB = Quabr. Aß.
Da^er t(l nun Quabr. CB = Quabr» CA + Quabr. AB +
3 9te(^t. ani CA unb AD.
Der 13. © a $♦
ße^fa*.
3n jebem fpi^notnfeligtn Dreie^cfe tDtrb baS
Quabrat ber, einem fpi^en SOSinfel gegen&ber^
liegenben Seite t)on ben Quabraten ber xf)n ein^
fd)(ie^enben Seiten sufammengenommen unt bad
boppelte atecbtecf fibertroffen, toelcbeö aüd einer
ber einfd)(ieeenben Bzittn unb jenem 9Ibfd}nitte
t>on iijx gebilbet wirb, ber jmifc^en bem fpi^en
SBinfel unbeintm Sot^-e liegt, welc^ed üom gegen*
Äberfiegenben tIBinfelpuncte auf fie gejogen wirb.
53
& fei ABC (gtg. 61.) \>ai fpt$tt)mfrHge 1}reucr unb AD
ba6 Doit A auf BG gejcgene Sot^, fo i(l ba^ Ouabr. ton
CB + Duabr» Don AB = a Stecht ani GB unb BD + Ouabr.
Wtt AG.
S e n) e { d
2)a bte imit GB in D n)tafät)r(tc^ Sff4)ntüen iil , fo tfi
Duabr. CB + Quabr. DB = 2 SRed)tecf an^ CB unb BD +
Cluabr. DG (II, 7. ©.) 2Birb beibcrfcit^ bad Quabr. AD
jugefe^t, fo i(l Duabr. CB + Quabr. BD +. Quabr. AD =
a 5Re*t. aud CB unb BD + Quabr. DG + Quabr. AD.
aBeil nun bei D {wei rechte 9Binfe( finb , fo ifl Quabr. BD
+ Quabr. AD = Quabr. AB, unb Quabr. DG + Quabr.
AD = Quabr. AG (I, 47. ©.) gofgtic^i ijl and) Quaor. CB
+ Quabr. AB = a SRec^t. CB unb BD + Quabr. AX:.
©er 14. © a 6»
81 tt f g a b ۥ
SQenn eine gerablinige ^igur gegeben ifl, fo
foH ein Qnabrat gebitbet xoctteix, totldjti itft
gleicb i|l.
Sf fei ($tg. 62.) A bie gegebene gerabfiuige ^igur uub
»tan foU zvx Quabrat ftnben/ xoi\d)i^ tl)r gleich ifl.
Sluflifung.
STOan bilbe zxn fR^(kuS BD = A (I, 45. ©.) Sfl nun
BE = ED, fo ifl BD ba6 »erlangte Quabrat. ©inb aber
bfe Linien B£ unb £D ungletcb , fo t)erlingcre mm bie grd^
f ere BE nad) F bi^ EF = ED. "Eauu tjalbixt man BF in
G,^befd)reibe a^^ G mit GB ober GF ben ^albfreid BHF,
))erldngere DE bii H unb )iet)e GH«
55 e tt) e i «.
Xa bte Sinie BF in G gfeic^ unb in £ ung(ei(^ get^eitt
i|l , fo ifl JRed^terf ani BE unb EF + Quabr. EG = Quabr;
' 54
OP (H, 5* SO = Ottabr* GH (I, 15. ^rfjo ®o tiun bei
E t)er ttdftz SBinfel HEG i^, fo ijl Duabr. GH = Quabn
HE + Quabr. EG, 2)at)er ifl 9le*recr au« BE wnb EF +
Duabr. EG = Quabr. Hfi + Quabr. EG (I, 4L ©.) Wimmt
man nun beiberfeit« Quabr« t)on EG fjinmQ, fo bleibt St^c^t.
ani BE unb EF =. a = ßuabr, HE.
€ttbe De^ iwetteti fQnd^i.
Ca« ^ .
brittcfBud^
Elemente t)etf (?uc(it)e«.
^iefed Sud) ^anbelt:
1. Son geraben ^tniett , tvelc^e tn SBejug auf bett ^tei^
tl^eiW fcbncibenbe , X\)t\\i fccyfil)renbe jinb. ©ag l— 19*
2. 93on ffiinfeln/ beren @cbette( tt)eüd im QRttterputtctc ,
t{^eil« in ber ^erip^erie beö l^reifed (iegem @a$ 20—^34.
, 3. Soit Siec^tecfen unb Quabraren folc^er Linien/ U)elc^
}ttin S^^eil in bem Greife , ivm Z^zxl m unb auffer bemfelbeu
fic^ befinben. ©aft 35- 37*
57
(Srll^rungen tt6 britten Sud^el*
I
1. greife ffnb einanber gleich, in totlä^m bte 1Durc^#
meffer ober bte k)om 9Ritte(puticte au^sei)enben Siitten (bie
^albmeffer) einanber gfeicfe finb»
2. (Sine gerabe Stnie berührt ben ^reid, ipenit fle
benfelben trifft, o^ne i^n in iljrer SSerlAngerung ju fc^netben.
CSJZait nennt fte Spangen te bed JtreifeöO
5. j(reife berätiren^ einanber / tomn fit einanber tref^
fett, o^ne fid) ju bnrdjfeftneiben.
4. 3ni greife ffnb gerabe Linien gfeic^ totit Dom
!DIitte())uncte entfernt^ n>eun bte and bem 9Rtfte(puncte
anf fte gef&Oten Soti)e einanber gleich ffnb.
5* Sene gerabe Stnie t(l aber n)eiter ))om SJ^ittelpuncte
entfernt, toorauf ein grißere^ Sot^ fddt*.
6. Hin ^reiöabfd^nitt (ober @egment) ifi jene
0igur, n>e(c^e ))on einer geraben $tnte unb einem Xti^Ut bei
Umfreifeö (Areidbogen) eingefci?(o{fen wirb*
7. Der SOinfel be^ Ifret^abfci^nittd i|l jener, n^ef^
c^er ))on biefer gereuen Sinie nnb bem Xret^bogen etngefc^lojjen
»itb* .
8. Der SSJinfel im ^retöabfc^nitte ifi jener> xodiitt
))on jmei geraben Sinien gebifbet loirb, bie t>on einem toiK«
f&^rlic^en ^uncte bei ^reiibogeni an bie (Snbpuncte ber gera^
ben Sinie ge^en, toelc^e bie ®runblinie bei ^bfc^nittei
9. Da bie, einen folct^en SBinfel einfc^He^enben Sinten
einen £reii6ogen abfdineiben , fo fagt man, biefer lOSinf et
(te^c auf btefem Jtreiibogem
58
10. dixi Ärei«att«fc^nitt (©ector), ffl bfe ^iflut/
tDelc^e )[)on ben ®(^enfe(n etne^ SQStnfefg am QRittefpuncte bed
. Xxn{ti itttb betn k)on if)nen abgefct^nittenen ^retöbogen itm^
fc^Ioficn toivi. '
11. Areiiabfc^ttttte jTnb etnanber Hfnlid), totnn ffe
gfeitl^e 38tnfer faffett/ ober »enn bit äQinfel in ben Slbfc^nitten
etnanber gleich flnb«.
S) e r 1. ® a $.
./
/
\ Sf tt f g a b e.
jDen SRittelyunct eined gegebenen jtreffe^ 2^
finben.
dd fet C^tg. 63.) ABC ber gegebene ^vtii, nnb man foff
feinen Wlitul^nnit jtttben.
Slnfröfnng.
ÜWan gie^e in bem Äreife e<ne tt)iKfu{)rnei^c gerabe ?{nfe AB,
l^albire fle in D , unb ^xtidiU an^ D bie DG fenfredit auf AB.
SBirb nun CD big E vjerldngert nnb in F ^albirt^ fo ifi F
bet gefuc^te ÜD!irte(punct.
8 e tt) e f «.
3Benn F ber üWittefpunct be«- Äreife« nidS)t »dte, fo fei
irgenb ein anberer, etwaG, biefer SKittelpnnct Si^^^ ^^^
nun bie GA, GD nnb GB, fo i(l
AD = DB , ferner
GD = GD nnb enblic^
AG = GB (I, 15. erfr.) ba^er
5C ADG = sc GDB ( I , s. @. ) nnb fofgricft jeber
biefer SQinfel ein Siec^ter (I, lO. @rfl.) fflm tfl aber ancJb
3C CDß = R, fotgri* tt)dre
5C CDB = ^ GDB (I, 10. ®rO/ mt^zi aber
iinmiglic^ ijl (I, 9- ©r.)
3 u f a 6.
Jl^ierand fofgt, bafl^ n)enn im jtreife eine gerabe Sinte
eine anbere ^albirt nnb auf \t)X (ot^rec^t (lebt , in ber fcfinei«^
benben Unit ber WtUlpnntt Ui jtreifed fei«
59
I
k
© t r 2. ® a |.
SQenn ettte gerate Stitte jn^et (e(ie6tge ^uncte
in ber ^ertp^erte eined ^retfeö t^erbinbet, fo f&dt /
fic innerhalb tiefe« Äretfed.
Sn be« Äreife« ABC (gig. 64* ) ^enp^erie mt)mt man bic
tDtSfii^rltc^en $uncte A unb B, unt j^f^e bie gerabe AB, fo
liegt biefe innerhalb bei^ Aretfe«.
S e tt> e i «.
äQenn btefe gerabe Stnte ntd^t innerhalb biefe« Jtreife« liegt/
fo falle ffe auffer^atb, tt>ie AEB. 3lvLn tte^me iitan be« Greife«
WlitMpmct D (III, i; ®.) tinb jie^e DA unb DB. IDann
ne^me man jvpifdien A unb B in i^er ^erip^erie einen beliebigen
^unct F , iUt)t DF , nnb «verlängere jie bi« £. Sa nnn ijitx
. DA = DB (I, 15. ertt.)# fo ifr
3: DAE = SC DBE (I, 5. e.) SRun ifl aber
DEB > 3C DAE (I, 16. 3.), folglich anc^
3C I^Eß > 5C I>ßE Mttb bat)er
DB > DE (I, 19. @.) S« ifl aber
DB = DF (L, 15. @rfr.) fofglid) »Are
DF > DE, ttjeldie« nnmiglic^ ip (I, 9- ®r.)
© c r 3. <S §.
? e ^ r f a 6,
SDSenn im JSreife eine burc^ ben ^ittelpnttct
ge^cnbe gerabe Sinie eine anbere nic^t bnrcf^ ben
SWittelpunct gel^enbe l^albirt, fo fdjneibet fie bie*
felbe lot^rec^t; unb tt>enn fie biefelbe lot^rec^t
fc^neibet/ fo ^albirt fie auc^ biefelbe.
@« fei (^ig. 65.) AGB ber Mxtii, in mldfm bie bnr^
ben TiitMpmtt ge^enbe Stnie DG bie nid}t bntdtj ben ^ituU
punct ge^enbe AB in F \)albixt, fo fielen beibe Iot^red)t auf
etnanber^ unb toenn bie burc^ ben SRittelpunicf gie^enbe CD anf
AB lotfjttdjt Htfit , fo ipirb AB burc^ ffe ^albirt
I \
60
t to t i i.
Wlan ne^me bett mtUlpuntt \>ti Stxtx\ii E (m, 1. &.y
tmb jiefye EA unb EB.
L 25a CD bie AB in F f^albivt, fo fjl
?AF 2= FB. iWun ijl auä)
EF zz EF , unb
AE= EB (I, 15. grn o Da^er t(l
3c: AFE = j; BFE (I, 8. @0 unb forglic^ bie CD
lot^fec^t auf AB (I, lo. @rH.)
II. SBenn aber CD auf AB feufredit |ie^t, fo tfl
äC AFE = X. EFB (I, 10. @rH.) ferner i|l
AE = EB a, 15. (Srfl.) au*
3C EAF = 3c; EBF cl, 5. ©•) znUiä)
EF = EF , fot g»c^
AFz=: BF (I, 26. @0
S) e r 4 ® a ^*
? e ^ t f a 6»
SBenn tu beut Greife jtDei nic^t burc^ ben 9}2tttel#
punct ge^enbe gerabe Linien etnanber burd^fc^uei^
beU/ io i)aI6tren |ie etnanber nidjt
3n bem Äreife ABCD^^ig. 66.) fc^neiben bie nic^t burc^
ben 9Rim(punct ge^enben Stuten AC unb BD etnanber in Ej;
baber ^albiren ffe etnanber ntci)t.
S e tt) e i 8.
9Ran neunte an, fk ^al6irten etnanber, fo n)dre AEc=EC
unb BE = ED. 9ttmml man nun bed ^retfeö ÜRtttelpunct F
unb }iel)t FE , fo wäre
je FEA = 3: FEB = R (III, 3. @.) golgli*
^ FEA = 3C FEB, toelc^ed unmöglich i|l (I, 9* ®rO
© e r 5^ © (t §♦
?e^rfa$*
SQenu jtoei iftreife einanber burd^fd^neiben, fo
]^a6en fie feineu geuieiuf(^aftli(^en aRitteI))un€t«
61
r
SBeiin bie (efben ^etfe (gtg. 670 ABC ttnb CDG etiM
anber in B ttitb G burc^fc^neibcit / fo ^aben fle nid^t einerlei
aSittelpnnct
S e » e 1 «.
®efe$t, fte ^Atten einen gemeinfc^aftlic^en SRitteff^unct E,
fo ){et)e man £G unb bie wiQfät^tlic^e getabe Vmt EFG, fa
ifl für ben Ärcid ABC bie EC = EF
jwib ffi« ben Äreiö CDG Die EC = EG (l , 15, (SrfL )
foIflKc^ mflete awc^ EG = EF feijn Cl, i. ®r.), »efc^e^
ober unmöglich i|l (l» 9. ®rO
© e r 6* © a ö*
Se^rfag.
SBenn fic^ gwei Ärcife inwenbig berühren, fo
^aben fte feinen gemeinfc^aftlic^en SRittelpunct.
3Benn bie beiben Äreife (^ig. 6ÄO ABC «nb CDE jTc^ in
bem ^uncte C berühren/ fo t)aben (Te nic^t einerlei SJiittelpnnct
8 e » e i ö.
SBBenn jTe ben gemeinfdjaftlidjen SWittelpunct F ^dlten, fo
tt)&re/ n)enn FC unb bie n)t(lfüt}r(ic^e Siuie FEB gejogen u^irb/
bei bem Äreife ABC bie Ft = FB unb bei bem Äreife CDE bie
FC = FE (I, 15. (grflO,
ba^er wäre aud& FB=FE (I, !• ©r,)/ »el(^e3 aber
»iberfprec^enb ijl <1, 9. ®r*)
ID e t ' 7* <S a !♦ -
8 e ^ r f a $•
SBenn man im 2)urd)meffer eine^'j(reifeS einen
9)unct auffer^alb be^ SRittelpuncte^ annimm^r^ OiVi^
tt)e(ct)em gerabe Sinien jur ^erip^erie ge^en^ fO'ifl
bie größte üon^ il)nen bicjenige, »orin ber SKittel*
punct liegt, it)t JKefl aber bie fleinjle; »on btit
übrigen aber i|i immer jene, welche nd^er bev ber
>*
62
(itrc^ bett aRtttelynnct ge^ienbeit liegt, ^ti^tt, ali
bie entferntere; anc^ ge^en t)on btefem ^uncte au4
nur 2n>ei gleiche gerabe Sinien auf betben @eiten
ber fletnfien an ben Umfreid»
e^ fei ACDR (^ig. 69.) ber Are«, AD bejfen 35ur*^
nteffer, unb F tin $unct auffer bem SRUtelpuncte £. fBSenn
nun t)on F bie Stnien FB , FC unb FG an ben Umfretö get)ett,
fo iß FA bie größte, FD bie fletnfle; t)on hm äbrtgen aber
FB>FC,FC>FG.
93 e n> e i 6.
L Sßenn man bie geraben EB, £G unb £G lUtjt, fo ifl
BE + EF > Fß CI, 20/ @.) 9?un i(l aber
BE = AE (I, 15. (JrH.)/ ba^cr aud)
BE + EF = AE + EF , unb folglich
AF > FB.
Xa BE=: CE (I, 15, ®r«0 EF = EF unb 9C BEF >
CEF, fo iH BF > CF CI, 24. ®.) unb auf gleiche SBeife
FC > FG. ,
Da GF + FE > EG (I, ao. ©.) unb /
EG = ED = PF + FE ( I, 15. (grHO/ fo ifl
GF + FE > DF 4- FE, folglich
GF > DF (I, 5. @r.)
II. OKan fe^e an FE ben SBinfer FEH =< FEG a, Ji3. ©.)
ttnb aiel^e FH, fo ijl, »eil auc^ EH = EG (I, 15. @rfl.) unb
EF = EF, nun and)
FH ^ FG (I, 4. e.)'
8Q3dre nun auffer FH nod) irgcnb eine anbe/c finie^ Htoa FK,
ber FG glcid), fo »dre aud) FK'=: FH, »elcfced unm^glidj
ifl, ba nad) bem £)bigen bie ber AF nd^er liegenbe FK großer
ißt, ali bie entferntere FH.
ßber, tt)dreVK = FG, fo jie^e man EK. 5ßim ijl au^
KE = EG (I, 15. (Jrfl.) unb EF=,EF. 15al)er ben«
3C; REF = 3C FEG (I, 8. ©.) attein e^ »ar
3C FEG = 3C FEH ; folgtidj tt)dre
je KEF = 3C FEH , welche« noiberfprec^enb ifl.
(I, 9. ®rO
65
■ I
/
8 e ^ r f a $♦
SQenit auffer^alB ritte« Greife« eilt ^uttct attge#'
nomitten roixh, utib t)on bemfelben gerate ?iniett
{um Umfreife ge^ett, tt)ot)ott eitte itac^ bent WlitttU
puitcte Qtfftt, bie anbern aber i^n U)infft^.r(ic^
fc^tieibett/ fo iß unter jettett, tüelc^e att beit ^o^ett
Umfreid ge^ett, bie burd) beit QRtttelpunct ge^ettbe
bte ixi^ti, uttb k)ott bett übrigen jebe biefer ttd^er
liegenbe grS^er aH bie etttfeirtttere; Unterbetten
aber, toelc^e an ben erhabenen Umfreiö ge^en, ifi
bie {kpifc^en bem angenommenen ^uncte unb bem
£urc^meffer liegenbe bie tltin^t, unb Don ben
übrigen lebe/ ber Heinflen n&^ere^ fleiner ali bie
entferntere; and) ge^en t)om angenommenen ^uncte
nur 2n>ei gleiche gerabe Sinien auf betben Seiten
ber fleinflen an ben Areiö. i
(Si fei ACN (gig. 70.) ber Ärei«^ unb D'ber ^unct auffer
i^^ xootani DA, D£, DF unb DC fo gebogen ftnb, ba^ DA
burc^ ben a);tttelpunct M get)t. ^i^r ifi DA bie gr j^te unb
BG bie f feinde biefer «iniem 8Iu* iß DE > EF , DF > DC ,
fo »ie auäi pR < DL unb DL < DH iß.
• Sä t to t i i..
STOan jie^e au^ bem SWittetpuncte M bie ME, MF-, MC,
MH, ML unb MK.
L ^ier iß DM + ME > DE CI, 20. ©O UMn
ME = MA (I , 15. grflö folglich
DM + MA > DE, aUein
DM + JVIA = DA , folglich
DA > DE.
5Da nun ME = MF (l, i5. drH.) unb
MD = MD , ferner
^DME > ^DMF , fo iß
DE > DF CI, 24. ©.)
®ani auf d^ntic^e 3lrt toixi betpiefen , baf DF > DC.
64
n. gemr i(l MK + KD > MD (I, ao, ©o «ffeiit
MD = M G + GD. aifo
MK + KD^ MG + GD. 3tnn ifl
MK = MG (I , 15. @rH.) ba^er
MG + KD > MG + GD,
%oliUd) auc^ KG > GD (I, 3. ®r.) ober
DG < DK.
5Da itutt in bcn lireiecfen MLD unb MKD^nac^ (I, liU ©.)
MK + KD < ML + LD, aber
MK = ML ( 1 , 15. Qvtiy, fo ifl aüd)
DK < DL fl, 3. ®r.)
Unb eben fo wirb bewtcfen, baß DL < DH.
III ©e§t man an DM ben ffiinfel DMB = ffiinfel DMK
(I, 23* ®.) unb giel)t,DB, fo ift, mil MB = MK unb MD
6eiben I>rciecf<fn gemein, aud) DB = DK (I, 4. ®.) 2B4re
nun aujfer ber DB nodj irgenb eine anbere, etwa DN, ber
DK QUid), fo mfißte au* Dx\ = DB fcpn (I, l. ®r,), weU
d}ed unm6()Ii* ifl, ba na* bem Sbigen bie, ber DG ndt}er
liegenbe DB Heiner a\i bie entferntere DN fc^n muß.
Ober: 5Ödre DN = DK, fo giel)e man MN. "S^a fjitv
MN = MK unb MD beiben tJrciecfen MDK unb xMDN gemein
Wdre^fo m&^u aud^ ^ DMK = ^c DMN (J, ft. ©.) fe^m
aßein ^ DMK == ^c DMBnacfebertlnnat^me;
folgliclj »Are 3C I>MN = ^c I^MB, tpelc^e« »iber*
frrec^enb i(t ( l , 9. ®r. )
^ S) e r 9* © a §♦
8 e ^ r f a !•
SBetftt t)on einem, {nnert)alb eine^ jFrctfeö ange«
nommeuen ^uncte mel)r atd {wei gleiche gerabe
?inien ixim Umfreife ge^en, fo ifl biefer ^unct beö
Äreife« aWittelpunct.
@d fei ABC (^ig. 71.) ber Äretd unb D ein ^unct in
bemfelben , an^ weirfjem tit ?inien DA =: DB = DG inm
Umfreife ge^en / fo ifl D ber Snitte())unct bed jüreife«.
65
© e tt> e i «•
^M ]{e^e bie Serbtnbung^Itnien AB unb BG iittb fialiitt
fle in E «Hb F CI, lo* ©.) gerner jie^c man DE unb. DF^
toeld^e beiberfeit^ nad) K unb G, nac^ L unb H t)erldngert
loerben.
Ba ^ier AE = EB , anä)
ED = ED unb
AD = DB (I, 15* (Srfl.) fo i|l
3C AED = 3C DEB (I, 8. @. ) ba^er
3c; AED = 3c: BED = R (1 , 10. «rff.)
Unb ti mn9 in KG ber SRtttcIpunct Ui Greife« liegen (m,
!• ©. )
Sluf d^nlic^e Strt wirb 6eta)iefen> bag anc^ in HL ber
aRittelpunct feiv gotgUd) ift D Diefer 9RttfeIpunct
Sin anberer S3en)eid«
SOA^^ ( S^'d* '7^* ) ^ "^^^ ^^^ SRtttelpunct be« Greife« , fo
fei eö jrgenb ein anberer, Utoa E. 3Qtrb nun DE gejogeu/
unb bfiberfeitd 6id jum Umfreife nad) F-unb G verldngert, fo
i|i FG bed ^retfe6 X^urcbmejfer/ unb ti »dre DC grdfer ali
DB, attc^ DB grißer ald DA (III, 8. @0f »elc^el ber $lfu
ual^me DC = DB = DA n>iberfprid^t*
© e r 10. © a ö*
«eljrfa,^. '
Sin JSreiJ fann einen anbern in nic^t me^r al<
in itoti ^uncten burd^fc^neiben.
©er Ärei^ ABC (gig. 73.) fann t)Ott einem anbern nur iir
{wei ^unctett gefc^nitten loerben.
» e t» e i «.
lESenn biefer anbere ^reid ben Stxtii ABC in ben bret
^uncten D , B unb E fcbnirte , fo {ie^e man bte {hinten ^B
unb BE, balbirc jene in G, biefe in F, errictre an^ G t)ie
GK lol^rec^t auf DB unb an^ F ^ie FC lottfxtd^t auf B£ unb
Derldngere ffe nac^ A unb H, fo mn$ ber Durc^fc^nirt^punct
L be« «reife« ABC SD^imipunct fepn (lU, i. ®.) %ni bie#
5
t
I
)
I
66
fe(6e Krt tt>trb betoiefen/ baß L auc^ ber ^tttef^^mtct bei erßett
itmfed fct> tt>c(c^ed n)tberfpre(^eiib ifl (III, 5« @0
Sin anbetet SenoeU»
?Benn bet etfle Äteid ben anbern ABC (^ig. 74.) vx bteien '
^uncten B/£ unb D fc^nitte/ fo nel)me man be^ A'retfe^ ABC
gKittelpunct F (in, l. ©.) unb gi'e^e FD, FE nnb FB,
ii>e(ci)e einanbet gletd) ftnb (I, 15. @tf(.) X)ai)et xohxt nun
(nac^ m, 9. ®0 auc^ F bet aRtUefpnnct be« erflen ^tetfe^,
t9cld^e< nnbetfpted^enb ifl ( II J , 5. @« )
£) e r 11. @ a ^i
? c ^ t f a 6-
93enn \\i) jmei jfteife tnmenbtg betagten/ fo
^e^t jene getabe Sinte, u)elcf^e tl^te Sßtttelpuncte
Detbtnbet^^inl&ngUc^ Detldngett/ butc^ ben Se^
tä^tung^punct beibet Steife«
SÖenn (tc^ bie Älreife (gig» 75.) ADE nnb ABC in A
(et&^ten/ fo (tegt btefet $unct A mit ben jtt)ei SDIittelpnncten
in einet getaben gtnie«
S3 e n) e i d.
gWan neftme be« Äreifeö ABC SKittefpunct F (fll, i. ©O
itnb jie^ie AF. SQBdte nun in bicfet AF , xo^\^^ tt)iCffil)tIic^
Detldngett U)etbrn fann, ntc^t auc^ bet SRittelpunct bed jtteifeö
ADE , fo fei et itgenbmo auffet AF , ettoa in G. SWan jie§e
GF unb t)et(dn'gete fle beibetfeitö nac^ € unb H. SBitb nun
bie AG gebogen , fo ijl
AG + GF > AF (I, 20. ©.) Sracitt
AF = FH = HG + GF (I, 15. @rfl.) ba^et
AG + GF > HG + GF unb au*
AG > HG (I, 5. ®tO SWun xaoix abet
AG = DG (I, 15. CtMO folgli* »dte
DG > HG, welc^ed »ibetfptec^enb ijl (111,5.©.)
67
Der 12. ® a f
SBcnn fic6 }n>et jtretfe au^kDenbig htxiijTtn, fp
ge()t bie Scrbinbung^Itttie i^rer Sßtttelpuncte
bnrcb ben Ser)&l}rung^pun€t
3Benn bte beibett Jtreife (^ig. 76.) ABC itttb ADE fiäi
anffen ^m ^uncte A Urütjx^n, fo ge^t bie SBerbinbungöIinic
i^ter SD'Jittelpuncte burc^ biefen ^unct A.
^ t to t i i.
SBetttt btefe Serbinbungältnte eine anbete toixt, nni tttoa
bie e^nte FCDG t)om aRittelpuncte F nac^ bem 9Ritte(pun€te
G , fo jielye man bie Sinien Ap unb AG. ipier ipdre nun
AF = FC CI, 15, (grfl.) att«^
AG = GD. golgrid) müitt
AF + AG = FC + GD fe^n, «nb ba^>er and)
FA + AG < FC + CD + DG, b. ff.
AF + AG < FG, ba boc^ nac^ bem gril^eni
AF + AG > FG fepn mu$ (I, ao. ©•)
Z) c r 13» @ a ^
. «e^rfa«.
3tDet Jtreife fjnnen ficft t^on innen ober Don anf»
fen nnx in einem ^nncte berä^ren*
8 e.tt) e { <*
I. 9Benn itt Stvtii (^tg. 77.) ABCD loon einem onbern;
in {ti^i 9ttncren B unb D t^cn innen berithrt iberben f jnnte>
fo fei £ b^r 9Rittefpunct be^ erflen unb F jener be^ {weiten
jtreifed. SDIan jtetie bie Serbinbung^finie £F, fo mug btefe,
beiberfeitd t>ed&ngert, bie Sei^A^rungopuncte B unb D tinmal
treffen (III, ii. ©.)
£a nun £ ber SRittefpunct bei erflen jtretfe< ift, f9 nut0
DE = EB (I, 15. Srno folglid; <IU(^
BF > FB fepn.
68
yiun ift F ber SBliUzlpntttt M anUtn Sui^ti , folQÜd^ anä)
^ DF = Fß (I, 15. (SrfL) , welche« mit jenem, baß
, DF > FB' ifl, im 3Biberfpru*e (ie^t.
IL @oKte aber bei^ ^rei6 ABDC »on einem anbern üt bett
^uncten A unb C ))on auffen berührt n)erben / fo ji'e^e man bie
fBerbinbung^Iinie AC.
Da flcb bie ^uncte A «nb G im Umfange beS etilen Äteife«
ABDC beftnben , fo f&Kt bte 8tnte AC innerhalb biefe« JSretfed
(IH, % ©o unb ba^er aufferl)alb beö anbern jtreifi^d (III,
d.@rflO 92un ffnb aber A nnb C auc^ ixod ^uncte in bem
Umfange hti anbern /^reife^, folglich maßte auc^ bie l!inie AG
innerhalb biefe^ anbern ^reifed liegen ( III , x @0/ totlijti
bellt Vorigen offenbar toiberfpric^t*
©er 14» © a |. .
' 8 e M f Ä 8.
98enn in tintm Areife gerabe Sinien einanber
gleich finb, fo J^aben fie auc^ gleiche Entfernung
DÖm STIittelpuncte; unb n>enn }n)ei gerabe Sinten
im Greife t)om SRittelpuncte gleiche (Sntfernung
^aben, fo finb fie einanber gleid).
gßenn in byn Äreife (gig* 78.) ABDG bie AB = CD ifl,
fo ^aben biefe Linien t)om SDIittefpuncte £ gleichen 3(bilanb,
unb koenn iwti Linien AB unb CD tsom SKittelpiincte £ gleic^^
xotit abfielen, fo i|l auc^ AB = CD,
85 f 4» e i «.
. ÜBan fdtte qai £ auf AB bie EF unb auf CD bie EG Iotl&^
red^t (I, la. ©.) unb jiel)e AE unb EC, fo mn$ AFssFB,
unb CGsr-GD (III, 3. ®.) fei»* .
^ ., L sajenn nun ^AB = CDj^fo i|l arxd^
\ , . i/jAB = V^qftobfr au*
AF = CG (I, 7* ®r.) . '
©a nun £ bc« Äreife^^ittelpunct t(l , fo ifl ani) AE = EC
(T, 15. @rfl.) unb ba^er bpd Quabn t)ott AE = £luabn t)ott
EG, Da aber bie 3BinfeI U\ F unb.G rec^t^ SBinfel finb, fo ijl
69
• tt: AE r± Q. AF +■ O* EP iinb anöf
O. EC = 0> CG + O. EG ( J, 4L ®0 I^a^er i|l
D. AF + CL EF'=r Q: CG + Q. EG.
SBeil aber AF = CG iji , fo mv$ aui) .
Ct. EF = SU. EG (l', 3* ®r.) unb beroitac^
EF = p:g fetjttVttnb t^tjabtn bie^initn AB unb
CD \>m ÜWittefpitncte E gteic^en SltRanb (III, 4. (grfl.)
II. SBtnn aber AB itnb CD gfetd^e (Sntfentitng \>om WlititU
j>^ncte E ^aben, ober mnn EFz=:EG (III, 4 Sr«.)/ fo ipt/
ipeü nun reit juDor
Q. AF + Q. EF = Q. CG + O. EG tft, unb aud^
C AF = O. CG (I, 3. .0r.) nunmehr ^
AF = CG. Da aber
AB = üAF, iinb
CD = aCG, fo nmg aitc^
AB = CD fe^tt (I, 6* ®0
!D c r 15» (Sag.
8efyrfa$.
3tt htm jtreife tfl ber Durc^meffer bte größte
iinitf unb loon ben äbrtgen in iijm gejogcnen jebe
beut 9RttteI)»ttncte n^^ey Uegenbe großer ali bic
tntferntere.
m fei ABCD (g{g. 79.) ber gegebene Ärei«/ AD fein
Snrc^meffer unb £ fein SRittefpunct , fo ifi AD bie größte
Sinie in bemfelbeu/ unb u>enn BC nd^er beim 9)2ittelpuncte ift
ali FG, fo ijl BG größer afö FG.
^ t xo t i i.
^an aiel^e ani E auf BC bie £H unb auf FG bie EK lot^^
rec^t (I, la. ©O'fo iP EK>EH (itl, 6 (frH.) Da^er
mac^e man EL = EH (1 , 3. @. ) , erriete aitf EK in L bie
LM fenfrec^t unb oerl&ngere ffe bii N; auij jie^e man ti^M^
ENjEFunbEG.
Da nun EH = EL , fo ifl auc^
^BC = MN (III, 14. CO JRtttt fp aber
t
70
ME + EN > MN (I, ao^.@.) Darier aitc^
ME + EN > Bc. mm
ME + EN > AD ci, 15. dttU) ©fl^er
AD > BC. t)/i ferner^
. Mf = FE ttnb.
EN = EG (I, 15. SrH.) (*er
MN > FG CI, 24. @>) (g« ijl aber.
MN =?: BG Hf)Zt Um
BC > FG. N ,
©er .16. © a §.
?e^rfa$.
(Sin au^ bem (Sttbpuncte ,be^ ©itrc^mefftrd auf-
benfe(6cn erridjtcteö» ?ot^ fdllt auffer^alb be«
jtreifed; ferner f&(tt 2n)ifci)ett btefed Soti) unb bett
Umfreid feine anbere gerabe Siltie,, unb enblic^ ifl
ber SQinfel bed ipalbfreife^ griger; fein 9{efl aber
fleiner, aU jeber gerablintge fpi^e 98inte(.
* SDB«nn ABC (gig, 80. ) ber Ärrid , BA fein ©Mjrd^meffer/
jttib AE baä auf feiuen (Snbpunct A erridjtete ictt) ifl ,. fo fdllt
baffefbe ganj auffer^alb tti ^rf tfed ; auc^ fatin 2m.ifct7en biefei
Sott) AE unD ben jrrei^bogen AHC feine anbete gerabe Unit
fatten. Snblic^ ifl ber ^infel, weldjer i^om 1}iirc^m<^er BA
nnb bem 93ogen AHC gebilbet tt>irb,, größer; jener aber,
toelc^en bp« Sotl^ AE mit eben biefem SSogen AHC bilbet,
Heiner, ali jeber fpiße SQinfel.
S3 e n) e i ^.
L ^enn bitfeS Sor^ AE nic^t gan} auffer^alb Ui Xtti^ti
' fiele, fo net)me man an, e& faUe innerl)alb beffetben, n>ie AC ;
fp, baß nun ber SOSinfel BAC ein Sted^rer »dre.
SBirb nun DC gejogen, fd mfißtf , »eil DC = DA (1. 15»
Crfl.) nun and) 3CI>GA=3:DAC fe^n (1, 5. ©.> unb e«
wdren in bem X)retecre CDA jnoei SBinfeP {ufammengenommen
i^eien ^e^ten gleich, »ad unmdgfic^ ifl f I, 17. @.)
71
IL ißtm ttittt {mtfc^en bm Sogen ABC ttnb ba« fotl^
AE eine gerabe Stnie , wt FA fte(e , fo jie^e man auf bieft
FA au« D ba« ictfi DG (I, 12. ®0 fo ift nun, weil DGA
ein rechter 3Binfe( iß, aui4
X i>GA > sc DAG (I, 17» (SO ba^et
DA > DG (I, 19. ®.) «Bein
DA = DH (I, 15. (grfro bafeer todre
PU > DG, mlditi »iberfpred^enD ifl (I, 9. ®r.)
HL 98&re jener 9Bin(eI , todd^tn ber ^urcbmeffer BA mit
bem i^ogen AHC 6i(ber, itid^t griger, unb bee ^iSintel, loelcben
ber Sogen AHC mit bem ^t^e A£ bilbet, nic^t Heiner, alt
irgevb ein gerabliniger fpi^er 9Qinfe(/ n>elci?en ber Durc^meffer
BA unb eine gerabe Sinie bt(bete, fo miigte biefe gerabe Sinie
{wtfdien bcn Segen AHC unb ba« iot\) AE faden, n>ie ettoa
AF j totldjti nad) bem SBorigcn unm6g(i(4 ift*
3 n f a !•
i^terau« fofgt nun, baß ein au« bem ($nb4)uncte be« 1Durd^#
meffer« auf i^n errid)tete« iottf ben Stvti^ beriibrt, unb baf
eine gerabe Sinte htn ^rei« nur in einem ^uncte berühren
fann, ba jebe gerabe Unit, totldjt jwei ^uncte be« Umfreifei
t^erbinbet , innerhalb be« Areife« liegt ( lil ^ 3. ®. )
© e r 17. ® a |.
9( u f g a 6 e.i s
SSon einem aufferl(|alb be« Areife« gegebenctt
^uncte eine gerabe Sinie an ben jtret« )tt {te^ett,
loeid^e i^n in einem ^uncte berft^rt«
SBenn ($ig. 81.) CDB ber gegebene jtrei« unb A ber gegeif
f ene ^unct ifl , fo feil ))on A eine gerabe 9inie gebogen i9er#
beU/ toelc^e ben Arei« CDB in einem '^uncte berA^rt.
aufUfung-
SBian ne^me be« Areife« QRitteJpunct E (III, i. ®:o {te^
£A unb befc^reibe au« E mit biefer Unit EA ben Aret« AFG,
ertic^te auf AE ani D bie (inie DF lot^red^t (I, li. Qf.')
72
itcl^ \tmt\i\, ISSSe att AB, fo xfi AB jene einte, »dc^ »ett
9xni CDB tn einettt ^nncte »crät^rt;
S e iD e t d*
Da ^ier EA = EF cl, 15. «rn.) ftmer
£B = £D , cnbltc^
3C AEF = 3C AEF, f o i(l ancb
3C EBA = X EDF (I, *• ©O «Dei»
9C EDF = R, folglidy
X EBA = K. 2)a^er ßel^ bie AB lot^rec^t auF £B
itnb fmn fowtt ben Arrid CDB nur in einem 9>uncte ber^^een
cm, 16. eo
© e r 18. ,(S a ö*
e e M f a 6-
SQenn eine gerabe Sinie ben $txt\i Ber&^rt unb
man i\t\^K t)o*m 9ßttte(puncte nac^ bem Seru^rutig^^
yuncte eine anbere gerabe, fo fle^t biefe aufber
S)erät)ningd(tnie (oti)reci)t
3Qenn DE (^tg. 82.) bie Serä^rungöHnte bed Aretfed ABC
im ?)uncte C \% unb man jicl)t FC, fo i(l FC ein ?ot^ auf DE.
8 ,e » e i ö. . :
SBSenn bicfe FC nirf^r fenfrecfct auf DE »dre, fo fei e^ irgenb
eine anbere t)on F nac^ DE gezogene ^v^xz, etn>a FG. Sa^er
»Are 3C F^C = R , unb fomit
3C FCC < je FCC (I, 17, ©.) asa^er benn wxi^
FC > EG (I, 19. ©.) e« i(l'aber
FC = FB (I, 15. (Srfl.J, folglid? »dre
FB > FG, n^elc^e« unmöglich i|l Cl> 9..®r.)
\
■ /
t> tx 19. ® a §.
8 e M f « C-
SBenn man auJ bem 93er&^rungd))ttncte einer bett
ben jtrei< ietr&^renben geraben Stnie ein Sot^ auf
fic. errichtet/ f» (i^gt in bcmfe(6cn bc4 Atcifei
aRitter))unct.
73
IIBeittt C^tg« 830 DE ben Stttii ABC in C htt&tjtt unb
CA Iot()recbt auf D£ fiet|t, fo mttß in CA ber WlitUlpmtt Ui
Äreife6 fcj^m
S e tp e i «•
.3Benn ber QRttlerpnnct bed^retfed nliit in CA Kegt, fo
liege er auffer^alb berfelbcn , ttxoa in F. 3te^t man bie
gerabe Bt), fo muß
^ FCE ==-R fe^rt (III, J8. ®.) <S« tfl abtt
^ACE = R, nac^ ber Üntia^me, fofgHc^ lodre
5C ACE = FCE, welche« «>iberf})rec^enb tß (I, 9. ®r-)
© e r 20* © a !♦
?e^rfa$.
Stt jebem Greife tfl ber ^tnfef am WlitUlpnnctt
((Sentrimtnfel) nod^ einmal fo grof , al^ ber 3Qitt#
fe( am Umfange ($er{pt)erten>infeO/ totnn beibe
auf bem^ndmUc^en IQogen flehen«
a^ fei (^(g. 840 im Jtr^ife ABC ttx SQinfel BEC ottf
bem n&m(tc^en ^vQtn, toorauf ^BAC (le^t, fo ift jener noc^
einmal fo qxo$, ali biefer.
» e » e i «♦ .
L (So 6e{tnbe (t^l bed ^reifed WitUlpnnct £ jtoifc^en beit
6(^enfe(n be^ ^erip^eriemmfeld BAC.
HQenn man bie AE iiet)t unb M F t>er(dngert/ fo ifi
EA = EB (1, 16. ertro ba^er
3: EAB = 3c: EBA (I, ö. ©o ttnb
3C BEF = 2 3C EAB (I, 32. ®0
®att) auf A^nlicbe 9lrt totrb bemiefen, baß
3C FEC = a 5c; FAC , ba^er i(l
3C BEF + 3c: FEC = a JC BAF + 2 5C FAC, foFgKdlf
' 3C BEC = ^ X. BAC.
11^ Sefinbet pdf aber bed jereifed SRitferpunce E auffer^alb
ber @cbenfel be^ ^erip^eriem(nfe(d BDC, fo^ jie^e mm DE
unb ))erldngere {te nac^ G« 3lm wirb auf d^nUdEjie 9(rt, tote
{ttoor bewtefen /baß
74
3C GEC = 2 5C GDC ^ imb au*
3C GEB =2 2 5C GDB tfl , baber mn$ auc^
9c; BEC = 2 5: BDC fc^n (l, 3. ®r.)
© e r 21. © a ß.
3n lebem jtretfe ftnb bte fUSinttl, fütldjt in tintu
Ui Slbfc^nitten Hegen/ etitanber glet*«
So fet AEDB (^ig; 85.) ber gegebene ^rei« unb BDEAB
ein 3(bfci)nttt in it)m/ in n)el(^enf ffcf) bie SQSinfel BAD nnb
BED befiuben, fo ifl 5C B AD == 5:: BED.
®e»eid*
!{Ran nel^me be^ j^reifed ÜRiitelpunct F , unb jie^e FB unb
FD, fo i<l '
5c: BFD 5C 2 3C BAD (III, 20. ©•) unb
3C BPD = 2 jc BED. golgridö i(i auc^
2 5C BAD z= 2 < BED unD
5C BAD = 9c; BED,
? e M f a $•
HBenn fid^ im jCteife eine ^ierfeüige 9^igur befttt«
bet, fo finb i^re gegenAberliegenbe UBinfef paat^
loeife jweien Steckten gleich*
@d iti ( ^ig. S6. ) in hm greife ABCD ba« Sierecf ABCD
befc^rieben, fo ifl:
9c; ABC + 9c; ADC = 2R unb and)
> 9c; DAB + 9:; DGB = 2R.
S'e »ei «•
HQenn man bie Duerlinien AG unb DB jie^t, fo ifl
^ GDB = 9C BAC, unb
9C: BDA = 9C AGB (III, 21. ®.) ^ofgli* ifl
9c: ADC = 9c; BAC + 9: AGB a, %®tO aütiM
X ABC = 9:; ABC , fomit
. 75
I
I
• . /
3c: Abc + 3C ABC =?3:; BAC + jc ACB + 5; ABC. STtteitt
j; BAC +. X. ACB + ^ ABC = 2R (I, 32. ®.) golfllit^ i(l
3C; ADC + 3C ABC = 2R.
Hitf &l|iindl>e 3(rt ttfirb auc^ betDtefett/ baß BC BAD + ^cDCBsssB.
© e t 23. @ a §.
e c M f a $.
auf ettttr gegfSeneit geraben Stnte {jtittett titd^t
}ii>ei Stti^ah^djniUt an einerlei @eite befd^rteBen
werben, toeld^e einanber d^n(td) unb ungfetd) finb/
Slnf bie gegebene StnteJ^B (gtg. 87.) f innen nad^ einer
@ette ^in nic^t jmei A^iuic^e/ aber ungleich £rei6abf(^nitte
befc^rieben tt)erben.
Sen)ei6*
SQenn }tt>ei foldier Jhreidabfc^nitre auf AB m jgfic^ tt>Aren ,
fo frien^ ACB unb ADB biefelbe. ^itfit man ^ier bie AD wiS^
t&ijxlidf , k)eri&ngert fte Aber D bi^ C unb jie^t nun bie Sinieii
BD unb BC, fo müßte/ totil beibe 3lbf(t)nitte einanber d^nlic^
»dren, jc ADB = jc ACB fe^n (III, 11. ©rfl.) ml^ti
loiberfprecl^rnb ijl (I, 16* ©.)
► - -• «.
©er 24* © a fe*
»
S e ^ r f a g.
' SfBenn d^nlic^e ^reidabfc^nttte Aber gleichet!
gerab^n Sinien ße^eu/ fo finb fie einanber gleich«
& feien bie ^rei^abf(4nim (^ig. 88.) A£B unb CFD auf
bcn g(etci?en geraben Stnien AB=:iCD errichtet/ fo finb ffe tinß
anber feibfl gleich«
S e n) e i j«
gßan bringe ben Sf^fc^nitt AEB fo Aber ben abf*nitt CFD/
baß A auf C unt> AB Idngd CD fdUt, fo muf, weil ABrrCD,
aucb B auf D faOen. Z)a nun bie Slbfc^nttte AEB unb CFD,
Aber CD liegenb, einanber d^nlic^ ffnb, fo f innen ffc itid^
m^Uid) fepn (Uli ^^* ®0
1
• I
i
- 76
©er 25* @ a- !•
SI u f g a 6 e.
Mtna ein ^retdabfc^nttt gegeben ifl/ fo foll btr_
^nt jugef)^rige ^xtii befd^rteben tperbem
(So fei ABC c^ig. 89.) ber gegebene äibfc^nitt/ ttnb matt
foK ben ^rei^ befc^reiben/ n)e(c^em er ange^6rt
«ttfUfung.
SWan Ijialbire AC in D (i, lo. ©•) unb jie^e anf AC aui
D bte DB (ot(|re4it (I, 11« @0 äBenn nnn bie gerabe Sinie
' AB gejcgen i^t , fo ift entmeber
3c; ABD > 5c: BAD, obet... /
5: ABD = 3c; BAD, ober ^ ABD ^ >: BAD,
8 e » e i «♦
I. Kenn 5CABD>3c:BAD i({, fo fege man an BA ben
^9QtnfeIBAE, loeldjer bem 3QtnfeI ABD gleich ifl (I, 23. @0
unb t)er(&ngere BD btd £, ipter i(i nnn
EA = EB (I, ö. @.) nnb »eil ferner
AD zzz DC, auc^
DE = DE , wnb enblic^
X. ADE = ^JCBE = R (I, 4. ©0 fo miiß anc^
AE = EC fe^n (I, 4. @.) baljer ift
EA = EB = EC unb folglich ber ^unct E ÜBittet
pmct bcö Ärcifed ABC CHI, 9. @0
3n biefem gaUe.muß ber 9(bfc^nirt ABC fleiner ati6 ber
^albfreid fe|^n, ba' ber SRittelpunct E aufTer^alb biefeö Slb^
.fc^nitte^ Hegt^
II. SBSenn aber (^ig* 900 j; ABD = jc B AD , fo ijlfattc^
AD=:BD(I, 6. ©OSiutt
iU aber AD = DG , ba^er anc^ D
ber üKitterpnnct be« «reife« ABC ( m , 9. @. )
3n biefem ^aße ijl ber 8(bfe^nitt ABC ein ^albfrei« , mit
AC ber Durc^meifer iß*
in. aSenn aber (gig. 9lO xABD<3c:BAD, fo fegc^
man an BA eintn SOSinfel BAE, welc^r bem ^inM ABD
gleid^ iflCl» 23. @«) itnb jie^e £C> fo n^irb auf ^oUförn^ten
Ä^nKc^e STtt xoit jutJor fcewiefeit , bafi AE = EB = EC mtb
folglich E bcr Wlitttlpunct bc« Äreffcö ABC ijl.
Sit bHPfem gaUc muß bcr SJbf^nitt ABC größer al« efti
ipalbfreid fepn, toeil (tc^ ber WtMpmct £ tnner^a(6 bed
abfc^nitie« fcefinbct
© c r 26* :<3 a ^*
8 If t f a $• .
SBetiit in gleichen Greifen gtetci^e @eittr{n>iufel
über gleite $erip^ertett)rnfel .^or^ariben finb> fo
fielen fte auf gleichen Sogen*
SSenn in ben Äreifen C S^g- 9a. ) ABRC unb DELF bie
gleidjen ßcntriminfel BGC unb EHF ober bie gleichen ^eru
}>^erien)inf el BAC unb EDF gegeben f!nb, f o ifl ber Sogen BKG
beut Sogen ELF gleich*
S e tt) e i «•
SBenn man bte. Stuten BC unb EF ^ie^t, fo ifi; mil bte
beiben Greife etnouber gleich flnb/
BG = GC = EH = HF (III , 1, grH.) Kurt i jl aber
5: BGC = 5C EHF , folglich a\xd)
. BC=:EF (I, 4. eo n>eil aber ferner
3c;BAC = 3cEDF, fo finb bte ©egmente BAC unb EDP
cinanber d|)nltc^ (II{, ii. (ixfW), ba^er auc^ einanber ^letd^
(III^ ni, @0 Da nun aber auc^ bte gan}eft Greife einanber
g(€i(^ ffnb/ fo m&lfen t6 ebenfo bte anbern (Segmente BKC unb
ELF unb folglich auc^ bie Sogen BKF unb ELF fe^n.
©e r 27. @ a §»
?e^rfae-
^enn in gletd^en Greifen (SentriminfeT ober
^erip()erie»ihfel auf gleichen Sogen (le^eU/ fo
finb fie einanber gleich«
üBenn in ben girieren Greifen ( gig* 93. ) ABC unb DEF
bit (Sentrin>inhl BGC unb EHF ober bie ^ei:i)>l^eriett)inre( BAC
78
«üb EDP auf gletc^ett 93ogen BC unb EF ße^ett/ fo (|l x. B^^
CS X. EHF unb 3C BAC = 3c: EDF.
iß t to t X i,
SBetttt 3C BGC = 3C EHE , fo i|l audi . .
j; BAC = X EDF (III-, 20. @.)
SOeitn nun bte 98tnfel BGC unb EHF einanber ungleich to&vtn,
fo fei etwa 3C B^C > jc EHF. Kimmt man nun
3C BGK = 3C EHF, fo i|l
Sofl. BK = Sog. EF (in, 26. ©.) g« i(l aber
*'JBog. BG SS iSog. EF nac^ ber 3(n;ta^me; fo(g#
lic^ ntflßte Sog. BG = Sog. BK fe^U/ »eld^ed n>ib^rfprec^
cnb ip (I, 9- ®r,)
' 8 e ^ r f a 6*
3n gleichen jtretfen ftnb bte i^on gleic^ett gera^
ben hinten abgefc^nittenen Sogen einanber gleich/
ttAmlic^ ber größere bem griperU/ unb ber fleinere
bem fleinerm
SQenn in ben gleichen Areifen ($ig. Q^o ABC nnb DEF
bte Sinie BC = EF iß , fo muS auc^ Sog. BAC = Sog. EDF
unb Sog. BGC -= Sog. EHF fe^n.
S e U) e i 4.
SRatt nel^me ber gegebenen Greife SRittefpuncte R unb L »
»tib {ie^e bie «inten BK, KC, EL nnb LF, fo i|i^ ba beibe
Jtreife einanber gleicb {tnb^
BK = KC = EL = LF (IH, 1. erHl)
(g« i(l aber dndi BC = EF , folgli* '
X BKC = 3c ELF (1,8. ©.) ba^er benn
Sog. BGC = Sog. EHF (III, 26. e.) unb fomit
auc^ , tt>ei( beibe Greife einanber gletc^ finb , Sog. BAC =
Sog« EDF.
i
/
79
m
? e ^ r f a 6»
SBentt in gleichen Greifen ge'rabe Stniett gleiche'
Sogen abfct)neibeh/ fo ftnb biefe gerabe Linien
einanber gleic^.
di feiert in ben gleiten Ärcifen ( gig. 95. ) ABC nnb DEF
burd) bie Linien BC nnb £F bie gleichen Sogen BGC unb EHF
abgefd^nimn, fo ip BC=EF.
55 e n> e f «.
ÜBenn man ber 6eiben greife SRittefpuncte K nnb L nimmt^
unb bie «inten BK , KC , EL unb LF jie^t, fo mu^
BK = RC = EL = LF fet)n (UI, l.@rtl.> Da aber
Sog. BGC = S5og. EHF, fo i|l 3C BRC = x. ELF
(III, 27. ©O nnb ba^er BC z= EF (I, 4. @.)
' ©et 30* © a §♦
$( n f g a 6 e*
(Sinen gegebenen ^rei^bogen jn ^albifen«
@d fei ABB (gig. 96.) ber gegebene ^reiebogen/ nnb matt
foH benfelben ^al6iren.
anfiefnng.
^an )ie^e bte Serbinbung^rinie AB, ^albire fle in C
I (I, 10.®.)/ ertid^te a\a C auf AB bie CD lot^rec^t (I, il*®.)
I 8 e m e i ^.
©a l^ter AC = CB , ferner /
CD = CD unb
jC ACD = X. B CD = R , fo i|l , »enn bie Linien
AD nnb DB gejogen »erben, auc^
AD = DB (I, 4. ®0 folgli* an«
Sog* AD = S5og. DB ( III , 28* ©0
©er 31* © a §♦
« e I> t f a 6*
IDer SBinfel im ^albfreife tfl tin Stec^ter, aber
I ber SBinferim grdfern 9bf(^nttte tfl Heiner, ali
/ /
y
80
ein Siechtet unb ber aStnfel im fletnern SCbfifitittte
tjl grdfler/ al^ ein Sted^ter; auc^ tfl ber äStnfel be^
grjßern 9(6fc^nttted großer unb ber SBtnfel be^
fletnern STSfc^nttte« fleiner^ al« ein 3led)ter*
e« Yei (gifl^ 970 ABCD ber gegebene «rei« , BC feilt
I)Wf*me|fer, E fein gRittefpunct^ auc^ feien BA, AC, AD
nnb DC gejogen, fo ifl 3c;BAC=fli; aber 5cABC<R unb
5:ADC>R. gerner ift ber $BinfeI be« gröfietn abfdjniüe«,
toelc^er ))om Sogen CBA unb ber geraben Sinie AC gebilbet
löirb, grißer afö ein aiec^ter ; ber 3Binfel aber , ttjerc^ert)Ort
bem Sogen CDA unb ber geraben 2inie AC g.ebilbet wirb,
fleiner oXi ein SRec^ter.
35 e tt) e i «•
I. ÜKan jie^e EA unb DerlAngere BA fiber A nad^ F.
Da l^ier EB = EA (i, i5. (grtlO unb
EA = EC , fo i|t auc^
5C: EAß = 3C EBA (I, 6. ©.) unb
^ 5C EAC = 3: ECA, ba^er auc^
3C BAC = ^ EBA + ^ ECA (I, % ®rO
fti iU aber 5CFAC = 5:: EBA + jcECA (I, 32. @.) ba^er
au* 5:BAC = 3CFAC (1, 1. @rO fomit 3C FAC = 5c BAC
c=:R(I, la. (SrH.)
ßber: Da jc AEC = a 5C ^AE (I, 3a* ©.) unb
3C: AEB = a 3C EAC , fo ip auc^
5:: AEC + 5c; AEB = 2 ^ BAC. (So ift aber
3C AEC + 3c AEB = 2R (I, 13. ©.) ba^er anc^
2 3c BAC = 2K unb enblic^
5C; BAC = R.
IL ©a in bem ©reiecfe ABC , nac^ bem großem /
9C ABC + je BAC < 2R (I, 32. ©.) aber
jC BAC = R , fo muß auc^
j: ABC < R fe^n. " , -
III. Sa nun in ber üierfeitigen gigurBADC, nacft bem
grÄ^ern, 5C ABC + 5c ADC = 2R (III, 22, ©•) aber
^ ABC < R, f o ifl au(^
^ ADC > R.
8t
ly. jDaf ber Don bem Sdgett CBA ttnb ber gerabeit
Unit AC gebilbete aBinfcI ßrißer / aH Ut fRtd^tt frt , folgt
offenbar barau«,. bag er axi^tt, aH ber rechte SQinfel GAB tfl«
y. X)a6 a6er ber t)on bem IBogen CDA unb ber geraten
{inte AC gebtibete SQinfel Heiner , ali ein Stecbter fei , get)t
baranö ^eroor, baß er tUincx, al^ ber reelle QBinfel CAF ifL
5 « f a 6.
^teraud folgf, bafl, toenn in einem ^reiecfe ein SQtnfef fo grofi
i|l, aH bie beiben übrigen {ufammen, jener 98infe( ein 9tecbter
fei/ n>eil fein 9!ebenn)infel biefen beiben anbent/ unb ba^er
i^m felbfl gleid^ iß/ folglich ein Sted^ter feyn mnp (I» lo^ QrrfL)
• © e r 32* @ a !♦
•
«eMfaft-
SBenn eine gerabe Sinie ben ffret^ berft^rt, unb
aud biefem Serii^rung^puncre eine anbere gerabe
bett jtreiö fd^neibet, :fo finb bie SBinfel/ noelc^e fic
mit ber beräl^renben Sinie bi(bet, ben 9QinfeIn itt
ben uern>e(^felten ^reidabfci)nttten'glei(^.
©er Äreid (gig. 98.) AßCD l)abe EF in B jnr »eru^r*
»ngdlinie, unb BD fei bie fcbneibenbe ^ fo finb bie 9Qinfe(,
n>e(d}e DB mit £F bilbet, ben ^infeln in, ben oerwed^feften
^reidabfd)nitren gfeid}; t>ai t)ei^tV ber 3Btnfel FBD ift bem
SOJinfcI in bem Sibfcbnttte BAD, unb ber äQinCel £BD bem
SBinfel in bem Slbfc^nitte DGB gieic^.
9 e n> e i ^*
yjlan errichte auf EF a\xi bem ^uncte B bie BA (ollirec^t
CI9 11. @.)f ntlfmt in bem Sogen BD einen »iOfä^rlic^en
^unct C unb jie^e bie geraben BC y CD unb DA. ,
2)a ffd) in bem Sot^.BA ber QRiüelpuitct, bed JtreifeS
befinbet (III, 19. BJ, fo ifi BA beö Jtretfed Xiurd^meffer, unb
5: ADB = R (III, 31- ©. ) unb ba^er
^ ADB == 5c; ABF , fomit ou*
3C ADB = X. DAB + 5C ABD (I, 32. ©.) gofglic^
X DAB + jc ABD = < ABF, ba aber
jc: ABD = JC ABD , fo ijl
^ DAB = äc FBD (I, 3. ©r.) Da femet
8J8
3C FBD + 5: EBD = aR (I, 13. ©•) mh in htt
tjierfeitigen gigur ABGD aucft
3C BAB + 3C DGB =r 2R (HI, M. ©0/ fo t|l ' .
3c; DAB + 3C JOCB = ^ FBD + JC EBD. SRwtt ijl a6er
^ DAB = jc FBD, ba^er auc^
5C DGB = JC EBD (1,3. ®rO
a tt f fl a b e.
äfuf einer gegefienett geraten tinte einen Stttii^
aBfd^nttt ju befc^retben^ n)e(c^er einen gegebenett
geradlinigen ffiinfel in ^iA faffet , «
SBenn C^tg. 99.;) AB bie gegebene gerabe ilMme ifl/ fo foll
anf berfelben ein ^rei^abfc^nitt gebilbet toerben^ toelc^er bett
gegebenen äBinfel G in ^d) f äffet*
81 tt f I * f tt « fl*
2)er gegebene gerablintge 98infe( G iß entn>eber ein ^fiitt,
ober ein rechter/ ober ein (lumpfer SQittfeL
L HBe'nn 3c:C<R, fo lege man an A ber ?inie BA bett
SBinf el BAD = 5:; G (1 , 23. ©.) »oburcft BAD < R ijl. Kurt
errichte man au« A auf DA ba« iotij AE (I, 11.®.) ^albire AB
in F (I, 10* ©.) errichte aui F auf AB ba« iit^ FG, itnb
jiel^e GB.
S e n> e i 0«
Sa l^ier AF = FB , ferner
FG = FG, nnb enblic^
^ AFG = jC BFG = R, fo ijl
AG = GB ci) 4. ®.) 3lun befc^reibe man ani
G mit GA = GB ben JTret« ABE nnb )ief)e BE.
2)a nun bie AD auf bem Curd^mejfer AE fenfrec^t ifl , \6
Ux&fjxt ffe ben £ret« in A ( III , 16. ®. ) unb e« ijl
3c; ßAD = je AEB (III, 32. ©.) SlUein
3c: BAD = ^ G, fo rglic^ auc^"
3C AEB = G.
11.^ 2Benn (g<g. ioo.)5CG=;R fjl, fo fe^e man an BA ben
aBinfeIBAD=3CC (I, 23. ©.), ^albiw AB in F, befc^reibe
ani F mit FA=FB ben Ärei« AEB, ne^me in feinem Umfange
einen »iUfä^rli^ien ^unct E unb gic^e AE unb £B.
85
9 t tp € i i. ^
(Si tfl flar, b'af AD toUitt eine S^attgente Ui Stitx^tt
(HI, 16. 0.) unb iaiicx 3C BAD =^C = x. AEB (jl
(IH, 33. ©.)
IIl. äßenn (Jfig. 101.) 3c;C>R, fo fege man an BA
ben OBinfel BAD^jcC (I, 23. ©.)/ erndjte auf DA in A
bte AE lot^recbt (I, ll.. ©/), ^albire AB in F, ernebte auf
fle an^ F bie FG fenfredit, unb giel)e GB. tWun i(l, »eil AF
= FB, FG = FG unb 3CAFG = 5;ßFG=R, auct) AG = BG
(I, 4. ©•) ©a^er befrfjreibe man au6 G mir GA = GB ben
JCrei^-AEB, nei)me in bem SSogen AB ben nointä^rlic^en ^unct
H unb jie^e HA unb HB.
S e tt>^e i «.
2)a tüieberuin AD auf Um DuVc^meffer AE fot^rec^t fle^t ,
fo ijl ffe eine SCangerite (HI, 16, ©.), folgric^ müp J^BAD
= 3:G = 5c;aHB fepn (III, 32. ©O
91 u f a b e.
SBenn ein Sttti^ gegeben tfl/ fo foll man t)on
b'emfetben ein ©egment^abfd^neiben ^ n>orin ber
fESinttl einem gegebenen ^infe( gleid} ifi.
@d fei (gig. 102.) ABC ber gegebene Ä'reid, toon »elcbem
txn (Segment abjufc^neiben ifl, totldjti ben gegebenen 3Bin(eI
D entl)4lt
a tt f r 6 f tt n g.
SRan jie^e an ben gegebenen Äreid eine Jtangente EBP
cm, l7l ©.0/ fe^e an FB im 95eriibtung«pun<:te B einen
SBtnfel FBC=:5c;I> (Ij ^^3. ©.), 'nel)me in bem Umfange
BAG einen »iRfA^rlic^en $unct A unb jie^e bie geraten Linien
BA utib AG.
^ t to ti i*
Da bie ?inie EF eine SCangente be8 ÄreifcS ABC ifl, fo
wnß auc^ X. FBG = ^ BAG ^t^n (III , 32, ©.) SUein
j: FBG = jc D> f otgtid^
3: BÄC = 3C D-
\.
84
© e r 35. (S a ft.
*
? e M f a 6-
9Benn ftc^ tn einem jireife ^toti gerabe Sttttett
burc^fd^neiben, fo ijl ba^ dttdittd an^ ben SI6f(^ntt#
ten ber ^inen bem Siec^tecfe ani ben Slbfc^nitten ber
anbern g(etd). ^ ^
9Benn fic^ in bem Greife ABCD ( ^tg. 103. ) bte gerabett
Stnten AC mtb BD im ^uncte £ burct}fci)neiben , fo i|i ba^ auö
A£ unb £C jtt bilbenbe Dtec^tecf bem Stec^tecfe a\xi B£ unb
ED gleid^«
fB t to t i i.
L fIBenn ber Stttc^fc^nitt^punct ber 6etben Stnten im
Areife fein SRittelpunct ifl/ n>ie ^ig. 103./ fo fino bie älbfc^mtte
A£ unb EC, B£ unb ED einanber gleich (I, 15. @rfL) unb
ti muß ba^er bad Stec^tecf auö AE unb EC bem Stec^tecfe au6
BE u^b BC glei(^ fe^m
IL SBenn aber C^ig. io4.) ber IDurcftfc^nittöpunct E ber
ffc^ fcfaneibenben Sinien AG unb BD nic^t ber ^ittefpunct hti
^reifed ift, fo fei F biefer SRiUelputfct 3^^^^ man nun aui
F auf AC ba« ?ot^ FG, unb auf BD bais iott) FH, unb bann
bie «inien FJB, FE unb FC , fo ifl
AG = GC (III, 3. ©0 alfo
Stecht ani AE u. EC + Q. GE = Q. GC (II , 6* ©0 Sl^er
D. GF = Q. GF. Darier
3le*tau« AE m EC + O. GE + CL GF = Q. GC + CuGF
(1, a- ®r.) SQBeil aUx Ui G rechte aßinfel ffnb, fo ift auc^
D. GE + Q. GF = Q. FE (I, 47. ©•) UUb
• Q. GC + Q. GF = Q. FC; bal|er i|l
3led)t. au« AE u. EC + D. FE + Q. FC.
Stuf ganj d^n(ict)e SIrt n)irb 6en>iefen/ baß
3led)t au« DE u. EB + Q, FE + Q. FC , folgliclj ift
We*t. au« AE u. EC + Q. FE=:9Jec^L au« DE n. EB+ Q.FE.
Unb ba^er andi, mnn beiberfeit« D. FE noeggenommen mirb^
jRecfet. ani AE n» EC = mcd)U -ani DE u. EB,
- \
I
85 .
© e t 36. ^ ^.
/ ■
9Qenn man aitffer^a(6 be^ treffe« etnett xüiU^
i&t)xliditn glittet nimmt, Don n^elc^em eine ben
ftrei6 fc^neibenbe nnb eine anbere if)n 6eviüt|renbe
Sinie gebogen wirb, fo i|l baö ülcdittd au€ ber
ganjen fd^neibenben 2inie unb t^rem auffert)aI6
be^^reifeö liegenben 9l6f(^nitte bemCluabrate ber
berii^rcnbett''?inie gleich*
SB^enn Dom ^unctc D (^ig. 105.) bie ?inie DA Un Ärei»
CBA in C nnb A fci)neibet unb bie Sinie DB benfe(6en in B
berät^ret, fo ifl iai SKec^tecf and AD unb DC bem Duabrate
Don DB gleich»
S e tt> e i d.
I. SaSenn ffcft ber SKittefpunct beö Äreife« , ndihlic^ E , in
ber ?in{e DA beftnbet , fo jie^e man bie gerabe EB. ipier ifl
EB = EA = EC (I, 15. SrH.) unb
X, EBD = R (111,^18. ®.) 15ai)er benn
SX ED = p. DB + Q. BE (I, 47. ©.) (?Ö ijl aber
9le*t on« AD u. DC + Ct. CE = Q. ED CH, 6* ©O
tber, mit EG = EB ifl,
Stedjt. an« AD u. DC + O* BE = Q. ED. Datier
JRee^jt, auö AD n. DC + D. BE n^ Q. DB + Q. BE.
Stimmt man nnn beiberfeit« Q. BE ^inweg, fo bleibt
SRecbt and AD unb DC = Q. DB.
IL SQgenn ffc^ aber be« «reife« ÜWitterpunct E (^ig. 106.)
tiidit in ber ?inie DA befinbet, fo jiebc man au« E auf AG
ba« ?ot^ EF (I, 12. ©.), fo i(l AF = FC (III, ^3. ©O
3iel)t man ferner bie ?inien EB , EG unb ED ^ fo i(l
Siecht* mi AD u. DG + D. FC = Ü. FD (II, 6. ©.)
Da nun Q. FE = Q. FE , fo ift
Wec^t an« AD n. DG + Q. FC + Cu FE =D. FD + ClFE
(I, 2. ®r.) Da aber bei F reAte-SBinfel ffnb, fo i|l
D. PC + Q. FE = Q. EC (I, 47. ©.) ober
Q. FG + D. FE = Ct. EB (I, 15. grfL) Uttb
a. FD + Q. FE = Q. DE Cl, 41 ©. )
86
= O. DB + a. EB. t>afitt iH
tfi^dit ani AB m\> DC<+ £!• EB = Ct. DB + Ct. EB,
nimmt matt «utt Bcib^rfc itd.D» EB l^inweg, fp bUibt dttdjU'
Mi AD unb DC = Ct. DB.
'© c r 37. © a §.
? e t) r f a 6-
3Beittt ijott einem ^uncte auffer^alb beä^ßreifei
jiüei gerqbe ?inien jum Greife flet)ett, beten eine
benfelben fcbneibet/ bie anbete abet i^n ttifft,
nnb eö ifl bad 9ieci)tecf au^ bet ganjen fcbneibenben
Stnie unb it)tem auffett)a(b beö jiteife^ liegenben
Slfrfdjnitte bem Duabtate bet tteffenben ?intc
gleid), fo ifi biefe tteffenbe Sinie tint Tangente
be^ ÄteifeS.
ffienn toom ^nncte D (gig. 107.) bie fc^neib^nbe ginie
DCA nnt> bie ben Äreid tteffenbe 8inie DB an benfelben ge^et,
nnb eö ifi ba^ 9?ecbt. aui DA unb DC bem Ctuabtate bet Sinie
DB gleid), fo i(l DB eine SCijingente be« Äteifeö ABGE. .
S e tt) e i ^» ,
9J?an jicl^e auö D bie 2;angente DEl-an ben Ar«'* (III^
jL7, ©•)/ nef^me be* Äteifeö 9iRimlpunct F (III, i. @.) unl)
jiet)e FE , FB unb FD. Da nun bie Sinie DE ben Äreid be^
xütixt unb DA i^n f^neibet, fo i|t 9ted)t.,auö AD u. DC =,
Quabt. DE {III, 36. ®.) @^ ift abet 3te*n au* AÖ u. DC =
Duabt. DB ; ba^ct aud) Duabt. DB = 0«abt. DE, unb folglich
•DB = DE. (gd i(l abet
FB = FE (I, 15. gtK.) auc^
FD = FD, bafiet
X FBD =^CFED (I, 8. ©.) 9raeitt .
3c: FED ;;= R , bat)ct auc^
5c; FBD = R , unb fofgli* bie DB auf BF lottfUdit,
unb fomit andf eine JCangenfe bed Greife* ABCE (III, 16. @.)
®atn auf d^nlic^e $ltt ipitb bet Semeii^ gef&^tt, toenn ffc^ beS
iCteife* SRittelpunct F in bet fd^neibenben Sinie DA beftnbet
/
€tt(e ^e^ dritten Q5u(6^*
f
b e r
(Elemente te^ (SucHOe^.
acEesa?
S)iefeS Sttc^ ^anbelt:
1. Son ber (Sonfiructiott be0 IDretecfd to itttb ttm bett
Jtrei^, itnb'umgefe^rt.))oit Qonßructton beö Jtreifeö in uttb
um bad Sreiecf. @a6 1—5*
2. Son ber ßonjlructton beö Duabroted ttt itnb um beti
Jtreiö , i^nb itmgef e^rt @a$ 6—9*
3. Son regelmigtgen SScelecfen in nnb vm ben jtreit/
tmb »mgefe^rr. (Saß lo— 16*
^
89
(Srf (Atitttscn ^el vierten J!Bu(^e<,
•\
1. (^ine gerabltntge ^tgur ^et^t in eine anbete .
gerabtinige $igur befc^rieben, tt>enn ber @ct}ette( jebeS
SBinfeK ber etnbefc^riebenen eine Btitt ber jenigen berä^rt,
worin fte befc^rieben iji.
2* @ine gerablinige ^igur fjci^t nm eine anbere
gjerablinige ^ignr befc^rieben, wenn jebe ®titt ber
itmfc^riebenen ben Scheitel eined äBinfel^ berjenigen berührt/
mn mldjt fte befd^rieben i% .
3« (Sine gerablinige ^ignr f^ti^t in einen Ä^reii
befc^rieben/.wenn ber @c^ettef))unct jebed SQinfelö ber tm
befc^rieb^tten $tgur ben Umfang bed Areifeö berührt
4. @ine gerabünige $igur ^eipt nm einen ^reid
befd) rieben/ wenn jebe Seite ber nmfc^riebenen $tgur ben
Umfang beö ^Äreifeö berührt.
5. din ^reiöM^eißt in eine gerablinige ^ignr
Sefc^rieben^ wenn ber Umfang be^ ^'reifeö jebe Btitt ber
0tgnr/ in welche er befcbrieben i|l/ berA^rt
6. Sin^^reid ^et^t nm eine gerablinige ^ignr
befc^ rieben, wenn ber Umfang be^ Äreife« ben ©c^eitel
jiebeö fSUnkHi ber ^igur, um weld^e er 6efc^rteben ifl, beritbrt
7* (Sine gerabe, Sinie tjti^t in einen ^reid ein^
getragen, wenn {!d^ i^re Snbpnncte in Itm Umfange be^
^eifed beftnben*
© e r !♦ ,(S a g; .
81 tt f g ab e.
Sit einen gegebenen Ärei« eine gegebene gerabe
{inie cinjntragen, welche nic^t. gr6f er, aU fein
2)nr(|meffer i(l. '
\
90
<Si fei ( gifl. 108* ) CABF ber gegcBene Ärei« , iinb » Me
gegebene Stnie , toetc^e in benfeI6en eingetragen mtUn foK*
STuflJfttng.
9Ran jie^e ben Z)urc^meffer BC. HQenn nnn BC = D ifl,
fo ifl bai Verlangte gefc^e^en* 3ft aber BC > D , fo ne^mc
\ tnan CE = D (l, 3. ©.) bef*rei6e ani C mit biefer CE beir
Xxtii AEF unb jie^e bit gerabe CA.
99 e n> e i £•
I)a C ber gRittefpunct beö Äreife« AEF i(l , fo ifl mii
CA = CE (I, 15. ©O SlKein
CE =t: D , nad^ ber Slnna^me ;
folglich and^ .CA = D.
iD e r 2* © a>
Aufgabe«
3n einen gegebenen Stx^ii ein Sreiecf ju iu
fd^reiben, beffen SBinfel ben 28intelp eine^ gege^
benen Dretecf^, etnjeln genommen/ gfeid) ftnb:
a^ fef (^ig. 1090 BAG ter gegebene Äreid unb FED tai
gegebene Sreiecf. 9Ran fcK tn ben ^rei^ ein £)retetf ABC
befc^reiben, tt)orin je BAC = ^ E , 5:B = 5cEi unb ^G
Slnffäfung.
9J2an jte^e an ben gegebenen Stxtii bnrc^ ben tt)t(Ifö^rn(^en
^nnct A bie JCangente GAH (III, 17* 60 lege anA ben
5c: HAC = äC E (I, 23. @0 unb ^ GAB = jc Dl txni
}te^e bie SSerbinbungöItnte BC.
93 e tt> e i «.
Z)a GAH txnt JCangente bed ^reifej ift, fo iji and^
3C HAC = 5C ABC (III, 3^ ©0 unb
X. GAB = 5c ACB. (?« i|l aber
3: HAC = 5C E unb ,
5; GAB = X D; folgrfdli au(^
X. ABC = SC E unb
^ ACB sr äC D ( 1 1 i« ®r. ) X^a^er muß audl^
9i
^ BAC = SC F fc9n CI> 33. ®.) »Hb bemnädl t(l A ABC
flletc^winfcKg mit A FED. x
S) e r 3« (Sag*
Um eittett gegebenen Stttii ein Sretecf , jn Be»
fc^retben/ beffen brei SQtnfel ben brei SOSinfeln
etneö gegebenen 'Dxtit^i, tirjeln genommen/ gleich
finb»
^i fei ( ^tg. 110. ) ABC ber gegebene Sxtii nnb D£F bai
gegebene fcreiccf. Wart fott um ben Ärei« ein Dreied LMN
bcfdjreiben , »orin 3CL = 5:D, 3c;M = 3C I>EF unb X, N
= 3C I>FE i(l.
Huflifung..
9Ran t)er(fingere bie EF Aber F unb E mUt&f)xlidi nadi H
ttnb G , nei}me bed jtreifed SBiitttlpnna K (III, i« @.) jte^e
and K bie KB »iafÄ^rn*, lege an K ben ^^BKA q^: 3C^EG,
nnb ben jc BK.C = jc DFH (l, 13. ®.) unb jict^c burd) A ,
B nnb C bie SCangenten LAM, MBN nnb NCL (III, 17- ©O
fo jinb bei A, B unb C rechte ÜCinfel (III, 18. ©.)
S e tt) e i d.
IDa man bie Dierfeitige ^igur AMBK bntd^ eine diagonale
in 2n>et X)reie(fe t^eilen fann / fo finb i^re t)ier SQinfel {uforn^
mengencmmen = 4 ^ ( I » 32. @. ) ißun ffl aber
3c; MAR '= 5C MBK = R, folglich auc^
3; ARB + 5c AMB = üR. Da aber
3C r>EC> + 5C I>EF = 2R (I, 13. ©.) fo ((l anc^
SC AI^B + 3C AMB = 5C I^E^ + 3C DEF*
Slttein e« i|l 5C ARB = x, ^^^^ l^aber anc!^
X AMB = SC DEF (I, 3* ®r.)
(Sani auf i1)nUiit STrt noirb betbiefen / baß
3C; BNC = 3i: DFE i(l; folgli* muß auc^
5C,MNL = 3C EDF fe^n (I, 3a. ®.)
S« finb ba^er bie beiben 2)reiecfe MLN nnb DEF QUiij^
iDinfelig.
»
92
© e r 4* ©' a g>
SIttfgaBe.
3n ein gegebene^ jDreied einen Sxtii jn 6e#
f^reiBen.
SBenn (gtg. iil.) ABC ba« geöcbene Dreietf ijl, fo foK
in ba{fe(be ein Areid befc^rieben werben.
änfUfung.
SÄan l^atbite ben aBinfel ABC bur* btc ginie BD (I, 9. ©0
itnb ben SBinfel BCA burc^ bte Stnie CD , fo mäffen biefe , ge^
l^örig verlängert, in D jufammentrefen CI» ii* ®r.) geme.r
2iel}e man auö D auf BC baef Sot^ DF, auf AB baö Sot^
DE nnb auf AG ba« iot^ DG.
S3 e tt) e i g.
Sa l&ier 3C "^^^ = 3C l>BF> an*
X BED = 3c; BFD = R unb
BD = BD , f o in
DE = DF (I, 26. ®0
Sfuf ganj df)nnc^e SIrt n?<rb aud) beriefen , bäg DP = DG ;
baffer aud) DE = DG. Da nun DE = DF = DG ijl, fo muß
ber aud D mit einer biefer brei Sinien 6efd)rie6ene Xxm t)ic
eeite AB in E, BG in F unb CA in G beru()ren, »eil fi^
bei E, F unb G rechte Sffiinfel bepnben (III, 16. ©.3
© e r 5* ® I*
aufgäbe*
Um tin gegebene« Sreiecf einen Sxzii ju be»
((^reiben.
SBenn (gig. 112.) ABC ba« gegebene Dreiecf ijl, fo foH
ttm bajfelbe ein ^rei« befd^rieben merben«
auflöfung.
SDBenn man bie ?inie AB in D unb bie Jinie AC in E f^aU
litt (I, 10. ©.>^ unb au« D auf AB bo« JiJott) DF, au« E
ober auf AC t>a^ ?otl) EF erridjtet (I, 11. ©.), fo mfiffett
^d) beibe, ge^6rig berldngert/ in F burd^fc^neiben (I, ii. ®r.)
95
•
Z)tefer 9^itnct\F Hegt tntfotUv oberhalb bev @eüe BC ober fit
btr ®titt £C , ober muxijalb ber @ette BG.
S e n> e i d.
I. ffientt ber ^unct F ober BC fdfft,^ fo jtc^e man bie
gerabett ?inien FA , FB unb FC. §ier i(l nun
AD = DB , ferner
DF = DF , uttb ferner
X. FD A = jc FDB = R. goIsKc^ and)
AF = FB (I, 4. ©.)
SoUfommeh auf eben btefe SIrr toixh ben^tefen, baß AF=
FC i% Da^er muß aud) FB =FC.feion, unb ber a\x€ F mit
FA = FB = FC bef^riebene Sxti^ ge^t burc^ bie ^uncte A,
B nnh C.
IL fflenn ber ^unct F in BC liegt (gig. 113*), fo jiebe
man bie Sinie FA unb ed faun^ tt)ie Dor^tn, ben)iefen toerben^
baß FB = FA = FC i|l, unb fofglic^ ber aud F mit einer
biefer Sinien befc^riebene ^reid burc^ bie ^uncte A , B unb G
ge^en mn^.
III: SQSenn aber ber ^unct F unter BC fdKt (gig. iil)/
fo iiel)e man tt)ieberum bie Sinien FA, FB itnb FC.
J&ier ijl nun AD = DB, ferner
FD = FD , unb enbli*
SC FDA = ^ F DB, folglid) .
FA = FB (I, 4. e.)
STuf Ä^nlic^e SIrt wirb bewiefen , baß FA'= FC ijl. Da^er
mulß FB = FA = FC fe^n unb ber aud F mit einer biefer
Sinien befc^riebene ^reid burd) bie ^uncte B, A unb C geilen*
- 3 u f e.
ipierand ge^t ^erüor : baß / toenn ber QRittefpunct bei
Jtreifed aber BC fdOt, aldbann ber 9BinfeI BAC , old aSinfel
im grißeren Slbfc^nitte/ Heiner ali ein [Rechter fei; ferner/ baß^
wenn ber SRittelpunct in BG fdOft,, nunmehr ber SQinfel BAC,
ali SQSinfel im ipalbfreife^ ein Stetster fei; enb(ic^ baß^ wenn
ber 9RitteI)}unct unter BC fdOt, aUbann ber SQinfel BAC, aU
SEBinfel im fleinern ^bfc^nitte, großer a(d ein Stecher fei; auc^
. ttmgef e^rt : wenn ber bemerkte SQinfel BAC entweber ein fpi^er
94
I
ober ein red^ter , obe^ ein (iumpfer ift , baf nunmehr ber 9RtN
itl^mit Ui Aretfeö im erfiett ^aKe oberhalb BG ^ im jtveitett
in BC 9 nnb im britten ^aSe unterhalb BC liege«
© e r 6: © a §♦ '
81 n f fl a b e*
, Sit einen gegebenen ^reid tin Dnabrat {n be#
((^reiben«
(6i fei c^ig* 115.) ABCD ber gegebene Stxtii , in xoit^tn
ein £luabrat befd||rte6en tt)erben foOf*
, Sluflifung*
^an jie^e bie beiben ^urcbmejfer BD unb AG (ot^rec^t anf
einanber (I, ii.@o unb bann bie SSerbinbungöIinien AB, BG,
CD nnb DA. *
8 e n> e t «.
^ier i|l nun EB =i= ED (l, i5« CrfL) fetner ,
EA = EA , unb
, ^ BEA = DEA = R , foIgKcl^ aviii
BA = AD (I, 4. @.)
auf gleiclie art wirb bewiefen , baf BA = BC unb AD =
DC ; ba^er muß bie »ierfeittge gigur ABCD gleic^feitig fepn.
X)a aber bie Sinien BD unb AC Durc^meffer ftnb/ fo mu^ auc^
SC BAD = X ADC = 3c: DCB == JC CBA = R fe^n (III ,
31. @0 X)a{)er ifl baä SSierecf ABCD auc^ rec^twinfelig nnb
folglid^ ein Duabrat (I, 30« (grtto
© e r ?♦ © a !♦
aufgäbe«
Um einen gegebenen ,^reid ein Onabrat jn hu
((^reiben*
(ii fei ABCD (^tg. ii6.) ber gegebene Stttxi, um welchen
bad Duabrat befc^rieben werben foU. ^
aufl dfung.
9Ran ßellfe bie 2)urc^me|fer BD unb AG (ot^rec^t auf ein^
anber , unb jie^e burcb bie ^uncte A , B , C unb D bie Xaxiß
genten FG, GH, HK unb kF cHI, 16. 3uf.)
9«
S ( to,c i i.
^itt (Ittb fotoo^r bte Stnfel 6et A , bei B , bei C , Ui O
Ol« au(^ btVäBinfel M £ ret^te äBinfct (III, 18. Q.y Da^cr
finb btt ^jttten GF, BD unb HK mitetnanber gfeic^Ianfenb
CI, 38. ®.) fo n>te auc^ bte Stnten GH, AG uiib FE. unter (tc^
ifataUtl finb. Da^er muß ba^ Sterecf GFKH ein ^axaütlo*
flramm fe^n; audf ift GF=:HK.=:GH = FR=BD (1 , 34«
6.) unb 3c: G= 3c:F = 3c:It = 3CH = R. golgli* »(i biefe«
Steretf glctc^fcittg unb r«^tu>tn{eltg unb ba^er ein Ouobrot.
©er 8, © a !♦
21 u f a d b e»
Sn ein gegebene« Quabrat einen ^reid jn be#
((^reiben.
e« fei c^ig* 1170 ADCB ba« Q^^ziztit Ouabtat, in mU
äjti Ut 9mi befc^rieben werben foU«
anflifnng-
man fjalbixt bte (Seite AD in £ unb bte (Seite AB in F,
{te^e burcb £ bie £H gleic^Iaufenb ( 1 , 31. (3. ) mit AB nnb
DG unb burc^ F bie FK parallel mit AD unb BC.
93 e n> e i d*
Xnxd) biefe iSinien entfielen mt Parallelogramme AEGF,
EDKGte FGHB unb GRCH^ SJlun 4|l
AD = AB , ferner
A£ = 1/2 AD , unb
AF = i/a AB , folglich andil
AE = AF, fo wie aud^
FG = GE (I, 34. @.)
®an^ auf d^n(ic^e 9(rt wirb bewtefeU/ baß FG = GH,
irnb GE = GK i^ 3>a^er ijl nun GE = GR = GH = GF
stnb ber au« G mit einer biefer Sinien befc^riebene £reid mu0
burc^ bie ^uncte £, K, H unb F ge^em IDa aber auc^ bie
SQinfel bei £, bei K, bei H unb bei F rechte ftnb^ fo ntu0
ber Areid FEKH bie ©eiten Ui Duabratö ADCB ^erft^ren
CHI, 16. e.)
.«
© e r ' ^* ® a §♦
aufgate»
Um ein igegebeneö Duäbrat einen ^ffreid jn tt0
fc^reibem - '
(S« fei (gtg. 1180 ABCD ba« flegeSene Qnabrat, um
toelc^eö ein ^reid befc^rieben tt)erben foU«
»uflöfung.
9Benn man bie iwti diagonalen AC unb BD ){e^, n^efc^e
einanber in E burd^fd^neiben , \o tann ani E mit £A ber t)er^
langte Stuii befc^rieben n^erben.
» e w e i «•
Xa fjitt AB = AD, ferner
CB = CD unb
AC = AC, fo i(l auc^ (I, 8. ®o
5- BÄC = 3C DAC. Da aber ^
5C; BAD = K, fo i(l auc^
X, BAG = X, I^AC = 1/2R.
Sfnf eben biefe Srt »irb beriefen, baß
3C ABD = X CBD = V2^» ^ö^er ifl anc^
jC EAB = ^ EBA unb fol^tid)
EA = EB (I, 6. eo
Sluf gletdie 9irt noirb bemtefen/ baß auc^ £A=£D unb«
EB = EC. Dal)er ijl EA-= EB = EC = ED unb bergan« E
mit einer btefer Sinien befc^rtebene ^rei^ mu^ iuxd) bie ^uncte
B, A, D unb C ge^en»
© e r 10. @ a §.
81 u f g a b e.
(Sin gTeic^fd^enfeli^ged Dreiecf {u bilben, toortn
jeber ber ixoti äOinfet an ber ©runblinie noc^ ein^
mal fo gro^ ifl, al6 ber britte äQinfel.
aWan fott (gig. 119.) ein glei*f*enfelige« Dreiecf FGH
bilben, in »elc^em 3c^ = äCH = 2XFi|l*
97
SSftan jte^e eine gerabe Sinte AB unb fcinetbe fle fo in C ,
»of( boö STec^rerf ait« AB unb BC = Ctuabr. AC tjl (II, ii. (S.)
SZttti befc^retbe man an^ A mit AB btn $retd BDE unb trage
in bcnfcfben bic «infe BD = AC ein (IV, i. ©.) Dann jie^c
man bie Ifinien DA unb DG unb befc^reibe um bad Dreiecf
ADC ben Ärcid ACD (IV, 6. ©0/ fo i(l/ töe« AB=z=Ap
(I, 15. (Erf(.) bad Dreiecf BAD gleic^fc^enfelig unb folgli^
je ADB = 5:; ABD (I, 5. ©•)
25 e tt) e f «• '
£a nun IRec^t» AB unb BG = Ouabr« GA unb anäf
CA = BD , fo iU
Stecht« AB unb BG = Ouabr. BD unb ti mn^
hit Unit BD eine SCangente bed Äreife« ACD fe^n (III, 37- ©♦)
©a^er i|l nun 3C BDG = x CAD (lil^ 32. ©.) «Kein
3C: CDA = ^ CDA , folgtic^
X, ADß = X, CAD + 3c; CDA. di ift a6er
CI, 32. ©. ) 3C BGD = ^ CAD + jc CDA, folglich aucft
3C; ADB = X, BCD (l, 1. ®r.) di war aber
X ADB = 5C CBD, folgti* ifl
äC BCD = jc CBD (1 , 1. ®r.) Da^er auc^
BD =± DG (I, 6. ©.) C« war aber
BD = BA , folglich i(l auc^
DG = CA , unb ba^er anä)
5C; CAD = 5C CDA, (1,5. ®. X flifo
^ BCD = 2 je CAD (I, 32. ©•)
9lun war ater 3C ADB = jc ABD = jc BCD, folgrid^ ifl
SC ADB =s X. ABD = a j; CAD. ^
©er il* (5 ft !♦
SI tt f g a b e.
3u einen gegebenen j(rei< ein gleic^feitigeS unb
gleic^winfeliged ^änfecf }u befc^reibem
(S^ fei (gig* 120.) ABCDE ber gegebene Ärei«, in wefcfeett
hai g(ei(^feitige unb gleid[iwinfelige g&nfecf ju befd^reiben i^t.
98
I
>
Wlaniilbt ein gleic^fc^enfelige« X)rete(( FGH, leorttt jebet
ber beiben SBtnfe( bei G unb H noc^ einmal fo groß ali ber
SBtnfcI Ui F i(i (IV , i». ©0 unb befcfereibe in ben gegebenen
Are« ein Dreiecf ADC fo, baß sc CAD = ^ F, ^ ACD
= 5C G> nnb SC ADC = ^c H ijl (IV, 2* ©.)/ fo ijl jebet
ber jmei SBinfel ACD unb ADC = a 3BinfeI CAD. SRun t^aU
bire man 3C ACD burc^ bie ?inie CE (1 , 9. ©. ) unb 3C ADC
^urd^ bie Sinie DB , unb jie^e bie geraben Sinien AB, BC, DE
tinb EH*
» e tt) e { «.
jDa ^ier 5: CAD — 3c ACE = jc ECD = 5c CDB = 3C
BDAy, fo muffen auc^ bie SSogeU/ tt)orauf ffe jlel)en, ndmlid)
gSog. AB , Sog. BG , Sog. CD , Sog. DE unb Sog. EA ein*
anber gleicft fe^n, fo mt auc^ bie geraben ?inien AB, BC, CD,
DE unb EA .einanber gleich finb (III, üö. unb W. ©.) folglid^
ifl bad gönfcdf ABCDE ein gleic^feitige«*
2)a nun Sog. AB = Sog. DE unb
Sog. BCD = Sog. BCD, f o ip auc^
Sog. ABCD = Sog. BCDE, unb ba^er auc^ X,
DEA = 3C EAB (III, 27. ©.)
(Sang auf d^nlic^e 2lrt wirb beriefen, baß jeber ber übrigen
SQBinfel einem ber SÖinfel DEA ober EAB gfeic^i ifl. Dat)er
ipt 5C ABC = X BCD = X CDE = X I^^A = ^ EAB
' unb tai ^iünfecf ABCDE iß auc^ gleic^minfelig«
SD c r 12* ® a §♦
Slttfgabe.
Um einen gegebenen ßreiö ein gleicbfeitigeS un^b
gleidjwinfeliged ^unfecf ju befc^reiben.
66 fei (^ig. lai.) ABCDE ber gegebene ^rei«, um welcftett
ein gfeidjfeitigeö unb g(eicf)n)infe(ige6 ^ünfecf befc^rieben n)er^
ben fott.
8Iufl6futtg*
9Ran benfe {Tcfi in biefen Stxdi ein gfeid^feittgeS unb greic^#
toinfefigeö gänfecf f befd^irieben / baß beffen 2Qinfef)utncte ffc^
09
UiAy B, C, D itnb E befinbett (IV, 11. S.) 3ie^t matt-
jtutt tnxdf biefe ^uncte bie JCangeitten GH, HK, KL, Lto
mb MG , fo i|l HGMLR bad ju 6efc^irei6enbe %ünft(S.
\ 85 e tt) e i i»
Stimmt maiube^^jtretfed 9Ritle(punct F unb jte^t bte geraben
FA, FB, FC, FD unb FE, fo tt>ic andf HK unb FL, fo ffl,
ba jT* bei B, Q unb D redjtc äBtnfel bejtnben CHI, 18. @.)
«uttme^r Ctuabr. FK = Quabr. FB + Quolbr* BK unb
Ctuabr. Fk = Quabr. FC + Duqbr. KC.
(Si ift aber FB = FC ci, 15. (grH.) unfr ba^er
DuabiH FB = Quabr. FC, ballet auc^ ^
Quabr. BK = Quabr. KC (l, 3. ©r.) gorflUdSf
BK = KC. Sltteirt e« i|l OttC^-
FB = FC unb
F K = FK, basi er betttt
^ BFK = 5: CFK; ober
5c: CFK = % X. BFC.
STuf gteidje 2lrt wirb bewiefen, baß CL=LD, 5:;CFL=:
3: DFL, unb folgtic^ -
- 3C CFL = % 3C CFD ijl.
SBBeil aber SSog. BC = S5og. CD (IV, ii. ©.) fo i(l
3C BFC = 3C CFD (III, 27. ©.) bal)er auc^
^ CFK= jc CFL (I, 7. ®r.) gerner i(l
FC = FC , fo wie auc^
X FCK =3; FCL = R, bat)er betttt
KC = CL (1, aö.^ß.) ober auc^
KCzzri/jKL.
Sluf d^nn^e »rt n)irb benjiefen, bag KB=:%KH unb LD
srJ/^LM i% Da aber KC=KB unb CL = LD, fo tfl and^
KL = KH (I, 6. @r.) unb KLz=LM. Sluf Afjnltt^e SIrt
toirb gejeigt , baß KH = HG unb LM = MG fei , bal)er tft
KH = HG = GM = ML = LK , unb ba« günferf HGMLK ijl
gleidjfeitig.
Da nun x^ FBK = 5; FKC = R, uttb auc^
X BFK = 3C CFK , f o muß auc^
X BKF = 5: CKF (I, 32. ©.) Uttb foIflHc^
$; CKF = 1/2 3C BKC fe^n.
loa
(iitn\ü »irt Bnüiefm, baß gc CLF = Va ^J^* 25a iwit
X, FCK = 3C FCL = R, audi ferner
X CFK,=s ^ CFL, fo id and^
9C CKF = 3C CLF (I, 30. @.) foffllic^
5C: BKC = 5C GLD (I, 6. ®t.)
9inf i^nltc^c SIrt toirb (emiefen , baß bie u6rtgett üßinfel
(ei M , G luib H jebem ber ttibtn ®infel BKC nttb CLD
gleich (fnb, folüliä) i(l 3:HGM = 3c; GML = 3CMLK = 3C
LRH=3(;KHG, lutb iai ^üinfetf HGMLK iß oad^ gleid^^
I9iitfcltg*
2) e r 13. @ a |.
9(ttfga6e«
' 3tt eitt gegeBettet gleic^feitige^ uitb glet^ti>ittfe#
ligetf ^ünfecf ettten StrtU ju befci^retben.
Sd fei (gig* 132.) BAEDG ettt gleic^fettt^e« nttb glet(^#
tDtnfeltged gänfecf/ fo foll in baffelbe ein ^tii befc^rieben
iverben»
Slttfrifuttg.
^an ^albire ben fSiinhl BCD burc^ CF nnb ben 28infel
CDE burc^ DF (1 , 9. ® unb jie^e an« tf)rem 2>urc^fc^nttt«i^
))ttncte F bie geraben F£, FA nnb FB. 3ie^t man nnn aui
F anf BA ba« iotfj FG , fo ijl FG ber ^albmeffer bed ju
befd^reibenben greife«*
SB e » e i «.
5Da ^ter BC = CD , ferner
CF = CF , nnb and^
^ BCF = ^ DCF, fo i(l
jC CBF = 5C CDF (I, 4. ©,) 6« i|i aber
je CDF = 1/2 3C CDE = ij^ 5:; CBA, ba^er au*
3C CBF = 1/2 3C CBA nnb e« »irb folglich ber X,
CBA burc^ bie Sinie BF. ^albirt
SInf gleiche Slrt wirb gejeiflt , baf ^ BAE bnrc^ AF , unb
3C AED bnrd> EF ^albirt wirb*
%iiUt man nnn ani F auf bie Q^it^ Ui S&nfecf« bie Sot^e
FH, FK, FLnnbFM, fo ijl
101
3C FHC = je FKC = R, Hi \»at (Att
X HCF = X. KCF, jinb e«' i|l
CF = CF , b alftt mufl
FH = FK. fcpn (I, a6. ©O
3(uf biefelbe 3(rt n>irb bemtefett/ baf iebeö ber fiSrfgen Sotl^e
FL, FM unb FG. jcbem ber 8ott)c FH unb FK glci* tjl. gofg*
Ii4l tjl FG = FM = FL = FK = FH , unb ber ani F mit FG
befc^riebene £retd muß burc^ bie Erntete G, M, L, K unb H
ge^en; unb/ tt>etl bei btefen>$uncten rechte SSinfel ff nb/ bte
eeitcn be^ ^iünfecf^ in biefen ^uncten berit^ren.
© e t 14» (S a $♦
SIttfgabe«
Um tin gegebene^ gleic^feitiged unb QUiAtoitt^
ttlxQti ^änfetf einen. £rei6 ju befc^reiben.
(?S fei Cgifl- 1230 BAEDC bad glei*feitjfle unb gteic^s»
tDinfelge ^unfecf/ um totlAiei ein jt'reid befc^rieben U)erben foU»
Sluflifung»
«JKan ^dbire ben 5C BCD burdj CF unb ben 3C CDE burc^
DF, tt)elc^e im ^uncte F jufammentrejfen/ oinb e^ i|l FC hit
Sinie/ mit n>e(c^er ani bem ^uncte F ber ^^erlangte ^rei^
befc^rieben tt>erben fann»
S e ti) e i 0.
aGBentt man bte Sinien FB, FA unb FE ^itl^t, fo wirb ^ier,
iDte juuor (IV, 13* @0 benoiefen, baß burc^ ^iefe Linien andf
bie äbrigen äBinfel be^ ^ünfecfö ^albirttverbeU/ tt)oburc^ bentt
bie entfie^enben i^dtften aDe einanber gleich flnb. @d mitg
bemnat^ A CFB = A BFA = A AFE = AEFI> = AI>FC.
fepn (I, 6. ©O Dafier ipt aud) FC=i:FB = FA = FE=:FD
unb ber ani F mit FC befc^riebene ^mi mn^ iwti) bie fßicU
ecf^puncte C, B^ A> E unb D ge^em
• •;
^
102
S) e r 15, (S a $.
Sf tt f g a b e.
Sn einen gegebenen ^reid ett? gletc^feittgeft uitb
gletc^tt)infe(igef ©ec^decf ju befc^reiben*
(&i fei (gig^ ia40 ACEF ber gegebene Äreid^ in welche»
ein gleic^feitigeö unb gleic^minfeHged Bcdjitd befc^rteben u^er^
ben foU.
Slnfrifnng*
SQ3enn G ber üRittcIpunct bed Ärcifcö ijl, fo jiebe man einen
35utd)mejfer /^GD, befciireibe au^ D mit DG bcn Äreid EGCH,
jic^e EG nnb öerldngerc fte nacf) B , fo wie andj CG , tt)clc^e
tiac^ F t)erldngert wirb* @nblicö jie^e man We gcraben AB^
BC , AF «nb FE.
S e » e i «•
>
Xa ^ier DE = DG (I, 15. SrHO nnb ebenfo
* DG = GE , fo i(l bad X)reiecf GED gleic^feitig
nnb ballet auc^ glcic^winfelig (I, 5. @.) ««^ j^^^*^ feiner brei
SDBinfel fo groß, afö ber hvitu Zijcil,)oon jwei ^cd^un (I, 32.
©.) Sbcn biefe« gilt auc^ »om gleic^feitigen Sreiecfe GCD.
2R
Z)a nnn 3C EGD = 5: CGD = — , fo ifl anc^
3CCGB = H5(I. ,3.S.>M«i|.3CEGD
= 3C CGD = 5:; CGB.
2)a aber jeber biefer ^infel auc^ feinem @(i|eitern)infel
gleicl) i(l, fo ijl an* 5; EGD = ^ DGC = ^ CGB = ^ BGA
= ^ AGF = 3C F^E (I5 15. ©.) X)a aber auc^ GE = GF
= GA = GB = GC = GD (I, 15. SrH.) fo iji an* ADGE
= AEGF = AFGA = AAGB = ABGC = ACGD (I, 4.
©O ba^er mnß 5: DEF = 5: EFA = 5:; FAB = 3c ABC = 3c
BCD=:3cCDE nnb folgli* tai @e*«ecf ABCDEF ein glei**
feitigeS unb g(ei*mrnfe(igeö fe^n.
Sttfa©.
ipieraug ifl tlat, baß bie (Seite bed gfeicfiminfeligen nnb
glei*fettigen Qtdjitdi bem i^albmeffer bed Areifeö glet* fei.
103
tu «Dclc^em ti 6ef(firle(en K%. Kuc^ ge^t ^f^rau^ l^ert)or, baß
man burc^ S^aitgenten, n>e(c^e burc^ bie ^uncte A, B^ C^ D,
£ utib F gf;(cgt iDctben^ auf A^nlici^e 9rt ein gleict^feifige^ unb
gleic^wtnfeltge« @e(^^e(f nm ben jSret^ 6efd}rd6en f6nne^ tt>u
biefe6 frät^er fitr baö gletc^fetttge nnb gleidimtnfelige ^Anfccf
C IV , 12* ©. ) flcfcfeel)en tjl Öuc^ fann ebenfo , »ie bei bem
gletc^feirigen nnb gleic^minfeKgen pnfecfe gejeigt »orben tfl^
fowo^T in a(6 um einen gegebenen ^eid ein gleic^feittged unb
gkic^noinfeliged (Sec^öecf befc^rieben uoerben.
S> e r 16. (Sa %.
SI u f g a b e,
3n einen gegebenen Areid txvi gteic^feitigeö unb
gleic^minfeliged ^&nfje^ne(f ju befc^reiben.
6« fei (gtg* 126.) ABCD ber gegebene Ärei«/ in tDefd^en
ivx gleic^feitigei unb gleid^n^infeligeö S&nfje^necf befc^rieben
»erben foK*
afufCöfung unb SetDei^«
(S£ fei AC bie @eite be^ \xi ben gegebenen StxvA befc^rie#
benen gleic^feitigen Z)reie(f £ > unb AB bie (Seite bed in ben^
felbigen SLxzxi befc^riebenen gleic^feitigen unb g(eid)n)infe(igen:
giinfecf« (IV, 11. @.) 2)enft man ffc^ nun biefe^ Äreife«
Umfang in fänfjel^n gleiche %%tiXz get^eilt, fo ent^dU ber
Sogen ABC, oXi ber brttte S^tieil biefed Umfangt; fünf folc^er
Jtt^eile ; ber Sogen AB aber/ aK ber fünfte ^t)ei[ biefei Um^
fanget/ brei folc^er iC^eile, X)a^er xm% ber Sogen BC, aK
ber Unterfc^ieb ber {wei ebenbemerften Sogen , {wei fo(cl}tr
Jt^eile enthärten« SOirb ba^er biefer Sogen BG in £ ^albirt
(Uly 30« @0/ fo iß Sogen BC fotoo^I a(d Sogen EG einer
biefer /C^eile. UBirb nun bie gerate Sinie £G gejogeu/ fo
(ann vxm, noc^ toierje^n i^r gleiche gerabe hinten in bem Um^
fange bed jtreife« um^ertragen (IV, u ®«) unb bä^ ^ieburc^
in bem jtreife entfie^enbe ^unffe^necf muß gleicbfetttg fe^n.
£a aber auc^ jeber feiner SBinfel auf bemfelbigen Sogen ftel}t/
-fo ifl biefeS ^änfje^necf aud^f gleid[)u>infelig (III, 27. ®.)
104
Sluf gleiche 9itt, tüte bzl bem gletc^fetttge^ itnb gfeicbuoiiu
{eHgen ^linfecfe^ tpirb auc^ ein gletdifeittgej itttb gletc^tom^
fe(tg?i$ Sftnfje^necf um einen gegebenen ^reig ober ein ^reti
in ober um ein gegebene^ gleid^feitigeS nnb glei(i^n)in!eliged
g&nfje^necf befc^riebem
Snbe hti i^itxttn fBnd^i.
1b a i
b e r
Elemente ^eö CE^tt^^c^•
S)tefei Sud^ ^anbelt:
1. SSon jenen ^roporttonaKtnten , tDelc^e 6et htm Xttu
tdt itnb ^araUefogramme entfielen, toenn tiefe Figuren auf
U\timmtt SIrt gefc^nitten ober toerbiinben n)erben« ®a$ i— 17.
«i* SBott betr ^e^nlic^fett breiecftger nnb nte^rfeittger ^gn#
teil/ »ebfl $In»enbttngen bat^on^ @a$ 18^33«
CSRan fe^e, toai tn ben Sin mer fangen jn biefem 93ttd[ie
oK Sorerinnerung [CLX.] bemerft ivojrben ifl.)
.>•-'•'
107
SrÜ&ru.ngen .be^ fed^^ten iöud)t6.
±. ©erabltntge ^igitren ftnb etnanber ifinlid^,
tDctttt aUe äBinfel, etnjeln genommen^ etnanber gletd^ unb bie
(Seiten/ tt)e(cbe biefe SBtnfel btiben/ etnanber pro))orttona( futb*
2« 3n gerablinigen g^tguren (le^^n bie@ettentmumge^
feierten g5erl)dltniffe/ jrenn jTc^ eine ^titt ber erflen
gigur fo ju einer ©eite ber jn)eilen üer^dft, toie eine anbere
(Seite ber gweiten 'Jigur ju einer anbern ©cite ber erflen.
3* @ine gerabe ?inte beißt nac^ (letiger ^topot^
tion get^eilt; ipenn ftc^ bie ganje Sinte ju t^rem großem
3l6f^nitte t>erl)&It, toit fid) biefer größere ^bfd^nttt inm fUu
Hern äbfctjnitte tjer^dlt
4« Die Jg)6^e einer gtgur ffl ein ?ot^, welche« »Ott
i^rer ©pige auf i^re ©rnnblinie gejogep wirb.
5, ÜBenn jn)ei ober mehrere Serl)dltniffe bie Sigenfc^aft
fiabtttf baß immer bad }n)eite ®(teb eine^ Dor^erget}enben
2itg(eic^ auc^ bad erj!e ©lieb bed n&ct^jlfofgenben tfl, fo fagt
tnan> bad SSer^Itniß bed erflen ©liebet im erflen {um legten
©liebe be^ legten SBert)&(tniffeö , fei lanii allen biefen fßtxtialU
stiffeu/ Dber ani folc^en, bie i^nen gleich ftnb/ jufammen:^
gefegt
©er !♦ © a §♦
8 e f| r f a 6-
SBenn jwei DretedPe ober jwei ^araflelogramme
einerlei S)iiif l)aben, fo »erhalten fie fic^, toit itfxt
©runbliniem
OBenn bie Dreiccfe (gtg. 127.) ABC unb ACD ober bie
^arattelogramme EACB unb AFDC einerlei i^o^e AC tjabm,
■N
108
fo »erwarten jle ffc^ »le ttju ©runblttticn BC unb CD , tai
^eißt, tS ifl A ABC : A ACD = BC : CD unb
* EACB : AFDC = BC : CD.
S e n> e i 4«
9Watt DcrfÄngcrc bfc iinic BD über B unb D mdj H «nb L,
ite^me BG = GH (unb fo »iele Sinien man toiU) = CB. De^^
gleichen neunte man DK = KL (unb fo mele Stuten man toiH)
= CD unb jie^c bk »crbtnbungdrinien AG, AH, AK unb AL.
I. I)a ^ier CB = BG = GH, fo ifl aud)
A ACB = A ABG = A AGH (I, 38. ©•)
jDa ferner CD = DK = KL , fo ifl md)
A ACD = A ADK = A AKU
©a^er ifl HC unb A AHC t)on BC unb A ABC , unb ani tUn
biefem ®runbe aud) LC unb A ALC von CD unb A ADC ein
@Ietcl^üte(fac^e^« SZun ifl aber,
ipenn HC = LC , auc^ A AHC = a ALC , wenn aber
HC < LC, audj A AHC < ALC, unb tt)enn
HC > LC, auc^ A AHC > A ALC (I, 38* ©♦)
folgric^ ifl A ABC : A ACD = BC : CD.
IL 92un: ifl aber auc^
EACB,= 2 A ABC unb
AFDC = 2 A ACD (I, 41. ©.) fofglic^
EACB : AFDC = 2 A ABC : 2 A ACD, ober:
EACB : AFDC = A ABC : A ACD.
e« ifl aber A ABC : a ACD = BC : CD (L) forglid^ au(^
EACB : AFDC = BC : CD.
©er 2* © a !♦
8 e ^ r f a ö.
9Benn mit einer Z)reiecfdfeite eine gerabe Sinte
burc^ tai Dreiecf parallel ge^t^ fo fdineibet fie
bie übrigen ^tittn iti 2)reiecf^ })roportiona(/
unb wenn jmei Seiten eineö ^reiecf^ t)on einer
geraben Sinin im Sreiecfe proportional gefd^nit#
109
I
ttn tverbett/ fo tit btefe gerabe Unit mit ber britten
©efte bc6 2)rciedd gleic^Iaufenb.
@« fei C^ig. laS.) in hm Dreiecfe AGB bic ED mit CB
grcic^Iaufenb , fo i|l CE : EA = BD : DA , unb njenn
BD : DA = CE : EA i(i, fo muß bic
SitxiiniWQilinit ED mit CB gletc^Iaufettb fepn.
8 c n> c i «.
I. ÜRatt giet)C bie ffiertinbungölinicti EB «nb DC, fo fjl/
»eil DE ^r bie Dreiecfe DEC unb EDB gcmeinfc^afUic^e
©runblinie ^ auch CB mit ED parallel ifl ,
A Bl!>E = A CED CIj 37. ©O X)a nu«
A ADE = A ADE , fo ijl auc^
A BDE : A ADE = A CDE : A ADE.
DA (VI, 1. ®0
DA. 31 Bein
EA CVl, 1. ©,)
Qi ijl aber A BDE : A ADE = BD
Dd^er A CDE : a ade = BD
A CDE : A ADE = CE
2)a^er BD : DA = CE : EA.
IL SDBerm aber BD : DA = CE ,: EA t(i , fo ift auc^
BD : DA = A BDE : A ADE,
foffllic^ CE : EA = A BDE : A ADE.
attein CE : EA zz A CDE : A ADE,
forglic^ A BDE : A ADE = A CDE : A ADE.
(ii i|l aber A ADE = a ADE , folglich arx^ii
. A BDE = A CDE, aCein bie beiben
gleichen SDreiecfe BDE unb CDE ^aben bie ©runblinie ED
gemein/ folglid^ mvi^ aud^ CB mit ED paraKet fe^n (I, 39. ©0
©er 3* (Sa |*
2 e ^ r f a 6*
aOSenn ber SBinfel eine« I^reiecff l^albirt n>irb
Itnb hit /C^eilungölinie auc^ bie ©runblinie fci)nei^
tzt, fo finb bie jwei Slbfc^nitte ber ©runblinie ben
übrigen (Seiten beö IDreiecfd proportional; unb
toenn hit Stbfc^nitte ber ©runblinie eine« 2)reiecfd
feinen^ äbrigen leiten proportional'finb, fo l)a&
110
iixt bie gerabe Unit t)ott ber ®pt^e ttac^ bem ZlftiU
pnnUt ber ©runbltnie ben SBinfel an ber @pt^e*
<?*. f^i (S'S* ^^9.) ABC bad gegebene Dreierf unb ber
9c; BAC »erbe bur* AD t)albtrt, fo i|l BD : DC = BA : AC
itnb n>enn biefe Proportion fiatt ftnbet/ fo tß^BAC burd^ AD
l^a(6irt
fß t to t i i.
I. ^an gte^e bnrc^ C bie ginie CE mit DA gfetdiraufentf
CI , 31. ®.) nnb öerldngere BA fiber A , iii fle biefe ^araKele
in E fd^neibet, fo ijl
9C ACE = 3C CAD (I, 29. ©0 unb
^ CEA zz: X, I^AB. »nn ifl aber
5c; CAD = 5c; I>AB nac^ ber annähme; alfo
5C ACE = 3C CEA unb ba^er
AE = AC (I-, 6* ©.)
SBeir aber im Sreiecfe EBC bie AD mit EG gleic^Ioufenb ift,
fo ^at man
BD : DC = BA : AE (VI, % ©O «Ittein
AE = AC. Da^er aut^
BD : DC = BA : AC.
II. asire nun BD : DC = BA : AC , fo i|l, weil 'in bem
2)reie(fe EBC bie AD mit EC paraOel I&uft, and^
BD : DC = BA : AE (VI, ü. ©o ba^er4oirb
BA : AE = BA : AC. Somit auc^ '
AE = AC , unb forgric^
X. AEC = X, ACE (I, 5. @.) (Si ijl aber
3c; AEC = 3c; BAD (I, 29. ©O unb
3c; ACE = 3C I>AC , bal|er auc^
3c; BAD = 9c; DAC.
iD e r 4^ © a §♦
? e 1^ r f a fe» i
5ß}entt in jwet Sreiecfen bie 2BinfeI, etnjeln ge«»
ttommen, ""einanber gleich finb, fo'finb bie &tittn
welche gleiche S&infel einfc^Iiepeu/ einanber proi»
V
111
yorttenaf, itnb bfe, totldit ^Itldftn Sßinfeln gegen»
€« feien C%Iq. 130. J in bcn iDrefedfen ABC ntib DCE feie
SBinfel/ einzeln genommen/ etnanber gletc^, fo tfi
BA : AC = CD : DE
AB : BC = DC : CE nnb
AC : CB = DE : EC.
JB e tt) e i «♦ \
2Benn man bie (Seite BC bed I^reiecf^ ABC mit ber ®ette
CE bti IDteiecfd DCE in eine gerabe Sinie BCE bringt, fo ifi^ ba
^ ABC + 3C AGB < 2R (1, i7. ©.) nnb
5:; ACB = SC DEC, nunmehr and) ""
5C: ABC + 5C r>EC < 2R.
£a^er qräffen bie Linien BA unb ED, toenn jene jlSer A
nnb biefe Aber D t)erldngert n>irb/ einander in F bnrd^fd^neibeii
CI, 11- ®rO
Da nun x. ^CE = $: ABC nnb
9C ACB = X, I>CE, fo ifl bie ^Stitt BF mit CD
Itnb bie ßtitt AC mitFE patattel (I, as* ©O^ folglich ifl
AFDC ein ^araffelogramme nnb ballet
FA = CD «nb AC = DF (I, 34. @.)
SBeil ober AC mit FE «nb BF mit CD gleic^Iaufenb i|l, fo
f)at man BA
BC
BA
folglich BA
BC
BA
AF = BC
CE = FD
CD =BC
BC = CD
AC = CE
CE nnb
DE (VI, % eo fofgli* iji and)
CE nnb BC ; CE = AC : DE,
CE unb
DE , ba^er aud)
AC = CD f DE,
JD e r 5. @ a $♦
..SBenn {toei Dreiecfe proportionale ©eitett
t)aiin, fo traben fie; einjeln genommen, gleiche
SOBinftI/ nnb bie 3&in{el, welche homologen @ei#
ttn gegenüberliegen/ finb einanber gleich*
112
(Si fei in ben t^reMen (gig. 1310 ABC unb DEF
AB
BC
BA
BC = DE
CA = EF
AG = ED
EF, ferner
FEI, unb ettbKc^
DF , fo i(l
je ABC = X. I>EF; ^ BCA z= 3c: EFD, mb
^ BAC = X. EDF.
f8 t to t i i.
SKan lege an bie ©eite FE ben SBtnfer FEG = x, ABC
(I. 23* ®.) unb an EF ben 3BmfeI EFG = x BGA, fo i(l
auc^3:;EGF=5c: BAG (I, 32. @0 Dal^er finb bie 23reiecfe
ABC unb GEF QUidftoxnUli^ unb td iß
AB : BC = GE : EF (VI, 4* ©O «ffeirt eö i(l
AB : BC = DE : EF nac^ ber »nna^me, folglich ift
EF ober and)
EF unb ba^er
DE
DE
EF= GE
GE = EF^
DE = GE.
Si;uf gleiche Slrt »irb beriefen , baf DF = GF t(f. 2)a
nun bie 2)reiecfe DEF unb GEF and) nod) bie Qtitt EF
gemein traben / fo tfi
5C DEF = ^ GEF = x ABC (I, s, ©0 ferner
5: DFE = X. ^^E = 3C AGB unb and)
X EDF = X E^F = 3C BAC.
JD e r 6* ® a $♦
HS
8 e w r i I.
S e tt) e i «.
9!tM rege an FD beit 5IBi«fef FDG = x, BAC = 5c EDP ,
(1, 23. 0.) unb an DF ben $: DFG = 3c AGB, fo muff
an* 3C ^^^ ~ ?: ABC fe^n (1,\32. (^0 Da^er jTnb bie
Crciecfe ABC unb DGF QUiibtoinMxQt littb ej ifl
BA : AG = GD : DF (VI, 4. @.) Ö« i|l aSer
BA : AG = GD : DF (VI, 4. @.) 6« ifl aber
BA : AG = ED : DFnad)ber3liina^me,ba^erau(^
ED : DF = GD : DF unb
ED : GD = i)F : DF, folgricfeifl
ED r= GD. @d ijl aber fernet
DF ac DF unb j; EDF = 3c; GDP, ba^er
^ DFE = 3C DFGr = 3C AGB (I, 4. ©.) unb
^ DBF = 3c; DGF = 3c: ABC.
? e l) r f a ^»
SBenn in itoti IDretecfen ein ^tnfel bei einen
einem Sinfel bed anbern gleich ifl^ unb bie (Sei«*
ten^ üon tt)elct)en anbere SBinfel eingefci)Ioffen n)cr#
beU; einanber proportional finb, audi t)on ben
not^ Abrigen Rinteln jieber jugietd) entmeter fleii*.
ner>ober ntd)t fleiner/ aU ein Streiter ift; ifo finb
bie Z)reie<le gleicbtt)intelig^ unb bie SQinfel^
tpelc^e von proportionirten @eilen eingefd^Ioffen
loerben^ einanber gleich.
ei fei in ben Dreiecfen (gtg. 133.) ABC unb
DEF ber 3C BAC == 3C EDF> ferner
AB : BC a Dk : EF^ aut^ jeber t>on ben n«<^
übrigen 9Binfe(n AGB unb DFE jugleic^ emweber Heiner^
ober nic^t fleiner 1 aK ein Sted^rer, fo f[nb tit jDreiecfe gleic^/
winfelig, unb ti ip 3C ABC tu: 3C DEF*.
S e m e t 4. .
I. di fei jeber ber beiben SIQinrel AGB unb DFE tUintt
aU tin Sted^ter.
8
114
aSJrett biefe UBtttfel ABC unb DEF eitiajtbcr iit*t QUidj,
fo m&^tt einer Don i^nen^ ütoa 3C ABG^ ber gr6fere fe^n«
m fei ba^er
3C ABG = ^ DEF (I, M. ©O fo i(l, ttjett
jC BAG = je EDF mtimttjX audf
3c: AGB = X, I>F£ (I, 32. ©.) Dal^er jlnb bfc
2)rete(fe ABG unb D£F gretd)n>infelig , unb ed, iß '
AB : BG = DE : EF (VI, 4. ©0 (S^ tpor aber
AB : BC == DE : EF na* 'ber ^mci\)mt^^ foffllit^ ifl
AB : BC = AB : BG, ober
. AB : AB = BG : BG «nb ba^er
BG = BG nnb 3C BCG = JC BGC (I, 5* ©0
66 ifl aber x, BGG < R nac^ ber 3(nna^me; ba^er aud^
3:; BGG < B. unb bemnacft
3c: AGB > R (I, 13. 6.) ®« ijl aber
X AGB = 3C I>FE, forglic^^ tt)dre
^ DFE > R, mWi ber Mnna^me, baf SDSinfd
DFE < R »ibetfpricftt Da^er ijl
5C: ABG = X, ^EF; e« war aber
. j ' 3C BAG = 3C EI>F, forglic^ i(l auc^
• < ^ 5C AGB = ^ DFE unb bie Dreiede
u / ABG unb DEF ffnb gleic^winfelig,
IL (äi fei nunmet^r jeber ber jwei SBBinfel AGB unb DFE
nidjt f leiner ^ ald ein Stec^ter/ fo (ann auf dt^nlic^e S(rt be^
Riefen werben, baß > wenn biefe SBinfel ABG unb' DEF eirian#
*er nidit gleich njdr^n; fonbern, wenn ©infel ABG gHger/ ali
SBinfel DEF wdre, nun mieber 3C BCG 2= ^ BGG fe^n
wfigu. Da aber JC BGG nic^t Heiner aW tin [Rechter ifl, fo
to&re auc^ ^ BGG nid)t f (einer, ald ein 3fed)ter iino ed mä^
ten in Um £)reie(fe BGG bie ebengenannten SBinfel nic^t Heiner,
,ald jwei Med^te fepn, welche* wiberfjjrec^enb ijl (I, 17* ©0
Da^er ifl ^ ^ABG = x. '^EF, td war aber
3C BAG = 3C EDF, forgHc^ ifl auc^
X AGB z= x I>FE (I, 32. ©.) unb bie 2)re{erfe
^ ABG unb DEF ffnb wieberum sleic^winfelig«
115
© e r 8. (S a $. '
2 e ^ r f a 9»
I
SSenn man in tintm rec^ttoittfeligen Stetecfe
t)Dm @ct)ette( beö red)ten SOStnfeU ein Sot^ auf btc
gegenfibcriiegcnb.c ©eitc jiel)t, fo. finb bie jn>ei,
an betben @ett*en biefe^ iottfe^ liegenben Dreiecfe,
fon>o^( unter fic^, aU auc^ htm ganten DreiecFe
d^nlid). ^
^enn in bem rect^twinfeHgen X)reiecfe (gtg. 134.) BAG
and A auf ßC bad ?ott) AD gqogcn n>irb/ fo tfl bad Dreied
ABD bem Z)reiecfe A^I^ nnb bem 3)reie(fe ABC A^nlic^.
8 e tt) e t ö. •
L Da ^ier SC BAC = j: ADB =.R unb
3C ABC fowo^I ^em Dreiecfe ABC ali andf
bem Dretecfe ABD anget)6rt, fo t(l aud) 3C AGB = ^c^AD
(I, 32. ®0 15al)er finb bie beiben t)reiecfe ABC unb AJBD
gleicbminfelig , folglich i^re Seiten proportional (VI, 4. ©.)
unb bie ©reiecfe felbfl einanber dl)nlic^ (VI, 1. CrH.) Oanj
auf At)n(ict)e 9(Yt n)irb ben>iefen, baß aud) bie Dreiecfe ABC,
unb ADC einanber &^nlid)^nb. Dal)er ftnb auc^ bie Dreiecfe
ABD unb Abc bem 3>reiecfe ABC Ät)nrtc^.
IL 35a 3C ADB = ^ ADC == R unb
5c; BAD = 5c; ACB mdj bem Obigen/ fo ift anc%
5- ADB = 5: DAC (I, 32. (3.) X)at)er ffnb bie
jDretecfe ADB unb ADC gleitjminfeli^e, folglid) andi i^re ®ci#
ten 4>roportiona( (VI , 4. ©•) unb beibe Dreiede felbfl einanber
Ä^nli* (VI, 1. erHO
3 tt f a §• ^
j^teraud fofgt/ baß in bem rec^tn>infeligen Dreiecfe baff t)on
bem redeten 2Binfe{ nadj ber ©runblinie gefdOte Sot^ jwifc^en
ben 3lbfd)nitten biefer ©runblinie , unb bie an iebem Sibfd'nttte
Itegenbe Seite jn)ifct)en ber @runb(inie unb biefem älbfc^nitte
bie mittlere ^roportionatlinie ifl* üRan ^at n&mlic^
BD : AD = AD : DC, ferner
BC : BA = BA : BD unb enblk^
BC : CA = CA : CD. s ♦
116
. © e r 9. (S tt §. f
a « f g « 6 e.
JSon eiltet gegebenen geraten Sinie tititn tt^ '
(limmten JCliMit abjnfcljneiben. "*
@d fei (^ig. 135.) bte gerabe Sinie AB gegeben/ Don
ttjeldjer ein beflimmter JCbeil abgcfc^nitten toerben foß.
aiufrifung*
(Si werbe Don bcr Cinie AB ber briüe Stl)eil »erfangt, fo
jiel^e man an BA bte gerabe AC unter toiÜfni}Vlid)tm ^JSixjht
BAC j neunte auf AC einen beliebigen $unct D , unb mac^f
DE =EG s= AD. SBirb nun bie Serbinbungölinie CB unb
burd) D mit CB bie gfticl)Iattfenbe DF gejogen (I, 31. ©.) fo
ijl AF ber britte SCf^eil »on AB.
S e tt) e { «.
jDa in bem IDreiecfe ABC bie ?inie FD mit BC gleic^Iaufenb
ip, fo l^at man
CD : DA = BF : FA, (VI, 2. ©.) di ift aUt
CD = n DA , folgli* anc^
BF = 2 FA unb ba^er ^
BA =^ 5 FA, ober AF = 1/3 AB.
© e r 10« @ « 6«
aufgäbe.
(Sini gegebene gerabe Sinie fo ju tbeilen, baf
{l)re 3lbf4initte ben Slbfc^nttten einer gegebenen ge#
t^eitten 8inie proportional finb.
a^ fei (^ig. 1360 bie «inie AB in brei SC^eife jn tti^itm,
»el*e be» ZtjtiUn AD, DE unb EC ber gett^eilten ?inie AC
proportional ffnb. " . .
?r u f I 6 f 11 n g.
?D?an lege bie in D unb E getl)eilte ?inte AC unter einent
toinfu^rHc^en äBinfel an bte }u t^eilenbe Stnie BA, jte^e bie
SSerbinbung^Itnie CB, unb burc^ £ t>it EG, burc^ D bieDF mit CB
117
glei^raufenb/ f^ tDte attc^ tteDKpafaSel mit AB/ fo fliA AF
FG unb GB bte ja ftnbenben Sibfdmttte ber Unit AB.
Xa ffUt fowe^I FDHG^ ali GH&B 9>araac(c8rantme {Tnb ,
fo i(l DH =: FG unb HK = GB (I, 34, S.) 3Be«'a6er in
bm Z)rete(fe DKG Vit KG mit ü£ g(et(^(aitff nb iß, fo f^at man
CE : ED =? KH : HD <VI, 2-©.). Do^cr md)
CE : ED = BG : GrF. ©a tiutt in htm Dreierfe
AGE bte GE mit FD patatltl tfl, fo ^at matt
ED : DA = GF : FA. (VI, % ©O forgK* i|l
AD : DE : EC =?: AF : FG : GB.
r
Aufgabe.
3tt {toet gegebenen getaben tinten bie brttte
9>ro))ort{onaHinie ju finben.
e« fei (gig. 1370 AB unb AG bie jwei gegebenetf SittieU/
gn toelc^en man bte brttte proportionale ftnben fo8*
' tltifl6fung.
SRatt fe^e bie gegebenen Linien AB unb AC unter einem
toxUt&titlid^tn SOSinf e( A )ufammen / t)erldngere AB aber B hii
BD = AC, giebe BG unb tjeWAngere AG über C 6i^ bte burc^
D mit BG paraEefe DE fte in E fct)netbet. (I > 31. @.)
S e n> e i ö*
Da in htm Dreiecfe AED bie^GB paraOel mit ED i(l, fo
^at man
AB : BD = AG : CE (VI, 2. ©.) & ijl aber
, BD = AG , fofglic^ auc^
AB : AC =* AG : GE , unb CE bie ju finbenbe
brttte ^^roporttonaHinte.
£> e r 12* (S « 6.
$( u f g a 6 f «
3tt brei gegebenen geraben Linien bie Dterte
^roportionaüinie jit finbem
118
\
& feien (%i^. 138.) A, ß itnb C bie btti gegebenen QttaUu.
iinittif jtt meieren bie bierte ^roporttonaKmie )tt ftnben ifi«
SrnfUfung.
SBlan fe^ jwei n^tDrü^rltc^e Linien ED unb DF unter einem
beliebigen üBinfel EDF gufamtnen , macbe DG — A , GE =
B, DH = C, jiel)e bie Ber6inbung«Iinie GH unb burc^ Eeine
ber GH paxaUtit iinit GF (I, 31. ©.)
S e tt> ei ^.
Da I)ier in Um Dreierfe DEF bie GH mit EF>araBeI i|f ,
fo tfot man ,
DG : GE = DH : HF cYh % @.) diwaxahtt
DG = A, GE = B, unb DH = C , fofgli* i(l
A : B = C : HF, unb HF bie ju ftnbenbc g)w
j)ortionaIe.
iD er 13. © ft |.
SI n f g a b e.
3« "jwei gegebenen geraben Siüfen bie mittlerr
^roportionaUtnte ju finbem
ffiö feien (gig. 1390 AB unb BCbie gegebenen jwet Sinien/
{11 n^elt^en eine mittlere proportionale jn fnben ifl.
81 u f I ö f tt n g. '
9Jlün lege bie gegebenen Sinien AB unb BC in eine gerabe
ginie ABC, befrfjreibe über AC ben^albtreid ADC, uiib errid^te
au« B auf AG baö ?ct^ BD (I, 11. ©O/ fo ijl BD bie ju
ftnbenbe 8:iüe*
S e tt> e i ö.
QBenn man bie SSerbinbung^nnien AD unb DG jie^jt, fo ijl
5:; ADG ='R, (III, 31. ©0 35a nun DB bad ?otb Dom red)ten
SBinfel auf bie ®runblinie AG ift, fo ifl auc^ BD bie mittlere
^roportiohattinie ju AB unb BG, (VI^ 8. 3ttf-) ober
AB ; BD = BD : BG.
© e r 14* © <i ^»
? e 1^ r f a. !•
SSSenn iwti Parallelogramme einanber gfeic^
finb/ unb tin SOSinCel bed einen tintm ÜBinfel
/
«19
tieS attbtttt flCeiil^ ift, fo finb bie ^tittn, wtld)t
bie gleic^fii SBiniel'btlben,, im umgef ehrten fStu
Ifiiltnifit. .'Mnh wtnn in itoti f)arane(ogrctmmen
ctn äBinfel bed "ettt^ii einem äBitifel bed ättbettt
gleich ifl^ unb bie @eitett welche biefe lIBinfet biU
bttif im umgefe^rUh SSerMltififfi? fittb, fo finb bie
^arallelogram^rteinanber gleicb. ' > .
: a^ feteh (^t^. 140.) FADB unb EBGG gtozi qM4^ ^axaU
lelogramme , worin sc FBD = 3c; EBG , fo ift
BD : fi£ s GB : BF. SBenn aber
i \ 9c; FDB = 5C EB^ > «^^ - *
DB : BE = GB : BF ift, fp (Inb bie ^
voSelogramme FADB nnb £BGG einanber g(ei^.
8 e 19 e t ö«
. I. aperfrt FADB ta EBGG, fo lege man BD unb EB in
eine gerabe i^ie 'EBD ; fo mAff^tt aitc^ bie Sinien FB nnb
BG eine gerabe «rnie EBG bilben> (I, 14, ©.) ÜBirb nun ba«
^aranclogtamm FBEH t>bBenbet, fo i(J, weil FADB = EBGG,
snin anc^ FADB - HFJBE i= ebgc : HFBE nnn i|l
FADB iHFBE =^ BD : EB (VI, 1,^0 »nb
EBGG t HFBE = GB : BF, forglic^ aucfy
- B0 : EB = GB : BF.
IL gSBerttt^aber DB:: BE zr GB : BF ijl^ fo f^at man
DB : BE = FADB
ttttbGB;: BF == EBGG
(mtl) FADB : HFJBE. = EBGG
FADB : EBGG = HFBE
^ FADB = EBGG.
HFBE(VI, l,e.)
HFBE , folglich
HFBE ober
HFBE, ba^er,
£) e r 15* <S a fe*
8 e ^ r f a $•
93entt {wei Creitcfe einanber gleid^ fi»^^ ^ttb
tin SQSinfel beö einen gleich ifl einem SBinfel be«
anberit; fo finb bie Qutcn, welche bie gleichen
aBinfe{ bilben^ einanber nmgef ei^rt ))ro|>ortioiiaI;
(
\
12Q
ititb tüettn fti itoti Dreiecfcn rill SBinfef be« cttten
^letc^ tfi einem ÜBtttfel bed anberit uttb bie ©ettett;
rlDelc^e biefe SBinfel bUbeit, t^ itmgere^rteti Ser«
f)liltnii\t flet^ett/ fo ftnb bte Z)retecfe einattber
glei*:
(So feien C^ig. 1410 bie Dreiede tiAC tinb DAE etnonber
iUidi, aud) 5c: BAC = X DAE, fo t(l GA rAD = EA •
AB , unb »enn X. BAC = $: DAE anö^ CA. : AD = EA :
AB i|t, fp ijl aucfe A GAB ä A EAD.
. SJ e » ^ i ^..
I. @d fei A ABC z= A ADE. SBringt man ^ier CA unb
AD in eine gerabe ginie CAD , fo liegen dud) EA unb AB in
einer geraben.Sinie (I, 14. @.) 3i^l)t niAtr bie Serbinbungäü
linie BD, fo ift, totil A AGB s A ADE, nun aud)
A AGB : A BAD 3= A ADE : A BAR MtiU
: A BAD = CA : AD fofglicfy ^
: A BAD =: CA : AD aber
: A BÄD =3; EA
CA : AD = EA
AD =; EA : AB
AD =; A ABC :
Aß :i= A ABC :
AB = A ADE :
A ABC : A BAD == A ADE :
A ABC : A ADE = A BAD :
A ABC s Ä ADE.
A ABC
A ADE
A ADE
U- ig« fei CK
CA
foffllid; EA
• EA
: AB folglid^
: AB.
^ter ift nun .
A BAD (VI, i. 00
A BAD. iDa nun
A BAD, fo ift .
A BAD ober
A BAD folglid^ auc^
© e r- 16. © a ^.
?e{(rfaö.
SBenn )oier gerabe Linien einanber yro)>ortio4
nal finb^ fo ifl baö t)on ber erfien unb t^ierten 9e#
bilbete SRed^tecf bem 9{ed)tecfe an^ ber {weifen unb
brieten gleicfy. tinb wenn bad 9ied)te(f au& ber
erflen unb vierten bem Siec^tecfe ani ber ^weiten
tinb britun gleic^ jjl, fo finb bie t^ier gerabc ttniett
proparttottal.
121
9t feiert C^ffl. 1*2.) We grtabett «im'ett AB, CD, E irnb
F |airoj»örti0iiali fb bog AB : CÖ = E : f , foiftba« Kec^tecf
aut AB unb F beiii'fRfc^cFe ürS CD uttb £ (iletct. Unb n>enn
hat mtdbjUä atti AB ünp F bem, Sted^tetFe ani CD nttb E gletd^
l|t/foifliMic^ AB : CDä E: F. ' '
SB e tt) t i «. : ; :
'I. e* fei AB : CD ;= E : F. grri^et titait ttuii aitf
BA in A Wttd ?ott) AG = F (I, li. ©.) unb auf DC in C ba«
iotti CH = E, unb iJoOenbet bie f>araBefo9raittme -OKBA «nb
HLDC, fo 1(1/ »eil AB : CD :;= E : P nun ött*' ' ; ^ ^
AB : CD == Crf : AG. <sixft ahtt and^
3C BAG = X DCH = R, fofgric^ \
GKBA = BLbC (VIv l4. ©•)
2)a^er ift ba< Sle^tecf 4ud AB^ unb F bem Siet^tecfe ani CD^
wnb E greidj. .
IL di fei ba« Stec^itecr aui AB it)tb F bem ffttdiUdt ani
CD unb E ^Uid), ottt/ittiditi tlnnltii^, bai^ataUtlo^xamm
OKSk htiH ^aräUeltQtamm HLDC , ^p ift ,, wtü " ' ' ' .
* jC GAB =i j; HCD =±R, nun attt(r *
AB : CD= CH : AG (VI, 14.©.) affefti
CH t= E «nb AG =a F, foIgUd^ aitd^
AB : CD = E : F.
^ -
©er 17. ^,a ^
9Ben» btei gerabe hinten eine Proportion' 6il#
ben, fo ifl bai Sted^tecf au^ bett jmei ingerften bem
OuabraU ber mittfern Qltidff unb n^enn t^ai ffttdittd
ant ben du^erflen bem Ouabrate ber mitttl^tn
gleich ifl/ fo finb bie brei gera^ben i^inien ft^pot^
(Sd fei (gig. i43.) A : ,C = B : C, fo i(l hai JRec^ferf
au6 A unb C bem Duabrate t)on B gleich» Unb mm bai
Dtec^tecf wn A unb C bem Ouabrate ^on B gleid^ i|l/ fo ifl
auc^ A : B = B : a
122
L aSati tie^me bie Siitie D s=^ bot Stute B, |o {fi,. rl«etl
A : B =s B : Cnmmiit au^ -r^
A : B = D : C ttttb bat^fr bai^ fRtä^M mi A
»ttb C bem 3le*tec(c avt^ B uttb D grekb (VI, 16. ©.) Slff^V
ba& tRtd^Ud ani B anb D i(i bem Stec^ted e au6 B unb B , bai
j^dgtf bem Quots^t« tDott.B gleich; foIgHc^ t|l bet ®a^te^
ipiefetf* -» .>/■•*■ .'.'•*
IX. 2^ ba^ 9te<^te(! /atti A ^utib G bem Oitabrate wn 9
ttttb anä) bitit IRe^tecfe ^m« E ttnb p glei^^, tß^ fo muß auA
.,A : B == ^ : C fepit. <VI, 16.©.) »Bein e« ift
. : B =: D forgltc^ aitt^^.
A : B=: B: C r
i\
« •• t
© c r 18. @ c §,
81. tt f fl a 6 e. .
Stuf etnetgegeSf ncjt gerabeit ?inie ritte .getab^
Itttige ^iptx ju bpfc^reib^n/ iDeld^e jetner anbertt
gegebenen ger^jbl^ttiigen ^igttv S^ntic^ iüt unb eine
4^nli(^e Sage mit.i^i: ita.t .. :
SKan foK auf bie gerabe 8ittie:(gig, 1440 ;A?.eittc gerab#
linige gigur 6efd)rci6en, welche ber gegebenen CFED d^nltc^
iil unb tint 4{)nltc^e Sage juit ij^r t}at
91 u f ( 6 f u n g unb S3 e n) e i ^.
gjJan mac^ie 3C BAG = jc DCF (l, a3*.®0 ferner
X, ABG == 3c CDF , bann X. BGH = ^ DFE unb enblic^
äC GBH = 3C FJDF., ;ff i(l auc^
5;; AGB = ^ CF1> (I, 32* ©0 ttUb ^ •^
5C: GHB = 3C FED. ,
jDa nun ^ierburc^ bie,@etten^ iDefc^e gleiche 3QiufeI kUbtn,
pxcpoxtional fe^n mfljfen (VI, 4. ©o fo ifl
AGHB CO CFED (VI, l. ÜxtU}
125
41
S> e r 19* <S a I*
8 e ^ f f a $.
\
Sle^nltd^e Dretede flehen in tintm iwtifadf
Il^^6l^ern SBer^Ittitffe itjxtt ^otnolo^en Seiten.
€« fei (gig. 1450 A ABC oo A DEF, fo ijl
A ABC : A DEF = (BC : EF)*.
fß t tiy t i i.
Wlqn mtimt )u bett Linien BC unb EF bie brttte ^topptiß
tiotioBime BG (VI, ii. ©•) fo ba# BC : EF = EF : BG,
ttnb folglich andj BC : BG = (BC : EF)*
<(l unb {ie^e bie gerabe AG.
®a ittttt A ABC oo A DEF unb ^ ABC = 3C DEF, fo i(l
Md) AB : BC = DE : EF (VI,^. «ifft) foIftKc^
AB : DE = BC : EF. Sßun toaxabtx
BC : EF = EF : BG, bal>er ift
AB : DE = EF : BG, unb bafter and)
A ABG = A DEF. (VI , 15. @.) (Si i(l aitt
BC :/BG = A ABC : A ABG (VI, 1.©.) foIgfic§
BC : BG = A ABC : A DEF. SiKetn ti war
BC : BG == (BC : EF)*, folglid) iß
WX ABC : A DEF =r (BC : EF)*.
3 tt f a |.
Sa^getetgt tDitrbe, ba0
A ABC : A ABG = CB : BG ober
A ABC : A DEF = CB : BG, fo folgt, baß, weittt
brei gerabe Stnten proportional ftnb/ bie erße ffc^ jur britten
Der^&It, tote iai Dreiecf über ber er(!en }u bem i^m d^nlic^eit
itnb li\)nlid} Itegenben Dreiecfe Aber ber {weitetu
X) e r 20. © a ^
i tf) X i an,
Slebnlid^e Sielede Caffett ftc^ in gleic^t^iefe tinariß
ber &^nlic^e> unb ben ©anjen homologe XxtUdt
/
\ I
12* -
ttieücn. Unb ft^nlic^e S^telecfe flehen im iytifa^
Ijifitxn Sert^&Itntffe t^rer homologen ©eitern
@d f« (gtfl* 146.) DEABC d^nn* KLFGH, fo ««nett
(etbe SStelecfe tn i\txd))DitU etnanber A^nlic^e unb bett (Sanjen
l^omolpge Dretecfe get^eilt n>erben. 9lndi ifi
DEABG : KLFGH = (AB : FG)*.
8 e » e i «.
I. 9Ran jte^e bie gerabeit Sinien BE unb EG , fo toic anä)
^hmb IiH^ I^ nun DEABG oo KLFGH, fo ifit auc^
9C BAE = 3C OFL (VI, 1- @rtt.) unb ba^er
: BA : AE = GF : FL. Somit t|i ferner
A BAE oo A FGL^ (VI, 4» 0,) unb bo^er
SC ABE = 5: FGL. SBc« aber bie beiben »ielede
einanber iffnli^ f^nb , fo iß anc^
3c; ABC = ^ FGH, ba^er and^
5: EBG = 3: LGH, (I, 3. ®rO 2)a,ltÄtt
A ABB cv) A.FGL, fp i|l
EB : BA = LG : GF unb mil
DEABG oo KLFGH, fo ift Ä»*
AB : BC =: FG : GH , unb bo^er
EB : ßC = LG : GH. 2)al)er ifl andi
A BCE oo A GHL (VI, 4. ®.) ®6enfo wirb Bewiefeti^
ba^auc^ A GDE oo A HKL/^oIgrtd}f(nbbtea3telecfetngIet(^i>
))ie(e unter fic^ ä^nlic^e Dretede jerlegt
IL 9Ran }tebe bie geraben Sinien AC unb FH, fo ifl/
loegen ber Sle^nltc^fett beiber fßi^Utk,
5: ABC = je FGH unbba^er
AB : BC = FG : GH; folglich 0nb bie Dreiecfe
AGB unb FHG g(eic^n>tnrerig, ober e« ifi
. 5C BAC = 3c; ^FH unb
3c; BGA = 3c; GHF. Daber i(l iti ben Dreiecfett
AMB unb FNG nunmehr 3C MAN = 3c; NFG. @« mar aber
3C ABM = 3c; FGN , folflli* ijl
andi 3C AMB = 3c FNG. (I, 32. ©O
3)ab^r ^aben bie Dreiecfe AMB unb FNG gleiche üBinfel, unb
auf gfeidje 3(rt loirb benoiefeu/ baß aud^ bie Dreiecfe CMB ttnb
■
HNG g(eic^n>infe(tg ffnb« Da^er iß
12$
; AM : MB == FN : NG, mi '
BM : MC = GN : IVH (VI, 4/«0 forgKc^
AM : MG = FN : NH. (?« ijl aber
AM: MC = ABAM : A BMC=AEAM : AEMCCVI,l.iSO
itttbba^er AM : MC = a ABE : A BEC. e6enfott)(rber#
toiefe», baß FN : NH = A FGL : A OLH; folglich ift .
. A ABE : A BEC == A FGL : A OLH, ba^er
A ABE : A FGL = A BEC : A GLH. aSenn matt
nun bte iimn BD ititb GK^iMjt, fo »trb ebenfo bemtefett/
baß A BEC : a GLH =z= a ECD : a lhk , folflli* ift
A ABE : A FGL = ABCDE : FGHKL. Xmxiadf
flnb btefe d^nltc^e IDretecfe, in n)e{(^e bie SSielecfe jert^etft
iDiirben / ben Sielecfcn ^omo(og / b. h* btefe £reiecfe {tnb fo
>)roporticnaI , baß bte S)retecfe bed SSteiecfd ABCDE bte S}or#
berglteber, ttnb bte Dreiedfe bed SSielecfö FGHKL bte i^inter^
^lieber in Hv Proportion flnb«
(S i n a n b e r e r iS e tt> e ii.
Z)a jut)or (in L)* beriefen morben ifl / baß bte X)retecf e bei
einen SSteledd ben ^DreiedFeK beö anbern iijnlidj {tnb, fo tfl
A ABE : A FGL* = (BE : GL)^ = A EBC : A LGH
(VI, 19* ©0 (gbenfo noirb bewtefen, baß
A EBC : A LGH = (EQ : LA)* = A ECD : A LHK-
Z)a^er ifl auc^
A; ABE : A FGL == A EBC i A LGH = A ECD : A LHK,
eomitfinb bt^ Dreiecfe ABE, EBC unb ECD bte SSorberglieber
ainb bie ©reiecfe FGL : LGH nnb LHK bie ^interglieber. T>ü0
tjtt tfl A ABE : A FGL = ABCDE : FGHKL.
III. iDa fo eben bemiefen u>orben i(l/ baß
A ABE : A FGL = ABCDE : FGHKL «nb
A ABE ; A FGL z=z (AB : FG)* (VI, 19. ®0 fo ifl
auc^ ABCDE : FGHKL = (AB- : FG)«.
@ r |l e r 3 u f a 6.
Sluf gfetc^e Sin fann man auc^ k)on d^nlic^en SSterecfen
betoeifen/ ta$ fle in bem }meifac^ ^i^eren S3eri)&Üniffe ii)r&r ,
homologen Seiten (le^en. @6 ifl aber auc^ ebenbiefeö oon ben^
jDreiecfen erroiefen (VI, 19* SO* golglic^ finb überhaupt alte
126
A^tiltc^e gerabltiifge %igaxtn in fnotifadf fjifftnm Ser|iltmffe
3ti>efter S^fA^«
SBeittt man {n AB unb FG bte brtüe 9>r0porttonaStme O
fil*t, fo tjl AB : O = (AB ! FG)*. »un ift au(b irgeiib
ftne gcrabltnige ^tgur auf AB jtt einer itjt A^nlid^eit itnb dbn«
lic^ (tegenben %iQut auf FG im jweifac^ ^d^eren Ser^&Imiffe
t>on AB : FG* äBetttt ba^er bret gerabe ?inien AB, FG
Itnb O proportional ftnb , fo oer^dlt ftcf^ bte er(te ober AB fo
)nr brirten ober O , u>ie fic^ irgenb eine gerablintge ^igur auf
AB jtt einer il^r dl^nlid^en unb d^nlic^ liegenbeh ^igur auf FG
Der^iWfc
© e r 21. @ a §♦
«e^rfaft.
SQenn jebe t)on }n>ei gerabltnigeit Figuren ber
ttftmlic^en britten ihnlidj i^, fo finb auc^ jene jnoei
Figuren unter fid) d^ntid^.
(?d fei (^ig. i470 fowot)! bie gerablinige gigur A, ali
and) bie gigur B ber britten gtgur G &^n(id^/ fo iß aud^
A o? B.
^ t t0 t i i.
®a A unb B einanber dbnlic^ ffnb, fo flrib ffe auc^ gfeicft^
toi^felig/ unb bte (Seiten noeld^e gfeid^e ^infel etnfd)(te6en/
einanber proportional (VI, l*(grff.) 5Run jtnb auc^ bie gtgu*
ren B unb C einanber htjulid), unb ba^er ebenfaUd gfeid^minfelig
unb bte/ gletd^e SQtnfet einfc^Iteßenben Letten einanber pro
portional. X)a^er mäffen auc^ bte Figuren A unb B gleich
joinfelig feijn, (I, !♦ ®r.) fo tt)ie aud? bie Seiten, loclc^c
gleid)e äöinfel einfdjiießcn / einanber proportional fe^n mäff^n*
gofglic^ ftnb aud^ bte ^tguren A unb B einanber &\)nü(i) (VI,
!• erHO
©er 22* @ a ^*
? e M f Ä 6-
SQ3enrt ^ier gerabe Sinieu proportional ftnb, fo
mftffen auc^ bte. auf benfelben befd^riebenett d^n^
127
Ud)tn itttb i^itlic^ liegtnbeti setablitttgcn ^tguren
ctitanber pttpotti^nal U^n. Unb n^entt bte auf
Dter gerabcn Sinien 6ef(^rie6^nen AffnUc^en itnb
hfjnliib liegenben gtgureit etnanber ))roporttona(
fitib, [9 nlilffen auc^ btefe t)ter geraben Sinten
einanber proportional fe^m
<ii fcKgig. 148.> A» : CD = EF : GH unb
A KAB oo A LCD, ferner
MVFE oo NWHG, fo t|l au*
A KAB : A LCD = MVFE : NWHG.
aSenn aber umgefe^rt A' KAB oj A LCD , ferner
MVFE oo NWHG, unb A KAB : A LCD =1VIVFE ; KWHG,
fo muß aut^ AB : cd = EF : GH fepn.
S5 e tt) e f «.
L di fei AB : CD = EF : GH. g»a*e man nuit
AB : CD = CD : o (VI, 11* ©0 unb
EF : GH = GH t P , fo i(i aud)
CD : = GH : P. @ö toar aber
AB i CD = EF : GH, baJjer i|l
AB :'0 = EF : P. aBein -^
AB : O = A KAB : A LCD (VI, HO.Q.)
UnbEF : P = MVFE : NV^HG, folgfic^ i(l auc^
A KAB : A LCD = MVFE : NWHG.
IL «ö fei ferner A'KAB : A LCD = MVFE : NVTHG.
Kimmt man nun AB : CD = EF :^QR (VI, i% 60 be#
fc^ireibet auf QR etne bet MVFE unb ber NW^HG 4l)nltc^e
unb A^nlif^ (iegenbe gtgitr SZBQ, fo ifl ndc^ bent erflen'3^l)ei(e
be« aSetoeifed A KAB : A LCD = MVFE : SZRQ. (Ed i(l
aber A KAB : a LCD ä MVFE : NWHG nad)
ber annähme ^ folglich mn^ andj
MF : SR =: MF : NH unb baf|er anc^ . .
SR = NH fejjm ÜBe« aber nun
MVFE CO NWHG unb anc^
MVFE oo SZRQ , fo i(l anc^
SRZQ ob NWHG (VI, 21.®.)
iDal^er ift (man fel^e beu nad^folgeuben Se^nfa^)
128
QR; = GH; (ii »^r aber
AB : XD == EF : QR , folßlic^ ip Ottt^
AB : CD = jEF : GH.
8 t ft « f a $.
iDof aber^ iDetttt gerablittige gfiguren ${natibet
Slcic^ nnb d^nlt(^ filtb/ tbre b^moUge ©ettett
etnanber gleicb feyn tnüff^tt/ {antt auf folgenbe
SIrt ben>tefen tperben«
<S,^ feien bie gerablintgett t^igürett NWHG nnb SZRQ einan^
ber gletcb unb &i)n{tcb, fo m&ffen bie b<>^oIogett ©etten QR
ttnb GH einanber gleich fe^n*
© e tt) e i «•
SQcnn tiefe Linien QR ttnb GH ungfeic^ tuirett ^ fo fei bie
(ine, etwa QR, bie größere. ' Da nun SZRQ (V) NWHG, fo iil
. . QR : QS = GH :.GN mb.foiQUdj
QR : GH = QS : GN. «Rjjn ijl
. QR i> GH , forgli* aud>
QS > GN unb ba^ev au^
SZRQ > NWHG (VI, 10. <S.) Welche« mit
bm Snoiefenett, ba$ SZRQ = NWHGijl/im UBiberf^rnc^c
(lebt. . -
^ 9 n b e r e c fßewtii.
Da A KAR : A LCD =: MVFE : NWHG, aber '
A KAB : A LCD = (AB : CD)» (VI, aO.SttfO
«nb MVFE : NWHG = (EF : :GH)» fo i<l ~
(AB : CD)» = (EF : GH)» unb folgrid^ .
AB : CD = EF t GH. .
' SD c « 23. © (J.
? e ^ r f a 6*
SQetttt ^araKerogratnme QUid^toittttU^ ftitb, fo
fieben fte in tintm iufammengeffCieen SSerbAttniffe
ibrer ©ettem
(?d feien bie ^aratterogrömme (gig. 1490 ARCD unb CGFE
gleicbmi^felig ^ fo lieben. (te im jufaiwwengefe$ren SerbÄUniffe
ibter Seiten BC , CG unb DC , CE.
129
S e n) e t tf«
QQettn matt bte Seiten BC uiib CG in eftte gerabe Unit
BCG regt, fi> büben, weil Söinfel BCD = ©infel ECG (I,
14. @.) flw* bie Seiten DC «nb CE eine gerabe Sinie DCE.
QRan DoUenbe nun ba^ ^araDelogramm DHGG unb ti fei
K eine angenommene gerabe Sinie.
gjJat^t man nun BC : CG = K : L (VI, in. ©.) unb
PC : CE = L : M , fo ijl ba^ IBer^dltniß
K : M au^ ben Serl)'(i(tttiffcn
K : L'unb L : M ober auö benignen gleichen
Ser{)drtniffen
BC : CG unb DG : CE jnfammeftgefe|t (VI , 5. (SrUO SBeil
tiun BC : CG = ADCB : DHGC (VI, 1. ©.) tinb
DC : CE = DHGC : CGFE, fo i |l au(^
K : L = ADCB : DHGC unb
L : M = DHGC : CGFE. Datier beutt
K : M = ADCB : CGFE unb ed i{l aut^
hai Ser^drtttif Don ADCB : CGFE and ben beiben S3er^d(t#
itif[en t^on BC : CG unb i^on DG : CE jufammengefegt«
/ © e r 24* (S a !♦
4
S e ^ r f a $♦
3n jebem ^aradelogramme finb bie um bi^
diagonale ^er(iegenben Parallelogramme fon>o^I
bem ©anjen, aU aud^ einanber felbfl d^nlid).
(g« fei (gig. 150.) ABCD bad ^araDelogramm, AC feine
jDta^onaU/ um loefct^e bie Parallelogramme AEFG unb FHCK
^erliegen, fo ftnb btefe brei ^araUetogramme einanber dt)nlid^*
SB e n) e i d*
Xa in bem £reie<fe ABC bie EF paraKe( mit BC unb in
itm Sreiede ADC bie FG paraKet mit CD ifl, fo t)at man
, BE : EA = CF : FA, unb au*
DG : GA = CF : FA (VI, 2. ©.) folglic^ aud^
BE : EA SS DG : GA unb ba^er
9
■i^
130
BA : A£ = D\ : AG, dlfo auc^
BA f AD = EA : AG, go(g(i(^ ffnb in ben ^o^
raDelogrammett ABCD unb AEFG bte Letten nm ben Qtmtw
fc^aftltc^eit 9Binfr( BAD cinanber proportional*
£a nun GF mit DC pataUtl, fo lü
^ AGF = 3C ADC (I, 29. ®0 Wlb
5; GFA = 3C I>CA. Sa nittt
X. DAC == je DAG , fo ffnb bie 6eiben X^reiecfe
ADG ttnb AGF gletcfetoinfelig.
Stuf eben bicfe 9irt totrb 6e)oif fett , ba^ bte SretecTe ABC
ttttb A£F g(etci)n>infe(tg ffnb. Da^er mujjfen and) bte ^aral^
lelogramme ABCD unb AEFQ gleic^noinfeltg fc^n* IDa ntttt
AD : DC = AG : GF CVI, 4.©.) ttnb
CB ; BA = FE : EA, ferner
DC : CA = GF : FA nnb
AC : CB = AF : FE , fo t|l
DC : CB = GF : FE. (Sd toar aber nac^ bem
fBorigen' BA : AD = A£ : AG, ba^er ffnb in ben g(etc^#
totnfeltgen ^araKelogrammen ABCD unb AEFG bie @eiten/
weiche g(eicl)'e SQtnfel bifben^ etnanber proportional; folgtid^
biefe ^araSefogramme einanber dt)hlt(^. (VI, i. SrH.)
$(uf eben biefe Ütt toirb beriefen / ba^ au^
FHCK CS3 ABCD. golgli* mu^ and)
AEFG 00 FHCK fepm (VI, ai. ©.)
SD e r 25^ © a ;^*
Slufgabe«
' (Sine gerablinige gigur )u bilben, bie einer ge#
gebenen gerablinigen d^nlic^ unb einer anbertt
gegebenen gUid) ifi.
ß^ fei (S«9* i5tO ABC bie gegebene gigur/ toetc^er matt
eine anbere &t)n(i(^ machen foll/ unb D fei jene gigur/ toeld^et
ffe gleich fc9n foK*
STufrAfung.
^an befc^reibe auf BC ein ^araflelogramm BCEL, totltt^ti
bem iDreiecfe ABC gleid^ iß (I, 44. @0 unb auf bie Stnie
131
CE unter bem SButfel CBL ein ^atafferogramm CEMP, mfä^ti
Ux gigiir D glei* ijl (I, 45. ®.) fo liegen BC nnb CF, fo
tpie antb LE unb EM in einer geraben Sinie (I, 14. (SO 92utt
tie^tne man {u CB unb CF bie mirHere ^roportionaOinte GH
(VI, 13. ©.} unb befcljreibe über GH ein Dreierf GHK , toeid^e«
hm Dreiecfe CBA Atynlid) ifl unb äijwlid) liegt (VI, 18. ®0
^ t xo t i ^.
a)a ^ier BC : GH = GH : CF, fo ifl auc^
BC : CF = A ABC : A KGH (VI, 20. 3ufO
«tt« tfl ober BC : CF = CBLE ; CFME ( VI, 1. @.) tat)tt
Mdt A ABC i A RGH = CBLE : CFME , fofgli^
A ABC : CBLE = A RGH : CFME. @« ifl aber
A ABC == CBLE, folglich aucb
A RGH = CFME == D.
©er 26^ ® a §♦
8 e l> r f a $.
3Qenn "o^n einem Parallelogramme ein W^m ^n#
lic^eö unb, df^nlid) liegenbed unter ^\l^tv^ gemein^
Jc^aftlicben Sinfel abgefd^nitten n)irb/ fo liegen
beibe um einerlei diagonale*
@d werbe (^ig. 15a.) oon bem ^araKelcgramme ADBC
bad x^m A^nlicbe unb Abnüd) (iegenbe ^aralterogramm AGFE
unter bem ndmiicben 2Binfe( DAB abgefc^nitten / fo liegen
beibe vm bie nämliche diagonale AFC.
8 e tt> e i «.
SBenn biefe beiben Parallelogramme nic^t Vixa, bie ndmlid^e
Z)iagona(e (dgeu/ fo xtAi^Xt bie Diagonale bed ^arallelo^
grammd ADCB nicbt burc^ ben $unct F get)en. ^an nebme
W(, fle ginge burd^ einen anbern ^iinct/ eth>a burc^ H unb fei
AHC. Wan itei)e burc^ H bie HR mit AD unb BC glet(^#
laufenb^ fo ijl ADCB cv) AGHR (VI, a4. (5.) gotglid)
DA : AB = GA : AR (VI, i.SrfL) OßeUaber
ADCB CO AGFE, fo b^t man
DA : AB = GA : AE (VI, 1/ Crff.) Dal^er
152
.mfl^te GA : AR = GA : AE, ober
GA : GA = AK. : AE, forgltd^
AK s= A£ ^tiftt, totldjti toiberf))ire(l^tib
i(l(I, 9.®r.)
© « t 27. @ a fi.
din ^araHelogramm auf ber i^ilfte einer gege^
6enen Qt^abtn Sinie tfl grj^er, ali jebeö anbete
Parallelogramm auf einem beliebigen Slbfc^nitte
berfelbigen Sinie/ beffen (Srgdnjung auf bem &bri#
gen 3tbfci)nitte bem $ara((e(ogramm auf ber ipdifte
i^nlicf) iil unb A^nlic^ liegt.
(Si fei ($ig. 153.) bie gegebene gerabe Sinie AB in C ^aU
birt/ fo ifl ber älbfc^nitt/ auf tt)e(d)em bad anbere $aralIe(o#
gramm befd^rieben toaUn foS/ entweber größer ober f leiner,
(üi bie fy&lftt AG. .
8 e » e i «.
I. (E« fei AK ber gegebene Slbfdjnitt unb AK > AC.
SKan befcfereibe auf AC baö ^araüerogramm ACDV unb
bejfen Srgdnjung CBED j ebenfo auf AK ein anbereö ^arar#
Ulogramm AKFG unb beffen CrgAngung RBHF oo CBED
oo ACDV, fo ifl itt bereifen, baß ACDV > AKFG. Da bie
Parallelogramme CBED unb KBHF einanber A^nlic^ ftnb/ fo
liegen beibe um einerfei I)iagonaIe: (VI, a6. ©.)
ÜRan jie^e biefe Diagonale DFB unb ooOenbe bie ^igur,
fo i(l, »eil CKFL = FHEQ (I, 43. ®.) unb
V KBHF = KBHF, nun au*
CBHL = KBEQ. «d ifl aber, »eil
(i' AC = CB, aucfy CBHL = ACLG (Ii 36. e.)
. ^ ba^er ifl ACLG = KBEQ, aUein
CKFL =z CKFL, ba^cr
AKFG = ®nom. LMN; fofglit^ mn^ CBED ober
ACDV griper, aW AKFG fe^n.
155
n. (Si fet ($tg. 15)0 AD ber gegeBene «Bfc^ttttt unb AD
< AC* SKan befc^reibc auf AC baö yaraKcIogramm ACLK,
teffett ^rg&njung CßML i(l> unb auf AD ein anbered ^arafi^
Wogramm ADEH, bejfen ffirgAnjung DBFE oo CBML co
ACLK iji, fo ift ju Betpeifeu, bag ACLK > ADEH.
Da bte ^araKefogramme DEFB unb CLMB einanber ätfn^
lidj flnb, fo liegen 6eibe um einerlei Diagonale (VI, a6. ©.)
9Birb nun biefe Diagonale ELB gebogen unb bie $tgur DoOen^
>et, fo ijl, »eil FG = GH, nunmel)r audj
LGFM = LGHK (I, 36. ©.) unb ba^er
LGFM > LGEV. di ifl ober
LGFM == LVDC (I, 43* ©.)/ ba^erau*
LVDC > EHKV. aaettt
KVDA = KVDA, folgtic^
AKLC > AHED.
©er HS. ® a §♦ V
$( tt f g a 6 e«
Kttf bcm S(6fc^nit(e einer gegebenen geraben
Unit ein Parallelogramm bergeflalt {u befc^ret^
ben, ba| ti einer gegebenen gerabfinigen ^igur,
totldit nic^t gr jger, aH bad Parallelogramm auf
ber t^alben Sinie ifl, gleich fei, unb bag feine Sr^
gAnjung auf bem anbern Sfbfc^nitte einem gegeben
tien, ber Srg&n)ung beg ^aranelogrammö auf ber
falben Sinie dt)nlic^en Parallelogramme gleich
feir \
(Si fei ($tg. 155«) AB bie gegebene gerabe Sinie unb G
bte gegebene gerablinige ^igur , totldjtt man eine anbere auf
ber Sinie AB gleich machen foK; auc^ fei G nic^t grdger, ali
iai ^araSefogramm auf ber ^Mftc ber Sinie. gerner feien bie
(Srgdnjungen einanber df)nlicf) unb bie gigur/ toeId)er bie
<Ergdn{ung d^nli(^ fepn folt , fei D , unb man foH auf AB tin
ber gigur G gleic^e^ ^araJSefogramm befc^reiben , toelc^ei ein
%er Sigur D d^nlic^e^ Parallelogramm jur Srg&njttng ^ot«
1^
9IttfI6fittt0 ttttb ^ttütit. (
<SA fei bte gegebene gerabe Sinie AB in E f^albivt ^an
6efc^ret6e auf B£ baö ^axaUtloQxamm BEGF, totld^t^ bent
gegebenen D d^nlicfe unb d^nlicb liegenb i|i,' (VI, 18* ©.)
iinb DoUenbe bad ^araOcfogramm AEGH, fo i(l biefcd ^ataU
lelogramm AEGH, U)elct)ed nicbt ff einer ald C fe^n barf, ent«
tt)eber ebfnfo groß, ober greger ali C. 3Bare bad er(le, fo
ID^re aud) bie 3(ufgabe f(i}on aufge(6fet, ba auf bem SIbfcbnitte
AE ein ^arattetogramm AEGH befdjriebeh ipdre^ uoelc^ed =
C itnb bejfen Srgdnjung EGFB co D iji.
SBdreaber AHGE > C, fo i(i, »eil
AHGE = EGFB au*
EGFB >. C, 5iun befcftreibe man tin ^araffefoi^
gramm KLMN , melcbcö bem UebcrfcbujTe toon EGFB über C
gletcb unb bem gegebenen ^araKelogramme D itiuUdi unb
4J)nIid> Hegenb ift (VI, 25. ©.) Diffeö ^arattelogramm ift
ba^er aud) bem ^araUefogramme EGFB dl)nltd}; fo, bagLK
ber GE unb LM ber GF ^omolog, unb LK : LM = GE :
GF i(l.
SlifU ift aber EGFB = C +. KLMN utib batier ^
EGFB > KLMN, forgti* auc^
GE > LK (VI , 20. 3uf.) unb
GF >, LM. 5Kun mactje man ,^^
GZ =^ LK unb GO = LM, uub löollenbe ba«
9>araBefogramm ZGOP, fo i(l
ZGOP cö KLMN. (?« i(l aber
KT MN oo EGFB , bat)er au*
ZGOP oo EGFB (VI, 21. ©O gofgri* fiegert
betbe um bie ndni(i*e X)ingona(e (VI, 26. @«) 9)2an iU^,
biefe diagonale GPB unb »oKenbe bie ^igur.
aja \)Hx EGFB = C + KLMN unb au*
ZGOP = KLMN , fo ift
EGFP = C + ZGOP, unb ba^er ®nom-
TVX = C. ^a aber
OFQP = ZPRE f I, 34. ®0 unb
PQBR = PQBR , fo ift au*
135
OFBR = EZQB = EZSA. mm
ZPRE = ZPRE, fofgli* ®nom.
TVX = SPRÄ , unb ba^f r
,SPRA = C. Demnacb tfl auf bfm Srbfcftnfttc
AR ein ^araDelogramm ARPS befd^r ieben , welcfacd =: G iinb
beffen (grgdnjuwg RPQß oo ZGOP eo D ijl. (VI, a4. ©O
©er 29. © o $.
«
Aufgabe.
$luf eitle gegebene gerabe Siitte tin ^atalUU^
gramm fo ju befc^reiben, baf ed nebfl feiner, einem
gegebenen Parallelogramme i^nlic^en Srgdnjnng
auf ber in gleicher SRtd^tnng angefe^ten Sinie/ einer
gegebenen gerablinigen ^ignr g(eic^ ifl» ^
Cd* fei (gig. i56J bie gegebene gerabe ?inie AB; bie Qt^
^tUnt gerabltnige ^t'gur, n>e(cl)€r eine anbere auf AB gleich
iDerben foH, fei G; jene aber, totldizt ber Ueberfc^u0 Al)nti(^
fe^n foB, t^i D. QRan foU auf AB ein ber ^igur G gleichet
Parallelogramm bilben, n>e(ct)ed ein, ber ^igur D A^nlic^ei
9>araSeIogramm jum Ueberfci)uffe f)at
aufUfung/
^ 9Ran ^albtre bie AB in E, befd)rei6e auf EB ein ^araSefo^
gramm EFLB, mldtiti bem gegebenen ^araüefogramme D
ätjnlidi i(l (VI, 18. @0 unb ein ^araGlelogramm GKHV
loeld^e« = EFLB + G unb co D, fo(g(i(^ auc^ co EFLB ifl
(VI, 25. ©.) unb ed fei # ,
«.H ; KG = PL : FE. JRnn iflt
GKHV > EFLB, ba^er anc^
KH > FL unb
KG > FE,
SWan verringere FL Aber L, madjz FM = KH, nnb «verringere
FE jiber E , unb mad^e FN = KG , DoKenbe aud^ iai ^araf^
lelogramm MFMZ , fo ifl
NFMZ c€ GKHV. di ifl aber
lii
"^j-
O -< " y
136
GKHVoo EFLS, bo^cr Ottd^
NFMZ oo EFLS tmb Mbt 9^alkl^ammt
nAfftn mit dtterfct diagonale (trgeit. (VI, 36. @0 SRon
|tc^e btrfr Z)tagotta(e FBZ uiib boDtnbe bie §tgitr.
fß t t» t i €.
2)a GKHV = EFLB + C nnb
GKUV = NFMZ, fo tp auc4
WFWZ = EFLB + C iinb boj^tr ®noim
QRS = C.
9iift aba , Mil AE = EB, ouc^
AENW = EBPN = LMOB (I, 43* 6.) SIKeitt
WEOZ = NEOZ. ©a^er
AOZW = (Snom« QRS unb folglich
AOZW = C.
IDa^er tfl auf AB etn ^axatttloßtamm ABPW Befc^riebett/
tvelc^ed ntbft feiner, ber §tgur D Aftnltd^en (STginjimg PBQZ.
Ut gegebetieit gigur G gleich ift*
© e r 30* ® a !♦
aufgäbe*
(Stite gegebene begr&njte gerabe Sinte ttac^ ßetu
ger Proportion ju t^ei(em
<Sö fei (gig. 1570 AB bie gegebene gerabe Sinie, mläjt
nad) ßetiger 9>ro))ortion getl)eilt toerben foK»
Stufldfnng*
SRan bilbeüber AB bad Quabrat ABGC (I, 46. 60 itnb
befd^reibe auf AC ein bem Duabrate ABGC gleidyed ^araKefo^
gramm CHDF, to^ldiei bie, ber ^igur ABGC A^nlid^e gignr
AHD£: 2um Ueberfc^uffe \)at.
9 t t0 t i i.
Sa ABGC ein Quabrat i(i, fo mnf aadf AHDE ein
Onabrat fe^n. iDa ferner
CHDF == CABG unb
CAEF = CAEF, fo^tnitP audf
AHDE = FEBG ftym
* •
« *
IS*
116er AHDE tthb FEBG JIM 9retci)tt)fnfelfs , fol^Udi tfi
FE : ED = AE : EB (VI, 14. (S.) (Si ifl Wer
FE = CA = AB (1 , 34. ©.) itnb
'. ED = AE, iaijn auc^
BA : AE = AE : EB. m ift ätt
BA > AE, ba{)et auc^
AE > EB. gorg(id) tft bie ?ime AB fit E'
naä) jlet%er Proportion gtt^eirt. (VI, 3. grffo
anbere auffafuttg.
SRan fc^neibe bie tinte AB fo in bem ^unctt E , bnß tat
dttd^itÜ an^ AB ttnb BE bem Duabrate )oon AE g(etc^ ifl (LI,
lU ®.) fo mn^ auc^ BA : AE = AE :EB fe^n (VI, 17.0.)
nnb AB tfl in £ auf bie «verlangte Sirt get^eilt (VI, 3. SrH.)
5D e r 31* ® a §•
«e^rfaft»
3tt jebem rec^tminfeligen i^retecfe ifl bie ^fgur
auf ber, bem redeten SQinfel gegenäber liegenben
®ette fo grof , aH bie beiben i^r dl)nlt(^en unb
litfnliib liegenben ^ignren auf beti beiben anberit
Seiten jufammengenommen.
<Sd fei (^ig. 158.) BAG bad rec^ttDinfefige Sreierf^ tDorin
X. BAC = a , fo i(l bie fiber BG befc^riebene gtgnr fo groß^
ali bie beiben aber AB unb AG befcf)riebenen ibr d^nltc^en
ttnb &^n(id) liegenben F, unb G {ufammengeitommen.
S e n> e i d.
SBenn man ani bem ^uncte A auf BC bai Sot^ AD jie^t,
fo ifl A ABG CO A ADB (VI, 8.®.), ba!)er
CB : BA = BA : BD, unb forglic^
CB : BD = E : F (VI, ao. 3«fO
9luf gleiche Strt wirb bewtefen^ ba^
CB : CD = E : O. Da^er ifl audi
CB : BD + CD = E : F + G. €« tfl aber
CB s= BD + CD , forgUd^ aud^
B = F + G^
\3»
r
Sttberer. eemeii«
£a bic/ Aber ben bret ©eittn bti rec^ttomfeltgen TDuitdi
(ef(4rtebetteit ^tguren etnaiiber &^n(td» (inb , fo tfl
E : F =2 (BG : AB)» (VI , 23. SO €« ijl aber
Dbr,BC:DbnAB= (BG : AB)» (VI, ao* Sufo forflli*
aucb E : F = Quabr. BG : Duabr. AB.
(Ebenfo iDtrb bcnotefen/ bag
, E : G = Ctiwbr- BC : Daabn AC. 35a^er jjl
E : F + G = Ctuabn BG : Ofiabr. AB + Duabr. AC,
fii tfl aber and)
Ctuabr* BG = Duabn AB + Quabr. AC (1, 47. ©0
Da^er E = E + G.
© e r 32* (S a §♦
i tff t i a ii.
SBentt iföti IDretecfe^ tootin ixoti Getten be<
einen {weien Seiten bed anbern pro))orttona( finb^
fo an ei na nber gebracht werben, ba^ il)re bontp logen
ßieittn parallel ftnb/ fo liegen i^te britten 6ei#
ten in einer geraben ^inie.
e« (ei (gig* 159J in ben Dreiecken BAC'unb CDE bie
BA : AG = CD : DE, unb e« fei AB mit DG; andf AC mit
DE g(etct}(aufenb / fo liegen bie @eiten BG unb GE in einer
geraten Stnie BGE.
SB e tt) e i «.
Da bie (Scitt AB mit DG unb bie ®txU AC mit DE g(ei(^#
laufenb ifl / fo iil; auc^
jc BAG = 5C ACD (1 , 29* ©0 unb
X. CDE = 3C ACD, ba^er andi
3C BAG ±= 3C CDE. Da mm nac^ ber STnnabme
BA ; AG = CD : DE, fo iinb aucf) bie Dreiecfe
ABC unb DCE grei^winfelig (VI, 6. ®.) folgfi* i|l
X, ABC = x DCE. e^ tt>ar aber auc^
3c; BAG = X ACD. Darier ifl
X. ABC + X BAG = 3C EGA. Mtin
3C AGB = äc AGB. golgli*
i$9
X ABC + 9C BAC +^ ACB = 5: ACE + 3C ACB.
aber 5CABC + 5:BAC + JCACB = aR(I,32*@0/Mfll«A
aatd) BC ACE + ^ ACB = 2 R , imb bat^er BCi^
eine gerabe Sinie (I, 14.®0
©er 33* © a $•
? e M f a ö* -
3tt ^letc^ett Areifett liefen fomoM bie Setttti^
tDtnfeJf/ aU auc^ bie $eript)erien)infer unb cftenfo.
bie 9u^f(fcni(te in bem SSer^dÜniffe ber RxtiU
(ogett/ n>orauf fie ftcb 6eftnben.
@d feien ($tg. 160.) in ben g(eid)en greifen ABC unb DEF
an ben 3RiüeIpuncten G unb H Die jQ}infe( BGC unb EUF; att
ben Umfretfen aber bie Sinfel BAC unb EDF , fo i(l
^ BOG : 3C EHE = ©og. BC : Sog» EF. gettter
je BAC : je EDF = SSog. BG : ©og.EF, enblic^aittJ^
fc^nitt BGC : Slu^fc^ni« EHF == Sog, BC : SBog. EF.
S e n) e i d.
L SSlan nef)me in 6e(ie6iger 9Renge bie jtreiibogen CK»
KL bem Sogen BC unb bie ^rei^bogen FM , MN bem Soge»
EF gleid), jiel)e GK unb GL, ferner HM unb HN, fo finb
bie (SetUrin)infe(, bie auf gleichen Sogen jle^eU/ einanber g(ei<^«
(III, 27- ©•) golglid) ffnb Sogen BL, SBinfel BGL t)om
Sogen BC unb ^iBtnfe( BGC, unb ebenfo Sogen EN, SQinfel
£HN Don Sogen EF unb äQinfel EHF bie ®leic^t)ielfa(^en,
unb ii iil
toenn Sog. BL > Sog. EN, aucb 5: BGL > je EHN unb
»enn Sog. BL Sog. EN auc^ ^c BGL = x. EHN unb
toenn Sog. BL< Sog. EN, auch JC BGL OC EHN tili, 27.6.)
Da^eridSog.BC ; Sog. EF = 3cBGC : ^EHF,
SBeil.aber
3c; BGC = a ^ BAC (IH , 20. S.) ttub aud^
3C EHF = a 3C EDF, fo i|l
3: BGC : 5: EHF = 3C BA<: : ^ EDF , fofglic^ ai|(|f
8og.BC:Sog.EF = X BAC : JC EDF.
14d
• It gjlan |(e^e bie gerabrtt ftttteii BC ttnb CK, ite^mf
}totfdfen B unb C beit totOffl^rlic^n ^nnct O, |wtf4eit C nnb
K ben wint&briiibtn ^uncf P itnb jie ^ BO, OG, CP, ttnb PK.
Da ^ier GB = GC = GK , anc^
X BGC = 3C CGK, fo t(l auc^
A CGB = A CGK (I, 4- 6.) imb forflti*
BC = CR.
XahitfQe^tn BC unb CK cinanber gfeic^ ffnb, fo (Tnb
andi t^re 9?eÜe ))om ganzen Umfange gfeic^. ^olglit^ ße^eit
bie Sinfel BOC unb CPK auf greic^en Sogen unb ffnb ba^er
etnanber g(etc^ (III, ^7, @«) %olQli(b ffnb auch bie Segmente
BOC unb CPK emanbeir dbnlic^ (III, li. SrH.) SHTetn t^rc
@runbltmett BC unb CK ffnb einanber gleich , folglich mflffen
anä) bie Segmente BOC unb CPK etnontmrgletcb fepn. (III,
24. ®.) Sldein bie DreiecTe CGB unb CGK ffnb einanber gleich,
folglich ffnb ti audf bie Sludfc^nitte GBC unb GCK.
<S6enfo ti^irb enoief^n, baß bie Studfc^nitte CGK unb GKL
cinanber gleich ffnb. Sa^er ffnb auc^ bie brei StuSfd^nitte
einanber gleich. iSatfcx ffnb Sog. BL unb Stu^fc^n; GBL bon
Sog. BC unb Slndfc^n. GBC, unb auf g(eid)e ®eife Sog. £N
ttnb au«f(^n. H£N t>on Sog. £F unb Slu^c^n. H£F bie ®(ei(^^
)5ie(faciien. 'ilndj ift,
mm Spg. BL > Sog. EN ijl, auc^ Sludfc^n. GBL > 3lud#
fctinitt BEN
wenn Sog. BL = Sog. EN ift, and) Sluöfc^n. GBL = S(u^#
fcbnitt KEN .
tocnn Sog. BL < Sog. EN tit, auc^ SCudfc^n. GBL < flui^
fc^nitt BEN , folgfic^ ift
Sog. BC : Sog. EF = ?Iu«fc^tt. GBC = S(u«#
fc^nitt HEF.
i^ierau^ ge^t ^ertoor, ha9 and^ bie jtreijaudfc^nitte BGC
unb EHF ffc^ mie bie SBinfel am 9R(tte(puncte BGC unb EHF
Der^alten«
enbe be< fec^ften fBu^B.]
SDa«
e i I f t e JB tt c^
b e r
(Elemente l)e ^ ^ncli^ci.
S)icfc« Stt* ^anbelt;
1) 914 Sorbereitung jur 9titptxUi)tt (@tereoinetne) Dott
ber Sage geraber Simen nnb ebener glätten gegen dbtntn^
©a$i — 19.
2) SJon ben StitptrtoinUln. ©a$ ao— 23.
3) 9Jon ben ^aralteloptpeben «nb breiecfigen 9^xximtn.
i »
^ i
'f
(SttUtunitn i\xm eifftett unb jmMften Jßud&el
!♦ (5(tt ÄÄr^er ijl taSjettige, toai efite Wnge, ©reite
ttiib ^uft l)at ;
a. t)ie ®renje eitirt Äörjjert Ift eine %l&d^t. '
3. @tne gerabe Unit ßet)t aitf ettter @6ene loit^^
rec^t, tt)ettn fte mit aOen in berfe(ben @6ene liegeiiben ttnb
fie bcriS^renben geraten ?{nte» rcdjte SOBinfef bilbet«
4* @ine @6ene ße^t auf einer anbern (Sbtnt lotff^
ttd^t, xotnn aUt gerabe ünien^ n)e((^e in ber einen (Sbenc
auf ben gemetnfc^aftlic^eh 2>urcbfc^nitt (eiber Ebenen fenfrec^t
erridjtet noerben, auc^ auf ber anbern @bene fctt^red^t flehet!«
5. Die Steigung einer geräben Sinie gegen eine
Sbene ifl ber fpige Sßinfel, belegen fie mit einer anbern
geraben {inie bitbet^ bie man burc^ in>ei ^uncte in ber @bene
Sie^t^ XDp^on ber erfie ber ^u^punct jener erfien Sinte^ ber
anbere aber jlener ^unct ifl, in totld^tm ein irgenbwo Don itjx
* auf bie (Sbene gejogene^ iet\) eintrifft
6. Die Steigung jwHer^benen gegeneinanber
tfl ber fy^i|e 3Binfe(; ber t)onjn)ei geraben Linien gebi(bet
iDirb/ n^elc^e in beiben (Sbenen auf ben gemeinfcl)aft(ict)en
Durc^fc^nitt unb mi beut n&mlic^rn ^uncte fenfrec^t erriditet
iperben.
7* B^^i @benen tiabtn d^ntic^e Steigungen gegen einan#
ber, n^enn bie ebenbemerften Steigung6minfel einanber gleid^
finb.
8* ^arallefe Ebenen flnb jene, tDefd^e Ui jeber Ser#
Ungerung niemals jufammentreffen.
9. Sle^nlic^e Xitptt ^ei^en jene, bie t)on glei(|it)ierett
i^nlic^en (Sbeften begrdnjt U)erben«
10. dteic^e unb d^nlic^e A jr})er ffnb jene, bie wn
gleid^k)ie(en> gleid^en unb d^nlic^en (Ebenen eingefc^toffen toerbett«
144
11) iSin fir^ttliditt^BitiUl Uint (SdO id bte 9Iet>
ttttg, wn mtbt ali iwti gcrabfn Stitten segrtt etnanber, bte
einanber htxixtfttn, o^ne in einerlei (Ebene )n liegen; ober:
ein förperltc^er Sßinfel ifl jener, ber t)on »enigftend bret
ebenen SBinf ein begrAnjr iDtrb,. »eld^e in emrm ^uncte jn^
fammentreffen/ o^ne in einerfei ^bene jn liegen.
la. (Sine $9ramibe ifl jener Körper, ber t)on. Ebenen
begrdnjt iil, welche t)on einer ein)tgen (Ebene au^gel^en »nb
in einem ^nncte auffer i^r {ufammentreffen«
13« (Sin ^xi^tttü ifl ein Xivptx, ber wn Sbenen begrdn{t
tfl/ nnter welchen jn^ei einanber gegen&beriiegenbc fonoo^I
gleich unb d^nlic^, ali paraOef; bie iibrigen aber ^arafle(p#
gramme fTnb«
14. (Eine ftugel i|l jener ^itptt, totld^tx t>on einem ig^alb^
fretfe befc^rieben n>irb, n>enn ftcb berfelbe einmal ganj nm feinen
nnben}eg(ici)en Durd^meffer ^erumbemegt
15. Xiie 9lre ber £ugel ifl bie ebenbemerfte unbetpegte
Sinie/ nm toeld^t ber ipalbfreid gebre^t tt>irb.
. 16. £er 9KitteIpunct ber ^ugel ifl eben jener ^unct,
IDelc^er aucb ^iüelpunct bed bemerken ^albfreifed ifl.
17* IDer Surd^meffer ber ^uge( ifl jene gerabe iinitf
mld)t intd) ben 9RitteIpunct ge^r, nnb an beiben Seiten
))on ber ßugelfl&c^^e begr&njf mirb*
18. (Ein ^egel ifl jener ^6rper, tt>elcben tin rec^twinfeKgeö
jDreiecf befdjreibt, tt>enn baffelbe ring^ um tint ben rechten
Sßinfel bilbenbe ©cite gebre^t toixt. X)iefed unüerrärfte ietti
ifl entn)eber ebenfo groß, ober Heiner / ober großer , aU bai
anbere bewegte, unb bilbet ^ieburc^ im erflen ^aKe tintn
re(^tn)tnteligen/ im {weiten einen flumpfwinfeligen/
unb im britten einen fpi^winfeligen ^egeK
19; Xie 91 re be« JtegeU ifl bie unbewegt b(eibenb<
Sinie, nm welche ffc^ bad Sreiecf gebre^t t^at.
30. Die @runbft&ct)e bed Aegelf ifl jener Stxtit,
welcher üon bem bewegten Sctbe befd^rieben wirb«
ai. (Sin äytinber ifl jene; Körper, welcher Don einem
rec^twinfeligen ^araKelogramme befc^rieben wirb, wenn (Ic^
baffelbe ringö nm feine unbeweglid^ie Qcitt ixttjtv
145
!»• ©ie Are be8 Stoliuberd i|l jene uitDerrurfie ©eite/
tmt wcldje ftcb b.ad Parallelogramm gebret)t ^aL
23. I)ie ®runbfldd)cn beg Splinber^ pnb jene Äreife,
töeld)eDon ben beiben entgegengefegten bewegten ^zxizn be*
Parallelogramm^ befcbrieben werben.
24. £ege(, fo wie aud) S^Iinber, ftnb etnanbev dbnltc^,
wenn tt)re $lren unb bie £)urc^nYe|fer i{)rcr ®runb(Idd^en
einanber proportiojtaf ffnb.
25. (Sin ÜBurfel CSubn«) f|l jener Äirper, berbonfec^«
gleicf)en Duabraten eingefct)(ojTen wirb.
26. ©in SCetraeber i(l ein Äorper/ber »on ijier gleic^eit
ttnb g(eict)feitigen £)reiecfen begrenjt wirb.
27.- (Sin £)ctaeb>er iil jener Äorper, ber Dott ac6t gleiche«
Itnb g(eici)feitigen Sreiecfen eingefcbloffen wirb«
28. (Sin Dobecaeber .ifi ein ^orper^ ber Don {w6(f gfei^
ci)en, gleic^fettigen unb g(eic^winfe(igen giinfecfen begrdnjt
»irb.
29. ^\^ Scofaeber i|l ein »on jwanjig gfeid[|en ujib
gleic^fcitigen Dreiecfen begrenjter Äörper*
©er !♦ © a !♦
/ Cc^rfae.
Son einer geraben Sinte fann ntc(|t txn %^t\l tn
cfner @bene unb ein anberer %^t\i auffer^crlb
biefe> @bcne liegen.*
@^ fei (?^ig. i6i.) AB eine gerabe Sinie, fo imxi »on i^r
Itic^t 2^9^^^^ ^^" Vc\z\\ x^ ber @bene MN, unb etn anberer
/t^eil anffer^alb biefer @bene liegen*
3Benn ABC eine gerabe ?ini? wdre^ >)on wefcfter ber
Jt^eil AB in ber <S,btnt MN unb ber SC.beif BC o6erl)alb biefer
(Sbene Idge^ fo t)erldngere m^n 'ttx\, \\\ ber (Sbene (iegenbett
Streit AB nad^ D. i^ierburd) warben bic j^wei geraben Sinien
AB€ unb ABD ffd) einanber va ber geraben Sinie AB burc^#
fc^neibeU/ x&t\^t^ wiberfprec^enb i|i/ ba ixotx gerabe Si^ieit
10
1
14«
mr Ol mm fhncfe snfaaninimfa tinuM, wan ffe »ti^t
000} nA gor ottf cinoiibcr foOcs.
2) c r 7. @ a J*
e c ^ r f a $.
SBeitit ftc^ itDCt grrabe Sinte ctitanbrr bitrc^
ff^nctbeit/ fo Itrgeit fit in einer (Ebene; aiid^
liegt jebed 2)rete(f in einer S6ene.
9Benn bie }mei geraben Stnten (gig* 163.) AB nnb CD
fi(^ einanber fc^netben, fo, liegen beibe in einerlei (Ebene, fo
mie auc^ jebed, and brei geraben Linien gebilbete Dreiecf fic^ ia
einer (Ebene befinbet
S e ti> e i d«
^9fian ne^me anf £C ben tt)tDfu^rri(^en ^unctF, auf EB
ben tPtOfä^rfic^en f>nncr G unb jir^e bte Serbinbungdlintea
FG nnb CB. SB&re nun wn bem ^retecfe ECB ein etucf ,
iDie tttüa £FG, in ber (Ebene, unb ein anbercd ®tucf, n>ie
FGBC, Aber ber (Ebene , fo uourbe anc^ oon jeber ber {»ei
geraben Stnien EB unb £C ein 2;^eil in ber (Ebene, nnb ein
anberer Ztftit aber ber (Ebene liegen ^ toa^ tt)iberf|)re4enb ifl«
(XI, 1« @0 ^olglic^ liegt bad gan{e 2)reiecf EBC in einerlei
(Ebene« 3n biefer (Ebene beftnben ftc^ auc^ bie Linien EB unb
ECi folglich anc^ bie Linien AB unb CD (XI, i. @.)
iD e r 3* © a §♦
i t f) t i a^.
9Benn 2^^^ (Ebenen einanber burc^fc^n^eiben, fo
ift tl)r gemeinfcfiaftlid^er ^urcfffc^nitt eine gerabe
Unit.
(Sß fei (gig* 163.) ber genieinfd)aftltc^e I)urctfcfcn{tf ber jTc^
fct)neibenben (Ebenen AB unb BC in BD, fo t|l BD einr gerabe
8inie.
f8 t w t i i.
SBenn BD feine gerabe ?inie wdre, fp fei e« irgenb eine
anbere, etma B£D in ber @bene AB unb BFD in ber (Ebene
147
BC. ig){er »fltbeit itwn bic jmct gcrabett iinitn BED iiitb
BFD einen 9?aum BEDF einfct)ne6en , read »iberfptec^enb i(l*
(1,10» @r.) golgltd) fann auffer BD feine anbete gerabe S'inie
Don B nad^ B miQÜ(^ fepm
. © e r 4^ <S a $♦
8 e ^ r f a $♦
SBenn eine gerabe Sinie auf jn^ei anbern^ bte
einanber fd^netben/ in il)tem gemeinfd^aftlic^en
Durc^fc^nitte fenfred^t lie^r, fo i|l fie and) auf ber
@6ene; nooritr jene Sinien^IiegeU; lottjttdit
aScnn (giä- 164.) bie Sinie FE \om\)U mit AEB af« >irft
DEC im ^uncte E rechte SBinfel 6i(bet, fo fle^t F£ auf ber
dbtntf »critt AB unb CD liegen, fenfrec^t.
95 e n> e i «.
' ^an sie^e in ber 66ene/ tomn AB unb CD Hegen, unb
burc^ i^ren Dur^fc^nittöpunct E eine gerabe ?inie GEH,
mache EA =z EB, EC = ED, unb jie^c AD unb CB.
gerner nebme man in EF einen tpiDfu^rlichen ^unct F, unb
jie^e bie Berbinbungölinien FA, FG, FD, FB, FH unb FC
i^ier ijl nun in bcn I)reiecfeny AED unb CEB bie
AE = EB, ferner bie
ED = EC , unb enblich
5c: AED = ^ CEB (1 , 15; ©J folglich i{t auch
^AD = BC (1 , 4. ®.) unb
3C; DAE = X. EBC. (S^ ifi aber auch
3C AEG = 5: BEH (I, 15* ©0 auch
AE =: EB , folglich muß auch
AG = BH unb
GE 2= HE fe^rt. (I, Q6. ©•)
3tt, ben lireiedfen FEA unb FEB ifl FE Totl^rec^t auf EA
unb auf EB , bahcr
je FEA = ^ FEB = R , ferner
AE = Eß unb
FE = FE, folglich
FA = FB (I, 4, ©.) STud greisem ©runbeiflt
10 ♦
148
md) in btn IDteiccfen FED imb FEC bic €ei(e
FÖ = FC. (gd war aber
AD = CB. g^orgHti) in
3C FAD = 5c: FßC. (I, 8* ©0 Siacitt ^
FA rp FB unb
AG = BH , ba^cr ifl an^
FG = FH (I, 4. ©0 ferner
FE = FE wnb nac^ bcm SBorfgcn
GE = HE, folglich audr
X. FEG = 5C FEH cl, 8. ©0 unb baljer bif
FE auf GEH Iotl)red5t (I, 10* grHO
Sfttf gleiche Slrt noirb betpiefett, baß FE anc^ mit jeber attbem
burd) ben $unct E in ber @bene ber £)urct)f(^niU^(inien AB
itnb CD gezogenen einen rechten SQSinfel bilbet Sa^er nm9
FE auf biefer Cbene lot^rec^t fepn. (XI, 3. erHj
© e r 5* (3 a !♦
2 c t) r f a $*
ÜBenn eine gerabe Unit mit brei anbern an
tf|rem (Snbpuncte/ einjeln genommen, rechte SBinfel
bilbet/ fo liegen biefe brei gerabe. Sinien in einer
©bene.
SQBenn (gig. 165.) auf ber ?inie AB bie ginien BC, BD unb
BE fenfrec^it jlet)t, fo mÄjfen BC, BD unb BE in einer Sbcrtc
liegen.
S e tt> e t *. ' \
V
Sägen bie brei genannten 8inien nic^t in einer (Jbene, fo
beftnbe ffcb BE unb BD in einerlei @bene unb BC aber berfelben«
SBirb nun bie burd) AB unb BC gebenbe @bene gel)irig t)er#
I&ngert, fo fd^neibet ffe bie untere @bene in irgenb einer ge^
raben ?inie (XI, 3. @.) etwa in BF. gd befdnben (Td) bal)er
*BE , BD unb BF in ber untern , jinb BA , BC unb BF in ber
oberen (Sbene. di iß aber AB lotijxtdjt auf BE unb BD,
folglich muß ffe auc^ auf BF fenfredjt (XI , , 4, ©.) unb baljer
ABF ein red^ter SD3{nfe{ fe9n* Siaein ABC toar; nac^ ber $ln<
149
tta^me, aitc^ e(n rechter SBinfel; fofgK^ tohxt x. ^BC =
je ABF, mldjti »iberfrrec^enb ip. (I, Q.Cör.) '
S) e r 6. @ a ^
SJiSenn }n)^t gerate Sinien <rüf ber n&mliditn
66ene fenfrec^t flehen, fo finb fie mit einanber
gletcbfaufenb* ^
SQeitn (^tg. i660 ^ie Stnie AB uttb bie Unit CD auf ber
e^cne BDE fenfred^t (le^et^ fo tfi AB mit CD pataUtl
S3 e n> e i d*
SBettn bie Sinie AB mit bem ^uncte B uitb CD mit bem
^uncfe D in ber Sbene etntrtf t, fo {tefte man bie !Ber6inbungd#
Itnie BD unb auf BD ani D in biefer iSbene baS 8ct^ DE ,
ne^me DE = AB, nnb jiel)e bie Serbinbung6hnien BE, AD
itnb A£. Z)a bie igtnie CD auf ber @6crie BDE (ottyrecdt
ße^t, fo ifl fie t6 au(b auf DB unb DE. 3(uf gleidje SIrt muß
auc^ AB fon)o^I auf BD al^ auf BE fenfrec^t feyk 3)a|er
t(l in ben Dreiecfen ABD unb DEB
3C ABD = ^ BDE = Rr ferner
AB = DE unb
BD = DB. Dalyer ift
AB = BE (I, 4. eo Kun ip
AB = DE , nnb /
AE = AE ba^er auä)
X, ABE = K EDA CI, 8. ©0 üi ift aitt
3C ABE = R, folglich anc^
3C EDA = R , ünb ed muß
ED auf DA fenfred)t fe^tt* ©a aber bie ED
an^i auf DB unb DC (ot^rec^t (!e^t^ fo befinben ffd) DB,
DA nnb DC in einer(ei @bene (^^I, 5« @.) in xotlditt audf
bie SJerbinbungglinie AB liegt. CXI, 7. ®0 ülun iß aber
X ABD = X. CDB = R; folglid^ mn^ bie Aß mit CD
paraQel feym (I^ 38» ®0
ISO
©er 7* © a ^
SBeiiit {tüct'grrabe Stnieit mit etnaitbcr parallel
ftnb nnb auf jebcr tin iotIffi^r(i4er f>ttncr gr»
nommcit wirb, fo (tegt bie gerabe Scrbinbong^«
linte btefer Vitncte mit ben |>aralleleit in einerlei
ebtnu
^^ Ui (^19. 1670 AB mit CD gleicbtattfenb, £ ein li>tB#
fi^tlid^et ^intct in jener , F ein f olcfier ^ncl in biefer , nnb
EF bie gerabe Serbinbnngdlinie wn beiben, fo liegt £F in
ber ebene ABDG.
$B e 10 e i d*
9Qdre bied ntd^t, f<; falle biefe SSerbinbnngdHnie über bit
(Sbene ber ^ataUtUn, mz £GF. Segt man nun burc^ bi^fe
eine gbene, von weld^er bie untere Sbene in einer gerabeit
ginie EF gefc^nitten'iotrb (XI, 3. ©.)/ f«> twitben bie i^ei
geraben Sinien EOF nnb EF tmn tftanm einfcblie^en, toai
nnmÄgtic^ i|l. (I, 12. ®r.)
/
©er a ® a $♦
8 e ^ r f a g.
SQenn gwei gerabe Linien mit einanber parallel
'finb nnb bie eine auf einer @6ene fenfrec^t ifi, :fo
fie^t anc^ bie anbere auf biefer @6ene (ott)red;t*
a^ fei C^ig. 168 AB mit CD gleid^Iaufenb unb bie AB
fle^e auf einer @6ene BDE (ot^rec^t; fo mn^ and) CD auf eben«
biefer fenfrec^t fe^n*
98enn bie ^araKelen AB nnb CD bie Sbene in ben
^nncten B nnb D fc^neiben, fo )ie^e man bie gerabe ä^er«
binbung6(inie BD , auf ffe aud D in ber untern (Ebene bai
?otf) DE, nef^me DE = AB unb jiel)e EB, EA nnb AD, fo
ift BD mit AB unb CD in einerlei @bene (XI, 7.®0^ »orin
ffc^ auc^ AD befinbet* (XI, a. ©,)
^
151
£a ntui AB auf ber uittern S6ette lot^retfet ifl ^ fo tfl
j; ABD = 3c: ABE = R, CXI, 3.&tl) ta ditt
AB mit CD paxaUtl tfl, fo mu6
jc; ABD + 3c; BDC = a R fe^n (I, 29. ©0 folglich ifl auc^j
3c; BDC = R.
jDa nitn in bett I^retecfcn ABD unb DEB
- SC ABD = 3c; BDE = R , ferner
AB = DE, ünb auöi
BD = SD, fo ijl
AD = BE (1 , 4. ®.) di iß ober
DE = AB ttwb ♦
AE = AE , ba^er andf
X. ABE = 3C EI>A (I, 8* ©0 aUeitt
3C ABE = R, folglich md)
• 3c: EDA = R, Da^er (le^t ED auf ber (Sbtnt
buxdi DB ntib DA (ott)rect)t (XI, 4. @0 itnb muß e« ba^er
attc^ auf ber, in btefer Sbene liegenben Sinie DC feyn
tXI, 3* (grM.) 3>a^er i|l
• ^jc: EDC'=: IL (E^ toat aber auc^ *
3C BDC = R , baf)er jlefet CD auf ber Cbene
bnrc^ BD unb D£ (ot^irecbt (XI, 4. @0 aujf loelc^er audr
bte i^r g(ei(^(anfenbe AB fenfrec^t i% '^
© e r 9, © a §.
8 e ^ r f a $.
ÜBenn jebe t)on jmei gerabe Sinien mit einer
britten, in einer anbern (ibtnt (iegenbeu/ einjrln
geni^mmen, parallel iß, fo finb auc^ jene {met
Sinien unter fic^ pavalltU
<Sd fei (^ig. 169.) fomo^I AB ali CD mit £F, weld^e in
einer anbern (S6ene liegt, gteic^Iaufenb, fo mn^ audf AB mit
CD gftid^Iaufenb fe|^n«
fS t to t i i.
aSan titi)mt in £F ben mUtil)xlixi^tn ^mct G, errichte
Mi if)m auf £F in ber Sbene burd^ FE unb BA ba« Cot^ GH,
152
jtnb ani beut it&mltc^eit ^itncte G auf £F in ber iSbtnt
EFDC ba^ ^et\) GJ , fo flehet bieft EF auf ber ebene burc^
GH unb GJ lof brecht (XI, 4.©.) 2^a aber fowe^I AB a»
CD mir btefem ieti^t EF paraKel ifl, fo fle^t auc^ AB unb
CO auf ber Sbene burd^ GH unb GJ fenfred^t, nnb ba^er ntu^
anc^ AB mit CD pataUtl fe^n CXI, 6* @0
©er 10* © a §♦
S e ^ r f a $«
SBenn ]h>ei gcrabe Linien, »elc^e einen SBinfel
bifbeu/ )ioeien anberU/ ebenfaüd einen ®infel biU
b^nben^ aber nic^t in ber n&mlicben (Ebene liegen^
ben/ etnjeln genommen, |)ara((el finb, fo finb bie
beiben SBinfel einanber g(ei(6.
aSenn (gig. l70O BA mit ED, BC mit EF glei^Iaufenb
ift, unb ber WinUl ABC auffert^alb ber (Ebene be« WiinUli
DEF fid) befinbet, fo ifi 3C ABC = 5; DER
S e tt> e i ^»
aWan ne^me EA = ED, BC = EF, nnb jie^e bte Ser*
tinburtg^Iinien AD, BE, CF, AC unb DF. Da ^ier bie BA
ber ED gleich unb |>araUe( ifl, fo mn9 andf AD' ber B£ g(ei(^
unb paratteife^n. (I, 33.©.) Sluf gretcfte OBeife i(l aud) CF
eben biefer BE g(etc^ unb paradel. X)at)er ffnb andj bie Linien
AD unb CF einanber gleid) unb paraßel (XI, 9. © ) unb
ba^er auc^ AC = DF. Da^er t)aben bie beiben Dreiecfe ABC
nnb DEF brei ©etten, einjeln genommen/ mit einanber ge^
mein, unb e« ifi JC ABC zz 3c I>EF CI, 8. ©O
©er tu ©' a $.
21 u f g a b e.
SSon tintm aufferf^alb einer gegebenen (Ebene
befinblic^en ^uncte tin Sot^ auf fte ju er.ric^tem
(E* fei (gig. 171.) A ber auflfer^aib einer (Ebene gegebene
^nnct/ au4 wtldftm auf biefe (Ebene ein Set^ ju }iet}en i{t.
153
Sfttfljfttttg.
Wian nei)me in ber gegebenen .@bene eine rDiÜfütitlidiz qo
rabf ?ime BC, jiel)e au^ A auf jTe bad ?ot^ AD (I, i% eo
tpetc^f^ auf betr gegebenen @bene enln^eber fenfred^t fttijt ober
md)t 3Bdre jened^ fo ifl bie Slufgabe aufgel6fet 3m (e^teit
^aDe aber erricbte man au^ D auf BC in ber Q^bene, worin ffe
liegt/ ein n)IKfiit)rnct)e^ ?otl) DE, (I, lu ©.) unb jte^c t)on
A auf biefe DE »ieberum bad it>t\) AF. (I , la. (S.)
S e tt> e i d«
3ie^t man burd^ ben ^unct F die GH mit BC gfetc^lauffttb/
fo ijl, ba l^C auf DA unb DE fenfrecbt jle^t, biefe BC auf
ber (&bem ADE (XI, 4« @.) Onb fofglid) auc^ bte mit fl}r
j)arattelc GH auf biefer gbene lottjvtdit CXI, 8* ©•) Da^er
tjl GH auf FA ober, »aö einerlei ijl, AF auf GH fenirecftt
(XI, 3, dttlO ®^ ifl aber auc^ AF auf DE fenfrec^t, fofglic^
muß biefe AF auf ber @bene burc^ GH unb DE , hai ^eigt/
auf ber gegebenen Cbene lot^red^t fc^n. (XI, 4. ©«)
© e r 12* © a |.
aufgäbe.
^ui einem in einer @bene gegebenen ^nnctt
ein iottf auf fie }u errichten.
ff« fei (gig. 1720 A ber in ber iSbtnt MN gegebene
9unct/ au^ ipelc^em auf ffe bad iotlj ju errid^en ifl*
änflifung-
9Ran ne^me einen $unct B auffer^atb ber ffbene, unb
jtelje öon biefem auf biefe Sbeife bad ?otf| BC (XI, ii. ©.)
«nb fobann burc^ A mit CB bie AD gleidilaufenb. (I, 31. @.)
S e tt> e i «•
2)a bie beiben i^inien DA unb BC mit einanber fataUtl
flnb/ unb BC auf ber (Sbene MN Iott)rec()t itttjt, fo muß a»cl|>
DA auf biefer (Ebene lotl^rec^t feyn. (XI, 8. @.)
154
© e r 13, © a !•
« e ^ r f a fi.
Vni einem, tu einer @6ene gege6enen f>ttncte
fdnnen nic^t {wei 9oti)e nadf einerlei Qtitt t^in
auf biefe Sbene errichtet lo'erben.
SB3enn A (gig. 173.) ber in ber (Sbene DE Qt^tUnt ^ttnct
i|l/ fo fonnen burc^ i^n nic^t jmei 2otbe nac^ einerlei &titt
biefer dbtnt errid^tet n>erbem
fß t w t i i.
SBenn AB »nb AC itpti iotht auf ber (Sbtnt DE tDftren,
fo lege man burc^ BAG eine (Sbene , meiere bie (Sbene DE tn
ber geraben Sinie DAE fc^neiben (XI, 3* @0 fyitx mixt nun
3C DAB = R unb ebenfo
3C DAG = R CXI, 3. grfL) folgli* auc^
5: DAB = x DAG , n>el(|ed »iberfprec^enb i(l
(I, 9. ®r.)
© e r 14* © a §♦
?el^rfa$*
üSenn eine gerabe Sinie auf jnoei Ebenen Ict^
rex^t fie^t/ fo finb tiefe Sbenen mit einanber
g{eicb(aufenb. /
(gö fei C^ig* 174.) bie ?inic AB fott>ol^I auf ber @bcne GD,
ali auf ber Sbene EF feufrec^t, fo muß GD mit EF gleich *
laufeub fepm
S e n> e i «.
«
SB&ren beibe Svenen nic^t mit einanber parallel/ fo mAß#
tenfie; ^tn(dng(tc^ k)er(dngert/ einmal iufammentreffen, unb
fk^ in einer geraten ?inie GH burdjfc^neibcn. (XI , 3. @.) 3«
biefer ne^me man ben toiUfii^rlic^en $unct K unb jie^e in ber
loerldngerten @bene DG bie gerabe iSinie KA, unb in ber t>er^
iängertcn (Sbene EF bie gerabe Stnie KB. £)a nun bie Stute
AB auf beiben ßbenen leti)xtd}t fiel}!, fo muß ffe ti auc^ auf
KA unb auf KB feyn, (XI, 3. @rflo (&i befAnbe fid) iaijtx
155
iin ZStetedfe ARB Ui A itnb B ein rechter 9Qin(e(/ weld^ti
toiberfyrec^enb iji. (I, 17. @.)
> \ •
©er 15. © a ^
SBenn gtoet tn einer (Stent juftinimentreffenbe
gerabe Sinien )tt>eten in einer anberen (S6ene
liegenben^ ebenfalls jufammentreffenben ger.abett
Sinien, einjetn genommen^ parallel finb, fo ftnb
attdjbte 6etben Ebenen mit einanber gleid^laufenb*
g^ feiern (gig. 175.) AB unb BC bie in ber einen,. DE
itnb £F bie in ber anberen (Sbene Itegenben Simen* Kud^ fei
BA mit ED nnb BC mit £F gletcblaufenb , fo muß bie dbtnt
bnxd) ABC mit ber (Sbene burc^ D£F parallel fe^n.
S5 e m e i S.
@d fei burc^ AB unb BC bie dbcnt AC nnb burc^ DE unb
EF bie @bene DF gelegt. Sluö B giel)e man auf bit (Sbene DF
ba^ 8otb BG CXI, ii, ©.) unb jic^e in biefer (Sbene burc^
G bie GH mit ED unb bie GJ mit EF greic^Iaufenb (1 , 31. ©.}
SDd nun BA unb GH, todd^e, einjeüt genommen, mit ED
-paraffel ffnb, audj unter f[c^ parallel fepn mfljfen (XI, .9.©.)
fo bepnbet.lTc^ BG mit i^nen in einerlei (Sbene (XI, 7. ©.)
«Run i|l abtv JC BGH = R (Xi; 3. @rfl.), bal)er auc^
^ GBA = R (I, !19. @0
(Sßenfo wirb erwiefen, baß aud) 5C GBC = R; folglich muj
OB auf ber gbene AC Iotf)rec^t fcpn (XI, 4.©.) (g^ war aber -^ «
OB aiic^ auf ber @bene DF fenfrec^t, folg(id) ftnb bie beibett
(Ebenen AC unbDF mit einanber paraKel. (XI, i4. @.)
© e r 16. ® a §.
SfBenn }tt>ei paraKele (Sbenen ^on tintt brittett
(Sbenegef^nitte'n werben/ fo finbbie IDnrc^fd^nitt^
linien ebenfalls parallel«
156
at fei Cgig« 176.) bte 9btnt AB mit ber «ftctte CD
pataütl nnb betbe »erben Don htt britten (Ebene FHGE
gefcbnttfen/ fo (tnb bie Snrd^fc^nüMKnten FE nnb HG cben#
faOd paraKeL
S e tt e t 9«
SBenn btefe Sinien £F unb GH nidjtMit emanbet pamU
lel n>&ren/ fo m&^ten fie, über Funb H.t>et(Angerr, irpenbiDO
Ittfammeptreffen. ®efe$t bieg gefd^e^e tn J, fo bef&nbe (ic^
bie gerabe Sinte £FJ in ber (Sbene AB (Xi, i. @0 nnb bie
gerabe Unit GHJ in ber @6ene CD nnb ber £nrcfrfd)nittdpnnct
3 Idge.fomobl in ber @bene AB, atö anc^ in ber S6ene CD.
Sa^er tr&fen auc^ biefc parallelen @6enen AB nnb CD einmal
jnfammen/ totl(i)ti nnm6gfid^ ifl. (XI, 8. 6rf(0
m
©er 17. @ a |.
(
? e M f Ä 6^
^tnn itoti gerabe Stnien t)on brei paralfelen
iSbtntn gefc^nitten werben, fo btiben bie S^^eilc
biefer Stnien eine Proportion«
(Si werben (^ig. 177.) bte geraben Linien AB nnb CD
))on ben paraUelen @6enen GH, JK nnb LM gefd^nitten, fo
bilben bie Ztjtilt berfelben gleiche Sert^dUniffe«
Seme id.
^an ^te^e bie SSerbtnbungönniett AC, BD nnb AD,
welche (eßtere bie @bene JK im ^uncte N fc^neibet ferner
jiel)e man bie ?inicn EN nnb FN.
2)a bie (Ebenen JK unb LM mit einanber parallel ffnb,
nnb t)on ber Sbene EBDN gefc^nitten werben, fo ffnb anc^
bie'Durc^fct)nitteIinien EN nnb BD parattel (XI, 16. S.) 3(nd
gleichem (Srunbe iß aber antb bie Sinie NF mit AG g(eid^#
laufenb. 2)al)cr ^at man im I)reie(fe ADD
AE : EB = AN : ND (VI, 2. ®.)
nnb im I^reieefe ADC
CF : FD = AN : ND. ^oIqU^ ifl andi
AE : EB =s CF : FD.
IS?
10 t t 18. <S a &.
8 e ^ r f a ij.
SBenn eine getabe Stnte auf einer C6ene fenV
rec^t iß/ fo finb alte (Sbetten^ n)e(c^e man burc^
biefe gerabe ?inie.n legt, anf biefer @6ene fenfrecfet
ee fei bie Sirtie AB (gig, 178.) auf bcr @6ene CE lott^tcdit,
fo tpirb aud^ jebe anbete / burc^ AB ge^enbe @6ene auf i\jx
fenfred^t fejjn.
/ , S e w e i ^*
QRan lege burc^ bie rott)rect)te IMnie AB eine n)i(lfu^rl{c{ie
S6ene DE, n)e(d}e bie untere @bene in ber geraben Sinie CE
fc^neibet (XI, 3» ©•) (StxiijUt man nun auf CE in biefer
(Ebene DE ani trgenb einem tt)ittfu^rrid)en ^uncte F bie FG
Jot^recl)t, fo ifl bir äBinfel GFB ein Stecftten Da aber AB
auf ber untern @6ene (ot^recbt fle^t, fo ifl auc^ ber Ußiufel
ABF ^in Mecbteir (XI, 3, Srfr.) Da^er muffen hit ?inien AB
unb GF tifiit einanber gleic^faufenb feijn. (I, as. ®0 Datier
muß ferner andi GF auf ber untern Sbene fenfredjt fetojt'
CXI, 8, @.) unb folglich auc^ bie (Sbene DE. (XI, 4* er«.)
©er 19. © fl $.
« e ^ r f a §.
Üßenn jebe^ Don iwti, ficf) fd^neibenben (Sbenen
auf einer britten Sbene fenfred)t ftt^t/ fo ifl auc^
t^re Durct)fc^nittd(inie auf biefer @6ene lot^red^t*
®enn bie gwci fic^ in BD (§ig. 179.) fdjncibcnben Sbeneii
AB unb BC auf ber untern @bene VW (ot^rec^t ffnb, fo mufl
and) BD auf i^r fenfrectit fctpn.
S e n> e i £•
SDA^re bie Durc^fd^nittölinie BD nic^t auf ber untertt
Q^ene lot^rec^t, unb folglich auc^ nict)t auf ben Durd)f4)nittd^
linien DA unb DC, fo errid^te man in D auf AD tu bcr
(Sbene AB bat» iotf) DE unb auf CD ani D in ber @6ene
BC baö Sot^ DF. Da nun bie (Sbenen AB unb BC auf ber
158
lottent (ihtnt fenfrec^t ftitb, fo voinn andi bte {tm'eit DE
ttitb DF auf biefer iSbtnt lot^rcc^t (XI, 4. erfL) locld^rö
iptbcrfpred^eitb tfl. c^I, 13. @.)
©et 20^ © tt 5*
8 e M f a ö-
9Bfiitt eilt f jrperltc^er SSinfel y)en bret ebenen
SQinfeln brgrenit ifl, fo ftnb jrbe ]mei biefer
SBiitNI {ufammengenommett grölet/ aH berbritte«
& fei ber forperitc^e SDinfel bei A (^tg. iso.) Doit ben
brei ebenen SBinfeln BAC, CAD nnb DAB begrdnjt, fo ifl
X. BAC + X, CAD > X I^AB
X CAD + 3c: DAB > X BAC unb
3C DAB + 5c: BAC > ^ CAD.
S e tt) e i «.
35enn jeber biefer brei ebenen 38infe( bem anbem gleich
ifl/ fo bebarf ber &ab feineö Sen^etfed. @tnb ffe aber
WQUidjf fo fei ber SBinfelBAC größer, nnb eö ifl {u be^
loeifen, baß X BAD + ^c: PAC > 5; BAC. üBan mad^e
3C BAE zz 3C BAD (I, 23. ©.) ferner
AE = AD nnb giel)e-bie SerbinbungSrinieit
BEC, CD nnb BD, fo ip in ben Ereiecfen DAB nnb BAE
DB = Bfe (1,4* ©.) eö i|i aber in bem
Dreiecfe DBC (nad) I, ao. ®.)
BD + DC > BC, bal)er ifl anc^
DC > EC (I, 5.®r.)i fofglid)
5^ DAC > X CAE (l, ii5. ©.) unb ba^er
3c: BAD + X DAC > 3c; BAC.
t
© e r 21* © a §♦
? e ^ r f a ^.
Scber fjrperlit^e Sßinfel wirb »on ebenen 3Öin^
lein begrenjt, tt>cld?c jufamnungenommen weniger,
aU X)ier JRet^ie betragen. - >
1S9
^i fei (^tg* 181.) bet f jtperlfc^e 3Bmfe( bei A »on bm
ebenen SBinfeln BAC, CAD itnb DAB eingefc^rcffen/ fo tfl
^ BAC + ^ CAD + ^ DAB < 4 R.
93 e tt> e i d.
9Ran neunte auf ben hinten Aß, AG nnb AD bte toiO^
fft^tltc^en ^uncte B, G nnb D nnb gte^e bie Serbinbung^^
Knien BC, CD nnb DB, fo tfl bei bem f6rper(t(i)en WxAtl
B, toefcber ton ^cn brei ebenen SBinfeln CBA, ABD nnb
DBG eingcfcbloffen »irb,
. 3C: CBA + 5: ABD > JC I^PC (XI, 20. ©O
Und gleichem ©runbe tfl bei bem fdrtfcrnrf)en SQStnfel D
^ BDA + 3c ADC > ^ BDG nnb bei bem Ihu
perlic^en SBiirfel G
3C DCA + 5; AGB > ^ BCD.
(Sö ifl aber in bem X)reiecfe DBG
3C DBG + 3C BDC + ^c BCD = 3 R (I, 32. ©.)
fofglic^ ifl and^
3C;CBA + 5c;ABD + 5;BDA + j^AÖC + 3c:DCA+ 5c:ACß<2R.
(gd ftnb aber biefe fecfeö äßiivfet, nebfl beh brei SBBinfeln BAC,
CAD nnb DAB, {ufammen fo groß, alö fec^ö rechte 3ßinfe(/
folglich tfl ^ .
^ feAG + 3C CAD + ^ I^AB < 4 R.
© € r 22* © a §♦
? e ^ r f a e*
SDBe'nn brei. ebene SÖinfel/ h)ot)on jebe jwei jn^
fammen großer aI6 ber britte ftnb, gletd)e @d.)enFeI
l^aben nnb V\t @nbpnnct« biefer ©dienfel burc^
gerabe Sinien terbunben n^erben, fo fann and bie^
fen geraben Linien ein Dreierf gebilbet werben.'
e^ feien (gig. 182.) bie brei ebenen äßinfel ABC, DEP
itnb GHJ gegeben, tt)Oton iebe 2n>ei gufammen großer,, a(d
ber britte ifl nnb BA = BG = HG = HJ = ED = EF,
fo fann man ;ivA ben SBerbinbnngelinien AG, GJ nnb DF
ein X)rete(( bilbeh.
160
S3 e n> e i #.
^icfed' ^reifcf n>irb man hüben f^ttnen, loenn wn hm
brei geraten Siniett je {toei {itfammen genommen großer, aK
bie britte (inb (I, m. ©.) SIBäre nun 3C ABC = 5c DEF
= 3c: GHJ, fo mHtt aud) AC = ÜF = GJ fe^n* (I, 4. ©•)
jtnb ed )D&ren ofenbar je {mei'biefer Sinien {ufammengenommeti
großer , aU bte britte«
®tnb aber biefe SBmfe( emanber ungtetc^, fo ne^me man
nadf 2Biflffi{)r g»ei berfefben, tttoa ^ ABC unb x. GUT,
Wfl*e 3c: JHK = 5C Aßt (I, 53. ©0 andi HR = HG unb
)tef)e OK nnb JK , fo ift in ben SreiecTen ABC unb JHK bte
AC = JR (I, 4. @0 9?un i(l aber, weil
5C GHJ + 5t: ABC > 5c DEF (I, üi ©.) ober
3C (>HK > 3C CEF , auc^
GK > DF, aber
GX + JR > GK, fofgltc^ auc^
GJ + JK > DF ci,'ao. ©0 allem
JK = AC, ba^er auc^
GJ + AC > DF.
SJttf gleidje Sfrt wirb betoiefen, baß AC + DF > GJ unb
GJ + DF > AC. ^Jofglid) finb t)on ttn brei geraben
Stnien AC, DF unb GJ je jmei jufammen großer / ali bie
britte*
© e r 23. © a 0.
81 tt f g a b e.
Stuöbret ebenen SBtnfeln/toelcbe jufammenfletner
ali Dter Dtec^te, unb n>ooon je jwei in^ammcn
^rißer^ aH ber bxittt finb/ einen f 6rperlic^ett
9Binfe{ ju bilben.
@d feien (gig. 184.) ABC, DEF unb GHJ bie brei
ebenen fflinfel, weldie bie angegebene Sigenfcbaft Ifabtn, fo
foll ani itjmn tin förperlidjer 93}infel gebilbct »erbem
8 e ^ n f^a fe.
SGBenn jioci gerabc ginien (JJig. 183.) AB unb KN ge#
geben (inb, unb ed ijl AB > KN, fo foU eine britte NQ
161
■
ge^ttben tDetben / b<i$ Quobr. AB = Duabr. KN + Duabr*
NQ fei* 9Ratt befc^reibe aber AB einen '^albtttii , ttagt auf
A bie AC = NK in benfelben unb {ie^e CB.
Da ^ter 3C AGB = R (III, 31. ©O fo i(l auc^
Dttiabr. AB = Duabr. AC + Cluabr.CB (I, 45* @.)
Sflimmt man nun NQ = CB , fo ifl
Duabr* AB = Duabr. KN + Duabr. NQ.
SluflÄfung.
3Ran ntac^e bie @cbenfel ber bret gegedmen SBinfct
Cgig. 18^.) ABC, DEF unb GHJ einanber gletd}, unb jie^e
tie Serbinbung^Hnien AC, DF, GJ, au^ n)elct)cn ein Sretecf
gebflbet »oerben'fann (XI, 22.®.) 9Ran befd^reibe mit i(}nen
bad Drciecf KLM , worin AC = KL , DF = LM , unb GJ.
=r MK ift, befcbrejibe ferner um biefed Dreierf KLM einen
Ärei^^ (IV, 5. ©.) fo ifl fein ORiMelpuBCt N entweder innere
^alb biefe^ Sreiecf^^ ober auf einer feiner @eiten, ober
aujferbalb hti I)reie<f d.
L e« fei be« j(retfed ^ittefpunct N in ber @eite LM
Ud Dreierfd LK VL SWan jie^e KN , fo ifl AB > KN. SWan
erricbte aixi bem ^uncte N auf bie @bene beö Areifcö bie
flerabe ginte NQ Ictt)red)t (XI, 1% ©)/ madje NQ fo groß,
baß Zlmr>t. AB = Duabf. KN + Duabr. NQ (?el>nf.) unb
jiebe bie «inien QK, QL unb QM, fo ifl bei Q ber t« biU
6enbe tixpnUdjt 9Binfe(,
i^ier ifl ju bemeifen ^ ^
üx^tni, baß AB > KN ober baß
AB nidjt = KN unb
AB nitijt < KN fet)n» fjnne. SQBdre
AB = KN, fo lo&re aud), n>eil
AB = BC , unD KN = LN =s NM, a»if
AB + BC == LM, forgfi*, »eil
AB = BC =£ DE = EF, unb
LM = DF, nunmel)r auc^
DE + EF =t DF , tt>ad nid)t feyn f ann. (I , ao. ©.)
SQAre aber AB < KN , fo mi$tz au^ gleichem ©runbt
DE + EF < DF feyU/ loeld^ed ebenfattd nic^t mi^liäj ifl.
11 '
162
3i9etfe«<, bof tri Q krr JHttangU fhpttlUkt Shrfcl
fei, 6btt ha^ bie brct cbcnni ffitnrcl KQL, LQM mib MQK»
loffcftf bm fjrpcrlid^ Sinfrl Q bcgreaim, bot grgebcnni
aBtnfcfn ABC, DEF mib GEI cinjefn senoimnni, glriA frtes.
Sa Qf^ loHrtdft anf bc« Jtretfe fte^f, nnb fofgltd^ ovcf^
auf bell iinxtn NL, NK nnb üNi, (XI, 3. ¥rfl«) fo ift in
bcn Dreiftfm QNL nnb QNK, bie Seite QL = QK.
(I, 4. ®0 nnb in ben Sreietfen QNL nnb QNM bie QL
= QM (1 , 4. e.) Saliner i^ andSi QM = QK nnb bal^er
QK = QL = QM. äBeil
aber jc Q^K = R, fe ifl
O, 47. ©.) Ouabr. QK = Q. KN + Q. NQ.
Üi war aber Qnabr. AB = £l KN -f- D. NQ ;
ba^er ifl Dnabr. AB = £L QK , nnb f omtt
AB = QK. 2>aber (tnb
bie Gcftenfel ber gegebenen SBinfel/ nnb bie brei Linien welc^
ben Utptrlidftn ffiinfcl Q einfc^Ite^en/ nntfr ftd^ gleic^.
m ift abee anc^
AC = KL, BF = LMy uitb GJ = MK; ba^er anc^
X, ABC = X, J^QL» 3C DEF =r Jd LQM, nnb
3C; GHJ = 3C MQK. (I, 8. ®.)
II. Cd fei (g^g* 185.) ber SRitterpuncI be« jhreife« N
{nneri)alb be« rretecfd KLM« Wian iittjt KN, LN nnb MN,
nnb t)rrfai)re im äbrigrn, wie bei bem erfien %aVit, fo'iDirb
auf bie ndmlid^e Slrt bewiefen, ba0 Q ber Dertangte Utptu
I(ci)e 2Qinfe( t|l, nnb ti Ueibt nur nocb jit {eigen, ta^ AB
> KN^ ober bof AB ntcbt = KN , ober AB < KN fe^n f6ttne.
ÜQAre AB =r KN, fo wärt audf
BC = NL ; ti ift aber
AC = KL , folglich tt)&re
3C: ABC = 3C K.NL (I, 8. ®.) Cbenfö »irb be*
toiefett, baf 3C DEF = 3C LNM, nnb x ^H^ = 3CMÄK.
»Are«
X)af)er »Aren bie brei gegebenen SStnfel, n^efdye jufamtneit
f (einer, ali mer tRtditt fe|in mäffen, fo gro0, ali bie bret
SBinfel bei N, loeld^e lufammen bier Siechte betragen.
163
SBAre AB < KN, fp ttr^me man
NO = ABj NP = BC, ttilb gie^e OP, fo ijl^
l»ei{ AB = BG, ducb NO =r NP. S(6er NK = NL, ba^cr
OK =1 PL unb LK mit OP gif iWaufenb (VI , 2* e.)/ tootant
NK : NO = KL : OP folgt (VI, 4* ®o d* ift aber
NK > INO , ba^cr andi KL , ba6 ifl
AC > OP. di ift bal)cr in bcw Dreierfen ABC
utib ONP, welche g(etd)e @(benfe( tfabtti^ tporm abtt AC >
OP, üudi 5C ABC > 3c; ONP (I, 24* ®0
(gbenfo rntrb bewiefen, baß 3C DEF > 5; LNM unb
^ GHJ > X, MNK, iinb ed tüArenbie bret gegebenen SBinfef,
toeld)e {ufammen Heiner, ali vier INed^re fepn mifftn, grdßer,
ali bie brei 3Binfe( bti N , meiere jnfammen oier Sted^te be#
trägem
IIL (Si liege be« «reife« gRirtefpunct N ($tg« 186.) auffer#
l^alb be« Dreiecf« KLM. QRan (iebe KN, LN unb MN, unb
terfa^re im Uebrtgen, wie im erflen ^aKe, fo voith nie bort
bemiefen, baß Hdi bei Q ber Derlangre f6rperlicbe 9Qinfe( be#
ftnbet/ unb e« Meibt nod) )U {eigen, baß aud) ^ier AB >
KN, ober baf AB nid^t = KN, no« AB < KN fei; '
9BAre AB = KN, fo wdre aud» BG s LN«
aaein AC = KL ; fo(gNd) »Are K ABC =s ^ LNK.
CI, 8. ®0 Sbenfo wirb bemiefen, baß
5: GHJ =: 3c KNM unb jc DKF = j: LNM. a5aI>erwÄre
9C ABC + ^ GHJ = 5: LINK + J;; KNM =: 3c: LNM
=: X, ^^^ f ba bod» von ben gegebenen SQinfern je jwei )u»
fommen gr6ßer, aH ber britte fe^n m&(fem
©Are AB < KN , fo mad)e man AB = NO = NP =s NR
itnb )iel)e PO unb OR. ^ter finb, wie im {weiten ^aOe, FO
itnb LK, fo wte auc^ Oa unb KM gfetc^laufenb, fofgltc^
SC POR = X. LKM (I, a9^ ®0 auib i(i/ wie im {weiten
gafle, XABC > JC ONP unb 3C CHJ > äC ONR.
SRan neunte ba^er 3C ONS = jc ABC unb
5: SNT = 3c ABC + 3c CHJ, ttnbma^t
AB == WS = NT unb lie^e TO , OS uttbST,
11 ♦
164
^ier i(l OS = AC = KL (I, 4. S.) ««* OT = GJ
= KM. (Si ifl aber x. POR. ober BC LRM > 3C.SOT, ioß
f)ti audi LM ober DF > ST. (I, 25. ®.)
Kiin ifl NS = NT = AB, unb ba^er caxdf
HS = DE = EF, foffllt* ift
X. DEF > X. SNT (I , as. ©.) ober
jC DEF > jc ABC + 3C GHJ , mld)ti flegen bi« 8to»
mtimt 3C ABC + ^ GHJ > ^ DEF (hreitet.
c ^
e e ^ r f a 8»
HQettit ettt Airper loott paraH^Iett (Sbetten etitgcy
fd^Ioffett i(l/ fo ftnb feine gegenäberltegenben @et^
tenfl&c^en gleiche Parallelogramme«
(gd werbe (gtg. 187.) ber JJirpet ABHGDCFE (»offtr in
ber $o(ge ber fiär{e wegen Körper B£, ober ^6rper.DH wirb
gefegt werben) t)on parallelen (Ebenen eingefc^Ioffen ^ fo ftnb
bie einanber gegen&berße^nben ®eitenfldcl^en gleiche ^araUelo^
gramme»
S3 e w e i 6*
L jDie (S6ene ABCD (wofiir in ber ^olge förjer S6ene
AG gefegt wirb) fdjneibet bie parallelen (Sbenen BG unb G£,
fo wie auc^ bie parallelen Ebenen BF unb AE. So^er ftnb tot
erfien $aOe bie I)urd)fct)nitt^linien AB unb DG» im gwetten
^alle aber bie IDurd^fd^nittelinien AD unb BC mit einanber
paraKeL X)at)er mvi$ bie ®eitenfldd)e AC ein «Parallelogramm
fe^n* 9luf &l}nlic^e Slrt wirb biefed tron bKen äbrigen ©etten^
fldc^en bewiefen*
IL SBenn man in jwet einanber gegenüberliegenben (Sbenen
BG unb G£ ^ic l^omologen diagonalen AH unb DF jie^t/
fö ijl BG = a A ABH (I, M. ©.) unb ebenfo
CE = 2 A DCF. Kun finb aber bie ?inien AB
unb DC , fotpic andi BH unb GF einanber gleid^ unb pardOel
Cl , 34* @0 uiib baffer anc^
165
^ ABH = x DCF (XI , 10* ©0 folglid) i|l
A ABH cS A DCF (1 , 4. ®.) l^a^er
BG = G£ (I, 6.®ro (gben biefed gilt auf gleiche
$(rt ton aOett übxiQtn ftc^ entgegenliegenben. ©ettenflicibem
^tn Stitpn, mit Ut fo c6en betrachtete/ t^tift tin ^axaU
leloptpebum. ^
©' « r 25* © a ö*
HBenn ertt ^^arallelopipebum burc^ eftte (SBette
gef(i)nttten wirb/ iDflt^eitoeieit feiner gegetiäSerfieif
genben ®eitenf(&c^€n parallel iß/ fo t)er^alten fic^
bte fteiben ^iebnrc^ entfle^enben Stitptx, tote il^rf
®runbf(&c^en }n einanber.
üi werbe, (^tg. 188») ba^ ^araüeloptpebnm AD Don ber
(Ebene EF paraOef mit ben gegeniiberfirgenben @ctten(Idc^ett
AH jttflb LD. gefc^nttten/ fo Der^aÜen fid) bte ^irburc^ ent#
(Ic^enben Jtdrper AK. »nb JB toie i^re ®runbf{&(^ett A£
stnb JG.
^ S e to € i 0*
9Ran t)er(&ngere bie Sinte AL Aber L ttnb A , mac^e LP
= PQ = JL unb AN = NO = JA , unb öoHenbe fowo^I
bie ^araOfelogrammr AR , KO, CP, YQ, al« ou^ bie £6r^
perNH, OV, LX, PZ.
S^iit i(l JA = AN = NO , fofgri* audj
EA = AR = RO ( 1 , 36. ©.) ttitb
EH =5 HR = RS, unb ferner
AH = NV = OS (XI, 24. ©.)
üi f(nb aber inbenbreiA6rpern KA, AV unb YO ben fo tht»0
genannten dbttitn etneö jeben bie i^nen gegenAberliegenbett
gleich (XI, 24. ©0 forgHd) ifl aud(f
RA = AV = VO (XI, 10. Crfr.)
(Eben biefed fann au^ gleichen ®rünben wn ben brei ftirpern
JD, DP unb PJ bewtefen werben / unb ti tjl
JD = DP = PJ« gorglic^ ift OE »Ott A£ ba«
166
eftrnfo ^iilfiiiit, ali ti OK. »on AR {(l; ^9 wie and) EQ wn
JG bad ebfnfo Sierfac^e ifl, ali KQ »Ott JD, b. ^. 0£ unb
OK (tnb »on AE iinb AK, fo wie aüd) £Q unb KQ «Qtt JC
iinb JD gleich Stelfacbc Qi ifi ba^tr^ wenn
OE s= EQ, aud) OK = KQ. gerner wenn
OE > EQ, ttu* OK > KQ unb wenn
OE < EQ , au* OK < KQ , balier »(l
AE : JC = AK : JD.
© e t 26. (S « 6,
$( tt f 8 a 6 e.
9ln einen gegebenen ^unct tintt gegefienen ge#
raben Unit einen förperficben 9Qin(e( |tt legen^
loeId)er einem gegebenen gleich tfl.
(Sd fei (^tg. 189.) BA bie gegebene gerabe Sinte^ unb ti
foD an Um ^uncte A tin tivpnlidjtt ®tnfe( gebilbet tt>ierben/
rnic^er bem gegebenen r6rt>erlict)en 98tnfe( bei D gfetc^ i{l,
a tt f ^ 4 f tt n g.
IDer gegebene f jrperiict}e 9Qtnfei D fei t)on ben ebenen
SBinfeln CDE , EDF nnb FDC eingeftfcloffen. SBHan jic^e
))on eiWm in DF toiüt&tftli^ gen>At)Uen ^uncre F auf tit
ebene burc^ CO unb DE ba^ Sott) FG unb bie Scrbinbung^i^
«nie DG , mac^e 5C BAR = 5C EJ^C nnb
^C BAJ = JC EDG (I, a3.®.) foi(laudS>
5:; KA J = 3C GDG (I, lo. ®rO Kun wadje
man A J = DG , nnb errid^re auf ber (Sbtnt
bur<^ KA ntib AB im ^uncte J bie JH (i)tl)recbr, nct^me JH =:
GF unb jie^e AH, fo tß ber t6xpexiidjt ^iBinfel bei A, ber
Don ben ebenen SBinfeln KAB, BAH unb HAK begrenzt wirb/
bem gegebenen SBinfet D gleich»
» e m e ( «•
a»an ma^ie AB = DE, AK =: DC, unb jieV bie einfeit
BJ, JK, KB, BH nnb HK, ferner bie einten EG, GC, CE,
£F unb FC , fo muffen bie einten FG unb HJ , meil ffe atif
ben (tbtntn loil^red^t flehen / an4 ^l U^tn Linien fenfre^t
167'
I
ftfn, wefa^ (ti btefeit ffftenrtt ant G ttnb J setogeti (!iib*
Kttn iß i» ben Sr^tecfen BAJ itnb EDG
jC BAJ == 5C EDG auc^
BA = ED uiib
AJ = DG, Iforfllic^ .
BJ = EG (l, 4. ©0 fnmer i^
JH = GF , ferner
'■3C BJH = 3C EGF = R, ba^er auc^
BH = EF (I,, 4. «0 geriier ift In beit
Ibttitdtn AJH »nb DGF
5C AJH = 3c DGF = R, ferner.
AJ SS DG ttnb
JH = GF, aüäi
AH =;: DF (I, 4. 6.) (?« »ar aber
AB = DE, fol0(t(^ tflani^
3C BAH = 3C EDF (I, 8. ®.)
£a ittttt aitd) üt ben Cretecfen AJK unb DGG bie SBtnfef
btl A unb D nebß ben |!e etnfc^Iießenben (Seiten etnanber glet^
finb/ fo iü JK = GG (1 , 4. @.) C« tu aber anc^
JH = GF, unb
^ HJR = 3C FGC = R, folglt*
HK = FC (I, 4. ®0 (Ed tt)ar aber anc^
AH = DF unb
AK = DG, ba^er (d (I, 8. ©.J
3c; HAK = 3C FDG. gerner n>ar aber andjf
5C; BAH = X EDF, unb
^ KAB = ^ GDE , forgIi(6 mu(l ber tixpttlidit
SBittfel bei A jenem bei D gleid^ feyn* (XI, io«Sr(L)
© f r 27^ ® a ft*
»
n u f 8 a b e«
9Ittf einer gegebenen geraben tinie ein ^ataU
lelopii^ebum {u errichten, \otld)ti einem gegebenen
f)araIIe(o|»ipebttm dl^nlid^ fei> unb d^nlid|^ (ifge*
168
9t fd iftg. 190.) AB bte gegetoite gerabe Unit, CD bat
ergebene ^araUtlepipthnm , itnb man foD auf AB eis ^rali*
IeIof)i)>d>ttiii U\&jxt\htn, weri^ed. be m gegebenen CDil^nlMlyi^;
9lnfl6fnng.
ÜRan fege an AB in A einen fiq>er(tcbett 9Binfe(,
(XI, 26* ®.) welcher bem firperlic^ett ^infel bei C gletc^ i|l;
fo/ ta^ 3C BAH = ^ ECF,. ferner
3C; B A J = x ECG , nnb
9c: HAJ = 3c: FCG i|l* »nn mai^ mwx
EC : CG = BÄ : AJ nnb
CG : CF = AJ : AH (VI, 1% ©•) fo iff attc^
£C : CF = B A : AH. 9{un ))oDenbe man fowo^I
bad Parallelogramm BJ , M bad yaraBcIopipebum AK.
93 c to e t <*
T>a Ifxtt 5C ßA J = 5: ECG , nnb bie biefe iEBtnfel Mf^en^
' ben Seiren einanber proportional f[nb, fo ifl ba^ $araOe(o#
gramm BJ bem ^araOeiogramme EG di^nHc^, (VI, 4r ®.)
nnb mi gleid^em ®runbe auch JH (x> GF nnb HB oo FE.
^nn ffnb in Un Beiben Jt6rpern AK nnb CD ben ^tt ge#
nannten (Ebenen eine^ ieben bie ihnen gegenäbediegenben
(Ebenen gleich nnb ahnlich. (XI, 24. @0 folglich ifl'aud^ bev
Jtjrper AK bem jt^rper CD dienlich« (XI, lo. @tHO
t> t X 28. © c |.
>.
«e^rfaft.
SBenn ein ^arallelopipebnm Dott einer Offene
bnrch bie diagonale {meier gegenAherliegenben
@eitenf(&chen burc^fc^nitten mirb/ fo toirb ti ^ier#
bnrch halbirt
(So n)erbe (0ig* 191«) bad 9^ara(fe[optpebum AB Don einer
(Ebene burch bte diagonalen CF nnb DE burd^fdl^nitten / fo ifl
et ^icrbnrch ^albirt*
S3 c tt) e i «.
Da ^ier A C^P g5 A CBF (I, 34- ©0 nnb A DAE
f€ A DHE, nnb ba ferner bte ^araUelogrammc CA nnb B£
169
(XI j. a4. 60 ttttb G£ itnb CH eiitanber gfetc^ fftib, ferner bte
SDiirct)fd)ittttdebcne CF£D.6eibctt Stivptxn gemein if!, fo muf
a»fb ba« ^rttota CGFDAE bem ^rt6ma CFBDEH gUtc^ feym
CXI, lO.erHO .
iD c r 29. ^ a ö*
«.e^rfat.
^aralteloptpeben auf eiiiertei (Srunbflic^e ttnb
Don gleicher ipA^e/ beren ®etten(tnten ftc^ tn
einerlei geraben Stnie enbigen^^ finb tin^ixltt
SBcnn (^tg. IQX) bie ^araOeloptpeben AH »nb AJ, xotliit
einerlei (ümubfidclie AB unb gleiche ^ö^e ^a6en, nnb bereit
eett#n(inten AF, AG, KL^ LM, unb CD, G£, BH, BJ flif^
in einerlei geraben Sinien FM nnb DJ enbigen^ ffnb einonber
93 e U) e ii <«
©a l^ier CB = DH = Ej (I, 34. ©•) fo ip and^
DE = HJ unb toeil auc^
DG = HB nnb
£G = JB, fo ^atntan
A DEG = A HJB (1 , 8. @.) %xA gCeic^ent (Bmnbe
f|l an^ A FGA =; A LMK. (Sd ijl aber
FE = LJ (I, 36. ®.) ferner
AD = KH (XI, Ji4.©0 «nb
AE = KJ. Z)a^er ift ba« $n«ma EFAC bem
fkitma JLKB gfeic^« (XI, lo« (Srfl.) SBSenn man ba^er
lebem btefer ^ridmen ben £6rper ABHG beifügt, fo ifl ba<
^araOelopif^ebum AH bem ^araKelopipebmn AJ gleii^«
© e r 30* © a !♦
8 e ^ r f a e.
f^arallelopipeben^ t)on einerlei ®runbfld4ien
unb ^ j^eu/ beren ^txXtixVwiitv^ fic^ nid^t Kvi einer^
Ici geraben Sinien enbigeU/ finb einanber gleidjf«
170
dt fetfir (gftg* 193.) bie ^otaHaüpipibtB CH nHb CL
auf bor ndmttc^tn <Bntnb^&(^c AB nnb wn ^Uidin ^iift
ttnb t^rc eeitenliitun AF nnb AG, CD nnb C£, KL mib
KM , BR nnb BJ liegen nidit in einerfei geraben hinten , fo
t|l lai ^araOe.(o))ipebnm CM bem yaraOe(o{>t|>ebnni CL gleich.
9 e tn e i d.
Wian )>erl&ngete bie Stnten £G nnb JM Aber G nnb H ,
betgletd^en bie Linien FL nnb DH A6er L nnb H bi^ fit in ben
^nncien N , O nnb Q {ufamnientrcffctt , nnb )iebe bie Serbtnb«
nng^iimen JVA, OK, PC nnb QB, fo entßebt ein britte«
^araOelopipebnm ABQN, toelcbed fomo^f mit brnt erften
ABDL , aU mit bem }n>eiten ABEM einerlei ©runbfUc^e AB
niib einerfei ^iift t^at , nnb beffen ©eitenlinien ft<4 mir jenes
brr betben erflen in einerlei geraben {inten befinben; v&mli4^
bei bem brilten nnb erfien in FO nnb DQ, bei bem briüen
»IIb jmeiten in NE nnb OJ. golglic^ ifl
ABDL = ABQN (XI, 29. ©0 tt«b ferner
ABEM = ABQIV , folglich anc^
ABDL = ABEM. (1,1. ®r.)
£) e r 31. @ a |«
«e^rfa^;
SOentt ^arallelopif^eben gleiche ®rnnbfl&(^en
uttb gleid^e ^6ijtn Ijabtn, fo ftnb fie einanber
•gleich.
di feien C^ig. 1940 ABEG nnb CDFN jwei ^araDefopi^
yeben , totldit gletdye ^runbfl&Aen ^ AB nnb CD , nnb aud^
gleiche ^6^en ^aben, fo (inb (le einanber gfeic^.
IBemeid. (Srfier ^alL
SBenn bie ®etren(in.ien AG tinb BE , CN nnb DF anf beit
0rnnbfld(i)eh AB nnb CD (otl)recbt finb. i^ier finb bte 9QtiifeI
AKB nnb CQD entmeber einanber gleich ober ungleich.
r : L SBenn biefe ffitnfel ungfeid) (inb / fo fei 3C AKB <
^€QD. gRatt üerldngere CQ nod^ S, nnb macbe K SQT =
.^CAKB (Z| US. i6.) ferner Qu es KA» nnb QT zs KB.
171
!Dtatt «)o0ettbe ba< fJfaraHelosramm TS unb bat ^araDe[Q|>t#
pebitm TSZM. SRan »erldngere DQ uiib XT bid (le in a
iufammrnrrefl^tt unb |ie^e bnrdi S bte Sd mit DA parall«^
and) DerlAngtre man OD nnb dS btt fte in c }ttfammentrf f en^
sinb DoUenbe bie ^atadeioptpebett aSZb unb QceR, fo ifl TS
= aS (I, 35. @0 unb TSZM =: aSZb (XI, 39» @0 »eil
beibe einerlei Srnnbfl&d^e QZ itnb einerlei (Enbuttgölinien bY
imb aX baben;
JDa nun KA s= QS , ferner
. KB =;r.QT, unb
3C ARB = j: SQT, fo tft
AB cS TS. (VI, 1. CrH.)
(Sbenfi) ifl/ tt>ei( bte burc^ bie 9oet)e KL unb QR beftimmteit
i^i^en eittanber gleich (tnb, ouc^ BL e€ RT unb"*
AL ^ RS. Z)af)er mnf
aucb ABEG = TSZM =x aSZb fet>«.
CXI, aie.jtnb 10. ©rfr.)
; Da ferner AB .= TS = aS unb
AB = CD, fo i|t auc^
CD = aS unb forglic^
CD : DS = aS : DS.
IDa Ce.burc^ bie ^araKeUSbene FQ gefc^nittett tDirb/
fo ig CDFJS : QceR = CD : DS = «S : DS (XI, 25. «0
9ttt gfeicbem (Srunbe ijl auc^/ ba ae burd^ bie $araSeU<Sbeiie
QZ gefc^nitten «oirb '
■^ a&Zb : QceR = aS : DS, fofftfi* i|l
CDFjV : QceR = aSZb : QceR , unb ba^er mu0
CDFN = aSZb = ABEG fe^n.
IL 5Benn aber ^AKB = jc CQD i(l, fo feien CQ unb
DQ fo perldugert/ baß QS = KA unb
, , . Qa = KB ifl. i^ier ifl nun
/ ^ ?: SQa = 3CCQD=3C:AKB(I,15.«0
Sa^er toirb tpte |UPor bewiefen ^ "^^^
ABEG = aSZb (XI, 10. €rfL) ItU
gfeic^ett, baf CDFN = aSZb (XI, a«* 6.) uti^
folBlic^, baß ABEG = CDFN fei. (I, i. ®r.)
172
SQettn btc Btittnlmtn (^tg. 195 J AG mib BE, CN mb
DF ntc^t fenfrec^t auf be n ®rttnbfldc^en AB unb CD fle i)en«
^itx f&De man oon beti ^uncten .G , M , K ittib £ ; be«#
filetct^eit Don N , Q , S unb F <)uf bte Qhrunbf&d^en AB unb
CD iotfft, unb t)oCenbe bie fenfrec^tat ^araOelppipeben KX
»nb SZ. X)a biefe nun gleiche ©ronbfldc^en £G unb FN,
auc^ gleii^e i^6^en ^aben, Jo (inb ftc nac^ bem erßen ^aBe
einanber gleich*
di i|l a6er KX = abeg (XI, ^9. ©0 unb
SZ = CDFN, fofgit« aud)
ABEG = CDFN. (I, !• ®r.)
^ s
I
© r r 32* @ a !♦
?'e M f a e.
SOenn ^aralleloptpeben gleiche {)6^e ^aSen, fo
toer^alten fte ficb mte t^re ©runbfidcben.
9Qenn (^ig. 196.) bie jtiüet ^arallefeptpeben AB unb CD
einerlei fyitft f^aUn, fo k)er^alten fle fic^ »ie i^re ®mnb#
flidjt AE unb CF.
S3 e tt) e t «. . »
STOan lege an bie ?inie GF bad ^araffefogiramm FH =
AE (I, 45. S.) unb t)ottenbe bad ^araBeFdpiprt)Uitt GJ, fo
fPt GJ = AB (XI, '31. ®0 gSeil crber CJ »on ber ffbene GD
gefd^niften noirb, to^ldit mit ixoti ©etten^&cben bed ^atoXitle^
pipebumö CJ parallel i(l, fo Derbdft fidi GJ : CD = FH : CF
CXI, 25. eO ba^er ift auc^ AB : CD = AE : CF.
© e r 33* ® a §.
« e M f a e-
Sle^nlic^e ^araI(e(opiben Jlei^en im breifad^
^l^J^eren Ser^dltniffe il)rer homologen ©,eiten.
Cd feien (gig. 197.) bie ^araHelopipeben AB unb CD
einanber d^nrfc^; fo Der^dft ffc^ jener ^irper ju biejem, noie
(AE : CF).S
175
IB e tt) e I 0.
9R(in t)evlitt0ere bte einten AE, 0£ nnt HE, nta^e EI
z= CF , EK = FM uttb EL = FQ. gcmer »olfenbc matt
bat ^araDelogramm KJ^ nnb bte Stix^tx OJ unb KP; ebenfp
Ottc^ bat Parallelogramm GJ , unb ben Stixiptt EN*
Z)a nun CD oo AB , fo tß auc^
3C MFC = 3C OEA (XI, 9.€rH. nnb VI, i.grH.)
«ttC^ id 3C MFC = JC GEA = < KEJ (I, 15.6.) SRim
ijl CF = EJ unb FM = EK, folfllic^ ifl
CM c5 JK. (Vl/i. CrH.)
C(enfo mtrb beriefen/ ba^ auc^ .
QC cS JL unb DF gS EO. Haljtt ijl auc^
CD cö.OJ (XI, 24. @. unb 10, ffrM.)
©a nun AB oo CD oo OJ , fo ijl auc^
AE : EJ = GE : EK = HE : EL (XI, 9. Cr«,
itnb VI , 1* CrH.) ferner ijl
AE : EJ = AG : GJ = AB : EN unb
GE : EK = GJ : JK = EN : KP. enbH*
HE : EL = HJ : JL = KP : OJ (VI, 1.©. unb
XI, z^. ®0 X)al}er ijl nun auc^
AB : EN = e;n :- KP = KP : OJ, unb ba^er
AB : OJ = (Aß : EN)a = (AE : EJ).3 "Slm war
, a6er OJ = CD unb EJ = CF, folglich ipt
AB : CD = (AE : CF).3
3 u f a ©.
i^ieraut ge^t ^er^or: la^, uoenn t)ter gerabe Ctnien ))ro^
yortionat (in6^/ bte erfle jid) jur t)ierten t)erl)A(t, wie bat
^araOeloptpebum Ö6er^ber erflen ju bem i^m dbnlic^en unb
A\)xx\i&i (iegenben^araQelopipebum über ber ^tiXtn, xcitxl bie
erjle {inte jur t)terren ein bretfac^ ^j^eret/Ser^dftnif ^at/
eXi bte erjle jur jwetten.
5D e r 34* (S a §•
8 e ft r f a 6*
SBenn 2U>ei ^aradelopipeben einahber gleich
finb, fo jle^en i^re (Srunbfl&c^en im umgefe^rteii
I7i
Ser^iltitiffe t^rer S^ifftn, itiib ti>tnn ixt <8runfe#
fl&(4en {meter ^atalUUpxptitn im nmgffe^rteit
Sft^ddtittre t^rer ^ifftn (leiten, fo finb btefe
Körper etnaitber qleidi,
(S^ ff teil (9i0* 198.) btc gtoei ^arQl[rropt>ebeii AB nnb
CD einanber gleicb, fo (it|b tt)re ©runbfld^irn AK itttb CO
im umgeff^rtett Ser^&Itniffe t^rer fyit^tn, nnb lornn btefe
@runbfld(bfii AK mtb CO im »mgtf ehrten Ser^dliniffe tl^rcr
i^i^n fttt)tn, fo iß AB = CD.
fBtwtii. (gxittt ^ali
SDSenn bie eeitenlinten AG uttb KB, CL qtib ODauf beit
®nitibfldd)en AK unb CO !otl)rect*t Ü^i^tn, fo (inb AG uttb
CL btc i^j^cii ber beibcn ^ataUtlopiptitn , itnb cd iß {u be# >
ipetfeit*
I. SDBcntt AB 3= CD, bag itun AK : CO =: CL : AG.
92un flttb aber btefe C^runbßdc^ett AK unb CO enttDeber
gletd) ober' ungleich» 9Benn AK = CO iß , fo muß / toegeit
AB = CD, andf CLnrAG fe^n
(Xl,3i.iSOMn*^*iftj>ffen6ar AK : CO = CL : AG.
&tnb aber bie ®runbßdct)en uttgleic^, unb ttwa
ÄK >C0, foiß, n>e«
AB = CD, auc^
CL > AG (XI, 31. ©.:) Kimmt man ba^er
CR = AG, unb t)ottenbet ben Äirper CS, fo iß^
toegett AB =: CD, andf
AB : CS = CD : CS.
»un iß aber
AB : CS z= AK : CO, (XL, 32. ®.) unb
CD : CS = CQ : PK (Xi, 25* eo = CL : CR /
(yi , !• ©.) Daljer muß aucft
AK : CO =2 CL : CR feipn. (Si iß aber
CR = AG, folglich auc^
AK : CO = CL : AG.
IL SBrnn AK : CO rz CL : AG-, nun aucft AB = CD
fei. i^ier ßnb, wie gutjor, tit ©runbßÄc^en AK unb CO euN
toeber gleich ober ungleich. 3ß AK = CO , fo iß auc^
17$
S(t aber AK
CL
AK
AK
CL
CS ttnb folglich aitc^
CL s= AG ttitb iafjtt
AB = CD. (XI, 3l» 60
> CO, fo muß and)
» AG ff^n« 9}7afi madjt bal^er
CR = AG unb t^oDenbe beit jt6tprr CS, fo i|t
CO = CL : CR. (g« ift aber
CO = AB : CS , (XI , 32. ©.) ttttb
CR = CQ : PR (VI, 1. ®.) = CD : CS
(XI , 25. ®.) Da^er ijl
AB : CS = CD ;
AB = CD.
3iüetter %atl
SBettn (Stg.i990 bie ®etten(tmen AG unb KB, femer CL unb
OD auf ben ®runbflAd)en AK unb CO nitbt fenfrecbt ftitb,
fo {ie^e man wn ben ^uncten G, F, B unb J, be^gfeicbett
Ig^on L, N, D unb Qbte iotift auf bie ®runbfIAd^en unb Doflenbe
bte fenfrec^ten ^araKelopipeben TB u|tb aD. X)at)er tft TG
bie iifte ber 6eiben Ä6rper TB unb AB (Vi , 4. «rf I.) fo wie
aud» aL bie $&t}e ber beibeu Xivftx aD unb CD t|l.
9Ittn mn9 betotefen werben
L SBenn AB == CD ift, baf aKbann au(^
AK : CO =r'aL : TG fei. Da l^fer " .
AB m: TB (XI, 29. ®.) unb femer
CD = aD (XI, 30. S.) fo tjl, mit
AB = CD, antif TB = aD, fofglic^, nac^bem
erjlettgaKe,TS:aZ = aL : TG. Kun i|l aber
TS = AK unb aZ zz CO (XI,24.«.)fot8l{dlf
tuttf aud) AK : CO = aL : TG fet)tt.
IL SQeun aber AK : CO = aL : TG , ia$ nun
AB = CD fei.
Da fiia AK = TS (XI , a4- S.) unb audSr
CO = aZ , fo ijl
TS : aZ = aL : TG unb forglic^, nadS^
bem erflen ^aKe^ TB z= aD. 3im ifl aber
TB = AB '(XI, 29. ®.) unb
aD = CD (XI, 30. ®.) fofglid^
muß AB = CD fe^n.
/
I
\ ■
176
• ^ ' © e r 35. @ a |.
« n tt r f a $.
'■ SBettn man ani ittt ed^tiuipnncttn ifotitt ^t^
gebenen ebenen gleichen äQtnfej auf t^re Ebenen
)tt)ei gerabe Stnten aufßelU/ tptld^t mit feen @ci)en^
fein ber gegebenen 9Btnfe(/ einjeln genommen^
gleic^eJGSinfel bilben; totnn man ferner in biefett
aufgeßellten Suiten jn^ei \oilltüf)xl\djt ^uhcte
nimmt, ani biefen auf tit juerfi gegebenen 1IBin#
!e(^@beiten}n>ei Sot^e jie^t/ unb t)on ben ^uncteu/
tDorin biefe iotijt in ben (Sbenen eintreffen, nac^
ben ©c^eitelpuncten ber juerfi gegebenen SBinfel
2tt>ei gerabe Linien {ie^t,^ fo bilben biefe mit ben
aufgefieUten Sini^n g(eid)e SQinfeL
@d feien C^tg. 200.) BAG unb £DF bie gwei gegebene«|
SBinfel, an^ beren @(t}eitefpuncten A unb D bie Linien AG
nnb DL fo aber bie 9Binfe(»@benen aufgeileKt |tnb> baß
je BAG zz X, EDL unb X. GAG = X. LDF, ferner feieit
G unb L bie n>iUfiibr(ic{)en ^unete, GK unb LM bie aud
{i)nen auf bie 9Binfe(^ Ebenen gezogenen Sot^e, unb KA unb
MD bie JBerbinbung^Iinien, fo ift X. KAG =± x MDL.
8 e tt) e i S.
^an neunte AH = DL, unb jie^e burd) H mit bem Sot^e
GK, bie HJ gleid)(aufenb, welche bemnac^ auf ber @bene
BAC (XI, .8. eo folgti* andi auf ben «inien JA, JB, JG
' Iotl)red)t (le^t (XI , 3. €rHO Spn J unb M fAffe man auf
bie @ct)enfe( ber gegebenen SBinfel bie SotiK JB, JG uubME,
MF, unb jte^e enblii^ bie SSerbinbungdlinienBG, GH, HB
unbEF, FL, LE, ^
Da HJ auf JA , ferner bie JC auf AG nn\> bie HJ auf JG
htfjttdit ifl , fo tiat man
Duabr. AH = Quabr. AJ + Duabr, JH (I, 47. ©.)
Duabr. AJ = Quabr. AG + Ctuabr. GJ unb
' Duabr. GJ + Guabr. JH = Duabr. HG. Da^er ijl
Duobr. HA = Duabr. AG + Duabr. HG unb folglich
9C HCA = R (I, 48, ©0 ITttf flrel*e 9brt Ift <m(^»9nir
3CLFD = H, fofflli«
j; HÄC = 30 LFD. di ifl aier ottc^
3C AHG = 3c: LDF mb
AH = DL , forftltc^
AG = DF (I, aO,®.)
£a nun eben fo fcie HJ auf M , bie JB auf BA , nnb
bte HJ auf JB fenfrec^t (le^t , fo toirb auf gletdje Slrt 6e#
»icfeil, baß 3C HBA = j; LED = R, unb AB ä DE ift,
t>a nun bte SBtnfel BAC unb £DF ncbjl Un ffe bi(ben#
ben leiten einanber gleich ftnb, fo tfl BG zt: EP (I, 4. 60
unb je BGA SÄ 3C EFD*
JRuft f(l aber 5c JCA = jc MFD == R, folgli* auc^
5C BCJ Ä 5c EFM (I, 3, ®r,) 9u« 9tei#
il^em ®riMtbe ifl 3c ^^^ ~ K ^£F« S« »ar aber
BC = EF, fofflli* ift
CJ = FM (I, 26. ®.) Wtttt ipar
AC =p DF , unb
9C JCA SS 3c MFDy foffllic^ ifl
AJ = DM (I, 4. ®j unb ba^er
Duabr. AJ s=s Quabr. UM.
Sa HJ lot\jxtdit auf JA unb LM lot^rec^t auf MD {(l, fo
f^at man Quabr. HA s Quabn AJ + Dbr» JH (I, 47. SO
unb Ouabr. LD = Ouabr« DM + Ouabn ML. (S4 n>ar
aber HA = LD , bal)er ifl
Ctuabr. HA :;= Quabr» LD , foffllic^ auc^
Ctuabr. AJ + Öbr. JH = Dbr. DM + Qbn ML
Siaein Duabr. AJ = Duabr« DM , folglich ifl
^ Guabri JH ÄS Duabr. ML (I, 3.®ro unb baffer
JH =:r ML* -di mar aber aud^
AJ Ä DM unb
AH = DL . forgric^ ifl
5C KAH = ^ MDL (I, 8. ®0
3 tt f a 6-
^ierburc^ ifl bemiefen: SQenn man ani ben Sc^eiterpuncten
zweier gleichen ebenen fSiinUl imi gleiche gerabe Linien fo
1 t
«78
aufüeOf, baf bie ^nUl, \ütld)€ ffe tntt bett Qd^tnltln bor
tuerfi gegebcitrn SBtnfd bilben, einzeln genommeti, cinanber
gletc^ ftrib, fo muffen audi bie, t)on ben Snbpttncten ber auf#
gefteOun Stntett auf bte juerß gegebenen äBtnfeU (Ebenen ge#
f&Kten Sot^e einanber gleich fe^n,
©er 36* © a $♦
t e ^ r f a $.
38enn btef gerabe Sinien proporHonal ftnb/ fo
{fl bai ^arallelopi^ebum, welc^e^ au9 afrett
breien.0ebiIbeM9erben tann, bem gleicbfetttgen nnb
mit jenem gletc^wtnfeltgen ^arallelopipebnm and
ber mittleren Sinie gleich«
(6i fei ($ig. 301.) A : B = B : C, fo tfl ba« ani bett
Sinien A, B nnb C gebilbete ^araOeleptpebum bem ani ber
Sinie B gebilbeten gleidjfetfigen, nnb mit bem erfleren gleid^^
iDinfeligen ^arAllelopipebum gleich*
^9 e m e t ^«
(Si fei E eiti Mrperltc^er SBinfel, totiditt wn ben brei
ebenen SBinfeln DEG, GEF nnb FED begrenjt i(l. aßon
madje B = DE = GE = FE nnb »oBenbe bad ^araffefopipe^
ptbum EJ ; bann {ie^e man KL , lege an R einen (örperlic^ett
SOintel, xotld^cx jenem bei E gleich i(l/ nnb t)on ben bret
ebenen QQtnfeln MKN, MKL unb LKM begrenjt n>{rb« aRoit
mfjmt ferner A = KL,
B = KN nnb
C = KM nnb ^oBenbe bai ^araKelopu
pebnm KH.
Da ^ier A : B = B : c t(l, fo i|l anc^
KL : FE = ED : KM. Da ferner
X. LKM = 5c FED , fo ift ba^ ^Jarafferogramm
ML bem Parallelogramme DF gleic^. cVI , 14^ @.) 3?un ffnb
onf ben gleid^en Sßinfeln. MKL nnb DEF in K nnb £ bie
gleid^en Sinien KN nnb EG fo aufgefleSt, bafi
3C LKN = 3C FEG nnb
X MKN = ^ DEG.
179
®a^er ttififfen ble »on N iinb G dttf bfe 66ettett ML uitb
DF gefdflten ?ot^e, b. f». bic ^6()en (VI, 4. @rH.) bcr bcibcn
Äörper einanber gfefc^ feijm CXI, 35* 3ufO 6d t(l aber
ferner ML =: DF, folglich mfife« auc^ bte beiben Mixptt KH
jtnb EJ ettianber QUid) fe^m (XI, 31. @«>
©er 3% (Sa |* .
SBettn Dfer gerabe Siniett pro))ort{onaI fittb, fo
finb auä) bic auf benfelb^en bef(i)riebenett A^nltc^ett/
itnb d^nlic^ (iegenben ^aralleloptpeben einanber
proportional. Unb toenn bte auf t)ter gerabttt
Sitnien befcK^riebenen i^nlic^en unb d^nlic^ liegen^
ben ^aralfeloptpeben proportional finb^ fo mäffen
ti andi bfefe t)ier geraben Stuten fet)m
e^ fei (gig. 202.) AB : CD = EF : GH, unb AJ, CK,
EL unb GM bte auf t^nen befchriebenen dl)n(td)en unb d^nltc^
Itegenben ^aralleloptpeben, fo i(l aud^ A J : CK = EL : GM.
Unb tt>enn umgefe^rt AJ : CK = EL : GM
ijl, fo i)at man and) AB : CD = EF : GH.
L 2Bf«n AB ; CD = EP : GH, fo iftandi
(AB : CD)s = (EF : GH).» ^un i|l attt
AJ : CK = (AB : CD)» (XI, 33. 3ufO IUI»
EL : GM = (EF : GH)«, fofflllt^ {fl aU(^
AJ : CK = EL : GM. , ' ,
II. mm aitt AJ : CK SS EL : gm i\^, fo tvirb, weil
AJ : CK = (AB : CD)» nnb
EL : gm = (EF : GH)3(XI,33.3ttf.)aU(^
(AB : CD)» = (EF : GH)S mtitme^r
AB : CO s £F : GH.
ia *
180
©er 38* @ a fr*
? e ^ r f a $.
ÜOenn auf einer @6ene e>ne attbere (ot^rec^t
fte^t/ unb Don. einem ^uncte ber erfien auf bie
anbere ein Sot^ gef&Ht mirb/ fo mu§ biefei in ber
jDurct9f(^niu^{inie beiber Stenen eintreffen.
9Denn ($ig. 20$l) auf ber @6ene AB bie Sbene CD fett&
rec^t ifl, unb t)on einem ^uncte £ in CD ein iotfj £G auf
AB gefdilt »irb, fo muß biefc^ in AD eintreffen.
S e tt> e i d*
SBenn lai wm ^uncte £ in ber dbtnc CD auf bie @6ette
AB gefdUle iotlj nidit in AD eintrdfe, fonbern auffer^alb ber^
felben, »ie EF, fo jie^e man auö F bie FG fenfrec^t auf AD,
unb bie Serbinbung^Hnie £G. ^ier ifl FG auf ber @bene CD
lottjxtdjt (XI, 4. @r([.) unb ba^er auc^ fott^rec^t auf ber Sinie
GE (XI , 3. (SvtlO SBenn nun EF auf ber (?6ene AB , «nb
fomit auc^ auf ber 2inie FG fenfredjt wdre (XI, 3. dxtU), fo
^dtte man ein Dreiecf EGF, tcoxin ^ EGF = je EFG = R
n>dre/ totiiiti unm6g(i(^ i(i. (I, 7* @0
©er 39* © a !♦
8 e ^ r f a 6.
SDenn ein ^araIIe(opi|)ebum burc^ bie ^ittt
Itotitv einanber gegen&berliegenten^benen ))ott
^noeien (Sbenen gefd^nitten toirb, fo xoixb bie Sur(^#
fc^nittdlinie biefer Unteren .bie diagonale bei
^arallelopipebumö ^a(b(rrm
(B^ werbe (^ig. 204.) iai ^araOeropipbum AF burc^ bie
ffflittt T unb R ber ixoti gegenäberliegenben (Ebenen CF unb
AH öon jwei ebenen JM unb NQ gefc^nitten, fo »irb bie
Curd^fc^nittölinie TR bie X)iagona(e DG in S jj^albireti*
S e n) e t J.
SRan iitfit bie ?inien DT, TE, BR, RG. Da bie ^a^
taUtltn DC unb FE t^on NO gefc^nitten werben/ fo ifl
18t
9C DNT =: 5:T0E (I, M. ©.) Jtlttt Ijl att^f
DN = EO, unb
KT = TO , ba^et au*
DT = TE (I, 4 ©.) mb
3C: NTD = 3C OTE (I, 4. ©.)/ ka^et
DTE eine gerate ünie. (1 , 14. ©.)
Sluf gleiche 9lxt »irb bewiefen , baß BR = RG itnb BRG
eitle gerabe Unit ifl*
Sa nun fomo^t DB, aK EG ber Stnte CA gleich unb
|)aral(e( finb/ fo ftnb auc^ DB unb EG g(etc^ unb paraKet.
CI, 1. ®r. unb XI, 9.©.) fofglic^ au* DE unb BG gleich
Itnb paraHef. (I, 33^ ©.) Daljer auc^ TR unb DG in einer
ebene (XI, 7* ©.) unb fc^neiben einanber in S.
Sa nun DE unb BG einanber gleich unb pataUd flnb , audi
DT =z= TE unb
BR zi: RG, fo i|l au*
DT = RG unb
9C DTS zz 3C SGR (I, ag* ©0 e« flnb aber
ou* bie Gipfel bti S einanber g(ei* (I, 15* ©.) folgU* ifi
TS = SR unb BS' = SG. (I, 26. ©.)
£> e r 40. @ a |.
8 e M f a 6.
' SGSenn jnoet ^riimen gleiche i^5^en ^abeti, unb
ia€ eine k)on i^nen ein Parallelogramm, bai an^
tere aber ein Dreiecf jur ®runbfld*e f)at\ fo, ba^
,bad Parallelogramm no* einmal fo groß, ali iai
Z)reie(f ifl/ fo finb beibe ^ridmen einanber g(ei*«
(E^ feien (^ig. 205.) ED unb HGJLKM jtoei ^ridmen \)on
gleicher $}it)t, bie (Srunbfldc^e bed erfien fei baö ^araI(e(o#
gramm ACFE , jene iti anbern ba^ Steiecf HGJ , unb ed fei
ACFE = a A <>HJ, fo (ittb bit |tt)et ^riömett einanber
182
SRmt i^öffettbf btc 9araDe(o)>())ebnt ED mtb GO. Sa
mit l^tcr ACFE = 3 A HGJ mb anc^
HVJG = a A HGJ (I, 34. ©.) f<> ift
ACFE = HVJG. Da aSrr ^Vii;^ bte brib«
itirper einfrlei ip6^e ^^aBrn, fo ifl ED = OG (XI, 31. ©O
9Bct( nun bie obenbemerften ^ri^aien t>on biefen ^araHeloptpe«
ben btc ^dfftrn (inb/ fo m&ffen ond^ jene ^riimen etnonbet
ßleidSife^m (I, 7*®i:)
Cnbe be^ eilften Stt^^
© a «
h t t
Elemente De ^ ^ntiitti.
1) SSon ben ^^ramiben tinb ^riömctt. ®a§ i — 9»
ii) SBon bem Ätgel unb gölinber* ©aft lo— 15.
3) SSon ber ^itgeL ©aß 16—18.
/ '
185
Sßetttt tn Aveifen ifinlid^t fßitUdt ht^dftitbtn
iinb, fo t)er^alten ftd) btefe n>ie Ht Duabrate ber
Sutc^meffer )oon ieiten«
(g« feien in bie Äreife (^ig. 306.) AEDCB mtb FK3HG
bte d^nn*ett Sielerfe ABCDE «nb FGHJK befd)rt eben , fo
ttttiilt ffc^ jene^ }u btefem, iDte ffd) bad Quobrat^beö 2)ur(^^
wefferd BL ^um Duabrale Ui Z)urc^mef[er4 GM t)er()d(n
S5 e » e i d.
fD7an }te^e bfe geraben iinien B£ unb GK, AL tttib FM.
£abie (eibett SSielecfe ettianber d^nftcb ffnb, fo i|l ouc^
X. BAE r= X GFK (VI, !• (?rfL) «nb ba^er
, BA : AE s= GF : FK. Da^er anc^ j tn ben
©reiecfen BAE nnb GFK
je AEB = 3c FKG (VI, 6. CrHO C« ijlafter
3C; AEB = 5c: ALB nnb
5C FKG = x^ FMG (III, ai. @o folflltclf
5:; ALB = 3C FMG. g« i(l ferner
3C BAL =3 5: GFM = R (III, 31.®.) folg*
Üdj A BAL oo A GFM nnb bat^er
BL : GM = AB : FG (VI , A. ®0 foIflKc^
(BL : GM)» = (AB : FG).* Jßnn ifl aber
(BL : GM)» = Obr. BL : Ctbr. GM (VI, ao. 60
itnb (AB : FG)» = ABCDE : FGHJK. X^atjtt
ABCde : FGHJK = Duabn BL : Ctwabr. GM.
Der 2* © a $♦
«e^fa^
Greife t^erl^alten ftc^ ju einanber^ it>{e bie Qtta#
brate i^rer IDttrc^meffer.
äBenn (gig^ 207.) ABCD unb EFGH bie gefleSenett Äreife
ffnb, fo Der^dlr fld) fener ju btefem/ toit bad Duabrat be9
1buxd)mtf(txi BD jitm Quabrate Ui 2)ttr(^mefferd FH.
s
186
© e t» « ( «.
asare «i*t Q. BD : Ö. FH = Sit, ABCD ; Ar. EFGH,
fo fei Q." BD : D. FH = Ar. ABCD : R , fo mug
bte %llid)e K iotwtitv größer ober {(einer/ ali Ut Stnii
EFGHfep.
erfler gair.
- Qi fei Q. BD : Q. FH = Ar. ABCD : Rj fo, baf
R < Ar. EFGH ober baß
Ar. EFGH = R + X fei.
«DZan fc^reibe in ben ^reid EFGH hai Ctuabrat EFGH »
tütldjt^ ani Un beibett gleichen IDretecfen £FH unb HGF be^
ße^t/ unb ber ^dlfte jctte^ Ouabrateg gleich tfl, n>elc^ed um
ben ^retd befd^rieben tperben fann (I, 4i.@0/ noenn ma»
burcb bic ^unctc E, F, G unb H SCangentcn jiel)t 2)a uuit
bad duffere Duabrat großer/ aH ber ^retd ifl/ fo tnn^ feine
ipiffte, folgtic^ aud) ba^ innere Duabrat, Qvi^tx, ali bie
^dlfte bc^ itreifeö fe^n.
SBerben nun bic Sogen EF, FG, GH unb HE in bcii
^uncten J, K; L unb M ^a(birt, unb bie geraben Sinien EJ,
JF, FK, KG, GL, LH, HM unb ME gejogcn/ fo iji jebe«
ber [)terburc^ entße^enben IDrciecfe/ toit tttoa ta^ Dreiecf JFE,
größer, al6 bie ^dlftc feine« ©egmente« FJE. Denn totnn
man burc^ J eine 2!angente }iet)t unb ba« ^araKelogramm EF
k^oKenbet^ fo ifl bajfelbe grißcr, a(« ba^ (Segment FJE, fo(g#
lidf feine ^dlfte, bad ifl bad Dreiecf JFE, größer/ aii bie
i£)dlffe be« ©egmente«. (I, -4i. ©o
IDa nun eben biefed k)on allen Dreiecfen gi(t, tt)elc^e ent#
(le^en, tt>enn man mit ben ipalbirungen ber Sogen fortfd^rt,
unb folglich ctuf biefe äSeife »om Greife/ EFGH mel)r, ali
bie ^dlfte koeggenommen wirb / unb Dom iJUftt tt)ieber me^r,
ofö bie jjdifte unb fo immer fort, fo bleiben julegt Segmente
tt>ie EJ , JF , FK u« f* tt>. öbrig / meiere jüfammcngenommen
^ ffetner ffnb/ ali jebe n)illfä^rlicl^ angenoimmene $(dc^e X.
(X, 1. ©0 (Si war aber Ar. EFGH = R + X. golglic^
iP baö SSielecf EJFKGLHM > R.
9!un befc^reibe man in ben ^rei^ ABDC ein bem t)orig^ett
dI|uIic^e*SieIedf AJXBOCPDQ, fo iß
187
Ottabr* BD : Guabr. FH == gsieL ANB.... : aSfeL EJF-...
cxn, !• e.) X
(Sd ift aber ttac^ ber annähme
Duabr* BD : Quabr^ FH = Ar. ABCD : R, fofgliA
Ar. ABCD : R = gsief. ANB.... : Siel. EJF...*
Xa nun offenbar
Ar. ABCD > »ier. ANB.... {fl, fo müßte
aut^ gl4*eR > Siel. EJF.... fe^n, »eld^e«
bem ii^or^er 93en>tefenen , baß
Siel. EJF... > R miberfpric^t
So ifl ba^er unmogUc^ , baß bie Proportion
Dttobr. BD : Duabr. FH = Ar. ABCD : R fiatt finbett
fann , mm R < Ar. EFGH ift.
Sraetn and eben biefen ©ränben ijl ed aitc^ unm6gltc^/ ba0
Onabr* FH : Eiuabr. BD = «r. efgh : z fei, »enn
Z < Ar. ABCD 1%
\
iSi fet nun
Duabr* BD
gaO ifl auc^
ßuabr. FH
man R
3tt>e{ter %all
Ouabr. FB = Ar. ABCD : R; fo, baß
Jl > Ar. EFGH^ ijL pr biefe«
Quabr. BD = R : Ar. ABCD. SBun mac^e
Ar. ABCD = Ar. EFGH : Z fo , baß, weir
R > Ar. EFGH , nun auc^
Ar. ABCD > Z i(l* Da^er »dre
Duabr. BD = Ar* EFGH : Z, welche«
aber , toeit Z < ^r. ABCD ifl, nad^ bem erflen
gaSfe mmi^Uii ifi.
Duabr. FH
© e r 3* © a §.
i
S e 1^ r f a 0«
3ebe bretfeitijse ^^ramibe fann in itotiQUi^tp
rtnanber felbfi unb ber ganten d^nlic^e $9ramt#
ben unb in jn^ei gleiche ^riömen get^rtlt tperben.
188
iDef^e {ufammengenommett großer, ati bie ^ilftt
ber 9an)ctt ^^ramtbe ftnb.
(S^ fei C^ig, 2080 ABGD bie gegebene breiecfige ^yramibe,
fo fann btefettc auf bie in bem Se^rfa^e eingegebene SIrt ge#
t^eilt tt)erbem
, S3 e tt) e i «•
^an fialbitt bte einten AB, BC unb CA in bcn ^uncten
£, F nnb G, ferner bie Sinien DA, DB unb DG in bett
^uncten H, J unb K, unb jiefie H£, EG unb GH fär bie
i>9ramibe AEGH unb HJ, JK, KH f&r bie ^pramibe HJKD;
ferner JF, FG für bie beiben ^ri^nien EBFGHJunb GFCHJK,
I. Ca bie beiben ^^ramiben AEGH unb HJKD t)on gleic^^
Dielen, unter f[c^ gleich unb A^nlic^en ®eitenf!dc^en begrenjt
toerben, fo {tnb ffe ebenfaO^ einanber gleich unb A^nlic^.
(XI , 10. (Stfl) benn
1) T>a AE = EB unb AH = HD, fo i|l bie ?inie EH
mit BD gfeic^Iaufenb (VI, ^* ©•) ÜBeil ferner AH = HD
unb BJ = JD, fo ijl andi HJ mit AB paraBel. (VI, 2. ©O
£a^er mu^ HEBJ ein ^araKerogramm fe9n , unb ed ifl
HJ = EB = AE (I, 34. ©0 fo wie auc^
3C JHD z= 3C BAH (1 , 29. ©.) di toat aber audf
HD = AH, folglich ift
' A DJH c5 A HEA (I, 4- ©♦ U* VI, 4, ®0
3) ®an{ auf gleid^e 3(rt wirb bewiefen / ba^
A DHK 55 A HGA* unb
KD = GH fei.
3) Z)a bie Sinien DJ unb HE fo wie auc^ DK unb HG
einanber gleich unb paraKel ffnb/ fo ifl auc^
3C JDK = 3C EHG CXI, iP. ®0 fofglic^
i!^ DJK c5 A HEG. (I, 4. ©. tt. VI, 4. @0
4) (Sbenfo wirb bewiefen, ha9
A HJK c5 A AEG ifl.
IL yiun ifl bie ganje ^^ramibe ABGD ber ^^^rantibe
HJKD df^nlic^ (XI, 9. dttl) unb ba^er mu9 0e audl^ ber
|>yramibe AEbH d^nlic^ feyn.
189
Sctttt ha HJ mit AB gleic^taufenb ifi, fo ffnb bte tDreteife
DAB unb DHJ gletcbtotnfeltg (I, 29* @0 unb i^re Seitett
proportional (VI, 4« ®0* ^<x^^t (Inb beibe X)retecfe etnanber
&^n(ic^(Vl9 l.iSrfL)/ totlAjcd aud} t>bit ben Z)reiecfen DAG
tttib^Dmc, fo koie ))on ben Dretecfen DEC unb BJK gilt
SlOcih e« ifl auc^ / mil UJ mit AB nnb HK mit AG
parottel unb forgri* 3C BAC = ^c JHK i(i, (XI, lo. ©♦)
ba^ X^reiecf ABC brm Dreietfe HJK d^nltc^ unb folglich
BA : JH = AD : DH = AG : KH (VI, 4. ©.)
in. Stuc^ muß bad ^riöma, bei toelcbem ber @runbf[&(6e
EBFG bie Sinie HJ gegen&6er(iegt, bem ^xi^ma, bei noelc^em
bem X)reie(fe FGG atö ®runbf{&c^e baö Sreiecf JKII gegen^
öber(iegt, be^iDegen gleich fe^U/ toeil |!e einerlei ^6i^e ijaUttf
linb »egen BF = FG and) EBFG zz: 2 A GFC ifl» (XI, 40* @.
imbl, 41. @.)
IV. T>it beiben fo eben genannten ^i^men m&ffen jufam^
tnengenommen großer, ak bie i^&Ifte ber gangeit ^pramibe
ABGD feyu/ toe^n fit, großer jTnb/ al^ tit beiben {leinen
^yramiben AEGH unb HJKD {ufammengenommem
2Qenn man bie Sinien JE unb EF für bie ^^ramibe EBFJ
iitijt, fo loirb auf eben biefe 9(rt/ n>ie im erßen Ztitik be^
toiefen kourbe, baß AEGH ^ HJKD, tiunmeljr auc^ barget^an>
baß EBFJ 5ö HJKD. Da^er ifl auc^
EBFJ ^ AEGH. (Sd ifl aber ofenbar
EBFGHJ > EBFJ, fotgli* auc^
EBFGHJ > AEGH , ba^er aud^
GFCHJK > HJKD.
S> e r 4. @ a $.
8 e M f Ä 6»
SOSenn {koei breiecftge ^^ramiben gleiche i^6^eit
^aben unb td wirb jebe berfelben in jtoei g(eici)e/
einanber felbfl unb ber gangen &tfnl\d)t ^yramibett
itnb in gioei gleiche ^ri^men get^cilt; hierauf jebe
ber Ifierburd^. entfle^enben ^^ramiben »ieber auf
190
eben biefe 9ltt, unh biefe« fmmer fo fort, fo ^ttfjaU
tcn fid) alle priemen in ber einen ^^ramtbe in
oUen ^ri^men t)on g(eict|er Slnja^( in ber anbern^
U>ie bie ©runbflAc^e ber einen ^nt ©rnnbfldc^e ber
anberm
SßBenn (^ig. ao90 bie jwei bteierfigen ^^ramiben ABCG
iinb D£FH auf bie in bem Se()rfa$e bemerfte 9lrt geti)ei(t noer#
ben, fo t)ert)a{ten ftc^ aUc, burc^ biefe !S^ei(ung in ber erfiett
^^ramibi^ entße^enbe ^ri^men ju allen / auf d^nlic^e tirt in
berxSn>eiten enf{ie()enben/ toie ftdSi bie ©runbfldc^e ABC jur
©runbfldc^.e DEF t)ert)dlt
S e n) e { «. ^
Da bie Beiben ^ijramiben ABCG unb DEFH einerlei fyitjt
^aben, fo ffnb bie üon G auf bad ©eitenbreied ABC unb oo«
H auf bad ©titenbreiecf DEF gefdBten ?otl)e einanber gleich,
(VI, 4* attW) 3lnn n>irb fon)ol)( ha^ iettf aud G, aH aucff
bie Sinie GC Don ben jwei ^araKel ^ Sbenen ABC unb OLM
proportional gcfdjnitten. (XI, 17» ®.) Da aber bie ?inie GC
tn M t)a(birt iH, fo ntuß aud) bad Dor^in bemerfte Sot^ ))ott
ber @bene OLM tjalbixt U)erben« @d leuchtet Don felbfl tittf
ha^ eben biefe6 auc^ t)on bem Sott)e gilt, totlö^t^ t)on H auf
bie @6ene DEF gejogen ifi» Da nun biefe ganzen ^ot^e einan#
ber gleid) ffnb, fo muffen e^ auc^ i^re ^Alften fepn« Da^er
l>aben bie gmei ^ri^men KNCOLM unb QVFRTS einerfei ^if^t
itnb mäffen ffc^ bai)er ju einanber t)er^alten, toit üftt @runb#
fidxben KNC unb QVF. (XI, 28* unb 3a. ©O Da nun BN
= ]N[C unb AR = KC, fo ifl au* bie ?inie KN mit. AB
parallel (VI, 2. @.) unb folglich A ABC oo A KNC. (VI, 4, ©0
®anj ani gleict)em @runbe ifl aud;
A DEF oo A QVF. aBeil aber
BC = 2 NC unb EF = a VF, unb ba^er
BC : EF = NC : VF i(l, fo ^at man auc^
A ABC : A DEF = A KNC : A QVF, (VI, 2% 6.)
(&^ toat aber nad^ bem Sbigen
A KNC : A QVF = ^rm. KNCOLM : ^rm. QVFRTS*
%olQlidt ift and)
A
191
A ABC : A DEF== ^ri«maKNCOLM:^ri«maQVFRTS
Döer
A ABC : A r>EF = ^xiima JBNKOL : ^xiima PEVQRT
(XII, 3*6.) Do^er ijl äuc^
A ABC ^ A DEF = ^rm* KNCOLM + ^vm. JBNKOL :
^rm. (JVFRTS + ^rim. PEVQRT.
SBcnn ttttn bte in ben gri^ertt ^^ramiben enfflanbetten
Hetnern^ wie AJKO unb DPQR »ieber cbenfo get^cilt mxttn,
fo mäffen ftt^ au^ gleichem @rutibe bte jnoei ^ri^men in AJKO
}tt ben btiben ^rijmen in DPQR t)ert)alten , »ie fitt) baö Sreiecf
AJK jum lireiedPe DPQ b* ^. wie ftc^ bad Dreied ABC jum
©reiecfe DEF t)erl)dft. X)a(|er muffen ffd) aud) bie t)ier ^rid#
men in ABCG ju ben »icr ^ri^men in DEFH t)erf|aUen, wie
fi(^ ba^ Dreiecf ABC jum Breiecfe DEF t>ert)dlt
£a nun auf DoUfommengleid^e Sirt ber IB^weiö auc^ ^ott
ben ?)riömen in ben ^ioramtVen OLMG unb RTSH, unb über-»
tfanpt t>on äffen anbern ^i^men 0ef&t}rt werben fann^ weicht
an^ ben^ mrmer weiter fortgefegt^n @int^eilungen entße^eU/ fo
tjl ber Sej^rfaß 6ewiefen.
t> t t 5, © a §»
? e M f a «♦
SBetttt breierfige ^ijraniibert einerlei ^if^tn
baten, fo vergalten fie fic^ wie i^re ©runbfldc^ett
3tt einanber.
SBenn ^ cjig. 209.) bie breiedPigen ^J^ramiben ABCG unb
DEFH'dnerlei ^6t)e ^aben, fo Vjer^aUen ffe fic^, toit itfxt
©runbjldc^en ABC unb DEF-
»ewei«*
SD3entt bie Proportion
' A ABC : A DFF = ^^K. ABCG : ^^r^ DEFH nit^t fiatt#
fdnbe, fo fei ^
A ABC : A DEF = ^tjr. ABCG : X, fo muß ber Ädr#
yer X entweber grAfer ober Heiner fepn, als bie ^^ramibe
DEFH.
/^
^93
I. (?8 fei A ABC : A I>EF = ^9t. ABCG : X ; fo^
baß X < ^pr, DEFH ober baß
^9r- DEFH = X + R i|l.
SBenn man (ttad) XII, 3» ®.) bie ^^ramibe DEFH fn
i^re ^ipramiben unb ^ri^men/ unb bie ^ierburc^ ent|te^enbett
Heineren ^^ramiben noieberum auf eben biefe 3Irt eintt)ei(t^
itnb auf biefe yßeife immer fortfährt, fo 6ef6mmt man einmaC
^pramiben, welcfee Meiner ftnb, aI6 jebe ©riße R (X, l.@.)
5»un n)ar ^pr. DEFH = X + R , folfllic^ finb bie ^riöme«
ber ^^ramibe DEFH > X.
>
2Sirb nun bie anbere ^pramibe ABCG auf eben biefe SIrt
Itnb ebenfo oft get^eilt/ fo k)er^alten fid) V\% ^ri^men ber ^pro^
mibe ABCG ju ben ^ri^men ber ^pramibe DEFH , loie flc^ bai
jDreiecf ABC jum Dreiecfe DEF, b* l). nac^ ber Sln^na^me^
xoxt ffc^ ^pramibe ABCG gu Xöer^dlt I)a aber bie ?>ri6me«
ber ^pramibe ABCG offenbar Heiner ffnb , ald biefe ^pramibe
ABCG, fo muffen ^yxi) bie.^ri^men ber ^^romibe DEFH
Keiner ald X fepu/ tt>elc^e& bem SSor^erbewiefene?/ baß bie
^riömen ber ^pramibe DEFH größer aW X ffnb, »iberfpric^t
£a^er ifl ed nict)t mdglic^, baß
A ABC : A DEF = ^pr. ABCG : X fei, tt>e«
X < ^9r* DEFH. Slu« flleic^en ®riltt#
ben ifl ed aber auc^ nnn:i6glic6/ baß j
A DEF : A ABC = ^9r. DEFH : Z , 4oep
Z < g)pr. ABCG i(J.. ,
IL 66 fei nun r .
A ABC : A DEF = ^9r. ABCG : X; fo,, baß
X > ^9r. DEFH tt)4re. ^ier i »Are
aut(^ A DEF : A ABC = X : ^^r* ABCG.
9!un mac^e v^Oil^
X : ypn ABCG = ^9r. DEFH : Z; fo/ baß, »etf
X > y^r. DEFH, auc^
^Dr. ABCG > Z , folflti*
Z < ^^r. ABCG »are. 2)a^er I^Atte
man A DEF : a ABC c= ^^r. DEFH : Z, tpel^ed aber^
wei( Z < ^pr. ABCG, nac^ bem erfleit
galle unm6gli(^ ifl«
193
Sttttt ^ielecrfge ^^tamibett gleiche ^j^ett l^aSen^
fo i^ttt)alttn fie ftcb tüte ii)re ©rutibfldcbeitv
9Bettn (Jig. 210.) bie fj^ramiben ABCDEL unb FGHJKM
einerlei S^itjt ^abeit/ fo t)er galten fle fic^ tvie i^re ^ruttb»
fdc^cii ABCDE unb FGHJKv
!d e n> e i <.
Wfan tbetle bie ©run^^^cb^» ABGDE uM FGHIK in i{)re
Dteierfe ABC> ACD unb ADE; ferner in FGH, FHJ unb
FJK» unb benfe ftd) Aber biefen IDreiecfen folc^e ^pramibeu^
iDeld^e mit ben erfiern oon gleicher i^^e finb«
^a nun ifUt
A ABC : A ACD = ^^r. ABCL : ^^r. ACDL (XII, S. ©.)/ fo ifl
ABCD : ACD Ä ABCDL :. ACDL. (Jd ifl ober
ACD : ADE zsz ACDL : ADEL (Xll, 5. ©0/ folglich auc^
ABCD : ADE = ABCDL : ADEL. Dat)er
ABCDE : ADE = ABCDEL : ADEL. Siurt ift
.ADE : FJK = ADEL : FJRM. cXII> 5.®0 tiaf^tt
ABCDE : FJK = ABCDEL : FJRIVf*
<Sd n>trb aber mte juDor bemtefeu/ ba0
FGHJK : FJK = PGHJKM : FJKlVt, forgric^ {|i aud^
ABCDE : FGHJK = ABCDEL : FGHJKM.
»
« e M f « $♦
3ebe» breietfige ^^riöma tann in btet'brei#
edtge ^loramiben get^eilt n^erben^ meiere e^nanber
gleid) finb* ^
Saaenrt (gfg» Uli.) FEDCBA bad gegebene bretecKge
^ri^ma ifl^ fo fann ba(fe(be in brei unter flc^ gleiche hxtU
• f tf ige 9)9rauiiben get^eilt uoerbem
ia '
194
8 e n),e i *♦ •
?D?an giet)e in bem ^araHerogtamme' EDAB bie ©lagoitare
DB^ im ^^araKelogramme EFCB bie T>\aQonaU EG unb in
bem ^araUefcgramme FDAC bie Diagonal DC, fo entfle^ett
brei breierfige ^^ramibeii ABDC, DBEC mtif ECFD.
Sa in bem ^araKetograiktme AB£D
A ABD = A I>BE (l, 14. @0 fo muf auc&
^lor. ABDC = ^^r* DBEC fepn, »eil biibz itjxt ge^
meinfdjaftlidje ©pi|e in € l)aben. (XII, 5. ©0
Sm ^araDefogramme BCFE ifl e6enfo
A FEC =±i A CEB (I, 14. ©0 unb folglich
9)9r. FECD = ^^r. GEBD, »eiJ beibe bie gemeiiu
idiafilidit ©pi^e.in D i)a6en. (XII, 5* ©0
(6i toax aber t)orl)in
^pr. ABDC = ^9r. DBEC, folglich ffnb biefe bret
f>9ramiben unter [xd) iUitb.
3 tt f ö e.
/ i^ierauö folgt, ba§ jebe ^9ramibe ber britte ^^ei( eineS
^ri^ma^d fei, loeld^e^ mit it)r ©runbfläcbe unb i^6t)e gemein
^at* SQenn bad ^ri^ma eilt melecfigcö »Are, fo fann ed in
breiecfige jert^eilt »erben, unb ed ifat »ieber ber vorige
!Be»ei« ©tatt*
©er 8, © a §♦
« e- 1> r f a i
Sle^Iid^e breierfige ^pramiben fielen in bem
breifad} ^6^ern SBef l)dltniffe i^rer homologen
©eiten*
C« feien (gtg. 212.) ABCG unb DEFH j»ei Ä^nfi*e
breiecfige ^praniiben, fo (iefjen ffe im breifad) ^dl)ern aSer#
l^<niffe ii)rer ^omoiogen ©riten BC unb £F.
S e » e i «•
SOßenn man bie^araOelcpipeben BJ unbEN t)onenbef,
fo iß/ »eil bie gegebenen ^^ramiben einanber A^nfid) flnb,
5: BGA = ^ EFD cXI, 9. Crtl.) gerner
SC ACG = X. DFH unb
195
5C BCG t^t 5c; EPH. tiafjtt
BC i EF = AC : DF = GC t HF. i)a^er tjt
CM c\5 FQ (VI, 1. dxUo geriter
CJ OD FN uttb
CL CN) FP* .
iii^ ftnb d6er tit jeber Ut htiUn ^atatlthpi)fitUti ixt, bttt
tbengenatitittn @eitenflAd)en gegenA6et|let)enben il)neit gleich
ttiib Ä^tilid! (XI, Ü4. ®.) a5al)et ifl au*
BJ oo EN (XI, 9* dttto ttttb ba^er
fij J EN Ä (BC : tLF)K
t^a ein ^rt^ma bie ^&ifte be6 i^m }ttse^drtgen ^axaUth^
|)tyebuind unb eine ^pramibe ber brttte /ti)ei( be6 it)r juge^
I|6rigen ^rieina iß/ fo tnug aud) bte ^loramibe ber fed)^te
Sti^eü bed i^r angcfydrtgen ^araOelopfpebum^ feyn/ unb man
^at aucb
^pr. ABCG : ^pt. DEFH ±z BJ ! EN = (BC t EF)K
3 u f a e.
i^ietaud fofgt^ baf au* &t)n(t*e Dtefecftge ^pramtbett
im bretfa* l)6l}ereR Sert)dltni(fe tbrer l}omologen ®etten
(lebem X)enn wenn man bie Djelecfic^en ^^trannben bur*
Sbeuen / n)e(*e bur* ibre S|)i^e unb bur* bomploge X)ta#
gonalen i^ter ®runbf{&d)en gel^U/ in breiecfige ^pramibcn
k)crn>anbe[t (VI, 30» ®.)/ fo t)erl)alten ft* alle breiecftge
^pramiben in ber eilten {u oUcn breiecfigett ber atiberU/
b* t). ed t)eib&(t jl* bte eine melecftge ^prauiibe jut andern/
toie eine breiecfige ^pramtbe in ber einen ft* lut tjomof
logen in ber aubern x)txt^&it, d^ jlel)en aber bie breiecfigen
^pramiben im breifa* l}6^eren SSer^Altniffe i^rer homologen
Gelten f ba^er au* bie ^ielecfigem
i) e t 9* © a ^*
? e ^ r f a 6*
ifiSenn breiedfige ^pramiben eittanbet gfe{*
fttib^ fo ßei^en it)re ®runbffd*en im umgefel^rten
Serl)&Uniffe i^rer S^iijtxx, unb uoenn fi* it)xt
13*
196
9tnniftidftn nrnfittt^ttf wie ifftt ^6^tn j^tu
^alttu, f0 finb bie ^pramibtn ctnanbcr g(ci4.
SBetm (gtg« 113.) ABCG nnb DEFH iwti giriere brru
ccfific 9>9ratntbcit finb, fo ße^ t^re Sninbfl&d^fn ABC nnb
DEF int nmgrfe^rfcn Srr^Altniffe i^rcr ^jl^cn, nnb menn
bUfcd Ir^fcie ift, fo ^ot and^ bad crilefe @tatf.
9 e w e i 6«
fSüan wUenU bte 9)aratte(o))tpcben BJ nnb Elf, »rld^
mit bm gegebenen ^ramtben gfetc^e i^ j^en ^aben*
1. SBenn nun ^t. ABCG = ^i^r. DEFH , fo id anc^,
tneil bte ^yrantibe ber fec^^te S^i^eil be^ it^t {nge^ongen
9)ara0e(optbebntn^ ift, BJ =:^£N. gofgHcft fielen bte @mnb#
fUd^tn BK nnb £M OLI, 34. ®0 nnb ba^er onc^ bte Z^reiecfe
ABC ttitb D£F (I, 34« ®.) int ntngef eierten Ser^dltntffe ber
IL 98enn aber bte ®runbfldct»en ABC nttb DEF, folgtic^
onc^ BK nnb EM (I, 34. @0 ftc^ nmgefel^rl/ n>te bie ^o^en
bet beiten 9t;ramtben t^erl^allen^ fo mtt$ audi bad ^axaütto^
yipebum BJ Um ^araUelopipebnm £N gletd^ fr^m (XI, 34. @.)
jDa aber bie ^r)xamitt ber fedi^te Zi^til beö t^r ange^ortgett
^aradetopipebum^ i^, fo nittg aud^ bte ^pramibe ABCG
ber ypramibe D£FH gleid^ fepm
© e r 10* @ a !♦
8 e ^ r f a |.
iDer Jtegel ift ber brüte it^et{ jeneö Splinberd,
toeld^er mit t^m ®runbfUcbe nnb ^^^e gemein ^at
@d fei ($19« ai4.) ber ^rei^ ABCD fowot^I bte ®runb^
flid^e te^ Acgel^^ a(d jene brd 6)()Itnberö^ toefd^er mit it)m
bte Sii^t gemein l^at, fo iß jener ber britte 2!^eil oon biefem«
» e tt) e t «. 7
Senn ber JFegel ber txiitt Z\)z\l bed/^plinberd n\i)t
toixt, fo mttß berfelbe enttpeber grdper ober {(einer fepn, ali
biefer britte Z^iiiU
/
197
I. (Sd fei Aeg. < Va Q^U ober 3 jteg. < difU b. |«
(Splinber = 3 Äeg. + X. x
^an befdjretbe ttrbett Aretd, tüefc^er bfe gemetnfc^afilic^e
@runbfld(^e beö (Splinberd itnb bed 5(ege(^ tfl, bad Duabrat
ABCD, ^albtre bte Sogen AB^ BC, CD nnb DA in ben
^unctcn E, F, G unb H, giel)e bie geraben AE, EB, BF,
FC, CG, GD, DH unb HA, «nb benfe fi* bur* alte Jtbeifung«^
fnncu bie iCangenten ne&ft ben oVrIdngerten Seiten be^ tnnern
£inabrafe6. i^ier ift nun ba^ innere Ouabrat bie ^dlfte bej
- Äuffern (XII, % ©.) unb jebe« Dreiecf, n>ie AEB, Der ^dlfte
fe.ined $araDe(ogrammd gleid^» Senft man fi(4 nun auf bie
^ter entjlanjbenen ^iguren ^riönten t)on ber^6l)e bed @i|^(tnberd
befd^rieben, weld^e flc^ ba^er^ tt>ie i^te®runbfl&(^en t)er^aUen,
fo ifl:
1) Xiai ^xidma auf bem tnnetn 0uabrate bie i^dlfte bed
^ri^ma auf bem dufferen Quabrate, unb ba^er größer ali
bie i^dlfte bed ^pfinberd, mit
7) bad ^riöma auf jebem 2)reiecfe, n>te AEB, ifl bie
i^dlfre jene^^rtöma; n)elcf)ed fic^ auf bem^ i^m )uge{^6rigen
^araKefogramme beftnbet/ unb folglich ebenfaQ^ gt6ßer^ ali
bte i^dlfte bed Si&fd^nittd Dom S^linber/ beffen ®runbfld(^e
ber abfcf)nin BEA iß.
®e$t man nun tiefe ^ier angefangene S^^etlung immer
noeiter fort; fo bleiben einmal Sibfcbnitte Dom 6»Mnber öbrig,
toe((t)e jnfammea Heiner finb a(d jebe ®r6pe X. @efe$t/ bieö
fei gefdjeV«/ fo ifl/ weil
(Splinbex = 3 Äeg, + X, nun auc^
bad ^ri^ma oon ber i^6i}e be^ (S^finberd^ beffen ©rnnbfldc^e
t)on ber^6t)e be6 gplinberd, beffen ®runbfldci)e baö SSielecf
AEBFCGDH ifl, größer a« 3 Äeg. »ttein eine ^^ramibe
Don gleicher \JQii^e unb ©rnubfldc^e ifl ber britte 5£^eil Ui
^riöma CXII , X* ®*) folglich todre biefe ^ramibe größer
ali ein ^egel dou ber »ndmiicben j^i^e unb Don ber ®runb#
fidiJbe ABCD, b. ff. ein Zt)til todre größer ali hat (Banit,
> tüai itnmöghd^ ifl.
498
H. C« fei Arg. > % e^L ml» foljfi« «eg. = 1/3 e^f,
+ Xf fp matbt mau auf gletcftc 9Bfife, oie bti bau crß«
gaffe Min (äi^linhtx älbfd^ütne ge»ad»r toerben gnb, ancb' t^itt
folAe aftfctnttte 9001 Aegc(, welAe and brnfelbigcn 9rnnbeii
infantmcpgenoninien f (einer finb, aU tebe &titt X. Saber
iß and gifidten (9r&nben bte fJ^ramibe von brr £»jbe bed
e^linberd/ meiere jnr ®ninb0dcbe bad Siefetf AEBFCGDH
l^at ff&$€t, aU ein Drittl^etl bcd (Si^ltnberd. Da aber (nacft
XU, 7* @0 ein f>rtdnta von ber n&mlicben i^c^e nnb (Sntnbip
flAAe breimal fo gro0, ali biefe 9>9ramtbe tfl, fp mü$tt audf
bieffd ^ridma gr6fer/ afd brr (SpHnber, b. 1^. ber ZtftH
mü$tt größer a(d hai (Sanje fe^n, vetc^ednnmiglid^ ift
/
©er 11* © a I*
8e^rfa|.
98ettn Aegel ober (Si^Itnber einerlei ^if)tn
laben, fo vergalten fie fid^ toie i^re ®rnnb^
^(&d)en.
9Benrt (^tg. 215.) fi(6 aber ben ©rnnbßScfcen ABCD nnb
EFGH Xegel ober (S^Hnber befinben/ wefcbe etnerfet i^dl)e
JK = LM ^aben, fo oert)aüen ffe ftct) gegen einanber, toie
Hf efrengenannten (Srnnbfldcfaem
93 e n> e i ««
^a ein S^Iinber breimal fo groß ifi, a\i ein JFegef, toefcber
wie i^m (Stuni^idit nnb Jpi^^e gemein tiat (XII, 10. @0 fo
flehen audi alle (S^linber im geraben Serbdltntffe fo(d)er Xegel,
toefc^e mit i^nen einerlei ©runbfldd^en nnb ip6ben t^abem
SQSenn baber ber obige Sc^rfaß oon ben Regeln bemiefen tfl«
fo mu6 er au<b oon ben Splinbern beriefen fc^n.
$Benn nun bte Proportion .
jtr. ABCP :: Ar. EFGH = Äeg. AK : Äeg. EM
Hiebt ®tatt iflixtc, fo fe^e man
Xt. AßCD :: Ar. EFGH = Äeg, AK : X , nnb e« mn«
ber Stixifitt X entrptber großer ober Heiner/ ald ber Äegel
199
L <ii fet xcm
Stt. ABCD : «n EFGH = Äeg. AK ; X «nb X<Äe8*EM.
SQetttt man tte tiimlidic S^nfiructton n^te in bet^ nnmiittU
hat borbergegangenrn @a|e . an^f&\^xt, fo ifl auc^ Met tie
f>9ramtbe FM , beten ^pige in M unb beten ®tunbf[&c^e baA
»ielecf HNEFPGQ i(l^ Qxiitt aW X. vJWun bef*feibe man
in ben ^tet^ ABCD ein^of^gon DRASBTGV, »elcbed bem
ebengenannten SSielecfe HJNEFPGQ d^nlicb iH, unb etticbte
auf baffelbe eine ^tamibt BK, beten @pi$e in K ifl^ unb
totidft bemnad) mit bet zotigen ^^tamtbe gfeicbe $6be bak
2)0 ftd) nun biefe J^telecfe fornol)!; aid bie greife, toexin
fle befd^rieben jtnb/ tt)ie bie Duabtate it)ret "tntd^mt^n ber#
galten ^ (XII, i. u. 2« @0 unb. bie ^^tamiben/ wetdye ^er
entß^beii/ im getaben Set^dltniffe itfxtt @tun^fl&(^ett ffnb
(XXII, 6. ®.) fo ift
^9t. BK : ^9t. FM = Ät. ABCD : Ät* EFGH.
m wax ßbtx nad) bet Slnnat^me
Ät. ABCD : Ät. EFGH = Äeg. AK : X, babet ijl
Äeg. AK : X = ^p^t. BK : ^^x. FM. $« f(l aber
«fenbat Äeg, AK > ^^t* BK, babet and)
X > ^^t. FM, mid^ti bem jttt)ot SSemiefene»/
^r. FM > X n>ibetfprtd)t '
(Ed ifl bat)et unm6glid), baf
Jtt. ABCD : Ät. EFGH = Äeg* AK : X fei, totnn
X^ Äeg. EM ip.
Sfud eben biefcn ®tänte n ift tt and^ nnmdglic^ / baf
«t. EFGH : Stx. ABCD = Äeg* EM : Y , »enn Y < Äeg* AK Ifl.
IL di fei nun , /
«t- ABCD : Ar* EFGH =r Äeg. AK : X, fo baß X >
Äeg. EM ifl»
i^iet ifl au(i^
Äc-EFGH : Stx. ABCD =s X : Äeg. AK. !Run madje matt
X : Äeg. AK == Äeg. EM : Y, fo baß, »eil
X j> Äeg. EM, nun aud^
Äeg. AK > Y ifl. Vat^tt i|l auc^
Ät. EFGH : An ABCD = Äeg. EM : Y, t»el*e«
abet/ totil Y < Äeg« AK, nac^ bem etflen §afie unm^glic^ ifl*
200
4
©er 12. (Safe..
S e ^ r f a 6.
%if)tilid^t Aegel uttb SvHnber (le^ett in breifacl
1^ j^ern Sert^dltniffe ber ^DuTc^meffer i^rer ®rjttib#
C^ bfjtnben ffcb (^ig. aiöO iftei^ beft Äreifen ABCD itnb
]EFGH dl)n(icbe ^egel ober' S^IinbeT/ fo ßel)fn {ie im bretfac^
tfiiitxn SSer^&Itntffe ber £urcbnie(fer BO uttb FH,
a c » e i d.
Sd feien A6ev beit ebengettatittfen ®runb{!dd)en biefer
Stitjpn bte Linien JR unb LW il^re arem Da tittjt jeber
(S^ttnbet breimat fo groö tfl, ald ein ^egel t)on/ber n&mltc^eit
@punbfl&d9e unt> fy6tft (XII, lo^ @.) fo i^er^aUen fic^ aud^
bi( Siolinber eben fo^ n^ie bte ^egeU
^ ^dtte nun tie ^roj)ortion
(BD : FH)3 = «eg. ER : «eg. FM m*t &att, fo fei
(BD : FH)3 = Äeg. BR : N , fo muß ber Äftrper N enfa
tbebev großer ober fkiner feipu^ ali ber ^egel FM. ^
I. (So fei nun
{BD : rH)3 =?: Äeg. Bk : N , unb jugleiA N < Äeg. FM.
SBenn man in bem Jfretfe EFGH bte ndmlici)e Sonßrue^
ttou/t tt)ie in bem je^nten @a$e ou^fäl)rt, fo mu0 aucit Met
bie ^ipiramtbe GM , beren (^pt^e in M unb bereu ©runbfldc^e
bad »jeled EOFPGQHR ifi, großer alö N fe^n. ORan bei»
fci^rett^ in ben ^rfid ABCD ein^Sielecf ASBTCYDX; mldtiti
bem SSorigen EOFPGQHR dt^nlid) i^, unb erricbfe auf baffetbe
(ine ^^ramibe CR, beren ®pi$e in R ifl. So fei eine ^eiten^i
fidct^e ber ^loramibc CK ba^ Dreietf BSR unb bie it)r domo«
log? @eitenfldcb.e ber ^^ramibe GM bad X^reiecf OFM. 3ie{^t
man nun b|e H^inien SJ unb OL, fo ftttb bie bretecftgen $9ra#
mtben BJSK unb F]|:.0M etnanber äbnU&i (XI, 9. @rf{.> meif
fie bon gleid). )?ieUn^ etnanber d^ntic^en ^eitcnfldc^en begrdnjt
mrbeu/ benn
1« Z)a BJf a JS unb FL sa LO, fo ifl
W ; JS s FL ; La I5)a aber an^
SC 5JS ?= 5C FLO , tDegen ae^tiltc^fcit ber Sielerfe,
fo tß aud) t>aö 2)reiec( BJfS bcm X)me(re FLO A^nlic^«
CVI, 6. @0
a« X)a ttuti aVL^ bet £egel BK bem ftegel FM A^nlic^
iß/ fo ifl^ auc^
KJ : ML = BD : FH = JE : LP (XI, a4.(?irfro
JDaljer KJ : ,JB = ml : LF. 2)a ferner"
5: BJK = 3C FLM = R, fo i|l and)
A BKJ cv> A FML (VI, 6. ©0
3. I)a KJ : JB = ML : LF unb
Jß :^ JS, aii* LF = LO, fo i^
KJ : JS ;=: ML i LO. (Sö ift aber aud^
5C SJK =;;: 5C OLM =:: R, bat>er audf
; A SKJ oo A OMU (VI, 6. @0
4. £)a nwn A BKJ co A FML unb
A BJS oo A FLO , fo i|l
KB ^ BJ = MF j FL (VI, l. Srfl.) ttttb
BJ : SB = FL : OF,
golflric^ au* KB ,j SB = MF : FO.
äÖeU nm A skj oo a oml unb
A BJS <N) A FLO, fo ifl
KS : SJ =7 MO : OL UUb
SJ : SB rs OL ; OF. Da^er anii
ILS : SB =;= MO : OF,
' SOSerbeu ttun bie beiben Proportionen mit einanber «eri
gK*en/ 'fo et^&It man
KS ; KB =;: MO : MF, ba^er t(l
A BKS CO A FMO (VI, 5. ®.)
> 2)a alfO; na* bem fo eben SSemtefenen, bte ^^ramfbe
BJSK bcr ^^rximibe FLOM dt)n(id) ifl, fo ifl audf
^pr. BJSK : ^^t. FLOM rz (BJ : FL)» = (BD : FH)3
(XII, 8, @.) SBenn man nun oon aOen ^uncten beä Um^
freife^^ toie t^on S unb O^ gerdbe hinten na* ben ^SlituU
puncten J nn^ h }iei)t, unb auf bie ^iebur* enHle^nbett
2)reie(fe ^^ramiben (leKt/ beren ©p^l^ii in K unb in M ffnb,
fo mu$ mi fl(ei*ru . ©rauben bao Ser^dltnif (BD : FH)«
/
I
s
2m
wn jebf m jufammengel^jrigen ^aaxt biefer ^^ramtbeit gelten«
Slun üerl)&tt pdf aber eine ^^ramibe BJSK bei ^em erflen
greife }u einer ^^ramibe FLOM beigem {weiten jfreife/ »ie
aSe^ $9rantiben beim erften Jtreife ju allen ^^ramiben beim
,gn>fiten, b. \j. toit bie ganje-^^romibe CK }nr ga^jen ^ift(u^
mibe GM.
Dal^er ifl
(BD : FH)» =3 9>9r. CK : ^^r. GM. (S$ War aber
(BD : FH)3 =5 Äeg. BK : 3V nac^ ber annähme.
0olgli^ ifi aud)
Äeg. B9L :N = «Ppr. CK : ^^r. GM. €« tp aber
offenbar Äeg. BK > ^^x. CK, ba^er awb
JV > y^r. GM, tt>erd^e6 bem Dörfer Scwiefenen^
baß 9)9r. gm > N i|l, Vüiberfpricfet.
@d ifl bai)er unm6g(i(t), baß hit Proportion
(BD : FH)5 =5 Äeg. BK : N Start finbe, wenn
N < !fteg. FM ifl. Sind eben biefen ®runben ifl e<
cind^ nnmoglid), baß . .
(FH : BD)3 = Äeg. PM : Z fei, wenn Z < Äeg. BK ifr
IL Kun fei
(BD : FH)3 zz Äeg. BK : N , fo baß
N > Äeg. FM fei. ipier ifl au*
(FH .: BD)3 zzr N : Äeg. BK. 9?un macbe man
N : Äeg. BK ^ Äeg. FM : Z, fo baß,
»eil W > Äeg, FM , auch *cg. BK > Z ilfl. ^'er »Are
(FH : BD)3 = Äeg. FM : Z, welcbed aber, »eil
Z <MtQ. BK ifl, nac^ bem erflen %afk nid^r fe^n fanm
© e r 13* © a ft.
2 e fy r f a $.
SBenn ein (Spfinber bnrc^ eine (Ebene mit feinen
einanber gegen&berliegenben ©runbfldc^en paraMeC
bnrd}fd)nitten wirb, fo t)er^a(ten ftd) bie beiben
^ieburc^ entflet^enben Heineren dylinber wie i^re
i Sljren,
203
&i 1ti (^tg. 11170 AD ber gegeftene ^littbet/ toclcber
burcb HG, pataüti mit BA tinb PC, turc^fc^niUcit toixt, fo
AH ; GD = EJ ; JR
S e to e t d«
SWa« t)err4ngere bic »re EF über F ttttb E, ite^tne
EM = MK ^ JE unb
FN =? KL =5; JF, «nb fege bur* M unb K fowol>f/
al^bttrd^ N unb L Ebenen/ melcbe ben (Srunbfidcben AB unb
CD ipaxaüd unb gfeicfo ffnb/ unb ooOenbe bie ßph'nber*
£a bie 9lren beiberfeifö gfetd) ffnb, fo i^erbalten 0cf) bie
ntn entdanbenen g^Unber, ta {te einerfei ^6be l)aben, mie
il)re ®ninbfläcben (XII, ii. @0 ^^ ^^^^^ ^uct' ^^^f^ ®runb«
^äcfcen etnanber gtcid) ffnb, fo ffnb aiid) ^i^ S^Iinber HA»
AR nnb RO, fowie and) bie ß^linber HC, CT unb TV unter
fic^ flleidj» I5al)er i(t / '
KJ t>on EJ bad ebenfo Siclfadje ald OH t)on AH ift^
iinb JL i(l t)on JF aud) ba^ ebenfo Sielfacbe, ä(d GX t)Oit
GD ifi. ^(agftct) ftnb KJ unb OH t)on EJ unb AH, fo n>ie
auA JL unb GX von JF unb GD gleich Sielfac^e. Xa^er ifl,
wen« KJ > JL, aud) OH > GX,
SBenn KJ = JL, autb OH = GX unb wenn
KJ < JL , aud^ OH < GX. golgli* i^
EJ : JF = AH : GD,
©er 14* © a |*
i t fa X i aii.
9Benn ^egel unb (Splinber gfeid^e ®runbf(dc^ett
l^aben, fo t)erl)alten fie fid) wie il)te ^6l)em
@^ ^aben (^tg. 318O bie J^egeC ABG unb CDJ, n>ie auc^
bie (Spltnber £B unb FD gfeid^e ©runbflAd^en AB unb CD,
fo t>ert)alten ffe ffc^ wie il)re ^6^en GH unb JK.
^ t to e i i.
Sa jfeber ^ege( ber britte Zi^til iti t^nt jugebdrigeit
€9linber£ tfi^ (XII , lo. ®0 fo t^er^alten (ic^ aK(f} bie äcgcl
204
wie He t^tteit jttge^jrigen S^Iinber. SBtrb untt bie JK itac^
'M DerfAngrrt, KAI = GH grinacf)t^ nnb ber (S^Iinber DL
t^oUrnbet, fo ifl berfetbe bcm S^linbcr £B gleich/ weil bfibe
®runbflA(^e itnb S^h^t gemein ^aben* OLII, ii« 60 9!nn ifl
aber CXU, 13. ©.) . *
KM : JK = DL : FD, forgli* an(^
GH : JK = EB : FD.
©er 15. © a %^
« e 1) r f a 6-
96eitti Aege( ober S^Hnber etnanber gleich
ftttb, fo flehen i^re ®runbfldd?en xx^ umgefet^rten
SerbAltniffe x^xtt jp^t^en, unb loenn bei biefett
Airperit bie ®runbf[dd)en ftd) umgefe^rt, toie i^re
$6^en t^er^alteu/ fo fttib fie einanber gleich*
^i feten (gig. 2190 bie jtegel ACK unb £GM ober bie
(Eylittber AN unb £0 eintinber gfeic^/ fo iß
AC : EG = LM X JK unb loenn
AC : EG zz LM : JK i(l, fd mvi^ auc^
Äeg. ACK= Äeg* EGM unb S^L AN = g^LEO feijtt.
S9 e 10 e i ö.
m ifl ffar/ baß rawi biefen Semet« nur oon bett S^Iinbern
|tt fähren 6rau(t)t
L fflenu bie (g^Iinber AN unb EO einanber gteid) ^fTnb,
fo ffnb i^re ;l^jQen JK unb LM entwcber einanber g(eic^ ober
«nglei*. .
SBenn JK = LM ifl, fo vaVi^ auc^
AN : EO = AC : EG fe^n. (XII, 11» ©0 (?d ifl aber
AN = EO, fofglic^ aud) AC = EG unb ba^er
AC ; EG = LM : JK.
SQBenn aber LM > JK. i|l, fo ne^me man LP = JK unb
lege bur^ P eine (Ebene TR mi ben ®runbfl&c^en EG unb QO
|)araßel. I)a nun AN = EO , fo i|l aud)
AN : ER = EO : OR. (g^ ifl aber
JK = LP unb TR mit ben beiben ©runbfl&c^ett
gfeid^Iaufenb. jDa^er ^at m^^
205
AN : ER = AC : EG (XII, 11. SO ttttb
EO : ER = LM : LP (XII, 13. @0 Da^Ct 1(1
AC : EG = LM : LP =^ LM : JK.
IL 9Benn aber AC : E& = LM : JK ift, fo f^at man
na^ ber )^oxiQtn Sotißructtan
AC : EG =1^ LM : LP. (g« i(l aber
AC : EG = AN : ER (XII, 11. ©.) tttib
. LM : LP = EO : ER (XII, 13. SO Da^er JtttC^
AN : ER = EO : ER unb folglich
AN = EO. . ,
© I r 16. (S a $♦
9[ tt f 9 a b e.
SQSenn itoci concetttrtfcbe Greife gegeben finb/
fo foll in ben gr6$ern efn Sielecf oon gerabev
6eiten)abr fo befc^rieben werben/ bag itf ben
Ileinern jtretd ntd)t ber&b^^«
(?d feien (gig. aao.) bte jwei concentrifc^en Äreife ABtD
itttb EFGH unb ed foK in ben größeren tai verlangte Sielecf
fo befc^rieben mxUn, baß e« ben f leinern Stuii EFGH nic^t
berührt
«ttflJfnng nnb Sewei«.
4
^an iitfjt ben ^Duc^mejfer Bi) nnb errichte aui G bte AC
fenlrec^t anf benfelben, »elcbe f&r ben f (einem ^rei^ EFGH
eine Siangente i% (III, 16. S.) 9Ran tbeüe bie ^erip^erie
BAD turcb forfg^fegte .ipalbirungeni fo eYl)d(t- man einmal
einen S3ogen JD, n)e(ct)er Heiner i|l ald ber tBogen AD. yjian
littjz au^ J bie JKL auf BD lott)xcdit, unb bie geraben Linien
JD unb DL, fo i|l JD = DL unb JL mit AC paraSeL
X)at}er berührt bie Sinie AC^aBer nicbt bie JL unb noc^ n>entg€r~
bte Sinie JD'ober DL ben ffeineren^rei^. Zri^t man nun
{n ben größeren jtreid gerabe Sinten^ tccldjz ber JD gleicb (cnb^
fo entfielt ein Sielecf oon gleicher ©eitenja^I in biefem jireife
A£CD, n>eld^ed ben f (einem ^reid EFGH nid^t UxifjxU
2öe,
SI u f .0 a 6 e.
/• giÖeitit ixoti conceitttffcbe Äuflefit flegebcti ftnb^
X fp foll in bie größere ein vietecfiger Adrper (^o#
lieber) fo befcbrieben werben^ baß er bie Oberi»
fldc^e ber f(eihern ftugel nict)t berii^rh
Gfrfler SKI) ei f.
jDiefer erjie S^^eil jeigf, wie mön bad »erfangte ^^öf^ebet
conilrutren feil. 9Benn betbe kugeln burcb il)ren gemeinfcfcaft#
Iid)en 9Ritte(punct A (gig. 331.) Don einer @bene biir(i)|'cbnmeit
n)orben,'fo ent|let)t l)ieburci) auf ber £)berfidci)e ber beibett
kugeln ein ^rei^ (XI, i4« @rffO unb }n)ar ein größter Rxtii
(III, 16. @0j in ber großern Äugel fei ed ber Ärei^ BCDE,
it'nb in ber fleinern ber Äreid FGH* 2Ran jicl)e in biefelt
jfrtri Greifen bie Curcbmeffer DB unb ' CE lot^redjt auf ein*
fiitber, befAmbe fn im größeren Äreiö BCDE ein Sielecf Doit
einer geraben '^aijl gleid^er Seiten, wcicbeö ben ffeincrn cort^
tentrifdren ^reiö FGH nicbt berut)rh (XII, 16. 6.) 3n bent
£2uabrantcn BE feien bie (inii^n BJ, JK» KL unb L£ bie Seiten
l)left^ Siefecfd« Wian {iet)e bie gerabe JA^ t)erldngere ffe bid M,
errict)te in A bie AN auf ber ebene bed Areife^ BCDE lot^
recbr, xo^\&it bie Sberfldcbe ber größeren Jtugei in N triffr/
le^e burd) AN unb jeben ber beiben rnrct)mefyer DB unb JM
@benen, n>e[d)e tbenfaU^, nach bent bereite @rn)iefenen/ auf ber
ßberfldd)'e ber Äugel größte Greife bilbcn »erben* t^ie i^&lftet
bief^r größten Äreife feien BND unb JNM, melthe, fo »ie AN>
inf ber @bene BCDE fentred)t ffeben (XI, is. ©0
Da nun BD :^2 JM = CE, fo ffnb bie \)a\htxi Stxt^l
fiNDJNM unb BED unb bat)er aud) bie QuaOranten BN^ JH
unb BE einanber gleid^« @b t)iele Seiten bai)er ba^ SSieletf
tn BE t)at, ebenfo Diele t>on gleid^er ®röße fönnen aw&i ig
BN utib JN feipn. ÜRan befd)reibe biefelbcn, ndmIid)'ßO, OP,
PQ unb QN in BN, ferner JR, RS, ST unb TN in JN oHt
giet)e bie SScrbinbung^Iinien RO, Sl? unb TQ, tpeldjc mir JB
l^araUel fepn n^erben« X)enn weun man von O unb B. auf bie
^
807
&tm BCDE bie ?i>t^e OV wnb RX gie^t, tStid)t bit l>urc|f#
fd^nttt^Iinien BD unb JM treffen (XI, 38, @.) nnb matt j^tfft
HO* bi< «inte VX, fe ijf, »eil au* BND = JNM ^nb BOsr JR^
nun aud) OV = RX (I, 26. ©.) linb BV = JX. I)a nun awb AB
= AJ, fo t|l VX mit JB paraBel (VI , a^ @0 SBeil über OV
itnb RX einanber gleich iinb yaraUet ftnb/(XI/6. ®.) fo ifl
au* VX ntit RO paraflel (I, aa. ©.) nnb baj^er au* RO mit
JB g(ei*(aufenb (XI, 9. @.) (fbenfo wirb nua au* bemiefen/
ba^ SP mit RO unb TQ mit SP paraUel fei*
£)a»nun RO mit JB g(ei*(aufenb i^, fo liegt bie mer^
feitifle gigur JBOR in einer gbene (XI ^ 7* ®.) nnb ani -
9lei*em ^runbe Iiegt.au* jebe ber äbrtgen ROPS, filmet,
SPQT unb baö X)reiecf TQN, einjeln genommen, in einerlei
ebene. (XI, 3, e.)
Senft man {I* »on b^n ^uncten O unb R, P unb S,
Q unb T na* bem SRittelputrcte ber jfugel A gerabe SinieU/
fo entßel)t }tDif*en' ben beiben Ouabraten BN unb JN eilt
))ol9ebrif*er ^5rper; n)e(*er aui ^^ramiben gtifammengefe^t
,^jv ijl, bereri ®runbpd*en bie gi^uren JBOR, ROPS, SPQT,
^^ TQN finb, unb bereu ®*eitel im ^uncte A i(l. ffiirb nutt
im Ouabranten B£ auf4£ber.ber ®eiten JK, KL unb L£ eine
&^nli*e (Sönßructton au^gefäl)rt/ tpie auf BE unb in ber
anbern i^albfugel wieberum eine dbnli*e/ n)ie in biefer $alb#
iugel, fo entfie|}t in ber grifern Jtugel etn^olipeber^ n>el*ei
ani (auter ^^ramiben Don ber ob«n bemerften SIrt iufammen«
gefefet i%
3 tt) e ( t e r a: 1^ e t !•
tiefer jtoette S;^ei( mu^ bereifen, ta$ ba^ jut^or bef*r(€#
bene ^ol^ebejr bte £)berflä*e ber fleinern ^ugel ni*t beräi)rf»
' SUian )iet)e von A bai^ Soti) AZ auf bie Sbene JBOR unb iit
f^^* . biefer Cbene bie geraben Sinien ZJ, ZB, ZO unb ZR, auf
t^^* »el*en AZ ebenfaKd fenfr«*t (let)t. (XI, 3, CrflO Da nnit
AB = AJ, unb in ben re*tminfe!igcn IDretctfen AZB unb
AZJ baö Ouabr. AB = Öuabr. AZ + Quabr. ZB (I, 47. ®.)
IS''' ""unb Quabr* AJ = Duabr. AZ + Ouabr. ZJ, fo muß auc^
xni^ ZB = ZJ fe9n. Slicf fl(ei*e 3(rt ipirb bemiefen^ baß auä)
*
206
ZO = ZB, iitib 2r = ZJ fei. Dabfr muf ein ani Z »tt 2B
ttSdixithtntt SxtU bnrcb bie mcr ^oncrc J , B , Ö iinb R Qt\itn,
loebitrcb JBOR eine merfeidgc Jtgor üi bicfm Areifc iß»
ÜZaii ifi aber
BJ =r JR = BO, aber
BJ > vy , ba^er auc^
BJ > RO. Dai^ft tfl ber aßtiirer BZJ ein fhtnipfet
U|tb bat Duobr. üon JB greift aM i Quabrat oon BC«
öl, 1-L©v)
9Zua fdde man Dott J 4iitf DB bai Cot^ Ja iittb ]ie(e DJ.
Z)a nnn BD < 2 Da unb BD : DA := Steche. an€ DB nnb
BA : atecbt and Da nnb aB (II, i. e«) = Clnabr. BJ :
£luabr. Ja (Vi, 8- @o fo tfl ait4
Duabr. BJ < 2 Duabr. Ja. di toax aber
Duabr. BJ > 3 Dnabr. BZ , foIg(t4 tfl
n Quabr. BZ < 2 Ouabr« Ja , ober anc^
Duabr. BZ < Duabr. Ja.
Z)a nun AB = AJ unb and^
Duabr. AB = Quabr. AZ + Ctuabn BZ (I, 47- ®0
ferner Duabr. AJ = Duabr. Aa + Duabr. Ja, fo tfl auc^
Duabr. AZ + Duabr; BZ rt: Quabr« Aa -f- O, Ja.
<Ei koar aber Q.BZ < Quabr. Ja, ba^er tfl auc^
Quabr. AZ > Dnabr. Aa nnb folgftc^
AZ > Aa. ülfo noc^ Dtelme^r
AZ > AG*
@ t n a n b e r e r 93 e n) e t «4.
IDag AZ > AG fann auc^ fo bemiefen werben. a)2att
erridjte auf AG in G bad ?ot^ GK tinb Jiel)e AR. IRun
ti)etle man ben Sogen B£ burc^ fortgefe^te ipalbirungen bii
einmal ein@tticf/ etn?a BJ, übrig bleibt, n)e(Gbed fletncr tfl/ ali
•fin Sogen, beffen Seltne öK »4re (X, 1. ©.) gorglic^ to&tt
AUG^ bie Se^ne BJ < GK.
(Si i(l aber, nad) bem juoor Sen^iefenen, ber^tnfel BZJ
ein Rumpf er, folgli* BZ Heiner, afö BJ. Darier tfl BZ att(%
{(einer ali GK, ober Ouabr. BZ < Ouabn GK« ^
\
<8W
5Da aber AB,= AKj, «qb ,, .
,Quabf. Ab = Quabr. AZ +,Ct. Bi.il^ #?*^Ofettier
:£liiobr. AZ .;(- Guabr.BZ czr.pttabr. Ajjr +,Quabt. GK,
. ®? Wl^i^h?^^^^^^^^ £luobr^^,, fsf^lic^ i(i . <
Duabr. AZ > Ct. AG, unb t^a^er AZ >iA6
' ' '^^^^^ Sttf a^ :
. *3S|cnn tt| tintanUu '4htge( B titi ^^oI^iKltev frefd^^^b^tt
v^\xir wld^tfi bem ift bie jtugel A befAriebennt . ^otycbev
&^ljci).tfi; fo ile^en btefe bleiben oielecfigea Xixptt utrbrttfac^
l^6^ern Sper^dUniffe beff X)urc^me{[e4r tt)rer ^HS^li9^
. Stellt nian bi'efe t)ielecf igen /£6rper in ^let^i^iele i^^ramif
ben 'b9n etnerUi 3Irti fp finb biefe ^^ramibeit tinanhtx il>i|(iift>
itnbßei}etiba^erim br^ac^ ^6^ern!Bcr^dlmj(fe tl)ret^emob)geit
©etten (XII, a» @.J) >.• ft* ,^ie .^^tamjbe m betrüge! A,
bereit ®runbfidd)e pai ßjivctft IBOa unb berittt @ct}eite[ tn A
iß/ ^^^f {u ^er t^r ^omt)(o9en ^^ramibe in ber Augel B im
bretfad) ^it)ern Ser^dlttiiffe ber ^(bmeifef ^ . pber ber Surct)#
iiieffer^^beiber ^gefm S?un i(t aber etne^iHratiibe ber ^geC
A )u bfr t^r l)oinoIogen .^ij^raitiibe ber ^ii^e^IB mfaUt ^ta^
miben ber ^ugel A ju^ aU«n 4)pi|fo(oBeit ^f^ramiben ber ^ugtl
B, b. ^ miebad 8aii}e_9)oIi|^ber: in ber Augel A. jn b^m ganjor
^cl^eber^in ber jtugel B. I)a^er (tnb biefe jDUlecftgrn •Ji^£r))«r
felbfl im breifac^ ^d^em Ser^dttniffe ber JDtirc^effer i^rer
ÄJtgeln. < ..
l 'i I
(
t> f j 18. @ a fe«
jtitgeln flegelt im breifac^ ^6i)tnt SetrH^tniff^
{^rcJflgDfirc^meff^r.
W feien (^ig* Mü.) ABC ttnb DEP jwef Ängefn^ fo
ffnb f!e im breifacl^^i4)ernMBer^tDf(fe t^l»/ IDurc^meffer BC
iittb EF. /
* "
\
2{0
•t I
t)fitte i(t ^roijortion . ' . . :
(ftC : EF)» = Jfiij. ABC : ÄÄfl. DEF nidjt ©tatt; fb fei
' (BC':E1?)s=^Äiig. ABC^:X, unb ^« rnft^re
ttt Stitptt X^etrfweber fltJßfr, ofccfnclmrV«Ä**i)ii< SlÄgel
fißP-le^h.'^''-'^ '*•"* •'•■ ■ •• ' '^^ .'".;.::.- .
L C« fei (BC : EF)s =. jtug, ABC : X, fo, baß X <
Ättg. DEF feü '' ^ " "
y-' üftalt' ittfljfttte e^tte Äugef GW «ä-X cfeittenttif* imt ber
ftusti DEF, 'befcferelbe in hit iffngel DEF Wir qJor^etJtr^
»dttiei^ biv Gberfl&dK ber Augel GflJ nfAt eeriit}rt^ uitb itt'bi^
Äugel ABC ein bem vorigen it)n<i(fted ^of^eber ; fo ifl
(BC : EF)iJ =r ^jol^eb. ABC : ^ol^fb; DEF (XII, i7.'3uf.)
dttoat obet(BC : EF)s == «uß. ABC : «uß.GHJ, fofgti*- ift
: *^cl9eb. ABOr^oI^eb. DEF == Jtug^ABC : Äirg. GHJ.
Offenbat i(l aber $üh)e^* Aßt '< jhrjj; ABC '
bäl)er äw* ^ol9eb; DEF < Äug. GHi, »efc^e«
offenbar tmä '11?** : - /'
Sd i(l bat)erv'anm6g(i(^, baf
. (BC :EFj» = Äug. ABC :X , »entt X < Äug* DEF*.
Slu^ eben «btefen @r&riben ifi e^ auc^ unm6g({cbV baf
ÖEFiBÖ)» =s Äug. DEF:Z, benn Z < Äug. AbG ifj.
. II. €* jfi nun (BC : EF> ir «ttg. ABC :X /unb
X > Äug. -DBF.
SRuit |*f 1X^' Äug- KLM,"fo ifl auc^ -
(EF : BC)3 = Äug. RLM : Äug. ABC. Wun fei
Äug* KLM : Äug. ABC = Äug. DEF : z, fo, baß,
»eil Äug.; KLM > Äug. DEF auc^
ÄUg. ABC > Z iji/^oIgHdj ift
(EF : BC)3 -= Äug. DEF : Z, Jbelc^e«
aber, »eit 2 < Äug« ABC ift, nac^ bem erfleit
goBe iiic^e fe^ tmtt. '
ftttbie betf )vi^(fUtt Sud^e^.
- I
i
I
gcometrif^en i@ü(^erii
»er
a l e m t n tt i t $ d u t l % t> t i.
14
.x
- . •')
it
K:
4 '
I i « . ' . , i .H|^' f j J i) , I '.' »"*.'.» i '
:' t
ö s J :• ! :ö
c-
i
r , • » > '
• • • «
\
^ tt m t t f u n < n
: .I»«-
. •
I. B^r 1. Crfl&rung. O6wo^( man fidf Un 8€eimr#
trifc^eit ^nnct o^ne altt Zii^ilt benfcn mu^ /fo iß biefe
<Srffdruitg body nt(^t t)oKfommen 6f frtebtgenb , ba tii'^t aOc^;
100^' ferne Ztitilt fjat, aud) ein geomerrifAer ^uitct tft.
^efgenbe ^arfleflttttg bArfte ben Siegrtff be^ ^uncM unb bie
Abrigen (Sttmentar # Segriffe bet ®eooietrie am $a$(i(^(leii
mtmrfcln:
a> Cet (Seometrie ftegt ber Segriff t)om ütaumc gtmt
®nttibe, n>e(ci)er bantm itid^t eigentlid) erfidrt werben fann^
weil er ftiä^ift einfad) ift. SIuc^ bebarf bie Sbr|leKung \)^m
Vtatxmt feinet Q^rffdrung, »eil ffe 3cbem^ bur4 aDmdl)Iige
<lfittft)icfelnng feiner geifligen S(n(agen/ mit grdßter jtlarl)eit
gegeben toixt. 9Btr erfenneh in Um a( (gemeinen ober
linenblid)en Ütanme eine Sludbe^nung^ loelc^e flc^
nac^ aOen. Siidjtungen t^in ini Unenb(id)e erflretft; fo, baf
^biefelbe in ffc^ ipeber tin ^ri^tt^ noc^ ein Xleinftet bar«
bietet tlu^ fc^retben wir biefem allgemeinen tRaume eine
breifad^e ^au|)trici}rung{U/ loefc^e burc^ bie befannten SBorte:
Cdng^e, Sreite unb Xiefe bejeid^net oirbi
h) Senf t man ffc^ nun trgenb einen X^eil biefet enblofeit
9lanme6 in bejlimmte ®ren}en ringt um^er eingefdiloffett/ fo
: fdOt bie SorfleOung feiner Unenb(i(i)feit ^inn>eg unb ti enrile^
ein aSenDdrtii befc^rdnfter A6rperraum> »eld^er dn geome^
trifd^er ober mat^ematijfc^er A6rper genennt wirb , unb
wobei et ganj einerlei t(t/ n>a< fdr eine (Seflolt berfelbe t^at.
c) Iba wir uniieinen p^9fifd}en Stitptt, b. ^. einen
fob^en / welcher auf unfere dufferc ^fnnt einwirft/ DorfteÜeit
214
»■
rjitttett/ o^nei^n (rgettbtoo imtRavimt aitjtine^metf, fo Unntn
toix and^ iahnxtb jur Srfenntntß tti geomefrtfd^en Stitvtt€ ge#
langeti, baß totr bei einem y^ipfifc^eit fidrper t)on aDen (St'seti^
fc^aften, We itt «iieVejp^ ;fiineii,^j;»^{p|»^ 4>drte
lt. bgL abfira^treti itnb nur ben (egrenjten yianm (eeradjtett/
iDorin ftd) berfelbe beftnbet Xietfn jener Staunt/ in h)eld}en ber
|)^9{ir<^e <KJr^er^/a*' ®* *t> Au8<^ ^('^><^ (EVfetiArih^, entf^alten
ifl/ gibt und bad Silb bed geometrifc^en ^ixjßtx^ unb ^ier.
^. S. ber geometrif(4en 5£ugeL
d) £a n^n jeber , geontetrifij^er Stivptt xm^i untrer
begrenjt iß^ fo entfielt bie g^tage^ Don welcher iSefcbofenbeit
btefe ©renjf a feien* SBiiren fite felbß wieber, geometrifc^e
^6rper b« ^^MUen auib bicife (Srenjen eine bretfa^^ait)>t#'
pdjtnuQ, fb .würbe man wieber nad) ben Srenjen biefer fjrpetf
(id^en .®ren{en fragen f 6nnen , weh^e wicberum A^rper feyn
mäfiten. $(uf fofc^e Iffieife würbe nun ber geometrifcfae Adrper
'^egren^t unb iUQltiäj aud) nld}l begrenjt fe^n^ wad wiber#
fprec^en^ ift^^^^an nennt biefe ^renjen ber geometrifc^en Xixptt
' geometrjfc^e $ liefen, unb erfennt \)itvau^, baß eine folc^e
%liiii uur }wet \i^auptri(f)tungett^ nac^ ber S^nge unb SBrette
nimlidt., >abcrbur<4aud feine britte nadi ber S^iefe ober Tbidt
i^aUn f6nne» .Sfue geometrifc^e ^lic^e ifl bal)er jener
Staunt , tooxaiß man nur eine fiduge unb iSreite / übtx burc^au^
feine IDicfe erfennt
e) Xfa nun auc^ bie $(&cben wieber begrenzt ffnb, fo
fann man (tc^/ auf iftnUc^e 9lrt mje juoor äberjeugen/ ba(l
biefe (Srenjen ntc^t wieberum ^(dc^en feyn fditneu/ weil fonfi
bie g(id)e begrenzt unb jugleic^ auct) nic^t begren}t wdre (H
mäjfen ba^er bie ®ren{en ber %lliditn eine Sludbe^nung
ipeniger t)abtn, ali bie ^lid^m felbiiunb flc^ ba^er nur'tiac^
ber Cdnge ^in erßrecfeu/ o^ne irgenb eine ^Breite )u t^abtn*
fipe geometri.fd)e iinit ifl ba^er jener fRmm, tooxan mM
nur eine S&nge/ aber, weber breite ttod) IDufe erfennt
f) allein (luc^ biefe Sinien ^aben wieber i^re ®renjeit
unb ti ifl f(ar/ baß biefe nic^t jfelbfl wieber Sinien fepn f 6nnen,
ba fonfl bie Sinie begrengt unb {ttgleic^ auc^ ni4lt begrett|l
Wlr^.i Sarium tif einif nur tini SIiiAf Urning na^ %er 9Af%t
tstfiU .(P.Wii8:i^Y^t ®J>OPn^^ burc^oitö ferne Üuebtl^tiuti^ «c^r
{ufonimem Siefe ©i^enje bet Sinie t|i ttp iti^rntttiidi^
9ant,t,.mi^^Tt fomtt tp^ber Singe / mt^ SBreiU;: itoc^ ^icfe
: g) 3)|efe (S(ententar6eftirjffe Der ®eometrtf laffm frc^ nttti#
w^Jf ff?' IttfdmmenlleDeii* : :. . ri; ^ • ;
/ii^inf nfid) toet j^aiiptn4ltttiigien^ att^gebe^te/mtgi it«f)Cir
^ ^^egreojte Sinumgriße ^ei^ ein gcometcifc^er^jrper;
f (i|t .f ff{(9 ^n^^ i^amptric^tiiiigcn ^dgebe^nte/. ebeofalU tegreftjte
9S(i|itngr6$e t^l eijte geometrifc^e ^(dc^e; eiste nac^ etstr
Ki^tiing (t<^. .erflreifenb'e Staitmgröfe ifl :bie gcDmetrtfc^t
Ciiite, itnb bie ©renje ber einfdc^jteh 3iudbe^ung4m9laume>
bte fei^A itic^t m\)t räumlich fep fann^ ift ber gebmetrifdif ,
h) i^terau^ folgt, b^ß; bie Sinie nid^t an^ ^uncten, btc
%H^4iß, ni^t w^ iinim nub; ber ^irper nid^t ani §(&c4en
|^e{lel|frt' f^Hite , t>. I)«. bAß iteNti einanber gefegte ^uncte feine
iimß,, nejE^etieiiiaiibergieltgte iSinieti feine ^lidjt unb attf#
einanber geUgte ^Idd^n feilten ^6r))er btibem Slflein e« tft
Uditj b^jg mau in ber Sinie, in ber ^Idcbe unb in bem Stit^tt -
fibcratt ^uncte/ ald bie (Brenje/t ber einfad^en 3üii^be^nung>
annebinen. (aum
, i) Obwohl nun ber geometrifclje ^untt fein tiumlid^er
®i?gei9f)apb.ifl/ fo )»^egt man flcb jur SBerflnnlid^ung beffelbeit
eilt IXtW^t b^ci^ii feinet Jt6r)}etoben, einen f6rperlici)en^nnct#
Dor}uf}eUen> toelc^er irgenbiDO im Staume eine beflimmte &te8e
bejei^et. V'^^}' ^'>^9^ ^W btefed ^irperc^en nac^. irgtnb einet
Stici^liing im Slanme fonlfc^reiien unb betracbtrt . wi biefer
' SBemegung ^K^xi. a(d bi^ Stifi^tiing nac^ ber ^nge , fo t^St
indn. .nun /. eine Sinie entfiele aud ber Bewegung
ein eg.i^^.nct^. Sind) benft manfld) bieftd biämeilen fo,
bi90r )(Peü;;i)i/Kber^ime tifd^ . belieben / »o man nur tDiO^
9>iiiHtc. 5;c|ipmiiien werben fj^nnen unb einer biefer ^nncte
Dottftttimcij^ wiebef^anbere i^; ti einer biefer ^uncte fet>
' bttr<^ befrn ; SSemegang bie Sinie felbfl entflanben ifl« IDa
/
Mtfftn ber ^tf tief ' nfc^t {m Stoitm« »pt^äifNtt 6^ l(f«)l^te
t&vmlMun ^gesflanb iß; fo 9c6(ic^t t^ iU\tt Siorßelhtn^ri
att geringer ©rrritgf» .
SBenn f|(4 tine gtomefrifc^e {{tifi «ac^ irgiHb erner ©dteibp
ricbtuitg fortbewegt, fo erjeitgt ffefy t)ifrbujrd) eine %\i^ti mil
)»r Stid^ttutg igi hie finge noif) linc iwette, in hit IBrettü ^tn«
)üf6mmt. 9iuf dl)nltd)e $(rt entfielt burcb SetvegUng einer'
gtemtnfcNn .gt&Ae nat^ ber bvitr€n^^pt^^ b* ^.
|tac^ ber lltvfe / ein gi^otnetrtfci^tr fi6rif)er« » : *
i'e 1^) 9{ät(^ btefe» ^entn^icf (uifg:wirb bte erfli^ 9rtl^ltetfg be0
(Ettcitbed utib mit t^r aitc^ bie jiDeitlt beittlic^ fci^tf ^ : £)6#,
.IDQ^I cd bem fpflematifc^ett ®ange ber geomeirifc^eti 9Qif{«tt#.
f($aft ju entfprec^en fc^eittt,- mit bem einfachem )u beglAttett
itnb ta& Sufammettgeff $tere b^raitf jtt bauen, jio fann büc^ ^ier
bie SSorfieUung be^ ^uncted nidft an bte ®pi$e geflellt m^tUf
ttm bie übrigen (Srfldrnngen batfduf ju gt&nben. * v
IL 3uf 3. Srfidritngw X^a iebe Stnte, fbelc^e begrehjt
i(i/ foioo^I einen' 9(nfang/ ali and^ ein (^nbe f^at, fo n)irb bet.
eine ^unct i^r $tnfangö))nnct unb ber anberie i^r'<Snb#
^un<t genennt, unb ed iß tlat, ba^ einer berfefben mit bm
tnbertt oertaufc^t n>erben fann, ba bei Siaumgr^en ftberatt
fotpol)( Sinfang ali Snbe in ibnen fiatt jjinbet. ^
III. 3tt^f 4. Srf drung.' DiefeSrfldrung^ltHenftiM feine
t^oDfommen befriebigetibe, ba bie eigenll{d)e 3tciturbe^ ©eraben;
in ber Sinie ouö ifyr nidit gel^6rtg ernannt mtrb. ^nbeffen ifat
nid^t bloß bie (Suclibifdje Srfldriiug biefr^ ©ebred^en, fonbern
jebe anbere, n>e(c^e man an \t)u (SteKe fegen woüu. SBinn
baffer (Einige fagefi/ eine gerabe Sinie ifi jene, n^e(^' fi(^
immet nuriiictci) einer @egenb ^in erflrecft; ober b^l^nige
»erc^e itoii^tü jtoei (Snbpüncten bie fAqefle iß; ob<i^.^)ene,
bereu S!^ei(e ber ganjen di)n(ic^ finb; ober biejenige; toeMe;
menn fie ßc^^üm< il)re feßbleibeuben (Subpuncte-nDfeum^eine
SUce bre^et, immer in bemfelbige« IRaüme bUifrt;- ober. eine
foicfte, meiere bte (Sigenfdjaft tfatf ba^ H^ire ganjie Qdugc (menn
man fte fenfrec^t gegen ba« Singe mr) bUrc^ beit Srnfatfgd^
unb «nbpunct bebecft m^rbew fann, .u» l viyJ{o ^ittmt man
1
/
, ' ' ' ■ '
^wti%tni t>orau6feecn/ tortJ'^efgetttlid^trfJdtt »erben föB
^tltlb fo^if fHüe logtfc^ t^^afommene (SrHftningett ffnb. SBa4
6t< ehilt Knie (fo toitautb bn ^&*en iiitb Äitpent ) ©erdbe
0ber ^rnntm fei,. le^rt uit^ bie nnmtttelbare Httfcbauuitg mft
f«fabier ' JHar^eit / bgg jebe #rf rdrung bat)Oit äber^fftg ißi
^ent^ngrad^tet bteneit ^ie objetibemerftett fognidntiteit (SrffA«
tunjen^^r gcifabeii Um ittit gut ald ©ffÄuteruÄfi^H *ctfel6em
V I!L 3iir 5. ti- 6. «Tfiftt. 3MV(gnfmtrf€lifl% be«'8e&rtj^
*er UfÄ*e <(l Äu« bem C^fgen (I, c) feemtötfai«, fo'wW
Äwcfr-ber Sn^alt ber 6. @T?l4niitg, itffc^e^ fo'Wte bit 3. @rffd^
twiig, wcntgerieineeigentric^e^tffdriing/iftfö diteSSe^auptung:
t^>' tiwtt !fijÄ^rt)eit au« Ijem größeren ^ertiorgflfh ' - - •
IV. 3«t 7. SrfUr* ä>iefe @tH4ruttg ber Sbette ijl
fbenfafi« feine öonfommenbefriebfgenbe; SRtt ntet)r JJa^Hcbfeie
fagt man, eine @bene fei jene ^fldcbe, in »efdjcr eine gerabc
Unit na^ je ber Wi^tnitg ginj unb gar {fineitifaHcn fann^
ober e1ne-fold?e, ijt wtldjtt öoü jebem ^uncte ?fae^ jebem
fJiittcte in i^r eine gerab« Jtttie rnigKid) ijl*
'€i«e iru^me ^(dd)e ifl bt^er jene, in »efcfter nic^t
Mn jebem ^uncte }u jebem ^uncte.^in gerabe ifinien burc^aud
in ffe ijineinfötten.
dim einfad^ gefrftmmte ^dcfee ^e{0t jene, in welcher
gerab« ifinien na4r mehreren 3lid)tungcn, aber riidrt'na* aBen,
»tiglidj ffnb; j. tB.bic frummc O-berftdc^e ttncr SBäijc (eiTie«
«^Hnbtr«) ©ber eine« Äegefö u- f. f- @ine giddjt ijl aber
allfeitig gefr&mml:/ »enn e6 unmtglic^ ijt, baß eine
gerabe ?inie auc^ «ur nat^ einei SKicbtung gan^ in ffe l)inein#
fÄUi; j. 8: bie £)6e*rfl[dc^e einer Äugel ober eined fngel*
Ä^»Ii*en JJ6t}>er«/
V. Btfr 8/ «rftdr. a) IDiefe (Srfrdrung be« SBinfefö,
<tl^<9tetgung'-Jh>eitr geraben Ciwen gegen einanbet, l)at ben
^l^irad^gebrattci) gegen ffd)-, ttac^ n>eic^em man eine biefer
Sinien nur bann ali geneigt gegen bie anbm anfpric^r,
«•»ehif -pe mit iljr^einen fpi^en Sinfel birbet* mc^t aber bei
• »ön wehren 'uiib' jiumjjfen aBinfel. Um biefe '©djmierigfeit jü
>
•^
I
«18
Mnneibexv fc^eist ti it^tt ,- bett ejbf itftt 8cr(M8»t0f|i Sßinfcf
liac^ feiner if tirfle^nng^ba^Hfc^ ju frf%cit, .b^ft^qiatt
fagt: ber tbtm ^üinhl ift jener, ti^IciKr eifißc^;^ (v^f^t Jt^ef
gerabe Linien mit if^nn (fnbjmitcten fi> 2ufatnmfingeß«S(rmfTbrii^
baß (ie nic^t rtne etn}ige gcrabe Stnie büben«^ jDiefe {iniey
j^tfTcn bte. eibenfel unb i^r ' S3ereint8un8q)unct ig . ber
... li) Ca. bie Sin fcbauung j^terbei mit Qt6$tvc Xiaxf^it bte
Oeffnnn« br^.9BinfeI^ t>on feiner Puffern (S(f e nnterfc^eibet,
{p ergibt frei) 2itg(ei(i9 ber Unrerfc^ieb iu^ifc^en^.b^or ^o^Iey
' itnb erM^cnen 'äßinfeL $luc^ tmrb ba^ ®tiittß unb
ICfetnerfe^n be4 SBinfel^ an^ feiner grißern ober
Keinem ptffnung am gaffiAßen erfannt .unb m^ -ubeff
{engt (id^ fogleicb/ ha^ hie ®ti$c tinti äBinfetönic^t wn ber
itfdnge feiner ©d^enfel ab^dngig ift^
yi. 3u^9. Srfldr. fi}a^ nun ber firitmmitnige nnb
^eDiifd)t(in(ge ä&infel iß', unb ii>tet>(eler(ei ^rteit . bei
If^teren (na(^ ^erfc^ieben^eit ber ^ol>Un ober erhabenen
Jträmmttitg bed einen @c^enfetö gegen ben anbern) .e4 gebe,
ge^r lei(bt t^ittau^ ^erüor ttnb- fann bnrc^. ^cic^nüngeit
erldntert tperben. . /
VII. 3ur 10. (Srf(&r« a) Sei biefer Srf [drang ber
fenfrec^Un Scnie unb >ed rediten äQinfeU i^ ed ixotd^
tn&ßig, bett: Uuterfd^ieb {mifd^en &ad)erf(drungei^ unb
SBorterfldrung.en ju enftoicfeln, toelc^er für bcn toiffen«
fi^aftltd^en SBertragber ©eometrie \>on fo großer SQSid^Hgfeie ift.
b) @ a c^erfld tun g en ffnb KUf, n>elc^e bie (fntße^ung
be^ iVL erfldrenben ©rgenflanbed mit fo(d)er $(art)eit unb lieber«^
Beugung nacf)n>eifcn / M^ ber SSer^anb üqHfoinmetr befriebiget
toirb, unb baß eä fomit feinet befonberen Semeifed über biefe
(Sntftc()ttng bebarf. 93on biefer 9lrt ffnb bte bii^^erigen iStH&0
ifunQen ber geometrifd)en ©runbbegriffe gemefen« älud^ ift bie
(Srfidrung betf gerablintgen 9Binfe(& eine folc^e, ia, feine (Sttt^
jiefymtg oon fefbil einfeueret ' . : ; ; .
c] ^orter{(drungen ^ei(fen aber i^nf /.;b]ri toefc^eu.
j)(c .(^tUße()Kitg Ui iu erfldrenben ©egenflanbeönic^li^n futr
frKjl fjc^o» einftifc^^tenb ift/ fonberp erfl dixi AUtmatnUn
©rAnbctt' ittufcgemtefen tverben muf* . I^icfe Sr(fAru^et|
beßimm^it n)o^I mit grc^er ^"lartjett ben Segriff/ tvelc^ett maii
mit einem gewDiflfett . üöortc »erbinbct ; ob «6« Jjie @dc^eifej|bfl
ipirtlid) mjglic^ ift unb bie S(rt/ n>ie/fte entfielen fdnn^ laffett
ffe unentfc^ifbem SSpn biefer üfrt tfl bie ^ier, burcb (Suclib€;4
gegebene SrHdrung brr fenfred^ttn-Sinit unb be^ refi^te^
SQinfeU« (Sd entfi^^t ndmlici^ bie $rage: SJ^'e fontt eine
gerabe ifinie auf eine anbete gerabe {b aufgeteilt tt>rrben , baS
ber üQinfel auf ber etttrn ®utt fo grp^ iil, a(ö ber 3Binfe(
auf ber anbfrn?~6o lange biefc^ nicbt buvd^ eine ü^^erjeugcnbe
ffonflruction nac()gett)iefen iß/ bleibt e^ unenifcbieben / ob bii
feufrecbte {inie ober ber redete Sinfel tt>irflic^ gebilbet toerbett
fann ober nic^t. 2Qie biefe SOSorterfldroing jur bcfriebigcRben
©atbcrfldrung werbe, ^t Suclibed im lU ®a^e be^ L
Suc^cö gejeigt ^ . '
d) ^icrau^ folgt/ ia^ cd jmar fein mfentlicber fehlet
gegen ^bie n)ijyenfci)aftlict}e ÜRctt)obe ifl/ berg(et(t}en 3Dortern&«
rungen, ju SInfange eined ^nd^^^f in ber !Reit>e ber ®ad9#
frfUrungen^ aufjufleden ; baß e^ aber burd^aud nott)U)enbtg (et/
aOe SQorterf (drungen , et)e fie in bcn ^ülf^fd^en jur Segrän«
tung an)>erer t)orfommen/ burd) flrenge S3en)eife in @ad?erflA#
tungen ju Derwanbeln* Ueberl)aupt muß iebe, nid^t burc^ ffc(f
felbfi einleuc^tenbe S8e^au))tung / tvefc^e ben fC^eil einer @rH&#
rung bilbet/ t)oI(fommcn befriebigenb ermiefeu n)ei^be.n/ IDenit
man fld^ nid)td an Strenge ber £)arjlenung »ergeben tt)iK/ n>o#
turc^ bie @eometrie einen it)rer fd)6ufien S3or}äge t^erlore.
VIIL 3ur 11. u. m. Srfldr.^ ©obalb bie Cntjlef)ttng
^€i red}ten' 38infetö nad^gemiefen iß/ (inb biefe (Srfidrungeit
^ed dumpfen unb fpt^en 2Binfe(d flrenge @ad^erf(drungett
ba ti fe^r.einfac^ ifl, aud tem Scheitel beö rechten SQtnteK
eine gerabe Sinie gu gießen / xotldiz enin?eber au fferl}a 16
pber inner l)alb biefcd 2BinfeW fdBt*
3lü(b bemerfe man,^ baß gmei gerabe Linien fd)tef auf
tinanber flehen , »enn ffe (inen flumpff t) ober fpit^en JßmfeC
mit einanbtr bilbem
220
grmer, ba0 ^titntDintti jme jori Sßuifcl gmamr
irfttm , totfc^e rtam Gc^mfcl ge metii ^abcn onb term }ion
anbcre @d^enfr( in eine grrabe {tnie faDnr. ^Dttfr ^l&nrag
1^, wie nati Uid^t fiel^r, eine Sac^erflArnng«
IX. 3ttr 13. tf rf l&r. £a ber Segriff in <Sten|e m
ler 9ftmttrit nur in Sejtfg anf X^rper, glichen nnb Linien
yerf^dnnt, fü ijl berfelfre bereite eSen (I, d - g.) andfS^rltdif
entn>i(fe(r n>orfcen nnb bte ^ier gegebene Srffftrnng tti dutliß
be^.fann leicht ffitmad^ berichtiget »erben.
X. 3nr 14. <Srflir« (StgentHc^ fann eine ^ignr nnr
eine ®renie ^aben; nimlic^ bie tinie, yotld^t biefelbe ein^
fdrüe^et; t€ mag biefennneinejufammen^&ngenbefnininietcnie^
obet eine Serbinbnng t^on 9BinfeSinien / ober von geraben nnb
fnimmen Linien )ug(eic^ feipn.
^igur ift hatjtv eine oon einer jufammen^&figenben 9inie
nmgrän{re %liijt. @ie fann in einer (Ebene ober andi in einet
trummen %i&fiit gebilbet »erben nnb tt)eild gerabelinig/
f^eif^ frummlinig, tl^ali gentifd^tlinig fepn. Son ben
etfien fprid)t <Snc(ibeö weiter unten (Grfl&r. 70^3%).
XI. 3ur 15. (Stflit. £ie SrHirnng/ »ercbe Hutlu
be« ^ier t>on ber jtrei^finie gibt, iU eine bloße äBorterfli«
ning, ta fit niiit itiQt, wie biefelbe entflel^en fann. £iefe
Cn!ßft)ung ifl in^e(fen fe^r feicbt baburc^ nad^juwrifen , ba^
man fid) in einer $bene irgenb eitte begrenjte gerabe Sinte
benft nnb nun annimmt, ffe bret)e ftd) in biefcr iSbene um i^ren
einen feflbleibenben (Enbpunct einmal ganj unb gar t)emm , bii
fit in itflt erfle Sage^ {uri'tcf f e^rt. i^ierburd^ wirb ber bewegte
Snbpunct biefe jtrei^linie befd^reiben. SBoIIte man ^ter ben
(Einwurf mad^en, anl^ Bewegung etned ^uncted f6nnte feine
Sinie entfielen/ fo fann man inm Zbtil auf ba^jentge t)er#
weifen, wad oben (T, i.) hierüber bemerft iß, ti^eifd fann
man fid) ))orjie(Ien, bie in ber Sbene um^erbewegte Ctnte
befd)reibe eine ebene ^igur(I, L ) beren (Srenje eine Sinie
feyn muß (I, e.) welche ^ier pon bem fejlflefyenben ^jincte
äberad gleid^e (Entfernung ijau
/ *
821
Ilnic )i)p,^I 9on einander iinterfc^eitett i^itf • r Unter beifi, ^I{gc^
«einen SBdrte ifreid tt)irb balb jefie^ balbbiefe k)erfiAnb^i&
XILSur 16. (Srndr«. @o n){e bie^r nniftoegr/blet^e^if
f>nnct ber getaben^inie^ n)el(^ benÄr^)$ erzeuget,. b^v
9Bilte(.^itnct ^eif[ty|.fo i^trb i^r onbem.Sfibpanct ber.^6^
f(*rfib.enbe ^unci ßencnn^ . 25kff fiiitie felbjl beigt, .üi
93eius aMf bte burc^ fte emße^enbe iKrtiöfidc^e , bie befc^r^ri»
XIII. 3iir 17. 5.tn4t* a) gebe getttbe, wm SKi^elf
yuncte x^xx Umfang eineft fireifei gejogene Sinte ^etft ein
^albmeffer obet Kabiud bed A'^jf^^* ^^ ttu>t <^ ^^>i<
nAmlic^en Areife aQe ^albmeffer ctnot^rr gleu^ flnb^ fo mAffftii
cö.qud) atte ^Durc^meffer in bemf^Ibei|. fepm .^ ...^
^ . 9ncb ffnb folgenbe ®&$e hieran« flar; SBrnn au^ bes}
!iRitteIpuncte bed greife« eine s;rAbe Sinie gejogen xo\x\f ImI(^<
fleiner aldber iE)aLbmeffer lieffelben ifl/ fo liegt (te gani innerf
^albVbft Aret^fldc^e mib i^r Snbpnnct trjfft^bie^erij^^r^
inic^t 3ft aber biefe, t)em 9Ritier))uncte audgr^enbe gerc^c
iinie gr6$er alf ber i^albmeffer / fo ittuß ein 2;f)et( Don i^r
aujfer^alb be« Äreifed liegen«
V ^V ^^^' ^"" ^^ i^)5^T ; (SrHdrntt^ noc^ Ö^f^gt voirb , ,baf
ier 'l)iird)mejfer ben ^reiö ^albirt, fo iß biefe^ eigentlid» fit^
S^f t)()up(i<ng./ toetcl^^ bemtefen M^rb^n tnug* : ?^f^f^f SeweiS
jofrb jbe^^cilb^^^^^ W^gcfÄ^rt, »eil^er.o^nemeitere Jöfilf^fdjjf
ber ®eoinitrie gegeben «(erben fanm ,,
' ' $er IDntcfimeffer t^eift bte Jtrei^'flAfj^e nttb bie jtteijlinijt
In {n^et t^oOf ommen Abereinßimmenbe %)^t\\t^
/. flf« fei (gifl- 223* ) AMBN ber |[egebene Ärei« nnb AB
ettt ^nfcbnieffer in K^xXf fo foK betmefqtip^erben/ ta|i beiCL
%\fi\X ÄMB bem ^^eile ANB t)oUfoinmen..ä^ei:einfltmit;enU t^t
93 e tt> e i 0* . .. ,
Cenft ntan ftc^ ba< eine ^\iä Ui Sxki^h^t f et^a
AMB um ben unbemeglic^en IDnrc^mejfer AB auf bie entgegen«
gefegte ^eite gelegt/ fo muß baffelbe einmal gau) in bie ^^vxt
(älta, worm ft(6 audl iai iVStitt &id ANB befcnbtf. 6oltte
linti ttt 9oitn AMfi ttn Segen ANB iitt^e bccftn , fo mb^ML
^nntlr von AMB' iric^r ttt überrtniHimitetite ymicte oen ANfif
fäSm«; Sa itnn' otrr^adr ^ncttin AMB Mm SIKtffIpitBCte
C fo töfU entfcmt fmb/ a(d alle 9>iincte in ANB, fo mn^^ jeber
^nnctin-AMB anf tintü jngel^ingen f>niicr m ANB foKeh t.ifi
htt 0an|e Sogen AMB nntf in ben ganjen Sogen ANB falelt;
gofgltcft liegt bet Zfi'tit ber Jtrei6fli4e AMB bergeßalt in beut
2:i^ei(e ANB, bai 6eibe ringö nm^er aOe (Shrenjen gemefit
l^abeit nnb nnt eine ein {ige gigur^bitben. Sa^er ifl bie
jhrei^fldc^e nnb bie ÄreJÄinie uott benf iDnrdimejfer ^albirti* *
XIV. 3nr 19. €rfldr. SWan nttint jebe gerdbe ?inic
im Äreife; wef<^ bief^rip^erie beffeibcn beiberfeiit^ ttiffi^;
o^ne burc^ beffen ^itUtpmxt in ^tifm, eine @e^ne cbeif
Hij'vthi bf* Äretfeii- Jgirfer'and t^ f tar , baß fcbe ©e^ne jmei
iiif0iittt in iifitm Jtrtifr bttbet/ »mh ber eine ber gr6ß ere^
bet^anbere ber fieinete ^bfc^nrtt genennt wirb. (Sef^t bie
i^l^ne bnrc^ ben !92tttet})unct, fo fjti$t {le Surc^meffer un6
jebfr it)rer jn^ei gleichen äbfdjnttte ifl nun ein i^albfreid« '
• XV. 3ttr 20. — 23. €rf lArl a) ©offen bie ^ier j^egebeneii
(Srfldrnngen nic^t bloße aQorterr(irpc|en fepn, fo muß bie
Cntfie^itng biefer Sigureit im StDgeniretnen nac^gewiefeir t9erben|
ibai feld^t gefc^tbett fotirf.'
SdJenit man in iebem ber befben ©c^enfel tinti ebenett ge«»
robltnigen '^inttli einen n)iDf&^r{ic^en ^uhct nimmt nni^btit^
« burc^ eine gerabe Unit »erbinbet, fd ^ntfie^t eine bireifeft ige
gigur ober ein £reiec!/ »oran mdn hxti ©eiten/ brei Spi^infel
imb Vie eirigefd^^e'ne grdc^c erfertnt/ • * ^ ' ;'; ^.
• b) Stimmt man einen mÜt&lfxUdfevt ^nttct inneri^fiifb bä^
Ü^eift^te« jCretetfd «Üb jie^t »ort irgenb' jtpei /feiner '^c^eii^
ülpüncu ^»ei'gVrcfbe ?'irtifen nac^ if^m', fo entfielt , tm ß i er/
fViHffe'ttS«''f'**eif'it'ti Sierecf, tt>er*e6 antSi babur* gj*
biibet werben fann , baf man bie \toti ©c^enfet eine^ SOinfeM
W bie briftr^reJerföf^ite »erld'ngert, jwifdjen biejen »^^^
fiitgerungen einen bctiebigen ^unct nimmt nnb üÜ6 jl^m'nac|
iiürä' enbpnncte biefer '^^ritten &uU eine gerabe Um jie^V:
«2S '
iiVm^Mdt hetiad^timm^iint trictSMübt/ 'leine t^ter
SBinW uitb fenie gttt^ev ^^ '/^
' 9Bie' ihin auf d^trftd^ Krr geroibrüttge ^ il n f t tf e, ® e 4 ^
etfev'Slet^ftecfe unb ' tt^l^aiipt geraMtntge SSfeletfe etrti^
(le^erf><|l »onfelbfl HÄr - ^: *- - • • « • '^^
'^ 2^5) etfft «««Itcbe Ue&Mtg f|ter6eHf} e«; YH« (üeff | ff r V&
!(RehgKbef'tn Miffen SM^cfM^lnJ^ Siage^^t^n'jliPflWe^^
'lt)eict)cr^i^ttomtf;': üM ti^my-mt auf alTeik it^vmjQBinf t<t
!)»fiWem^ gejö^^i^^lb^rlyeK; d^Vti bie ^aM tnf-^iitbJi^i^VtettKt^t^ett^
iew gbreiedfe iu- beptmmeii «V» (♦ Ib. aWoit fef)e |ie4ffi»nr melire
^eomeftffc^ $tofl^aunngi$l^t)re. ^rine>3(u{td^>/vi893. r,i
^ XWL Qnx 24./ 25. u. 26..(grflAt. 2)iefe ©rHAnmi
)»oiif gTetc^feittgen Z)rete€fe ifl ^ter etue 'SBovterfldrung^
ba fte btt tbirftidje (SonßrmtiDit be{fd6fn> i>omiidfe$t, t9e(d^
C^cLftfe'g fogUict^ im.l; ®ii6ebr^'t' SSuftjed'uat^weifit..
Z)f^^. etttllel^Hifs' b^"^rHc^f49e)tfeUgen 2)rtietf^ fattil
« %\it fc^mt-bffrtebtgenb «itid?gett>iefttin)erbeu. QRdu^bübe etnm
fbeiffit;^ef^inig%fi; Sffifiiref / }tet)nie ttt «beffiu eimm ®dKt>f«(
einen yblBfft^Iic^en Ruftet/ befc^reibe aud benv ©d^cttel mit
btefeni^ 'iSt&dPe be^ ®cf^enfe(f eilten -^reid / hxsk^' ben anbent
®cf)rnfel fä^neibet unb t^eibinbe bte beiben ^ncte in ben
^6(benfe(n burc^ eine gerabe Sinie, fo ^at ba4 i^ierburdif
entflatibene 2)reie(f 2tt)ei ^Mdiz &tiun nt^ ift fomit etil
gleid^fc^enfeligef. Siefe brim @eire/ u^etc^e bte gleich
Gc^enfel miteinanber Derbinbet, ^et^t bte ©rnntHnte unb
Ut i^)^ gegeitAber (fegen(;e ©d;e4te( bie .&|)t^|'^: be^ ^(eic^^
fS^etn^tig^n IDretecf«/ V' : ' ;
' rsjilf (S^tfte^itttg etned tOtle^ecfd auö btti^ unter ftc^ nn^
£Tet€^M'^ie«n>f^ttn ibenfalM trtfl in be« etgenilic^en &em
inetrte befttebtgenb nad)gen>tefen tonhm. - }.
' X^II.'äur 27* 3«/it. a0*^«rtldf. ;1Diefe ©rHArungeit
fTnb fd&mtli<i^ aBoYterffAntn^in/ ba bte (Sonflvuctton btefe^
' iDreietfe t^tMwn ber atlbun^te« redeten SStnfieK unb, tfyeild^
i^on bem Se^eife äb^ffgr , ' ta^ in iebem Xireietfe nnr eist
tt^t^t tSünM ober nur ein (lttm))fer Sßinfel feyn fann^
wa^ erft in Vit ^olge gezeigt wirb»
/ r
tD'erben muß«. Sor aKem gehört ^i^riu ^ir'%^£e..j[>o^%.^^}|
JtcloB.raii»4X;^ jftrgr^iibet kDer^eQ^i ugo^runtei^ mgoeiiii.tMe^ffitigf^^
•giguu »^ßx(>4/i »mqrw te j«^t f iriaribf r ^gf «il6c|c«<flrnbc;r@f üf »
;fo ci«c^ bie ffc^ gegf «JibcrHea^^*'^'^: 2011?^^/ je*«Wbör glc.*^ fe^rt
muffci!. ,fliic^.mugbie.®^oQi?tw.|>mfif«n,' baß H nur ))tiev
i*f oiibcr c atHfii. »>^ii ?)araBf It^öi?a»iOT» g^bf it f aniFf j
KIX> 3ttr/3Äi €rflAr-v %tt?il)»lt* ftPegt mafi, «nfr
^ Wefed aiil:S8ecfet> twwrW SIrteii Jöpu SCra^j^iCiit; {^ jriiter#
fc^cibot^tjn^ijic^^bie ^aralldtraipeje unb bie!igi|ip4^|if
liefen %tvi)fit%%; Unfer jeiten t^er^et^t.moit fol<^e 3Bi>cf(fCy
in wricben^wri ffd). gc gcnitbcrjhbenbe ,@eUcn inii einal^ber pa«^
tJoHüxlf bie btibcti anbern aber ^jg »t^t {inb. Sei bufett aber
ifi feine Seite; mit ber i^r ♦dtflegen Kjfgenbeihsitei^laMfrnb^
i^ieraii*: geil)»^ l^»or/ bag; bie ^ar^eU|ja»>eje cbenMf nur
burc^ ipjJIfeV: ber ^trattefenleö^te C(m(lruirt tperben {fitnen»
a){e anbete 9irt. t)Qn Sc^tpeien noerben auc^ btömeilen S^rapti
joibe« gettenrit* ^ ' . :: . ;
» :;^X. 3uc $5« 6xl(ir. ®9D ibiefe SrH&ruug ber
^araUe Hinten fAr bie geometrifc^e SBiffenfd^aft . braui^bar
fr^n^ fo m}x% bie mitUic^e @nt|ie^ung foI(^er Sinien ftber|mgenb
itad)gett)iefen »eYben. iDa^er ifi (ir ^iet ebenfaS^ nwt eine
SBorterfldrung. - - ; -
, äöenn Rubere jwel gerobf/. ttt. einerlei Cbenftfegenbe
{{tuen balm paraSel nennen^ loenn |Ie in aOen i^rdn ^uuctett
immer ben n&m(ic^n 9(bflanb t)au:eüjtMber^äi^n>: fo ift biffe
(SrfJ&rttng:itbenfall& t)(m ber.sirt^:.b.<r$ bie iSi(IÜ€t)iine bei^ ^
^tfraUeleHr in.b it ^m ^inn^ ^ift: nacbgemiefjr^ :ti>l^ben» inuß.
SS^n ber^ in ber ©eometrie fo * ft^r : fker&d^Hgtf 9 . ^jir^Q^N^^
le^re »virb tDeiler unten ^Xxo^i au^fä^rlic^eV get^anbelt metben*
22S
XXL 3«^ Jorber. l- % ii. 3* t)fffe ^ortentttgert fitt# ^
x^alten eigentlich einige ©nttib ^3(uf gaben jur JSeometrie/
beren 'äujiifungen {)6cf)fi: einf^d) jTnb «nb »cber einer befonbern
9Qeifung/ noc^ eined Semeifed bebürfem Bit ergeben ftc^ ay^
bem, toai Oben (I, L u. f.) bemerft werben i|t.
X)ie erjle ^orberung noirb erfuUt, n)enn man ftif) 'DorfleKr^
ber eine ^unct bewege (tc^ in unver&nberter Stic^tung nac^ bem
anbern ^in*
Der jweiten »trb entfprbc^ett, »enn ber ^nnct, »efdiet
bie gegebene gerabe ?inie erjeugt iiat, ficb, mit Seibetjartung
feiner Stic^tung, aber jeben @nbpunct biefer (inie tjimnii^
bewegt.
Die b ritte gorberung btru^t auf bem, toai oben (XL)
Aber bie (Sntfir^ung be^ jtreifed bemerft werben ifl.
XXIL 3u ®runbfa| i— 7. Orunbfdee ffnb fefdie 55e^
{(auptungen^ welche, il^rer &niad}t)eit wjegeit, feincd S5cweifc6
bebArfen» S^re $Ba^rl)eit (euci^tet 3ebem t)en felbft ein«
föbalb er nur i^ren ^inn »erlieft* ©ie flnb Don t)ielfac^e|f
Sfnwenbung tn'ben geometrifc^en Seweifem Die erflen Rieben
@runbf&^e beö duclibeö bejie^en ffd) nid^t bieg auf Dtaumi'
gr6pen, fenbern gelten k)on ®rj5ßen uberl)aut)t. @ie (ajfen
ffc^ in folgenbett aKgemeinen arit^ttietifc^en formen barfledem
U ©ruttbfafi* SDBenn A = B unb
A = C i(l ^
fo ifl auc^ B = G.
Dtefer ®runbfa$ wirb ridjtiger fo auögebrädftt SOentt
jebe t)on itoci ®ti$tn ber ndmlic^en britten (Sxi^z gleich ifl^
fo ffnb auf^ jene {wei ®r6ßen einanber unter flc^ flleid^»
' 2. ©runbfa^. SQßenn A =: B unb
C = D ift,
fc I > *
fo ijl au* A + C = B + D.
3Qdre no* £ s F» fo mu^tt oud^ A 4^ G *f £ &3 S
+ D + F fetjtt, u* f. w*
3. ®rttnbfa$4 SBSenn A 2t::t fi unb
C '= D , f
iU aud^ A - G = B'-- D.
18
226
4. ®ruitbfa^ $d fei A = B, aitx
C > D, fo i(l
attC^ A + C> ß + D ♦
g« fe{ A = B unb
, C<D, fofft
and) A + C < B + D.
5» Ortttibfafi* di fei a = B unb
q>D,fot|l
audi A — C < B — D
@« fei A = B ttttb
C < D, fo iU
and) A — C > B — D.
JßJÄre A > B unb
and) B > C, fo mftfte
and) A > C fetjn*
SBBdre A < B unb
B<C,fottifigtc
and) A < C feijtt*
" aaeitt ani A >'B unb
B < C, fotgt »eber
A > C noe^i and)
A < C, tt>ie fofflenbe Darllettung Uf)tt
1.
2*
A| 1
A ^ ., 1
Br 1
B ~ 1
C 1 1
C 1
$icr i(l A > B
^ 1
i^ier in and) A > B
B < C^ unb
unb B"< C ,
A > C
aber A < C
6. ©ruubfaß* aUenn A = B, fo i(l
and) a A = a B
7.®xuni\ali. 98enn .
A = B,foi(l
aud^ Va-A = »/j B
22^
ferner nterfe man lloc^ .
aOBentt A zu B, fo tjl m'c^t nur
aA = 2B , fonbern auc^
3A :±= 3B unb aUgemeiii
nA =: nB«
JDber »enn A =z B, fo ijl njic^t aUeiti
1/2 A^= % B, fonbern aud)
1/3 A =r 1/3 B unb aUflemcitt
♦ •
* •
11"
- A = -B.
n n
^ XXIII. 3 um 8. ©rnnbfae* . Diefer ©rnnbfag, »clever
lebtgd'^ t>cn 9{aumgr6|en gift/ t|l fe^r n>ici)tt9 }ur et)ibenten
2)ar(}enung ber ©eotnetrie nnb bebarf {)ter etntger (Sttdtt#
ternngen;
a) 3m SlDgemetnen fagt man, ba^ fic^ {met 9{aumgr60en
becfen ober euianber congruent ftnb, n)enn (!e bergeflaU
f Annen tn ein/tnber ge&raciijt n)erben/ bag fte nur eine
ein{tge im fRaumt bUben^ unb ed tfl flar^ ba$ betbe bann
burc^aud nic^e met)r t)on etnanber f 6nnen unterf4iteben werben/
fonbern ))öOtg einerlei ffnb«
b) 3Benn (gig. 224.) bie gerabe ?inie AB bergeflalt in
bte gerabe Sinie CO gelegt n)erb«n fann, baß ber ^uikt A in
ben ^finct G , bie AB Idngd ber CD unb nun auc^ ber ^unct
B in ben ^unct D fdUt, fo fagt matif beibe Siniett becfen
etnanber unb bilben nur ein« einjige gerabe CD«
' c) Sa n&miic^ biefe geometrifd^en Linien nur Hn^t, unb
toeber Sreite nocb X)icfe tjabtn, fo beftnbeh ftd) beibe Sterin
einem unb bemfelben Siaume unb f Annen ba{)er nidift ali {me{
Sinten erfannt uoerben«
SOenn ba^er bie gerabe iinit GH fo in bte gerabe i^inie
EF gebradjt toirb, baß ber^unct G in E, bie ?inie GH Idnge
ber Sinie £F liegt unb ber ^unct H nunmehr nidyt in ben. (Snhi»
punü F, fonbern in J fdKt; fo tpirb GH nur einen Zijtil t)on
15 ♦
228
EF y n&mlid^ bett Zfjtil EJ becPr n unb ti mn^ GH fleiner aM
EF, ober EF grißer aW GH fe^n.
d) ^teratid fcnb nun fofgenbe ®d$e Hat :
1. 9Bf nn gerabe iinitn einanber becfeU/ fo finb (fe auc^
. einanber gleich;
% SGSenn gerabe hinten einanber g(eic^ ftnb, fo ffnnen fte
fo in einanber gelegt toerben/ baß fie ffc^ becfen.
3* SBenn gerabe Linien einen Snbpunct gemein ^aben,
nnb tim nur einen Zijtil ber anbern becft^ fo ftnb fte
ttng(eid^; jene, welche nur einen Xijtil ber anbern
becft/ ijl txt Heinere/ nnb jene, t^on n>e((^er nur ein
Xi)cil gebecft u>irb , Ut größere*
4« äBenn gerabe Linien einanber nngreic^ flnb / fo f dnnen
ffe'bergejlalt in einanber gelegt tottUn, baß eine einen
S;^eil ber anbern becff*
e) IDa man ffc^ g^ifc^en jmei 6eflimmten ^uncten im
Staunte nur eine eiingtge gerabe Sinie benfen fann,
toie btefed an^ ber unmittelbaren Slnfc^auung be^ ©eraben
^er))orge^t/ fo mAjfen alle gerabe SinieU/ n>elc^e i^re @nbpuncte
miteinanber gemein ^aben, aud) einanber becfen ^ folglich unter
fidf gleich fe^n. 9luf biefem ©runbfa^e ber reinen @eometrie
beruht ber )9ractifc^e ©ebraud) bed SirfeU/ um eine (etn)a
mit SSleiflift auf bem Rapiere gezogene ^ al^ ©innbilb ber
geometrifc^en bienenbe) Sinie fo groß ald eine anbere }u
machen/ ober t)o^ einer großem einen Zi)dl abiufc^neiben n.
f. n>« X)enn itoi^dim ben {wei ®pi^en ber @irf elfäße fann nur
eine gerabe Sinie gebac^t toerben. ^
f) Sluc^ barf biefe^, aud bem Eecfen geraber ?inien ^eröor^
ge^enbe Sneinanberf allen nic^t, toie ed getodt)nfic^ ju
gefc^ef)en pH^Qtf ein 9lufe in an ber fallen berjfelben benennt
werben. Dddjte man ffct) j. S. jwei gleic^lange, gleic^geftaltete^
»ierfantige (St&bd^en ))on ipol), fo f6nnte tooifl baö eine/ nad)
feiner ganjen Sänge, auf bad anbere gelegt tt)erben. Slber
ein gdnilic^ed Sneinanberfalten ifl ^ier unmöglich/ ba
iebe«/ ali ))^9nfc^er Stixpzx, hai Einbringen Ui anbern iit
, i ' 229
feinen Staunt t^er^tnbnr. IDtefed ^inittni^ tjat iti Qtemt^
trifd^en, Mo^ gebuchten iinitn nidjt Qtatt , ialjttUiU, ali
in bem ndmlic^en Staunte enthalten/ angenommen u>erben
fönnen*
g) tiefer SSegriif be4 DecFend mn9 auc^ auf bte ebenen
gerablinigen SQtnfel angenoenbet werben* (ii feien i%iQ. 225.)
ABC mtb D£F itoti gegebene aStnfeL Watt benfe fTc^ ben
©cfeenfel BC fo in ben ©djenfel EF gelegt, baß ber ^unct B
in E unb BC Idng« EF, aud? bte (Sbene bee äßinffW CBA in
bie ebene beö OBinfeW FED fdat, fo »irbbcr ©(ftenfel BA
enttveber Idng« beö @c^etifeM ED, ober unterhalb ED, etwa in
EG,, ober oberl)aIb ED, ttxoa in EH faßem 3m erften goße
werben bte Stnfel ABC unb D£F etnanber becfeU/ hur einen
. einjtgen bilbeh unb fomit auci> etnanber gleid^ fc^n. ^hiitozittn
gattc wirb ber ÜQinfel CEF nur mtn Sf)eir be« aßinfel« DEF
becfen unb ti mni ber äBinfel CEF, unb fo(gttc^ auc^ ber iijm
gf ei*e äBinfel ABC , Heiner afö ber 2BinfeI DEF fepm Sm
britten $aKe wdre, auf d^nlic^e 9(rt/ ber SBtnfel HEF unb
folglich au* ber SBinfel ABC größer ali ber SQginfel DEF.
ipterau^ folgt: i) SQenn SOSinfel etnanber becfen, fo ftnb
{te einanber gUid);
2) ÜBenn ÜBinfel einanber gfeic^ finb , fo f 6nn^n jTe fo
ineinanber g«(egt werben, baß ffe flc^ becfen;
3) asiefc^ Decfen ber 2Bmfel fann obne- tai Decfen t^rer
@c^enfel @tatt flnben, weil bie ®r6ße etneö SQinfeK
ntdjt t)on ber Sdnge feiner ©djenfel abl)dngt.
t) ?Iuf d^nlic^e Slrt pnbet biefe^ Decfen bei gigurcnStatt*
JEBenn (gig. 226.) jeber ber beiben Äreife ^MDN unb EPGQ
mit bem ndmiicfecn ^albmejfer CA = FE befc^rieben ijl, fo
(6nnen beibe fo in einanber gelegt werben, baß ffe ffd) becfen«
Denn mr\n man ffc^ Un SRittelpunct C in ben SWittelpunct F
unb bie dUm be^ erflen ^retfe^ in jene bed {weiten faUenb
»erließt, fo muffen aße ^uncte ber ^erip^erie be^ erfien in
entft)red)enbe ^uncte ber ^erip^erie bed jweiten fallen, weil
jeber bfefer ^uncte t)om 9Rttte(puncte F ben ndmlic^en Sibilant
l^at. Xa^er liegen beibc Äreife fo ineinanbct, ta^ ffe nnt
230
emett efnjfgett bilben b* ff. fie becfen fic^. (Si gelten hierbei
auc^ bte tidmltc^en ©ritnbfd^e: Figuren ^ noe((^e (tc^ becfen /
finb eütanberg(eic^an ®eßalt mtb an ®rdße^ unb toenn ^jguren
©rdße unb ®e|laU gemetnfc^aftltc^ ^aben, fof innen f!e fo in
etnanber gelegt n^erben, baß (le ffc^ berfen, nnb fomit nur
eine einzige bilben.
i) 3(uc^ Zirpet becfen etnanber / u>enn fle bergeilaft in
etnanber f Annen geßellt »werben/ baß beibe nur einen etnitgen
bilben. ^enn man ftc^ ben X)nr(^me{fet.AD (J^ig. 336.) ali
unbemegltc^ ben^t unb nun annimmt, ber i^albfrei« AMD bre^e
fid) um eufelbcn einmal ganj unb gar i)erum/ fo befc^reibt
bcrfelbe ben f6rper(tc^en Staum einer Augef. Scr balbe Umß
fang AMD befc^retbt ndmlic^ eine aUfeittg gefrftmmfe %lid9^f
xooxin jeber ^unct t>om SRitte/puncte G gleiche (Entfernung Ifat*
Wan nennt ffe bte ^ugelf^Idc^e unb tt>ad fte einfd^Iießet iji
ber förperltd^e Staunt ber £uge(. SQBenn ffc^ nun ber ipaibfreii
£PG, n)e(d)er bem ^albfreife AMD congruent ifl/ auf gleiche
SIrt um feinen ^urc^mejfer £G ganj unb gar ^erumbre^et/ fo
befc^retbt er ebenfaUö eine Auge! unb, n^enn betbe A'ugeln mit
i^ren 9Rttte()Utncten in etttanber gebracht werbeh, fo ifl flar,
baß fte genau in bem Mmlid^en SRaume. enthalten ffnb b« ^. ba^
fte fic^ etnanber becfen.
ipieraud fofgt/ baß ^irper welche ficb Udttn, fowo^I
an ®(6ße/ M an ®efia(t nbl^retnflimmen ; fo noie auc^ um«
gefebrt folc^e ^dtper, meldte einerlei ®eflalt unb ®r6ße l)aben/
fo 4n einanber gelegt werben f önnen / baß ffe ftd) becfen.
Son ber bloßen @leirf)l)eit, fo roie'Don ber 2le^n#
lid^feit ber 9iaum^r6ßen mxt> miM unten bad 9i6tt)ige
bemerft n)erben.
sXXlV. 3um 9. ®runbfa^. Der allgemeine ober arit^
ntetifc^e Slu^brucf btefed ®runbfaged ifl folgenber :
Uöenn A = B + C + D + E + F, foiflA>B;
A > C; A'> Dj A > Ej A > f.
^oij fann man beifügen: t>a^ ®an)e ifl grißer.aK einige
feiner SCI^eile |ufammengenommen. Sind bem £)bigen ifl
A > B + C + D + E}
231
^ I
A t> B + C + D;
A > B + E + F u. f. W.
iDittf^ bit Slnfc^attung fantt biefer ©runbfa^ e(ettfaD<
errdtttert »erben» Da (gig. 2a40 EJ + JF = EF , fo fantt
^ter bte Unit £F ali bai ©anje unb £J , JF f innen aii be(fen
SC^eire angefe^en werben* ßd i(l alfo EF > EJ unb EF > JF.
(Sbtn fo befielt ber SBinfel HEF c^tg« ü^S.^aui benbret
SBinfelnHED, DEG nnbGEFnnb ed ift SBinW HEF >
S^iitfel HED, ober anc^ SQinfel HEF > SOinfel HEG n« f. n>*
^ XXV. Snm 10. ®rnnbfa$« SBenn man unter bent
rechten Sinfel jenen ^ttHeijt, toelc^er feinem TZebenwtnfef^Ietc^
iß (VII.) fp fann btefer @runbfa6 a(d 2el)rfag bewtefen u>erbem
SDBenn (^ig. 227.) FG auf MN Ictfyx^d^t Htt^t, fo ijl jeber
ber {wei SBinfel FGM unb FGN ein redeten (Sben fo ifl^ wenn
ber SSinfel AGB bem SQinfel ACD ^(eid) i|i, jebert)on betben
ein rechter (Sud. lo. Srndr.) unb e& tfl ju setgeu/ baf auc^
hit Sinfel FGM unb AGD etnanber g(ei(^ ffnb.
9Ran lege bie gerabe MN fo in BD, ba^ ber ^nnct G in C
f&Ut unb ba^ GF auf ber ndmlic^en ©eitedouBD liegt, aufweichet
fic^ aud^ CA beftnbet* SBenn nun bie Sinie GF in CA f&Ot,
fo ftnb bte aBinfel FGN unb ACD einanber gleich« $ie(e aber
bie GF mtb CE, fo mähten auc^ bie SQinfel ECD unb ECB
einanber gleich fe^U/ nac^ ber Slnna^me« (Si w&re alfo
3C ECD = 3C ECB, aKeitt
ba jc ECD < X. ACp , fo wdre
and) 3C ECB < x. ACD. ®d i(l ober
jC ACD = ^ ACB, folgli*
m&itt 3C ECB < j: ACB fe^tt;
weld^eS wiberfprec^enb ift, totil
3C ECB > 3C ACB
feijn muff.
a^ ift äbrigend ffar, ba{l bei biefem Seweife bie Son#
ftruction Ui rechten SQinfeK ^orau^gefe$t wirb , welche erfl
burc^ bte ®d(e ber ®eometrie begrünbet werben fann.-
XXVI. 3um 11« ©runbfa^* 2)iefe« tfl ba^, in ber
®efd^tc^te ber ©eometrie fo fe^r ber&d^ttgte eilfte SIriom
232
• tci (inclibtir ©ein ©init i(l fofgenber. SBBertn (^ig. 22aO
auf ber Sinie AB in ben Betben wiütiii)xUditn ^uncten C tmb
D bie fenfreeftten Jinien CE unb DF emcbtet finb, fo i(l fowo^I
ber ffiinfel ECD aW an* ber gBiftfel FDC ein redjter. ÜJlan
nennt j!e bie 6eiben tnnern SQtnfel; lüeld^e ^tet/ ba jeber
ein rechter if}/ {ufammen genommen twei reä)te SBtnfel
betragen* SBtrb nun bte gerabe ^inte CG fo gejpgen, ba9
,ber ffiinfel GCD Heiner aU ptt üBinfel ECD i(l, fo betrage«
nun bie beiben innern Sinfel GCD unb FDC jufammen genonu
m^n kpentger ald ixoci xtditt, unb ber ii. @runbfa$ 6ei)auptet^
baß bie Linien CG unb DF, tt)enn ffe Über G unb F ^inlAngIt(^
yerliingert tt>erbe.n^ einmal jufammentrefen mii^m,
. hieran« ifl nun Har:
a) ^aß biefer ®runbfa$ bie Sonjiruction be^ redeten
SBinfel^ Dorau^fe^t^ noeil ber fpige SQinfel nur burc^ bett
^c^ten ge6i(bet werben fann^ ba er Heiner a(^ biefer ifl. S^e
alfo bie <Sntflet)ung bed rechten SSinfel^ nacbgewiefen ift, tanti
bie ip9pot^eftd biefeg ®runbfa$e^, baß bie jwei innern SBtnfel
jufammen Heiner a(^ }tt)ei redete f!nb, nici}t einmal ald geome^
trifcb begriinbet angefe^en tt)erbem
b) @e^te man aber aud^ biefe Sebtngniß ali i^or^anbett
iwm \)etäu^f fo iflbie Sel)auptungbed tittmal notl)tt>enbig
erfo(genben Durc^fc^nitt^ ber i)er(&ngerten>$tniett
nic^t fo f infeuc^tenb^ ia^ ffe ot)ne aKen ^ttotxi aU toalix ange#
nommen n)erben bärfte* Daf^erifl biefer @uc(ibifd}e ®a^
fein eigentlid)ed Slriom, fonbern tin Se^rfag, ber cined
S5ett)eifed bebarf.
c) SBcBte man &tüai jur 2lnnaf|me biefer Se^auptung
aW ©runbfag bemerfen, unb feine (gtelle t^orbereigent«
liefen geometrifdjen SOBiffenfc^aft rec^itfertigen ; fo
fönnte ^ofgenbed angefÄl)rt werben.
SDBenn CE (Q^ig, 31^8.) unb DP jwei Sot^e auf AB ffnb^
fo lehrt bie unmittelbare äinfdjauung, baß biefelbe
Weber eine SWeigung gegen einanber, nod^ eine foId)e wn tin^
anber ^aben unb fomit atö jwet gerabe hinten ju 6etrad)ten
fiub^ weldbe unter ffcfe feine S^leigung beff^jciu Sßirb nun
1853
I
2iDif(f)en CE unb DF dui C eine wim&fixUiit Unit CG (ober
aud D eine A^n(ic^ Kegenbe) gejogen/ fo lel^rt iDteber bie
»nfc^auung/ bag biefe CG^ine Steigung gegen DP
l^abe, t)ernt6ge tt)elc^er ffe, &6rr G Derldngert, bet DF unb
iijnx SSerldngentng / immtx nA^err liefen unb biefelbe ein^ ^
mal erreichen n>irb* '
d) ^hie dnclibti (ober, tote Einige glauben, ein
Slnberet/ tptld^tv btefen @a$ unter beffen ®runbf&$e auf#
genommen ^at) biefe ober eine d^nlicbe Sriduterung ^ienVber
gegeben, fo wdre er meUeic^t nm fo weniger anfidßig gemefen,
a\i in ben Elementen t)or ber eigentlid^en ^araile(en(e^tfe
ftreng nad)gett)iefen toitb, toit man Soti)e tttidfUn foO/ unb
baf jwei Sinien CE unb DF, wenn 3C ECD + jc FDC = 2 R
Cwo B. einen rechten 3Binfe[ bebeutet) ifl, wenn ffe auc^ noc^
fo weit über £ unb F t)erldngert werben, ffc^ niemaM burc^^t
fc^neiben f6nnem 9Rel)rere^ ba^on wirb weiter unten wt^
lommem
XXVII. 3«m 12* Orunbfa^. Dtefer ®runbfa§ fle^t
mit bem oben (XXIII, e.) S3emerften in ber engfien SBerbinbung*
' £)enn wenn 2Wifct)en jwei gegebene^ ^uncten nur eine ge#
rabe Sinie miglie^ tfi, fo f innen auc^ jwei gerabe Sinien feinen
Staum etnfcblie^en» 93eibe ®d^e flit$m an^ ber unmittel^
, baren SInfcbauung ber geraben Linien unb bebArfen feiner
befonberen 95eweife, beren ffe ouc^ nic^t fdbig ffnb.
XXVIII. 3um 1- ©a^e. a) I)iefe aufgäbe i|l mit atter
(Strenge bargeßeUft, wenn man bie 9! ott^wentxtgf eit beä
jDurd?fci)nitt^punctö beiber greife erfennt, welche @uclibeä
ttic^t ndcbgewrefen l^at«
2)al)er bemerfe man ^ofgenbe«. SBenn AB (^{g. M9.)
bie gegebene Sinie ifl, fo t)cr{dngcre man fte wiDfiii)rIid) aber •.
A nadj F unb über B nacb G, befcbreibe au^ A mit AB ben
^(bfreiö BCD unb dnk B mit BA ben ^albfrei« BCE , fo i(l
BD ein T)urcbme|(fer be^ Äreifed ym A unb AE ein 5Durc^mejfer ^
bed Äreifei um fB.
12a nun AE > AB i|l, fo Hegt ber ^unct E aufferbafb
be.« Äreifeö um A (XIIL). «Kein A liegt innerhalb biefe«
I
)
254
^rrife^; bal)cr ntu§ He frumme Unit ACE, tDeld^ einen
^iinct tnnett)aI6 bed ^reifed um A mit etilem ^uncte aitffer^
f^alb beffelben t)erbmbet/ ben ^ret^ um A not^n>eitbtg fc^ttetbeir«
^en fo f atin auc^ geteigt werben / ba$ , n)ei( B inner^atft
Ui £retfed um B unb D au^cttjalb biefed greife« liegt , auc^
bie frumme Sinie BCD ben ^reid um B fc^neiben mu^/
b) 2)a nun tbtn biefe ßonßruction auc^ auf ber anberen
'Seite ber ^inie FG au^gefä^rt merben fanu/ fo gibt eö aud^
bier noc^ einen )n)eiten Durc^fc^nitt^punct H unb folglich
auc^ ein jn^eited gleic^feitiged Dr^iecf AHB.
X)a^ ffc^ bie beiben ^albfreife DGB unb .ACE nur in
eiaem ^uncte C unb bie }u:>et J^albf reife DHB unb AHE
nur in einem ^uncteH burd^fc^neiben tinmn, mxb tt>eiter
unten bett)iefen«
XXIX. 3um X @a^e. &) (&i mägte fd^einen^ ati fet
biefe Slufgabe be$^a(b entbef^rlid) ^ weil man nur l^urd) A eine
miUtöbrlicbe gerabe Siitie AE jieben unb an^ A mit AL = BC
einen ^reid befc^reiben bftrfe/ weicher biefe AE in L fd^neibet
SlUein (Suclibeö tcoÜU tbtn {eigen, toit man burd^ eine
flreng geometrifd^e 6on|lruction jene Sinie flnben
iann, mld^t einer in berfelbigen Sbene gegebenen geraben
Sinie gfeid) iß« SIKerbingd fann ntan f!^ benfen ^ ba^ auf
einer unbefiimmten geraben Sinie ein @tücf genommen werbe;
n>e(c^ed einer gegebenen beilimmten Unit g(ei^ ijl« SiSein
^ierburc^ ifl bie wirtliche (Sonßruction biefer Sinie noc^ riic^t
befriebigenb.nac^gewiefen* 2)a^ man bie gegebene Unit nidjt
■
mit bem 6irfe( auf bie ttoiUtäijtUdi gezogene tragen bärfe,
))er|}et)t f[d) oon fe(b(l/ ba biefeö practifd^e 3nilrument (obmoi)!
e^ auf t^eoretifc^em ©runbe beruht) nic^t in bie t^eoretifc^e
©eometrie gel)6rt.
b) SSnan bemerfe, baß ber gegebene ^unct A, in Sejug
auf bie ebenfalls gegebene gerabe Sinie BC, eine breifac^ t>tX0
fc^iebene Sage ^aben fann, inbem er ffc^ e'ntweber in ber
8inie bC felbfl, ober in i^rer Serldngerung über B ober C,
ober enblid) (wie bei (Suclibed) aufferl)arb ber BC be#
finbet« 9lufI6fung unb 93ewei0 ffnb \id) immer A^nlid^ unb
25S
ti ifl imecfmd^tg , bte Abrtgen ia^^n burcfi S^i^WttQtn ju tr#
Idutcrn.
^onte ber $ege6epr ^unct in B ober in C felSf! Hegen ^
fo bitrfre nur au^ B mit BG ober auS G mit GB ein jtreid
bejc^rteben unb (rgenb tin \l^a(6me{fer in bemfelben 9e{ogen
tDerben*
c) SBenn bie {u ftnbenbe Sinie a, 3, 4 . * * nmal großer
aK bie ) gegebene »Serben foK/ fo Deridngere man D£ unbe#
ßimmt, befc^reibe aud L mit LA einen Stxtii, xotldna ffe
fcbneibet ^ie^e biefer Durc^fc^nittöpunct M^ fo xo&tt AM
s=: a BG. > S3ef(^riebe man. nun atxi M mif ML einen neuen
Durcbf^nittÄpjunct N , fo »dre AN = 3 BG u. f. t».
XXX. 3 um 3. @a^e. Da bie i^p^otljeft^ biefe« ®a^e<
in ber Sfnna^me }n)eier ungleichen geraben Sinien beße^t,
fo fann man fragen / n>te »erben jmei ungleiche geiabe liinien
condruirt, ober looburd^ toti9 nran, ba^ t)on jmei gegebenen
gerab^n Stnien bie eine großer a\^ bie anbere ifl? — : X)ie
S3eantn>ortung liegt ali golge in bem % @a$e. Denn toenn
man eine gerabe Sinie 6i(ben tanh , tpeldje einer anbern gleich
ifl/ fo barf bie unt nur t)er(dngert n>erbcn/ um eine britte
2tt erhalten , toelc^e großer aH bie erfle ,ifl.
XXXL 3 um 4. ©a$e. a) Diefer ?ef|rfa^ fann and\ fo
audgefproc()en tt)erben: jmei ©eiten unb ber t)on i()nen
cingefcbloffene 2BinfeI beflimmen bie 92atur eineö
Dreiecfd b. i). menn biefe brei @t&x(e eine bejlimmte ®r6$e
^aben, fo ifl alic^ bie britte @eite be^ Dreiecf^z ieber> feiner
2tt>ei anbern SBinfel unb fein ^(dc^enraum beflimmt
b) äBenn man ^ier bie ^rage fleUt: mie fann ein SQinfel
SAG gebtibet kDerben^ noeld^er bem gegebenen SBinfel £DF
^gleic^ ifl? fo ^at }n>gr (SucHbeö biefe Slufgabe t)ier hoc^
nidjt aufgelcfet unb infofern ifl bie $9^otl)eft^ biefed Se{)r#
fa^eö nod) nic^t fireng geometrifc^ begritnbet Da man in^
beffen fef)r mo^l tic QR^öglid^feit erfeniit/ baß ein SBinfel
einem gegebenen gfeic^ fei^n fann/ fo fann biefelbe i}ter fc^n
iwraudgefe^t werben*
^36
%&t S^ne aber, totldit btefed beiioe4 fit cinm fletitni
geiler gegen bte tDtffenfc^aftltc^e SRer^obe Ratten, l^eifm »tr
fofgenbe Segr&tibung biefer i^9)>otbeftd mit
c) C« fei (gig* 1I30O AGB trgenb ein 9BmfeL 9R(w
ne^e attf feinem Sd^enfel CA bie »tOtö^rfic^en ^^nncte D
»nb F, mac^e C£ = CD nnb CG = CF, nnb gie^e bie
Serftinbnng^Iinien DG mtb EF, fo entfielen jiDet Dreiecfe
CDG unb CEF , wtU^t fwti @eiten nebfi ben oon i^nen ein#
gefd^Iolfenen 9Bin{f{, etnjeln genommen,, mit etnanber gemein
t)abtü nnb fomit ber Sebrngnif beö ?ei)rfa$e^ entfpred^em
d) Ueber^aupt ifl eö swecrm&^ig, bei jebem Se^tfage nnb
bei ieber Aufgabe bie ip9pot^efid Don ber £^efid ju
nnterfc^eiben. 3ene ifl bei bem Se^rfa^e bie Sebingniß,
toorunter etmaö behauptet; bei ber Slufgabe aber bie a3e#
bingnig/ n>orunrer ttxoai geforbert wirb. Sie Ziitfii ifl
im erßen %aUc hai, tofii bet)auptet/ im {toetten %aUt bat,
toai geforbert wirb.
e) 9Qenn (Snclihti in htm Seweife btefej ©a^ed t)on
bem Sfufeinanberfallen ber gleichen Linien mtb SQinfel
fpric^t nnb biefer Sludbrücfe ftc^ in ber gotge fe^r ^duftg be#
bienet; fo m&^^n tt>ir hierbei mieber^olf n / wad bereite oben
(XXIII.) gefagt worben iß. @^ t)at n&mlic^ bn biefen, unter
ffd) g(er(i}en Staumgrä^en fein SlufeinanberfaHen, fonbern ein
gdnjlicfjed Sneinanberfallen ßatt; fo, bag fte alö in
bemfelbigen Staunte znttialttn gebac^t werben/ too^
burc^ f[ea(6po((fommen einerlei erfct^einen. Surc^ biefe,
ber ®act)e fe^r genau entfpred^enbe SSoriieDung^weife wirb
audi ber (Einwurf befeitigt, weld^en SRe^rere ber @u€libifci)en
Sewcidart baburd? gemaci)t ^aben, al6 befiet^e fte in einem
bloß med^anifc^en Slufetnanberpaffen ber Sinien, .SBinfel
unb Figuren.
f) SOlan tinnu biefen @ag auc^ folgenbergefialt beweifen,
o^ne ftc^ Ui SnetnanberfaUen^ ber gleichen 2!bei(e beiber X)reiecfc
}U bcbienen* SBenn DCG (^ig. 330.) ein gegebene^ IDreied
iff/»fo »erlÄngere man bie Bäte CD willfüt)rlid) nad) A,
CG wißfÄljrlicfe B, ne^^me CE = CG oud) CF qg CG unb
I V
237
jiel)e FE, fo entfielt nodj ein XvtUd ißCF, tottdjti mit htm
^reiecff D€G }n>ei Seiten nebfi Um , t)on i^nen eingefc^Ioffenen
Sßinfel^ einjeln genommen^ gemein ^at Tba nun in ber (Sbeite
be^ SOSinfeli AGB ba^ eine X)reiecr a\^ burc^aud aufbie#
felbigeürt/ toie bad anbere, enfflanben gebac^tmerben
fann, fo mu^te aud bemfelbigen ®rnnbe, and »oeld^em {. 18. DG
> EF fe^n foUte, auc^ folgen , baß EF > DG »Are, weil auf
ber einen @eite 3llled gerabe eben fo, toie auf ber anbern ifl*
IDa biefed aber nid)t jugleic^ fei^n fann, fo i(i DG = EF nnb
tUn fo 5: CDG = X. CEF unb 3C CGD =^3c: CFE. golglie^
(Tnb beibe Dretecfe einanber congruent
g) 92o(^ fägen toir fo(genben SSewefö bei, koelc^ernnr tin
eingiged I)reiecf öorauÄfegt. SQBenn DCG (gig. 231.) t\n
tt)infö^r(ic^ gegebene^ Sreiecf' ifi, fo Derldngere man GC hu
liebig aber 3 nac^ M uAb befc^retbe mit CD mi C ben ipalbfreid
ADB. IDenft man fld^ nun ^ie Seiten GC unb CD aU unt^er^
dnberlic^ an @roße, fo fann CD ttur baburc^ eine anbere 2age
erhalten, ali ffe n>irf(ic^ l}at, baß fle entweber jn>ifc^en D unb
A ttn S3ogen DA, ober.jmifc^en D unb B ben SSogen DB fc^nei^
bet. ^dtteffenunj-^.bieJageCE, fott)ärbe3c:ECG<5:;DCG,
wtb in ber Sage CF »urbe 5C FCG > ^ DCG fe^m ©ott aber
an&i biefeir 3Binfe( DCG unüerdnberlict^ an ®r6ße feton, fo i(l
biefcö nur in ber einzigen Sage CD mdgtid). IDat^er gibf e^,
»ennGC, CD unb jc DCG eine be|limmte®r6ße ^at, nur
.ein einjiged Dreiecf DCG, welc^e^ an^ biefen S^dden
möglich i(l. ^olglid^ mdffen nun an^ bie SBinfel CDG unb ÖGD
nebfl ber @eite DG eine bejlimmte ®r^ße ^aben.
Ji) Stuc^ bemerfe man nod? bei biefem @a|e, baß Suclibed
6eibe ^reiecfe einanber. gleid) nennt, welche, mit größerer
SSeflimmt^eit , congruent ober äberetnflimm^enb ober
gleich unb dfynlic^ genennt werben.
(Songruen{ ifl bie gdnjlic^e Uebereinflimmung in ®rdße
itnb ®eflalt. (XXIII, a, i.)
Sloße ®Ieic^^eit ber Figuren ifl bie Uebejeinflimmung
in ber ®r6ße bei SPerfc^ieben^eit i^rer ®e|la(t @o fann j. S.
ein Dreiecf einem Sierecfe gleich fe^n, wenn beibe Figuren einen
gleich großen §Idc^enraum einfc^Iießem
238
\
i
Sle^ttltd^fett t(i bte Ue6erein|ltmmung in Ux ®e|laU in
Serfd)tet)en^ett ber ®r6f e. @o ftnb g. S3. aSe jtretfe etnanber
iLtjnliif, wenn fte auc^ t^erfcbiebene ^atbrneffer ^aben. (S6en fo
auc^ aUe jtugefn t)on t)erfd)(ebenen X)urii)me{|fern u. f. f*
Die miffenfc^aftlid^en ?e^ren ber @(etc^^ett unb
SIe^nltc()fett n>erben tt>etter nnten tnitoidtlt
XXXIL 3 u m 5. ® a ^ e* a) 3ladi bem B^itdntffe Ui
^rocluö foJQl S:^a(e6 t)on WliUt btefen @a$ erfunben ^abem
^xotlni felbfl benft ftc^ baö Dretecf BAG noc^ einmal ald
5Drejecf bac ; fo, baß alfo AB=ab, AG = ac unb 3C -A^ = 3C *
i(i, unb legt juerjl AB in ab, 'jd BAC in X, ^^^ vini AG in ac ,
woburd) nun bdbe Dreiecfe ffc^ becfen unb JC ABG = 5C abc fo
n>ie aud) 5C AGB m x, »^b i|l. IDann legt ^roclu^ bie ®titt
AB in ac , ben 5C BAG in 3C «ab unb AG in ab , iwobürc^ ff*
tte T)retecfe nac^ bem ))ierten ®a$e abermals becfen unb nun
:X ABG = X, acb, ferner JC AGB = jc abc ijl. Dal)er mu9 nun
Äudj 5C abc = 5C acb uub fofglicfe auch BC ABG = 5:: AGB fein.
b) 9luc^ fdnnte man ^ter fo fagen. @oUte in bem qUiAj^
fdienferigen Dreiecfe BAG ber aBinfef Abg bem äBtnfel AGB
ttid)t glei'd) fe^n, fo müßte X, ABG > 5c AGB ober 5c ABG
< je AGB fetjn. ffidre nun j. 95. $: ABG > 3c; AGB, fo mfißte,
toeil ali^i auf ber ©ette AB gerabe fo ift, mie auf ber
©eite AG, au* 3C AGB > 5:: ABG fe^m SSeibe« jugretdj i(l
aber miberfprec^enb« IDa^er f6nnen bie >EBinfe( ABG unb AGB
einanber nic^t ungleich fc^n; fofglic^ ift X. ABC = JC AGB.
c) Denft man \id} unter ABG ein gleidjfeitige* Dreierf, fo
ifl, wegen AB = AG, nnvrandf 5C ABG = 3c; AGB unb, tpegen
BA=BG, auc^5CBAG=3:BGA, fofglic^ mußJC ABG=5;BAG
= ^[^BGA fe^h. Z)a^er ffitb aKe glejcbfeitige IDreiecfe auc^ g(eid)^
toinf elige Sreiecf e. 92ennt man eine $ignr, ^welc^e fauter g(eid^e
QtiUn nnb gleiche SBinfel ijat, eine regelmdßige, fo ifibad
gleic^feitige Sreied eine regelmdßige^igur, unb {war, n>te
man leic^ erfennt/ bie einfac^fle aSer gerablinigen regelmdßigeit
Figuren*
XXXIIL 3 um 6* 6a $e* a) üRan (lebt fogfeic^ ^ baß
biefe? ®a$ ber umgefe^rte beö fünften @a$eiS i% (Sinen
@a$ umfe ^ren ^eißt ndmticb^ feine {t^effi )ur Jp9))ot^ef[^
239
ttnb feine ^peti)^[\i int Zi)^i machen. ttBoDtc man bte grage
flellen: 9Barum mn^ benn, n^etttt ein S.e^rfa$ fireng 6en)iefen i^,
tinn auc^ feine Umfe^rnng noc^ 6en>iefen werben? fo bemcrfe man,
ba^ ber fireng iDtffenfc^aftltc^e SSertcag burc^auö fo((iie 93en>eife
fobert, inbem ber nmgefe^rte @a$ ein anberer, ali ber juerfl
gegebene ifl*
b) Selbe @&6e ftnb ba^er folgenbe:
A. ^^potf)t\ii: SBenn man looranife^, baf ein IDretetf
juoei gleiche Sßinfel f)at,
ZtjtSii: fo ^at ti and^ gwei gleiche leiten.
B. ^9pot^efiö: HBenn man )ot>xc^ui^tit, baß ein Sreiecf
'in>ei gleiche Seiten l^at,
S;^efi«: fo i^at ti andi jmei gleiche aSinfeL
c) Sejeic^net man bie i^^pDtbeffd mit H nnb bte Zfjt^i mit
Ty fp ifl bie aQgemeine ^orm btefe:
1) äBenn H ifl, fo muf and) T fe^n/ nnb 2) tt>enn T iß,
fo mnß anc^ H fe^n«
ginnte im erflen ^aOe (en)iefen werben, ba^Tnnrnnter
btr Sebingniß H @tatt finbe,, bann würbe man auc^ an6
bem Sor^anbenfepn t)on T mit äffet Strenge nnb o^ne nencit
Sewetd auf iai Xiafeun wn H fc^Iießen bärfem ipier wäre
ndmlic^H bie einiigeSebingniß, unter welcher T m^gUc^
iji* SQ3o alfo T ifl, ba muß not^wenbtg aud) U fe^n^
d) SBdre in einem jDreietfe ABC (welc^ed man ffc^ (eidjt
iwrjeit^nen fann )3c;A = 5cB = 3CC, fo mißte, weil 3C A
= 3C B ifl, aucfy AC = BC , unb, weil 5C B = 5C C ifl, aucf>
^B = AC feijn. golglid) ifl nun AC = BC = AB, b. l>. wcuit
ein Dreiect brei gleiche 3BinfeI ffat, fo muß ed aud) brei gUtd^c
Gelten ^aben unb fomit tin gletc^feitiged SireiecT fe^n.
e) Stu^ biefen @&$en erfennt man bie Serbinbung, we(d)c
(Wifc^en ben gleichen 9QinfeI eine^ X)reiecr«, in Seiug auf tit
itfntn gegenüberliegenben ©eitirn/ unb nmgefei)rt, Statt finbct
XXXI V. 3um ?• ©a^e. a) Diefer 6a$ ifl eine Sor#
bereitung jum achten Sage, mit welchem er eigentlich ein ©anjcd
bilbet, nnb beibe @d$e tiitttn füglich in einen einjigen foQen
wrbunben werben, ducliiti beweifet, baß jwei 2)reie(f e €on#
2^
grttettt \tpn tnAffen , mm ii)vt brei &tiitn , einteilt genommen ,
einanber g(ei(^ finb»
h) t>it ip9pot^effd be^ ftebenten Ba^ti mürbe beutUd^er
fe^tt, wenn bartn bemerft voixe, bag bie, bet AG g(eid)e Sinte
in bem ^uncte A unb bie, ber BC gletct)e Stnie in bem ^uncte
B aufgehellt merben muffe ; auc^ pa$ biefe aufgeflellten {mei hinten
auf berfeibtgen @eile üon AB genommen merben muffen^ Aber
mlc^er ftci) bie gegebenen Sinien AC unb BC beftnben*
c) S03aö nun ben Seweiö biefed ®ai^ti betrifft, fo ^at
(Suclibed ni4lt aKe migltd^e ia^tn angegeben/ n>elci)e ber
l^^pot^etifd) angenommene )n>eite X)urd7f(^nitt6punct D ^aben
fönnte, fonbern nur ben einen %ali betpiefen,/ in n>e(c^ent
AD bie BC burct^fc^neibet / noeld^er bennauc^ mit jenem einer#
(ei n>dre/ »»orin bie BD bie AC burd)fci)nittt. SlUein biefer
^unct D ffnnte auc^ in AC felbfl; ober in il)rer SSerldngerung
Aber C fa&en. S)aß biefe^ aber wiberfpred^enb ift, folgt
fogleic^ baraud / n)ei( bie AD ^ier ber AC nid^t gleicti fepn
!Jnnte/i toai gegen bie Sorau^fe$ung ifl. 9Iuf gleiche 3lrt
fann auc^ ber ^unct D nic^t in BC ober tn itjU Serldngerung
Aber C faKem
^ 4) aber nun Wnnte D (gig* ;i32.) in bie giddje be«
jDreiecf^ AGB ober aujfert)a(b berfelbeu in bie äOinfelebene faUeU/
mld^t burd) bie Aber C t^erldngerten AC unb BC gebilbet n>irb*
SOenn ber ^unct D in bem Dreiecfe ACB (dge, fo jie^e
man bie Sinie CD, üerldngere BC nad) £ unb BD nadi F.
SBeil nun AD = AC , fo i|i x ACD = jc ADC. »Kein
ii i(l 3C ACD < 3C ^^CE ; folgli* auc^ ^ AI>C < 3C I^CK
aber ^ ADC > 3C CDF , bal)er au* , j: CDF < ^c I>CE
attein, »eil BC zz BD, fo mü^tt aud) ^c; CDF = jc J>CE
fe^n* Solglic^ fann ber $unft D nic^t in ber (Sbene bei
2)reiecfd ACB liegen.
' auf d^nüd^e art wirb bet fQmcii geführt, wenn ber
^unct D auffer^alb be« jDreietfd ACB faden foSte, wie
man (eic^t ftnben wirb.
XXXV. 3um 8. ea$e. a) lasentf (fuclibed in bte«
fem Sa^e fagt, ba9, unter ber ipDpot^eff« breier @eiten>
241
/ ' •
Iptfa^f efttjeltt itnonmtn, etitattber ^Itid^ fftib^ ein QBinfel
hti einen Z)retecf^ einem SBinfef be£ anbern gleich fei/ fo ift
^ierburd^ bie XW^i ttid^t tJoUfommen erfc^ipft^ inbem bte bau
ben Dreiedfe congruent ;tnb fo{gIi<i^ andq aUt SBinfel^ einjeiit
genommen, einanber gleich (tnb.
b) iDtefe (Songruenj ber ^reiede fann aud) auf fo^genbe
Hxt beiDiefen werben«
SBQenn bie IDreiecfe C^ig» 3530 ABC unb DBG, mtin
AB = DB , AC = DC nnb BC = BC ijj / mit jtDei il)m
glei(()en @eüen (^ier mit BC t^ BC) fo ne6en einanber gelegl
toerben / baß ti)re Spieen A unb D ftc^ auf entgegengefe^teit
®tiun ber BC beftnben; aber B in B unb C in C f&üt, unb
nun bie Serbinbung^tinie AD gebogen oirb, fo fann biefelbe nur
bie, in ben S^id^nungen bemerfte breifac^ oerfc^iebene ifage ^aben«
c) Wun ift in ber erjleu'eage AC == DC, forglic^ ^ A
Ä 5: Df ba aber au* AB = DB tjl, fo muß A BAC
5ö A BDC fe^n unb folfllic^ aud^ X. ABC =: ^cDBC ; JC ACB
= 3C DGB.
gitr bie jweite ia^t ift, wegen AB = DB, axxdi jc BAE
==5e: BDE unb , wegen AC =2 DG , aud^ X. GAE t=i < CDE j
fofglic^ muß ^ B AC = X ß^^ f«9«- SlHein ti ift noch BA = BD
unb aud) CA = CD ; folglich A BaG c^ a BDC*
3n ber britten ?age ift, wegen AB = DB, auc^ ^ BAß
s= X BDE unb wegen AG = DC, aud^ X <^AE *= x CDE;.
folglici) mu$ andj ^ BAG = ^ BDG fet^n« IDa nun wieber
BA = BD unb AC C5 DG , fo ift aud^ ^ier A ABC gQ
A DBG.
d) 9Benn ba^er bie brei «inicn AB, BC unb AC bie in beul
Z)reiecfe ABC befttmmte @rcße ^aben, fo fann an^ il)nen nur bad
ein}igeX)retecf ABC gebilbet werben. SQerben bat)er an€ B mit
BA unb ani C mit CA auf brr Aber B unb C oerldngerten BC jwet
^afbfreife befcbrieben, fo f innen ftc^ biefe nur in tintm
-9>uncteA burc^fc^neibcn. t)a aber jwet ä^nd'ebe Jpalbfreife
auc^ unterhalb ber Sinie BC conftrutrt werben f innen, fo t)ar
^ier nocb tin ^weitet Dreiecf BDG (^tatt/ weld^ed Um ^reietf^
BAC congruenl ift« Sben fo fonnUn aud^ Mi £ unb A mit fiC
16
242
unb AC , ober aixi A ttnb G mit AB tmb CB foId)e i^aKftttfe
befc^rieben n)erben, um ba$ ^teiecf ABC ju btibeit.
XXXVI. 3«ni 9- ©age. a) »ei bicfer STufgöbe ^at
bereite ^roc(ud bemerft, e£ muffe betütefen merbcit^ ba^ ber
2)urcl?fc^tiitt^punct F innet^afi ber Sbene beö 9BinfeU BAG
liege« £)bn>0l)I btefe^ nun fc^ctt barou^ ^erüorgebt^ ba^z n>enn
bei'felbe 2« S« tn bem @c^enfe( AB (dge^ er nun oud) (met( Sille^
ÄUf ber einen Seite gerabe fo tt)ie auf ber anbcrn t^) in bem
@j(i)enfel AG Hegen mugte^ xoa^ aber \xikmhQ\\6) i(t; n>ei( e6 nur
einen 2)ttr(^fc^nitt^punct geben fann (XXXV, d.), fo fanii
^ awAi no(^ fireng geometrifc^ erliefen toerben.
. b) ?Äge j,S5. biefer Dur*f*ni«^>>uttct F (^ig. a340 i«
bem @*enfel AC in F, fo h>dre 3C »EF = je EDF. afOetn e*
ift sc BDE > sc EDFj folglid) mfißte aut^ 3C BDE>3CI>EF
fe^n, »ad unmigfic^ i(l, ba 3: BI>E = 3Cl>EF fe^n muß (1,5.)
Siuf ii\)\\\\i)t ^xt toirb ber SSenoeid gefA^rt; toenn ber $unct F
aujfer(>alb bed ©Aenfelö AC läge» .
c] Wan fle^t^ taß biefer S)ur(^fcf|niüdf»utt(t F auc^ babur(^
erbalten »erben fJnnte, baß au* D mit DF zz DA unb m^ E
mit EF = EA = AD ein Äreiö befc^rieben noörbe, n>oburc^
untert)alb ber DE ein X)reie(f DFE entfl&nbe/ xotX^t^ bem Sret#
ecfe DAE congruent i%
d) äud) fann biefe Aufgabe fe^r einfach oI)ti^e ben Surc^^
fcf^nittdpuntt gweier Greife aufgelifet »erben burc^ bie
Sonflruction bed fünften @aged. SoU ndmlid^ ber 9BinfeI GAB
(^ig. 2350 ^albirt werben, fo ne^me man »iKfu^rlic^ AD = AE,
eben fo AF = AG, gieJ)e DG unb EF unb mt> bem ©c^eitel A
burc^ ben I)urd?fcbni.ttdpunct H bie gerabe AHK, fo iflt nun
5t^ CAK = j:; BAK. Denn ti ifl, »enn DE gejogen »irb^
»egen
AD = AE , ferner ^
AG = AF unb enblic^
j C PAG = jC EAF, . axLin
, A DAG ^ A EAF, bal)er
^ ADG = ^ AEF, ba aber
^ ADE = j: AED ift, fo muß .
N
245
anä) 3C EMt =2 K DEH ttnb folfllf*
DH = EH fe^rt. Da mn «oc^
AD = AE unb öuc^
je ADtt = ^ AEH, fo tttUf
A ADH^ A AEa tlttb folfllic^
3C I>An = 3c: EAH fe^rt.
»al^rifi ber 50BiitfeI CAB b«r* AK tjaliixt
e) l)a tiutt bie^dlfte bee2BmfcI6 CAB lieber ötif d^rtliffee
litt ^alWrt Mttb bieff* Serfai)rett immer forfgifegi »erben fanrt,
fo rdßt gc^ berfeibe in 2, 4, 8, 16, 32, 64 u. f. f.,' alfo übtu
fjanpt in J^«, iltidjt $Cf)eff« eint^eifen.
XXXVIL 3 um 10. ©ft$e. a) Die gegebene fletabe ?inte
fann aitc^ baburc^ l)aI6trt n>f rben , bAf auf jeber @ette ))on Äff
(gig* 236.) ein gleiAfeirfged Breiecf AGB uub AEB befcftrieben
unb nun bieSerbinbung^Iiuic C£ gejogeu mxh, totld)t AD ==DB
inad)f. Denn ba bie Drejecfe GAE unb GBE bie brei ©eiteu/
etnjefn genemmen , gemein ^aben / fo ffnb fFe congruent unb ti
1(1 5: ACD =t: ^ BGD. Da nun nod^ AG =; Cß unb CD = CD,
fo mu^ andj A ACD ^ A BGD, unb bat^er AD = DB fe^n.
h) STuf biefe 9lrt fann nun aud? AB tn^, 4, 8, 16 , 32 ,
64 u. f. f. unb Oberhaupt in 2» gfeicfee ZtjtiU get^eilt »erben*
XXXVIII. 3um 11. ©a$e. a) Durcb biefen ©aß wirb
bie geometrifc^e ^onfiructiott .bed rechten ÜBinfeW »iffenfc^aftlic^
itad)gen)iefen ; obmo^l fhf) burd^ einige frul^ere (Sonflructionett
fc^on foI(fte SflBinfel ergeben l^aften* @o »ar (in g^ig. 2350/
»egen AD = AE, X. I^AJ = 3C EAJ unb AJ sis AJ> andj
A ADJ gs A AEJ, ba^er ^C A JD = 5: Ä JE = R. — (gbett fd
war (in gfig. 236.), wegen AG = BG, CD == CD unb AD = BD,
Md) A CDA c5 A CDB , fofglt* 5c CDA = 5c; CDB = R.
b) 9Iuc^ gibt ec$ burc^ einen, in einer gegebenen $!inie gegeb^nl
9)unct nur tiue fenfreci}te auf ffe* Denn wenn e^ auffer ber auf AB
(gig. 237.) Iotl)rec^tert CD nod| eine anbere fenf redete/ tt\i>a
CE gdbe, fo mfifte äC ECB == jc EC A = R fepn* Sllteitt ii
war au* ^ DGB ss DG A :-: R j f olgli* wdre JC ECB = 5; DGB
«nb aud) 3C I>CA s=: 5c EGA, weldje« beibc« unmigliC^ ifi/ U
Ut Xfitii tUinit M b46 ©an^e fep» muß«
18 *
244
«) £a nun trfe (Fonflntcttoit bti ttd^ttn 9Btn(eM ttacbgf#
tDtefett tfl/ fo f ann auc^ tai nc^ttpinfettge X)rete(( unb ba^ Humpf*
»infelige Steiecf gebtibet noerbett , ö6mo^( no(4 nu^t benoiefen
ift, baß ^n ienem nut eitt xtd)Ux itnb in btefem nur txn
flumpfer ^iuUl fe^n fann.
XXXIX. 3 tt m 12. ® a C «• a) ^cr JBcwei« bicfe« Sage«
fe^t t)oraud, baß bte gegebene Ctnie AB üon bem and C 6ef(^rte#
beuen 5treife in jmei ^uncten G unb £ gefd^nttten werbe, n>a^
SucIibeS nic^t befonbeifd nac^gcwiefen l^at
Xa ffc^ bte ^uncte G unb D auf entgegengefe^ten Seiten
ber tinte AB beftnben , fo muß CD bte AB in J fc^netben« 2)a
nun CJ < CD, fo mitß ber 9>unct J» unb folglich auc^ ein Zf^til
ber burd) J ge^enben Stnie AB j ffc^ innerhalb bed Areifed be^
ftnben. (Sine gerabe ?tnie aber, t)on tt>elc^er ein Zffnl im Areife
liegt, muf, ge^irig oerfAngert/ beffen Umfang in itoti f>ttncten
burc^fd}tieiben. •
Slnßatt bie GE in H ju ^albiren, f jnnte aud^ bad t)reie((
GCE unterhalb ber GE gelegt unb bie SSerbinbungdlinie burc^
bie {wei Sptgen gejogen werben*
^) 2Bit geben t)on biefer Slufgabe noci^ folgen'be 9In^6fung*
Um auf AB c^tg* 338.) an^ G bad Sot^ GG )u {ie^en, jie^e man
ani G {koei beliebigt gerabe Sinien CD unb GE nac^ AB , fo entfielt
bai IDreied GED. Segt man baffelbe unterhalb AB ali Z)rete(f
EFD unb jietiet GF, fo i|i biefe in G auf AB (ot()rec^t TOtnn
ba EG = EF, ED = ED nnb DG = DF i(l, fo ift au* A GED
cö A FEöj folgii* 3C GEG = jc F^^- ö?« iflt aber nod)
EG = EF, EG = EG, folglich A GEG ?© A FEG unb
5c; GGE = 5C FGE = R.
SQenn etne ber betben Stuten G£ unb GD {Wtfc^en G unb B
f&Kt , fo i)at etn dt)nltc^er Sewet« QtatU
XL. ^nm 13* Qai^^ a) aOSena ba^er t)on juoei 9lebett#
toinfeln einer ein rechter ifi, fo muß ed auc^ ber anbere fe^n;
i|i einer ein fpi^r, fo muß fein Kebenwinlel ein flumpfer
fe9n, unb wenn einer ein flumpfer i{t, fo ifl fein IRebenwtnfel
tin fpiger. Sluc^ muß einer ber betben fo^iefen 9Qtnfe( in btefem
gälte um fo Diel f leider aK ber redete feyn; um toieoiel ber
aubere grdßer^ ali ber rechte tfl* *
24S
b) fiudf inAffen aUt auf einet ®etfe einer geraben Unit
liegenbe^ aui einem ^nnctt au^gej^enbe gerabe einten neben^
cinanber liegenbe SQinf e( bilben , mld)t jufammen ^loei recbte
betragen. 60 i|l (^ig. 2390 5c: ACD + 5; DCE + ^ ECF
+ 3C FCB = 2 R. ©enn »enn in C auf AB ba^ ?otl> CG
errietet wirb , fo iff 5C DG A + jc ECD + jc GCE = R
Itnb X <>CF + 3C FCB = R foIgti*.3C DCA + 3c ECD
+ 3C GCE + <>CF +• 3C FCB = a R, SlDeiu 3C ECP
= 3C GCE + je GGF.
c) Sluf gfeic^e STrt ffnb alle van ben 9>nnct C (gig» 24o.)
liegenbe SBinfel/ n&mtid^ AGB, BCD, DCE, ECF, FCG
ttnb GGA jufammen t)iet rechte SBSinfeL
XLL 3ttttt I4i @a$e« a) Dtefer 6a$ ifl ber ttmge#
teerte be< 13. @a$e^ nnb mn9 befonberd ben)tefen n>erben*
Stwad fa0(i(^er würbe e6 im anfange be^ IBeweifed fo betffen :
« 9Benn CBD fetue gerabe Sinie iß/ fo mu^ (le eine äBinfelltnie
« fki^n unb bie aber B t)er(dngerte CB mu^ enttoeber Aber BD
«ober Unter BD.faKen.» %iit jenen ^aU tfatüncUh^i
ben Sewei« audgefA^rt Diefer ^aÜ mxb auf d^nüc^e $(rt
ben>iefen.
b) ÜRutt (ann auc^ gejetgt n)erben, baß e< t>on einem
ttuffer^alb einer gegebenen geraben Sinie gegebenen f>un€re nur
^in ?ot1) auf biefelbe gibt*
^* fei C^ig* 238.) bie C9 auf AB (ot^rec^t; fo gibt e«
auffer i^r fein anbere6 ^ot^^me^r auf bie AB. äOdre j. 8.
cp biefeö 2tt>eite iotff , fo mflßte auc^ FD ein fofc^ed fet^n nnb
f8 todre ^c CDE = jc FDE = R. 25at)er Ȁrben biefe
9Qinfe( ^z\ SRAenminfel- fe^n unb {CDF wdre eine gerabe
Sinie/ toelcb^ mit ber geraben CF einen 9taum CDF einfc^Iöffe,
ii>a< unmjglic^ iß*
XUI. 3um'15. ®a^e. a) fJroelu^ bemerlt/ X^a^
Ie£ fei ber erfle t^rflnber biefeö ©a^eö unb Suclibe« ^abe
\\ß joerfl für n>Arbig gehalten f (ireng ermiefen su n)erben*
. b) Suc^ Idßt fic^ folgenber 6a$ leicht ben>eifen: n>enn
jmet gleiche SBinfet AED unb CEB gegeben ffnb itnb man legt
(ie mit i^rrn&d^eiteln ttnb xxl emgegengefe^r iagf i^rer
246
ßHltnUl fo jufainmctt/ ba0 P£ uit^ EC eiiif QtxaU Unit illMf
fo ntiiffeh aud) bte |n)ei attbern ^(^enfel AE unb £B in einet
gerabeit iinic AEB liegen* «
c) ®tnb aber {nociSBinfel t)on ungfeic^er^riße, fo f innen^
hti biefcr Sage beö erfiett ©c^enf elpaard , bie jwei anbern
@c^enfel feine gerabe Sinie bilben.
XLlII. 3 um 16. ®a$e. a) IDtefer te()rfa$ ifl reicl^ an
loeiteren gofgerungen nnb Uitiatb einer ber mic^tigflen in ber
©eomrtrie,
h) Daß , toenn in bev iwiteo \&d{f(e be« SSeweife« BC (n
J ^albirt/ AJ gejegen, 3H = AJ genommen nnb noc^ bie CH
gejogen wirb^ biefe CH mit bev CF in einer geraben {inie
HF liegt, ifl }mar in ber 92atnr ber ®ai(l^e gegrünbet^ fann
aber ^ier noc^ ntc^t ßteng.ben»iefen »erben.
c) Slu^ biefem @a$e folgt nun ebenfaSd , baß Don tintm
auffer{|alb einer geraben {tnie gegebenen ^uncte nur ein
So t ^ auf biefefbe m jg(id) ifl. Senn wenn (^tg. 238.) auffer *
bem Sot^e CG noc^ tin jweited CD flatt f&nbe, fo mußte
5CCDE.= R = $; CGD fe^n, »elc^e« aber unmiglic^ ifl,
ba 5C <^I^E > K CGD fcpn muß.
d) Stimmt man GH = GE unb litiit CH , fo müfTen bie
t^reiecfe CGE unb CGH einanber congruent fe^n (4. ©.) folg*
lid) i(l CH = CK Da^er gibt eö auf ieber Seite t>on CG
in^ei einanber gleiche, von C nacb AB ge^enbe Sinieu* Sber
eö gibt auc^ nur iti^ti folcbe ünien. X)enn tt>&re }. 03. CD
aud^ =3 CE, fo müßte 3CXED = ^ CDE fe^n, mWi
nnmiglic^ iil. Denn ba jc CGD ä R , fo 'mn9 3C CDE >
R,nnb, weil j: CDG <.R, fp muß an(k X. CED < R fepn.
e) Denft man fid) nun ani C mit C£ = CH einen £rei6
befc^riebeit ^ fo fann biefer bie gerabe Sinie AB nur in ben
beiben^UnctenEunbHfci^neibem Denn ^dtte }. 9^ nod) ein
britter Dnrc^fc^nitt in J fiatt, fo maßte aud) CJ :;= CE feipn,
toeil auc^ CJ i^albme{[er to&re, Sii^ein ti ifl unmigUc^/ baß
a ^ CE id (d).
f) SBenn man in einem gleid}fe^enfe(igen Dreierfe ACR
<:$ia. 330O ^ie ^rnnblinie AB in D ^albirt unb CD jie^ti fo
"1
f
247
iß / mgtn CA 3= CB , CD = CD ttttb AD '&= BD , aiidi
A CDA eo A CDB itnb folglich CD (in 8ot^ auf AB. -
g) SBirb in einem gfeicbfc^cnfetigcn Sretecfe. ACB/bie
©mnbltnie AB in D tialbixt unb avki D bte DC auf AB iotij^
xtdjt gebogen ; fo ge^t DC burc^ bie @pt^e C. £enn tai wn
C auf AB gefdOte Sot^ ttifft in D tin (f) »nb ti gibt ))on G
auf AB nur tin %i>i^ (c). ä
h) SBBirb ber SQinfel an ber Sfit^e/ ACB burc^ CD
^albirt ,- fo mtb awii AB in D ^afbirt unb CD fle^t auf AB
fenfiec^t Denn ti ifl ^ier A CDA ge A CDB.
i) 98enn ani C auf AB ein i^tt) CD getogen wirb , fo
niacfel biefeö auc^ DA = DB unb 3C A^D = x BCD (f , g)<
• XUV. 3 um 17. (5a$e. a) J)a^er mu^ im recfeN
ivinfeligen Dreiecfe ieber ber {toei anbern 3BinfeI,ein fpi^er fe^n*
b) (36en fo faun bai flumpfminfelige Dreiecf auffer htm
fttttn^fen Sßinfel nur jwei fpt^e SQinfel enthalten, unb jebe«
btefer Dretecf e and) nunmehr leicht coniiruirt werben / n>obur^
bie früheren (ErflArungen in @ac^erfldrungen oenoanbelt »or»
ben ffnb*
' c) (Sin fpi^ioinfelinged . Dreiecf mn^ brei fpi$e Sinfft
^aben. Unb ti tann, in Sejug auf bte 3Qin!e(^ nur ret^
winf e(ige , (lumpfioinlelige unb fpi$n)tnf elige Dretecf e geben.
' d) Mt gleid^feitige t)reiecre muffen fpi$n)infelige fetom
e) X)ie gleic^fo^enfeligen Dreiede f innen rec^minfeligf /
^mpfwinfelige unb fpi^toinfelige fe^n. '^
f) 66en biefed gilt Don bem ungleic^feitigen 'Creiecfe.
XLV. 3um 18. ©a^e* a) fflenn (gig. aU.)AC>
AB ift, fo {ann berlBeweid auc^ baburc^ Qtfüijxt werben/ bag
AB ftber B t)erldngert, AD = AC gemattet unb DC gebogen
wirb, ipier ijl nun 3C ABC > 5C I> > f«ner ^ D = < ACD
Itnb 3C ACB < X, ACD , folglich um fo me^^r je ABC >
^ ACB. >
b) SSytnn bai)er tin ISDreiecf brei ung(eici)e (Seiten tiat, fo
l^at ti auc^ brei ungleiche {{Bin(e(> unb* ber gri^ten^ mitüttn unb
fteinflen- Seite liegt and) ber Qti^tt, miitlere unb fleinfie
äBittfet gegenüber.
24S
' o) 3?"' gfetc^fc^enrcltjen IDrc tecfe mn^ ber ^inUl an bet
<Bpt$e einem SBtnfel an ber ®runibltni( gleich/ ober größer
ober ftetner ali ein fo(c^er fe^n, je nac^bem bie ©ntnbHnte
eben fo grog^ ober größer ober Heiner ali einer feiner gleichen '
Sc^enfel i(l*
d) SEBenn cgig. 2380 CG tin iotif auf AB ift «nb CD,
CE, CJ brei fdjiefe «inien ffnb, fo muß CD > CG; CE >
CD nnb CJ > CE b.. f), bie fc^iefert muß immer bie größere
fej^n* -^enn , »eil je CGD = IW, fö i(l 5C CDG < 3C CGD
unb folglich CD > CG. — 2)a ferner 5C CDG < R , fo i(l
9c: CDE > Rj fo(gHc^ 3C CED < R, baV 3C CDE >
5C CED nnb fomit CE > CD u. f. f*
e) (Sben fo (eictit tt>irb bett>i^fen, baß oud^ bie größere
btefer fc^iefen Cinien bie fiftiefcre fei* Denn tomti CE >► CD,
fo ifl 3C CED < 9C CDE. Sllein 5C CDG > jc CED ; fofg*
lid) CE fd)iefer aH CD. Sind? ffnb; beiberfei« *>on CG gejogene,
gittere Linien g(eic^ fc^ief unb g(eict) fcbiefe gleid) groß* Senn
ttjenn CE s= CH , fo mn9 audi 3C CEG = ^ CHG fei^n ,
Itnb tt)enn BC CEG = x, CHG i|l , fo tiat man »ieber CE = CH,
f) (EnbUc^ gibt e^ auf jeber Seite Don CG nur eine 9tt|ie^
loelc^e eine bejlimmte ®röße . (gjrößer aH CG) unb nur eine^
n>el(i)e eine beflimmte Schiefe (fleiner ali R) ^at/n>ie man
leidet f?(bfl ftnbet*
XLVL 3um 19. 0a$e« %lui biefem ®a|e, tüelc^er
ber umgefe^lle iti 18. ®a$e^ ifl, ergeben fcc^ nun nac^fie^enbe
gpigerungen,
a) äQenn ein 2)reted( ungleiche Sßinfel l)at, fo muß ti
auAi unglei^e (Seiten ^aben unb ed iief)t Um größten , uiitl#
lern ttnb {(etnflen SBinfel aud) bie größte^ mittlere unb Heinf?«
@(ite gegenüber«
h) 3n bem rec^tminfeligen ober flumpfminfeligen Sretecfe
fte^tbem rechten ober fiumpfen äBinfef bie größte @ette g'egcn^
Aber« 3n jenem X)reie(fe \)€i$t fte bte J^^potenufe unb jebe
ber beiben anbern @eiten n)trb @atl)ete genennt.
c) Sie filrjeile Sinie, toelc^e oon einem auffer^alb einer
$evab«n iinii g^gebcu^it ^uncte nac^ i^r gebogen mrbirti tanu/
!249
m bie lot^tedife« ®{e (fflimmt ta^er tfe (Ssttfrrnitng ober
ben Sbflanb biefrS ^uncted toon ber Stttie.
XLVir. 3«m 20. ®a|f. a) 15iefer Sfl$ tjlfo efnfat^^
baß er n)ot|( in bfe Steifte ber ®runbfd|e f innre anfgenommett
iDerben, ba bie flare Snfc^aunng le^rt/ baß bte gerabe Stnte
iwififtn jwei ^uncten bte f&rjefle tfl. Snbeffen hUibt ti ein
(Streben ber ®eometrte ali {ffiiffenfc^aft, bie 3a^( i^^^t ®runb^
f&|e mdgh'dbfl }u t^ermtnbern.
h) SOtr t^eifen noc^ fofgenben SBen^ei^ biefe< ®a$ed mif.
SGBenn <gifl. 24Q.) BA + AC nic^t > BC »dre, fo fei BA
4- AC = BC. Serldngert man nun BA aber A, mad^t AD
c= AC unb jte^t DC, fe tfl 3C ADC = ^ ACD. Slttein,
»egen BD = BC , mftjte au* ^ BDC = x, BCD fetj^n ^
welcfted wiberfpred^enb iff. — ©offre aber BA + AC <
BC fe^n, fo to4re, 6ci ber ttÄmlicben @on(lruction , BD <
BC, baf)er 3C BCD < jc BDC. aUein ed i(l an**^ ACD
5:b jC BDC; fofgrid) maßte JC BCD < x, ACD fe^n, »a«
ebenfalls unm igltc^ ifl«
XL VIII. 3 um Qlfoa^e. 2)iefer Sag gilt an(!^ bann
itoc^, loeitn ber $unct ntc^t in ber (Sbeite be^ Z)reiecf^, fon^
bern in einer feiner (Seiten genommen toixb. SRd^me man ü^n
in E , fo toÄre BA + AE > BE ; allein ti ift
EC = EC , fofgft* auc^
BA + AC > BE + EC.
Baß l).ter auc^ 3C BEC > jc A i(l, leuchtet üon feI6(l
ein*
XLli. 3nm M. ®a|ie* a) g« ijl flar, baß bie 6on#
(Iructton bed }u bi(benben IDreiecT^ t)on ber SZot^menbigfeit be^
Burc^fdbnittd ber beiben Greife ab^dngtg if!^ totldit t|ier, fo n>te
oben flefc^a^ (XXVIII.) nacfcßewiefen »irb. Sind) erfennt man
^ier eben fo^ baß andi auf ber anbern (Seite oon ED noc^
ein di)nh'(6er IDurc^fd^nitt^punct @tatt f)at , looburc^ ein jwei^
M, bem erflen congruentej £reiecf gebilbet werben fann.
b) Sind) Idßt ffc^ burd» tiefen @a| bie'<Sntßel)ung be< ^
gleictifd^enfetigen Breiecfö erfenneU/ wenn nnr bie ünie,
noete^e beffen ©rnnblinie werben foS/ Meiner t(l, al^ bie bei^
ben gleichen Gc^enfel {ufammengenommen«
\
\
2S0
c) 3Benn bie brei ttttgleid^ett ^inKtt mit Ä , B tittb C 6e^
geicbnct werben unb A ^ie grd^te k>on i^neit ifl^ fo loitb ein
a^retecf üon ttfiten möglich fe^n, »enn B + C> A ifl, T^zntt,
H>enn biefc« ifl, muß auc^ A + B>Cu«bA + G>B feijm
d) 9{u(i^, muß bei btefen brei tittten ber Unterfc^ieb ie
iweier Heiner/ ali bie brüte fe^n. SB3enn w&mlidi
A «^ B > G iß ^ unb man nimmt
B = B 6eiDerfeit* »eg, fo ifl
A > C — B, unb ebenfo für bie fibrfjjtn.
e) SOenn man beUv ®a^ : 3tvtf(f)^n jn^ei f>uncten ift bie
^erabe ^inie bie fftr}efie/ ai^ ®runbfa$ t)oranöfe$t; fo J&ßtftd)
bie (gonßruction ber Sreiecfe fo gleich in ben erßen @d$en ber
®eometrie befrtebigenb nac^w^tfen. 9Ran fe^e meine ®eo^
metrifd^e 9Qiffenf(^artdIel)re, 3. Auflage 1836. @. 8 unb f.
tt)orin ade m6g(if^e Sagen ercenfrifc^er ßreiölinien au^ein^
nnber gefegt flnb.
L. 3 um 23. @age« Sie (Sonfiruction toitb tttoa^ tm
fac^er^ wenn man in ben ©c^enfein Ui ^inUU DC£ txie GE
:= GD nimmt unb bann aud^ AGn = AF madit^
LI. 3um 34. @ä$e. a) S3bn biefem @a^e/ n)o)oon@tt#
clibe^ nur einen ^aU, in Sejug auf bie m^glid^e {age
angegeben unb (ewiefen \fat, treuen n>ir folgenbe @ntn)icfe(^
«ng mit,
€« fei (gig. a43.) ABE ein«>{0rä^rli(%e« Dreierf, »elc^e«
bei B einen f))i$en 2Binfe( l^at. 9Birb l^ier )oon A auf BK
hai iottf AD gejogeu; DG = BD gemacht unb AG gejogen,
fo ifl ACE ein jweite« Sreierf, worin AG = AB, ferner
AE = AE unb ^ GAE < X. BAE ift.
i)iefe beiben Dreiecfe entfpreci)en ba^er ber Sorau^fe^ung
bed Se^rfa^eö unb hai ^ennjeic^en ber ia^t 6eflei}t barin /
baß ber ^unct G ber ®titt AG bed t)reiecfd AGE in. bie
Beitz BE be« ©reierf« ABE faßt, t>ai nun l)ier GE < BE
ifi, bebarf feined weitern 93eweife^/ ba e^ unmittelbar au^
biefer ?age bed ^uncteö G jwifc^en B unb E beröorge^t.
h) jRun finnte aber ber 3C GAE, mit »eibe^oUung ber
®r4ße fetner Sc^enfel^ noc^ Heiner werben« ÜB^nn berfelbe
2^1
EAP tfl; fp «itf AF {ttfi(r^l6 M IbuMi.ACE Hegen
(XLV, d.) ^ter ift nun AF + FE < AC + CE (21.©*)
folglich , mil AF = AC, and) F£'< CE unb foIgUt^.itm
fo me^r no* FE < BE.
c) aofirbe aber bev SBtnfel CAE axiftt, fo wnd ber
ecbcvfel AC, ba K £AC immer f (einer ali ^ EAB bleiben
mn^f bie CB {n>ific4en C unb B burc^fc^neiben unb ttroa bie
Sage AG^aben, wehutdi GAE bai jn^ette Creiecf wArbe«
3iebt man mn bie Serbinbung^Iinie BG, fo tfl, »egen AB
CS AG, auc^ < ABG = 3c; AGB. SUKein ^ EBG < X.
ÄBG imb X B^A < 5C BGE , foldltf^ JC BGE > JC! EBG
unb tpieber BE > GE. X)aß G nnier BE liegt, ifl Har*
d) üBAre aber ber 3Binfe( ABE (gig. a44.) be« gege»
benen Dreiecfft ein rechter ober ein flnmpfer^ fo mnf bie
Seite AF = AB, »eiin 3C EAF < JC EAB ifl, gonj
innerhalb be^ t^uitdi ABE liegen (XLV, d.) unb ti ifi,
mgen AB + BE > AF + FE unb AB = AF,. auc^ttunfinb
BE > FE.
e) auc^ (d$t ffc^ biefer @a| mit Dieter Afar^eit fo bar#
fteCem di fei in ben beiben IDreiedPen (^ig. 345.) ABC nnb
ABD, bie Seite AB = AB, JC ABC > ^ ABD uitb BC
;= BD ; fo ifl ber äBinf e( ACB entn>eber ein rechter ober ein
jlttm)>fer ober ein fpiger« 3n ben beiben erflen %&Utn mixt,
n>enn ^ ABE = ^c ABD , BE =z BD gemacbt unb AB geü
gogen wirb/ hat Dreierf AEB ^ Dreiecf ADB, ganj inneri>
balb be« X)reiecrd ACB (iegem Z)a^er ifl AC + CB > A£
+ EB nnb folglich »egen CB = EB , aucfy AC > AE b. b*
AC > AD.
3fl aber ber S03in|er ACB ein fyi^er (%\q. a460 fo itel)e
man BE rotere *t auf AC , ne^me EF = EC unb jic^e BF,
fo ifl ent»)eber
i) < ABF = 9c: ABD ober
fO SC ABF > 3c; ABD ober
3) ^ ABF < 3c: ABB.
3m V 9öKe ifl A AFB je A.ADB unb AF s AD
<: AC,
252
3m 9. gäDf fürt ^ttitd ABB (»fe in ^ig. a45.) gait]
,(niterl)alb be^ ^reiccf« AGB uttb c« t|l tote }u))or AD < AG.
3m S. .%aUt fäüt D in G auffer^alb be« Dtetetf« AGB
nnb {n>ar fo / ba0 BG bie FC jwtfc^en F unb C fc^neiben
nnß. 3i^^^ man nnn GG , fo tfl^ »egen BG = BC , auc^
3C BGG SÄ j; BCG ; fofgltc^ JC AGG > 3C AGO unb
ta^er AG > AG b. ^* AG > AD.
LIL 3nm 35, @a$e. a) Z>tffer @a$ fann auf feU
flenbe t|rt bewtrfen wirben^ otint Stäcffidit auf ben a4. (Sat^,
beffen Umfc^rung er ifi. 9Ran benfe. ffd) ein Ziretecf bac ,
toe{(^e« mit bem DreiecTe BAG ($tg. a470 ba = BA, bann
ac = AG, aber bc < BC t)at, fo fott JC * < SC A
fcyn«
Wian lege ba4 IDreiedF bac fo in bie Sbene bed SreiecH
CBA 7 baß flc^ lie gleichen 6etren ba unb BA einanber betfen
tmb baß ber ^unct c nac^ jener @eite wn AB f&üt, auf
totli^tt ffdf G befinbee. äBirb mn mit AG aM A ein
5rrei4 befd^rieben^ beffen S^gen FGDG ifi^ fo muß bie @eire
ac t)on a irgenbwo in biefen Sogen faKen. g[ie(e fe nun
Don G gegen G, etwa in D, fo }ie^e man DG. ^ier ifl nun^
tDegen AD = AG , anAi 3C ADG = 3C AGD. ättein 3C
BDG < sc ADG unb X, BCD > ^ AGD ; fofglid) auc^
9C BGD > >: BDG unb BD > BG. (Si taößte baljer audf
bp > BG feyu/ toad ber 9(nnat)me bc < BG n>iberfpric^t
b) 8&ge aber bie (Seite ac in AG , fo mü^ttn ffc^ bie Drei«
frfe ba.c unb BAG einanber becfeu/ n>ei( fte aud) noc^ ben
SEBintei BAG gemein Ritten unb e^ to&tt bc = BG , ba boc^
bc < BG angenommen toorben ifl.
Ddt)er mu6 ac mit bem ^^uncte c t)on G nady F in bem
©ogen DCF eintreffen unb folgü* X, bac < x BAC fe^tt;
c) SQenn biefer @a$ Dor^bem 34. Sa^e bewiefen mirb, fo
fann biefer festere fe^r (eid^t barauö abgeleitet noerben. (Si fei
u&m(ict) (gig. 348.) in ben 33reiecfen ABG unb DEF bie &tiu
AB = DE, AC = DF uub X BAC> X, EDF, fo ifi BC
> EF.
2S5
t>tnn toixt tti(^t BG > EF, fo tnügte tnttotUt BC i=z EP
tUx BC < EF fe^n. 3tt j c tt c m %aUt »irr A ABC ?© A DEF
unb«^ BAC — X, EDF, gegen bte Sorou^fe^uttg. 3n btefcm
gfaDe lüi'tcbe (nad) a.) < BAC < ^ EDF fcpit, loefcl^e« rbeii«
faU^ ber 9litnal)ine lotbeffpricbr«
LIIL 3um36»®a$e. a) tiefer (Sa^ Behauptet bte Coiu
Snteti} ]n>eier ^reietfe, n>e(c^ {wei ÜBmfel unb eine @eite/ ein«
geln genommen^ mit einonber gemein l^abtn, n>otei )n>et $&Be
eintreten f 6nnen , je nac^bem biefe 2)reiecte eine ® eite nnb bte
(wei boratt liegenben SBinfel^^ober eine (Seite, einen baran
liegenben nnb einen ii)t gegen&6er{}e|^enbett SBinfel gemeinf(^ft#
lic^ ^aben.
1. SBenn in ben Sreierfen ABC nnb DEF (^ig. Ü490
BC = EF, 3C B = 3C E nnb j; AGB = j; DFE ifl, fo Ie«e
man iene< t>mtS fo in bie Sbene oon biefem, ba^ B in £» BA
I&ngö ED nnb C auf eben bie ®ette ten D£ f&Et, auf wefdjet
fidj F befinbet. i^ier mu^ BC bie EF t>oUlommn betfen. ®olIre
nun bie @eite CA nic^t in FD fallen/ fo mft^te ffe bie Sage bon
FG ober xjon FH tfabtn,, looburc^ 3C DFE < x. ACB, ober
X, I>EE,>3c: ACB to&tt, gegen bie SBoran<fe$ung. ^olgtic^
betfen f[(4 bie Dreiecfe ABC nnb DEF.
IL SQS&re aber in biefen Sreiecfen ABC nnb DEF , an^tt
BC = EF nnb sc B = 3C E no* 3C^ — 3C EDF, fo würbe
man jeneö fo in bie (Ebene bon biefem legen finmn, ba0 B in
£, BC in EF nnb BA (&ngd ED fdOt. %itU ntrn bie CA nic^t
au(^ in FD , fo müftc ffe noi^ FH ober nac^ FG f aOen« 9Bdre
jene^/ fo »firbe 3cFHE>3c;A, nnb uo&rebiefeö, fowärbe
X. FHE < 5C A fe^n Ci6. ®.)^ -flogen bie »orauÄfcfenng.
b) ^enn ^toti 2)reiec(e jmei Seiten , einieln genommen ^
nnb einen äßinfel, n>e(ci)er ber 'einen biefer Seiten gegenüber^
liegt, mit einanber gemein ^aben, fo ffnb ffe nici)t immer con^
gment/ ba an^ biefen @tfi(fen )n)ei IDreiecfe bon verfd||ieb<ne)r
&t^alt nnb ®xi$t gebifbet n^erben {6nnen*
So fei (^ig. 350«) ABE tin gegebene« £retecf, ^fo mu0
irgenb einer feiner SSinfel ein fpi$er fcpn* Cd fei 3C B < R ,
fo jie^e man ani A auf B£ bad Cot^ AC, mac^e CD = CB wab
252
Sm a, %aUtiSat Dreferf ADB (»Ic in gig. a45.) ganj
innert^alb be^ Z^reiecf« AGB uttb ti tfl tote juüpr AD < AG.
3m 3. .^üffe Mt D in G auffer^alb be« DretecT« AGB
»Hb jtt>ar fo / baß BG bie FC gwlfc^en F iinb G ft^neiben
muß« Bi^^t man nun GG, fo tfl^ »egen BG = BG, auc^
5: BGG SS j: BGG ; fofglid^ ^ AGC > 5C AGG» unb
>a^er AG > AG b. ^. AG > AD,
LH. 3 um üS. (Sa$e* a) liefet 6a$ fann auf feU
getibe tirt bemtefen wnben, ot)ne 9tä(fffd)t auf ben 34. Sag,
teffen Umfet^rung er tfl. 9Ran benfe ffd) ein X)i'eiecf bac ,
tvelc^ed mtt'bem :Dreiecfe BAG (^tg. a)7..) ba = BA, bann
ac = AG, aber tc < BC ^at, fo foB JC «^ < 3C A
fq^n.
* SD^an fege ba« l^retetf bac fo in bie Ambene bed X)reie(M
CBA, baß ftc^ I)te gleichen BtiUn ba unb BA einanber betfen
tmb baß ber $unct c nac^ jener @ette ii^on AB f&dt, auf
wtlibct ffc^ G befinbet SBirb nnn mit AG auö A ein
Äretd befc^rieben, beffen Sogen FCDG i(l, fo mn^ bie (Seite
ac )oon a trgenbtt>o in biefen Sogen faKen. g[iele ffe nun
t>on G gegen G, etwa tn D, fo gte^e mm DG. ipitr ifl nun,
wegen AD = AG, aneij 3C ADG = 5C AGD. »Bein 3C
BDG < 3C ADG nnb X BCD > x^ AGD ; fofgli* audi
9C BGD > 'je BDG unb BD > BG. Qrd Infißte bal)er au«^
bp > BG fetpU/ n>a^ ber ${nnat)me bc < BG tt>tberff)r{(!^t.
b) Sdge aber bte ®tiU ac in AG, fo müßten fic^ bie Drei^
ecfe ba.c nnb BAG einanber becfen, n>ei( fte antb nedi ben
9Binfel BAG gemein Ritten nnb e^ tt>&re bc =s BGv ba bec^
bc < BC angenommen noorben ifl*
Xidiftv muß ac mit bem ^uncte c wn G natb F in bem
Sogen DCF eintreffen unb folgli* x, bac < 5; BAG fe^tti
c) 9Benn biefer <Sa$ üotbem 24. Sage bemiefen n^irb, fo
fann biefer festere fe^r (eid^t baraud abgeleitet noerben* (S€ fei
n&m(ic^ (gig. 948.) in ben 3)rete<fett ABC unb DeV hit @ette
AB = DE, AC = DF unb JC BAC> X E^F, fo ift BC
> EF.
2S3
t^enn »dre iti^r BC > EF , f© miiU tnttotUx BC sr EP
©ber BC < EF fc^n. 3n j[ en c m %aUt »Are A ABC ?e A DBF
itnb*^ BAC =:: ^ EDF, gegen bte Soroctefe^ttttg. 3tt biefent
^aOe tüixtU (nad) a.) ^ BAC < ^ EDF fe^tt^ loelc^e« eieii«
fall^ ber 9itttiat)ine toiberfpricbt
LIII. 3 u m aö. @ a $ e* a) tiefer (3a$ Behauptet bte (Eott#
grueii} jweier £teiecfe^ totldjt {wet SBinfel unb eine @eite, eta#
getn genommen/ mir etnonbev gemein ^aben, n>o(ret {met gdBe
eintreten f innen / je nac^bem biefe Z)reie<te eine ®eife nnb bte.
jwei baroir (iegenben tGSinfel^^ober eine &titt, einen baratt
liegenben unb einen i^r gegen&6erße|^enbett SB3infe( gemeinfd^^#
lic^ l^aben.
I. SBenn in ben t>xtitdcn ABC nnb DEF (gig* 349.)
BC = EF, 5: B = 3C E nnb j; AGB = j; DFE ijl, fo lege
man itnti XxtUä fo in bie ^ene oon biefem, ba^ B in E, BA
I&ng^ ED unb C auf eben bie ®eite ^on D£ f&Vt, auf toeidjer
ffc^ F beftnbet i^ier muf BC bie EF ))oKEommen becTen. (SoOre
nun bie Seite CA nic^t in FD faUen, fo m&^U ffe bie Sage bon
FG ober i)on FH t^aUn,, »oburc^ ^ DFE < ^ ACB, ober
X. DFE, > 3c: ACB mdre, gegen bie Sorau^fe^ung. ^olglid^
betfen flc^ bie DreiecTe ABC nnb DEF«
II. SBdre aber in biefen jDreiecfen ABC unb DEF , anffer
BC = EF unb 5: B = je E no* jc A = K EDF, fo »ftrbc
man iene^ fo in bie (Sbene bon biefem legen fdnnen, ba0 B tu
£, BC in EF unb BA Idngd ED fdSt. ^iele nun bie CA nic^t
au(^ in FD , fo mi^tt fie noc^ FH ober nac^ FG faKem SBdrc
j en e ^ , fo toitU JC FHE > 5; A, nnb »dre b i ef e «^ fo wirbt
X. EHE < 5C A feptt C'l6. 6.)/ ^egcn bie Borau«fe|nng.
b) 9Qenn ^toti Dreiecfe jwei Seiten , ein)eln genommen ^
unb einen äBinfel, n>e(ct)er ber 'einen biefer Seiten gegenüber^
liegt, mit einanber gemein ^aben, fo ffnb ffe nici)t immer con^
gruent/ ba ani biefen Stfiden ixoti iDretecfe bon oerfd^iebfneir
(Stftalt unb ®rä0e gebilbet tt)erben f jnnem
S6 fei (^ig. 350.) ABE ein gegebene^ £retecf/ ^fo mn^
irgenb einer fetner SSinfel ein fpt$er fepn. (S^ fei ^ B < R ,
fo aie^e man ani A auf B£ ba« Cot^ AC, mad^e CD = CB uQb
2S*
)if ^e AD ^ fo t|t a^dj At) =s AB. Ibafftt ift ^ier rin }n>etff <
iDreiecf ADE tni^tanUn , worin AD rs AB, AE = AE uxA
3CE = 5CEi(l* Da nun 5C ADE >R«nb 5; ÄßE <R, «itc^
ititt Sßinfel ber grmeinfc^aftltd^ett €ette AE gegemiberltegen,
fo liabtn betbe SretecfC; 6et t>erfc^{ebener ®r6fe, auc^ t)er^
fc^Ubetie ®e)lalt
SBAre nun {usletcfa beflimntt ,* 06 bad ^retrcf/ loel^ed AB
nnb AE > AB )u @etten itttb bem^JB ju bem einen UBinfcI
^at^ in Sejug auf ^en, ber 6ette AE gegenäberliegenben ttßtnfeO
ein f}umpfn)tnfel{ge^ fei ober md)t, fo kofirbe bte 3n>>ibeuttgfeit
tt^gfaUen nnb eö rni^U im er^en ^alle ba& 3)reiec( ADE, im
(n[>eiten ^aSe bad Drefecf ABE fe^n.
; c) 3(n( bem Qtt^erigen tfl gofgenbeC ern^iefen, in Sejug
(Otf bie Songrn^ttj ber I^reierfe :
* 1) 2)ret ®eirnt t^on beflioroiter ®rd$e beffimmen bie Statur
eined IDreiecf« ,
a) 3^(i. ^ittn nnb ter bajmifc^en fiegenbe IQJinfel eben^
faB«v
3) 3n)e{ leiten nnb ein fffltnfel/ toeldjet nict)t ber einge^
fc^iofene tfl, beßimmen jtoeter'lei IDretecfe/
4) (Sine Seite nnb bie gnoei baran liegenben Sßinfel beflinu
^ men nur ein 2)reiecf /
5) (Eine Seite, ein anliegenber nnb ein tf^r gegenüberliegen^
ber SBinfel ebenfaff^/
6) jDie brei 9Binfe( eine^ Sreierf^ beflimmen (n)ie n^eiter
unten benoiefen u^irb) nfic^t f in einjigeö jDreiecf/ fonbem
ttnjA^H^ viele«
LIV. 3 um 27. @a$e. a) gsit biefem ©aße beginnt
(Suclibed bie ^^re w'n ben f>araI(eBinien/ noojn folgenbe (Sr#
fidrnngen ju bemerfen f!nb.
9Bentt )n>ei gerabe; in einerlei $bene fiegenbe, üünien
(J^ig. 351.) AB nnb CD))on einer britten geraben £F in G unb
H gefc^nitten toerbeu/ fo entfielen um jeben bicfer 1Durd)fc^nitt^#
yuncte vier ÜQinfe( , n>eld)e ^aanoeife befonber^ benennt warben«
Die äBtnfel AGH unb GHD, fo n>te and^ bie 9Binfe( BGH
unb GHC, ioclc^e )u»ifi^en ben Sinien AB unb CD, aber nuf
* ■ •
mtgegengeffi^tett Sdtrn l^er fc^neibmteit {iitieu EFriegen, |et|feii
Der 5BtnfeI EGB inib EHD, f o »te öm* 5: EGA unb 5: EHC,
bann 3CFHD unb 5: FGB, enMi* $: FHC unb jc FGA, tDcIcM
auf etnerUt @eüe ber fd^neibenben/ tl}ei{6 au^nifaib, itttili inntV0
l^albber gefd)mttrneu hinten fo liegen; baß feiner ber !Re6enn)mM
bed anbern ifl/ ^eiffen ber duffer« imb innere äQtnIeL
Die ajinfel BGH tinb GttD , fo n)tt AOH unb -GHC
enblicb ; »elc^e Auf einerlei Seite ber fcffufibinbett Sinie nnb
tnnert)a(b ber gefi^nittenen Cinien liegen, tverben bie betbeü
tnnern äBinfel genennt.
b) Durc^ biefen^« ®a$ {(l ba^er bie Sntfte^ung ber |>ara(#
lel^n miffenfd^aftltc^ nac^gett>iefen unb fcmit bie frä^ere 9Bort#
erf I&rung in eine Sac^erf l&rung )9en9anbe(t werben. Und) l&ft ffd^
bie Srjeugung biefer Linien baburd? nad^noeifeU/ baß man in einer
geraben Sinie {vioei beliebige ^uncte nimmt unb ani iijntn jwet
Sot^e duf ffe errid^tct. Denn no^nn ($ig« 35a.) auf AB au^ Cunb
D bie ?otl)e CE unb DF errid^tet »erben, fo ifl ni*t nur SC ECD
— 5C FDC zz R , fonbern auc^, »enn man EC nad^ G unb FD
itac^ H »erWngert, ^ GCD = j; CDH = H. gofgü* finb
^ier bie aBec^fetoinfel £CD itubCDH, ober GCD unb CDFein^
anber gleid)«
c) au* vfann man ffc^ ein gegebene« Dreierf (gig. 253.")
ABC tiodi einmal in umgefe^rter ^age aK CDA conflrniren, too
benn, ba nun 3C AGB = ^ CAD unb X, BAC = 5; DCA ifl,
aucb AD mit BC ujfb AB mit DC pataM fe9n mn$. Dann
f6nnte biefe« Dreiecf ABC noc^ jenfeit« ber Seite BC unb jen#
feit« ber Seite AB gelegt to^rben, um ^araOeOinien ju bifben.
LV. Sumas. Sa^e. (S« ffnb alfo Oberhaupt {toei gerabc
Sinien mit einanber paraUtl, loenn /
1« Die Summe ber beibeninnernSßJinfetiioti rechte betr>,
2. SQenn bei duffere SQinfel feinem innern gleid^ ifl, unb
3. SOenn jtoei 2Qed)feIn>inre( einanber gleich finb.
Shtd) flnbet man Itid^tf baß au« jeber biefer brei Sebing«
niffe jebe ber {n)et <inbcrn al« ^ofge abgeleitet n^erbcn fann, fo-
toie jebe berfelben burc^ bfe bi«^erigen Sd^e einfad^ |ft con#
flruiren ifl. —
256
LVI. Sitm 29. ©H«- ») ^« ®e»eie btefe« ©a^f«
bentl^t jum 3^^et( auf bcr^ aH wa^r erfanitfen/ Sel)auptitng be<
berAd)ttgtcn XL (?uc(ibtfd)en 9(rtom6 unb t^atalfo nur
banu wüc Uebetjeugungdfraft, ivean matt fie btefem XI.
(grunbfcr^e jufle(tcl>t SEBa« bereite oben (XXVI.) roon bemfelben
im.SlOgemetncn bemetft tt)orben i(l/ fann {)ter ni^er erörtert
iperben ; bbd) o^ne Slnfpruc^ auf IßoSenbnng }u utacben*
e^ fei (3tg. 254.) AB baburc^ mit CD i/iaxaUd, t>a9 ^BGH
«f- 3CI GHD = 2 K 1(1/ fo muß/ n>enn bie GI( einen beliebigen
SBinfel KGB mit GB bilbet, nunmehr ^ KGH + j; GHD
< 3 R fc9n. 92un n>erbcn bie Stnien GB unb HD , tt>enn jene
nod) fo toeit Aber B, unb biefe nod) fo weit Aber D »erldngert
ipirb/ niemals gufammentreffen ; allein GK ifi ^egen HD geneigt
unb tt>irb ffc^ bei ibrer SSerldngentng aber K ber HD immer mebr
nnb me^r annd^ern. 1Dai)er lebrt bie Slnfcbauung/ baß
bie Derl&ngerte GK bie ebenfalls verlängerte HD einmal burc^#
fc^neiben toitb.
h) Obfcbon man geneigt feipfu midjtz, biefer 2)ar(ieKttng
SSeifall )U. fc^enfeu/ fo fann ffe boc^ auf folgenbe SlOeife me^r
begrfinbet »erben. 66 fei ( gig. 255.) X. ACD = R unb 3c; A
< Ry fo muß baf an^ C auf AB gezogene Sot^ G£ jur f!fl^d)tm
t)on A in AB ; unb bad aui £ auf CD gezogene Sott) £F jur Stecbten
wix C in CD eintreffen unb fo fort t)on benoibrigen Sotten FG,
GH, HJ, JK tt. f. f- Kun i(l aber AC > CE unb CE > EF,
folglich aucb AC > EF unb bie gerabe Sinie AB liegt in E nA^er
bei CD aU in A. Sluf d^nlic^e 3lrt ifi aucb EF > GH ; GH
> JK u. f» n). jDa^er nd^ert ffc^ bie gerabe AB ber geraben
CD in hm ^uncten E, G, J unb in ben folgenben immer me^r/
je n)eiter fle toerldngert toiifi.
(Eben biefed gilt aucb t)on ben {mifcben A unb E, jmifti^en
E unb G, 2n)ifc^en G.unb J u* f. f. liegenben ^uncten. d^ fei M
C^ig. 256.) ein folcber B^ifc^^npunct/ fo }ie^e man ba^ iotti
MN unb bie SSerbinbung^linien CM unb JNE. ^ter ifl/ wegen
3C; CEA = R, anti^ CMA > R, folglich AC > CM. Slttein/
wegen 3C MNC = R i(l auc^ CM > MN ; folglid) muß AC > MW
fepn. *- ,2luf dl)nli*e SIrt ifl, wegen 3: WEM > R, auc^ MN
> ME| aber NE >EF, fol^lic^ auc^ MN > EF.
2S7
c) ^a ffc^ min tit gerate Unit AB (gtg. d5S.> in allen
9)ttncten toon A btö J ber CD immer me^r annd^ert/ fo fann
wän toctfl aU ®rttnbfa$ annehmen/ fle werbe fic^, bei tl^rer
Serl&ngernng &6er J > nidjt me^r noetter ))on CD entfernen f6n#
tien unb ed n^erbe fomti ba« n)iSfäl^rItc^ flejogene iotf) ST eben^
faB< < AC fetjn. /
d) »un fei ( gifl» 257. ) K ABC < R , V ein in beffen
eiitnUl BA. beliebig gen>&M^^t^ ^nnc^ nnb VN ein ^Dt^ anf BC,
fo fann , tt^enn VH = BV gemacht unb HP lot^red^t auf BG
gebogen »irb , bie tinie NP ntcfet Heiner aU BN feyn.
X)enn wenn MV aber T toerlAngert unb oud H ein iottj UM
onf NO gebogen wirb / fo fann HM nid^t grif er ali PN fei^n«
SOSAre biefed, fo mac^'e man m> sz HM unb {te^e DH^ tDoburd^
X HDN < R würbe unb HM md)t gr jper ald PN feyn fann (c)*
Xafitv muß <HM 1?N ober HH > PM. Slffein ha mn VH = Vß,
^ HVM = 3C BVN unb X. VMH r= ^ VNB =: R i(l> fo muf
au(4 A VMH ^ A VNB unb HM = NB fepm JDa^er i|i auc^
entweber NP = BN ober NP > BN.
e) Xtmmt man nun HF = BH , fo wirb eben fo bewiefen /
»aß GP SS PB ober GP > PB i|l. (Si tfl aber BF ac 4 B V, unb
3G = 4 BN ober BG > 4 BN, baber wirb für a BF = « BV
in BA eine Sinie entße^en / welche entweber + d BG sr 8 BN
ober > 8 BN fe^n wirb. ®o wit alfo bie Stnien BV, BH, BF
if. f. f. nad) ber ^rogreffion 1/ 2, i, 8. . . joad^fen, fo werben
bie iljnen entfpret^ienben abf*nitte BN, BP, BG u. f.. f. in tbm
biefer ^rogrefffon ober in einer nodi großem junel^mem
f) 9Qenn a unb b jwei gleichartige ®r6ßen ftnb unb a > b
ißf fo gibt e^, wenn b nac(^ ber ^rogrefffon a b, 4 b^ 8 b, i6 b
lt. f. l o^ne (Snbe {une^men fann, in biefer SRei^e irgenb tin^
mal ein Sielfa^^eö oon b, weld^^ großer ali « i(l. 'S^tnn totit
b mit a oergHdien werben fann, fo fei r = <i, wo q entweber
eine ganje 3a^I ober eine ganje 3a ^I nebjl ^inem etgentlidjeu
93ru(^e fe^n muß, welcher < b iß« ^ier wirb nun b x q ^ a.
aOein wet( b in bem Ser1)d(tniffe 2 b, 4 b, 8 b. . . , junimmt^ fo
gibt %i einmal ein Sielfad^e« oon b^ welche«* größer all iai
17 ,
298
q faiit t)on b iß> itttb tiefet istttfl bann andi großer aK a
g) ffietitt tttttt ( Jtg. a570 3C ABC < R ttnb in eittem
tt>taräl)r(t(^en ^uncte E te« ec^enfcie BC ettt Sotl^ auf BG
errichtet toixi, fo muß ta|feI6e, geling Dcrfdngert/ ben anbem
®d)cnfc( einmal burc^fc^neiben« — Senn toenn man aui einem
ttt BA lüittfÄ^tli* gewählten ^Juncre V ein 8ot^ VN auf BC
{ie^t/ fo tfi BN eine ?tnie, xotldit mit B£ ))ergli(^en ti>erben
fann, ba, wenn biefe B£ nac^ ber ^rogrefflon V2 B£, V4BE
i/g BE tt. f. f. abnimmt, einmal eine Sinie ent(iet)t, uoelc^e Heinet
aU BN ifl. aKac^t man mm VH = BV, HF = BH u. f. f. unb
jie^t ani ben (Snb))uncten biefer Sinien bie Sot^e HP, FG u. f* to«
auf BC, fo muß man auf BC einmal eine Sinie nne BG erhalten,
tt>eI4e großer a» BE ifl (f). SlSein j[e$t liegt ber $unct £
jwifc^en G unb'B unb ein ani £ errichtetet iotli mn^, ba ti
loeber in F eintreffen / noc^ bie FG irgenbmo fc^neiben fann>
]n>ifc^en F unb B in BF eintrefen, b. ^. bte oerlAngerte £P mufl
bie BA fc^neibem
h) Son biefem @a$e (ann nun (etc^t bie SInwenbung auf
ben (irengen fdttcti^ hti ejlften (Suclibtfc^en lljriomd gemocht
toerben* — S03enn n&mlic^ bie jmei innern / auf einerlei ® eite
ber fc^neibenben Sinie (iegenben WSinUl jufammen weniger ali
jtoei Sted^te betragen, fo fjnnen bret %iüt Qatt flnben:
1) (Siner ifl ein rechter , ber anbere tin fpi$er SBinfef*
2) Seibe ffnb fpi^e SBinfel,
3) Set eine ifl ein flumpfer/ ber anbere ein f^piger SBinfed»
%&t 1) ifl ber @a6 furj juDor (in g) beriefen ,
g&r a) jie^e man t)on bem ®(^eite( bed einen fpi^en SBtnfeM
ein 9ot^ auf bie gegen&berliegenbe Sinie, fo liegen an
biefem 8ot^e jwei innere 9Binfe(, n)ot)on einer ein rechter
unb ber anbere ein fpi^er ifl, unb ed tritt wieber ber
»orige Seweiö (g) ein.
gftr 3) äßenn aber ($ig« 258.) bie AB nnb CD V)on ber EP
f in G unb H gefcbnitten wirb, baß ^ GHD > R,
aber benno* '^i GHD + ^ BGH < a R, fo jie^c
mcat butd) H eine Unit JHK, woburc^ ^ BGH -)- K
259
GHK = a R , fo {(l JK mit AB gWctirattfenb: SBhb
nttn t)Dn H auf OB tai icttj HL gebogen , fo mu^ and)
3C LHR = R ff^tt. X)enn »dre JC LHK < R, fo
mftßten LB unb BK, über B unb K »trldngert, einmal
gufarnmentrrffert (g) jinb Mnitten nidjt pataUd fcpn.
aBdrc aber jc LHK > R, fo müßte JC LHJ < R fe9rt
itnb bie Cinten LA ünb HJ müßten einmal nad^ A unb J
gufammen(aufen unb lüireti ebenfalf^ ntd^t parallel/
Da nu« 5C LHK = R ijl, fo mu^ 5C LHD < R unb
folfllt* $: HLB + je LHD < 2 R fe^n unb bie «inien AB
ttnb CD mäffett, über B unb D t)er(&ngert/ ftc^ auc^ einmal
f(^neibett» (g.) '
i) liefen SSewei« be« !!• (Suclfbifctiett ©runbfaje«
^atte ber Serfaffer biefed bereite t)or m^r aU {tvanjtg 3(il}ren
ber t)ormaItgen DepartementafgefeRft^aft ber SQtffenfc^aften
iinb Äünfte ju STOainj, »efc^e iljn in i^re Wiittt anfge^
ttpmmen ^atte, überfenbet« SlOein balb f^at ber Serfaffer mit
Sfnbern bemerft, auc^ biefe !t^eorie entfprec^e beßt)alb nid)t ber
Slufgabe, bie man jTc^ aU 3i^'punct gen>d{)(t ^atte, tocil tin
^ülf^fae (in c) nic^t au^fd^Iießlic^ burc^ f!reng .-ertoiefene
{e^ren ber ©eometrie, fonbern ^nm Ztftil burc^ bte blofe
Slnfc^auung begrünbet fei. (Si foK tt&mlic^ ber Senoei^ Ui
*
11« ©runbfa^ed Ui (Suclibei fo geführt werben, baß ber
S8et9et<grunb nid^t auf ber ilnfc^auung / fonbern auf flreng
bemtefeneii ®A$ett ber SBiffenfc^afi beruht, di Unntn ^ierjn
nic^t nur bie erflen is ®A$e ber (Slemente, fonbern aUt,
t»tld)t ani i^nen abfuleiten ffnb, benügt toerben; fo, baß
bem geometrifc^en ^orfc^geifle aOerbingtf tin totitti $e(b ju
tteuen Unterfuc^ungen bargeboten tvtrb.
k) £)bnjo!)( nun feit mel)t ali 3000 Sagten ton bett
fc^arfflnnigflen ©eometern Serfuc^e erfdjienen ffnb / biefe 9Iuf<^
gäbe )U f6fen, fo i({ e^, in bem t)orl)in bcmerften ©inne,
tioc^ deinem gelungen/ ben ®orbifc^en knoten fo befriebigenb ju
cnttt)icfe(n, n>ie man biefeö, o^ne einen ipülf^fag ber Slnfc^auung
SU gebrauchen n^ünfdjt.
SIeUere nnb neuere Schriften hierüber ffnb fofgenbe:
17 ♦
\ '-
260
1) (r* iS*. Käigelj Conataum praecipnorujn theoriai;! pa-
rallelamm demon^trandi recensio. Gdttingae, 1763« 3<f p.
4to cum. tab. aen.
n^Wlatijiai Raufet/ STnalptifc^e SK^anbrutig bet
9infaniiix&nit Ut ÜRat^emattf u. f« w. ar Zf^til , bte SRep^
fünft« aQiett/ 1780, G. 34. u* f« 8*
3) 3- iS^. iamhtxVi Jtt)eom ber fJaraKeOmtem Stt
btm Seipjtger QRagajtn fftr veine tmb angmattbte QRat^etnatif
Doit SentoisKi unb ^inbettburg« 1786, ate« ©tief 6* 13/;
3tc< etfid 325 tt* f. 8.
4) 3o^. Gc^ttl}/ CarfleSttttg ber «oKfoinmeitett (Smben{
ttnb Gc^Arfe fetner 3:^eode ber ^ara0e(en. ft6ntgd6erg, 1786*
8« Slucb frft^er fd^on: beffen entbecfte St^eorte ber ^arab
lelen/ Atotgiberg 1784. 8«
5) Cajaru« Senbat)ib/ lieber bte ^araOeKtmem Sn
einem Schreiben an i£)errn i^ofrat^ Warften« Serltn/ 1786«
8. SSRxt 1 ^u))fertafe(.
6) Gehabter/ Serfnc^ ber (Einrichtung unferei Srfennt^
sti^bermdgen« burc^ SKgebra nac^jufpftren. Setpjtg, 1788«
7) /• H, Voigt, Gommentatio mathematica exhibens
tentamen ex notione distincta et complela lineae rectae
T^ritatem a^xiomatis XI. ' Eaclidis demonstrandi* Jenae ^
1790, 54 p* 4* cum. tab. aen.
8) % ®. 93äfc^/ Slu^jug Ott« ber (Enc^clopftbie ber
tnat^ematifc^en 98t(fenf(^aften« i^amburg , 1795. §. 10. n« f.
9) Stefybeitt/ Serfuc^ einer neuen ®runblegung ber
®eometrie. (SittingeU/ 1795.
10) 3. St. e. i^auff, SIeuer SSerfuc^ einer Serid^Hgung
ber'(Suc(tbifc^en St^eorie ber ^araEelen. 3n bem Kredit) ber
reinen unb angemanbten 9Rat^ematif wn i^inbenburg. 9tti
i^eft. geipjig, 1799 ©• 74 ui f.
2)effen Ütac^trag ju feinem neuen SBerfuc^e u. f. w« im
loten ipefte biefe« Strcbiiod ®. 178 u. f.
11) /. C Schwab y Tentamen novae parallelamm tbeoriae,
notione situs fundatae. Stuttgardiae , 180 u XXX et a5
p. 8. c tab. aen.
261
\
m % % % Jl^ off mit HU/ Serfttdif einer neuen nnb
flrftnMtdiKtt S^^eorie Der ^araÜeOinten/ nebjl äBiterlegmtg
be« j^aufffc^en Serfnd^d n. f f» £)ffenftad^ o« 9R»/ I80i. 48*
®. «♦ SRit 1 Si^feL ,
13) A. Kircher j Noavelle th^orie des parallMes, arec
nn appendicei contenant h. maniire de perfectionner la
th^orie des parall^es de A. M. Legendre. A Paris, i8o3.
XII. et 64* p> 8»
i4) Grmshöf, These« sphaerologicaey qnae ex spHaerae
natione veram rectae lineae sisinnt definitionem, ompisqae
'geon^etriae jaciani fandamentam. Berolini, i8o6,
15) 3^ 3. 3* <!£) off mann/ (Sritit ber ^araneteni^^Sl^eorte«
Seha 1807« XIX, n« !176 S. 8 mit lo jeupfertafern. Z)tefe
@c^rtft ent^&It bte DarfteBung unb Grltif ber ^araOelenle^re
)9on €Iat)ittd/ ^roclu^z i^^anff/ Soff&t, Adjiner/
©imfoti/ SacrotX/ Soren)/ @egnet/ 92affarebbtn>
5(tr(^her/ ^c{)mtbt/ Segenbre/ @d^tt>ab/ Sacquet/
J^tnbenbnr^ ntib loom ^erf affer«
16) (S* ipauff/ (SucHbö (Elemente/ baS erfte btö }um
fec^ften/ fammt bem eilften nnb jmilften Surfte/ n« f. f. 2te
Kuflage« SRirl^urg 1807. 2)er Sin ^ang entt>Alt @. 347—
069 eine nette $t ^eorie ber parallelen.
17) @d|ei6el/ ixoti mat^emattfc^e 9[6^anblnngen« I. SBer#
tleibigdiTg ber S^^eorfe ber ^raHelen nac^ bem (Suciibe^.
JBredlan, 1807» •
18) ^erb, 6. ^c^weif art/ bie Sl^eorie ber ^arallettinien/
nebfl bem S?btf(^Iage il)rer Serbannnng aui ber ©eometrte«
Sena unb'8et>jig isos. 13I8 ©. gr. 8. SDKe 5 Äupfertafelm
19) 6. ®. Onerier/ ]£t)eorte ber parallelen alt 9(nf&n#
bfgung eine6 nenen S9erfuci^d über bad (Srfenntnifüermdgen.
8eipjig 1808, 55 ©. 8. gRit 1 XafeJ.
30) /« C Schwab j Essai sar la sitaation, pour seryir
de sdpplement aux principes de la Geometrie. Siuttgardt
i8o8. 5i p. 8.
21) 3. g. ©ttttenJ^ofer, Siprfuc^ eine« ßrengen JBe*
beifeö ber S^^eoreme wn ben ^aralteUinien n^ f. tt>* @ttttN
g^arbt 1813, 24 ©, 8. SRit i XafeL
5S62
any ttit. SIL fl^ttxmann, 9krfit(4 dun etnfiui^ctt 9u
ff^&uHnfi tti XL (iutüiiSdfta Hxipp^ k* f* f • %tanffiM
a. ^ 1813. 4. mt n Stupf trtaftin.
!13) /. C SchM^ab , Commeotatio in primiim Elemen*
toruin Euclidis libmm, qua fieritatem Geometriae prioci*
piift ontoJogici» niti erincitur^ omnesque propositiooes »
axlomatam geometricomm loco habitsie^ delAOAStrantar.
Stuttgardiae ]8i4< 67 p. c. i tab.
9>araaeainien ti. f. w* Wloini, 1815» XIV. unb 44 ©. gr. 8«
9R(t 1 Jtu))fcrtaftL — £cffeti 92a(4trag |ttr t)«rgebad^teit
SC^corie. 16 ®. .^
25) 3« 31. 9). 9&r0er/ SBoHßdnbigr Sl^corte ber ?S^9lxqU
Minicit« 92r(|l Simnerfuttgen übtt. andere fri^^er erfc^icnctte
9)ara(IeI^2;^ecricii. AarUnt^c 1816.; -^UL unb 3t5iB* 8. SRit
1 aiafcL
' J26) 9. S. SrelU, Uefrcr ^araOeUn ^^ Sl^eoriett itnb hai
@9flem tn ber @eotnetrie» Serlitt/ m6* 113 ®* 8. ^\X
4 SCafeln.
37) S. S. i^. Setme 1^ reit ^ Serfitc^, )>te Se^re wn bett
)»aral(e(en unb conoergenten {inten Mi einfa^^n 93egrtffen
toOfl&nbig herzuleiten unb grAnblid^ |u enpeifem O&flro»/
1816. 26. e. fL 8. 9Rtt 1 XafeL
28) J*. X. Wächter, Demonstratio axiomatia geometrici
in Euclideis nndecimi. ^Gedani, 1817. 16 p.<-*«
Neffen Sluffo^ hierüber in ber Bcttfc^rtft fftr Sffironomte
unb berwanbte i&iifienfc^afUn. S. IL ^ «« 9>. laiö«
29) S« 9. ^. Cucfib'« eilfrer (Brunbfa« oM {c^rfa^ be#
tpiefen. Hamburg 1818. 8. @. 4«
30) (S. SB. i^epling^ Serfuc^ einer 3;^mie ber ^arab
IcKittien. ipaße, I8I8. XXXXVL unb 223 ©..gr.^S. SKit
5 Stafeln« jDiefe @(^rift enti^dU ®. 1—73 Serfuc^ einer
£^eorie ber 9>araaeain{en ; ®. 74-- 136 ®runbf&^e ju ber#
felben; ©. 137—215 »eitrdge jur SSerl)dltnißIel)re,.unb ©.
216—203 Bufammenfieaung bcffeu/ tva« in <Eu€L S(em« S.L
aber ben ^araOeRi^mut vorgetragen n)orben i|l^
865
tjanhlMfi ber (Beometrte / (itlan^tn, isi7. @«.9i«
33) König j supplementa in . EncHdism. . Utint, 1819. .
33) Ü« %. Hhidt, Serfucb einer tteuen 2;^eorie ber
^a)f Agepttoienj, im 3ufmmeti^anfle mit bett ©runble^ren ber
@eometrie bargefleSt JKciPen, 1819« 16 @. gr* 8* SRil i
$4) 3. SB. an & Her/ Srn6ffil^tli(6e et^ibettte 3;^ei>rie ber
9>araneatmem fflhnUti, 1819* 79 @. gr. 8« SKit i J^oim
fertafeU
35) Sro. £)^m, 5l«ritifd^e Selend^httis ber aRat^ematir*
Sertiit, 1819.
36) ^* ?• Stritte, S^^eorie ber ^araKeBititen* £jitigd#'
ber0/ 1830. XII. ttiib 36 6« gr.' 8. 9Rit 19 eittgebntcftett
ig^olifc^itfen.
37) % 9i. % ®ftrger/.,SoIlß&Hbt0f St^eorie ber ^ataU
lellinien u« f* f. atz mit Sriduteruttgett »erme^rte Sfutfgabe«
darfi^nt^e 182Q. XVI. unb 53 ®. gr« 8« 9Rit 1 2;afel.
38) SR. (Sreijitad)/ Stb^atiblung Aber beit XL dnüitU
^dfm ®runbfa$ in S3etref ber ^araKeOimen» ißebii einem
lizmn {Ben>eife beö a8. @« im XL SBncfte ber (Elemente*
Wiam, nn* 28 ®. 4. a^Kt 13 ein0ebrn(ften ^oljfc^nittem
39) 3« <S. Jtäfler, Serfttc^ einer neuen St^eorie ber $hB#
raOeleit* 9Rit einer SSorrebe vcm ^ofrat^e SBA^renö. ^amm,
1821. 38 6. aRit 3 Xupfertafelm
40) e. %. Wl&nnid}, Sin Serfnc^^ bie Sl^eorie ber ^a#
roKeKimen anf einen ©mnbbegrilf ber ungemeinen @r66en^
le^re {nrA(f)uf&^ren» Serlin, 1821« 56 @. 8« aRitaiSafeln*
41) C. Hauff j NoTa rectamm parallelarum theoria.
Ediiio altera supplementis ancta. Francof. ad M. t83i.
VIIL et 86 p. ^h. Sect.- L theoria reEtaram parallelarum e
contemplatione trigoni aequilateri deducta ; sect. IL th.
i^ct^ paralL e contempl. quadrati et sect. IIL e contempl. >
circuli deducta.
4a) %xit^f aRat^emattfcde IRatnrp^ifofop^ie , nac^ ))^i#
lofop^ifc^er äRef^obe bearbeitet* ^eibelberg/ 18!12* ®« 355
n* f.
1
864
43) SBlatff, üßcttctttidf, SSoSftftiibfge Zf^totit ber ^a<
t^iKeUinten , ober geometrifc^er 99en>et< beö rtiftett Sitcltbtfc^eii
®ntttbfa$ed; dte umgearbettete fittflage* aRaitij, isäa XX*
»nb 41 e* 8. mit 1 ZaUl
44) S. 31. QRüdcr, Zfftetlt bev ^araDelem SRardirg^
i822. IV. unb 40 ®, 4. mt 1 a;afel.
45} Z><m. Hubctj Nora thfloria de parallelaram Iinea«
rum proprietattbus. Basilea, \%i5. ^o p. 8. onm i
tttbl.
46} F* G* L* Wahl^ Dissertatio mathematica 87mboIa$
ad epicrisin theoristrum parallela« «pectantium conlinens«
Partie. L Insitnt IV. tfaeoriae earumque censiira (Theoria
Voigtiana, Langfrdorfiana, Thibaatiana et Anonymi) Jenae,
i8a5, VIII. et 44 p. 4.
47} Andr, Jacobi y De undecimo Eoclidis Axiomate jadi«
oiiimi cpi accedunt pauca de^triseotione angali, Jenae, 1824«
54- 4' ^^^^ I ^^b.
48} %. %. Xanttittt </ 3:^eorte ber ^araDellfmeit ^Ina.
JB^,, 1835. XIV lt. 93. ®. 8. SKil bret ©teiitrafeJit* ~
jDeffett iRac^trag 2i<y SC^eorie ber ^araSellinien. 1835«
8 0. mit 1 ^afer«
49) 9. !t. i^egeitterg, SonfÜnbfge^ auf Me befanttten
(S(ementarfd$eDoii ben geraben Sinten unb 98fnfe(n g«grftnbete
£^eorte ber ^araKelen« ÜBerlin, 1S35. 46. ®. 8. 9Rtt einev
a;afel.
- 50} 3. 8B. gRftller, 97eite Seitrdge ju ber ^aräSelen«!
%^tox\%, bett SetDeifen be^ ^^tl^agorftifcbett Se^rfa^e^ »nb ben
S3ercc^nungdarten ber 9^9t^agordifd)eti S^^I^nbreiecfe« $iugd^
bürg isnb Seipjtg , 1836* 91. G. 8« Wit einer S^afeK
92o(!^ bemerfe mm
51} C, Eichler y Disputatio de tbeoria parallel aramSGbuI-»
«iana, Lipsiae, 1786*
53} Semerfungen Aber bte St^ecrieen ber ^ar<iBeIen ber
J^errn Q^vXi, ©enjic^en itnb SenDaotb. ixban, 1796.
53} VQitiu9j Peroursio eonatuum demonstrandi paral«
lelArHm tbeoriami de Ü9C[ue judieium« OOttingae, iSoa«
26S
S4> (g^n 9b^ Aod^, VMtt ^araOdlitiicii« <Sitt Serfud^/
btmVMfitiU&adihinhiitt Qttoibmtt ^ambntß, 1827« 12. 6« 9*
Witt eingebrucften ^oljf^nttfen«
55) 9. !Rett6t9^«^avaIIfIett#3;^eoHe« Sßainntft, 1828. 8*
1) X)a aUt btefe Serfuc^e ^ t« Sejtfg auf bte flreitgen gobe^
ttm%tn, totldit man anffe macbr, me^r ober mhiber tintooSfldnbfg
finb/ fo entfielt bte fftr bte ®eometrie fe^r «Heutige grage:
Sil bte JSe^re 9ott beit fJaraSeSmtett/ ttitt t^rett sefammtett ^olge^
rungen aud t^r, &6er)ettgettb'6en)tefen/ ober titelt? StDe^eiM
meter anliDcrtett : f{e {fl e«; bentt fonfi »Arbe nidit nur ber größte
£^ilbfr®eometrte, fottbertt otele Ziitilt ber 9Rat^ematif unb
9}^9fTf überwältigt unt)oB{lftnbtg unb mangell^aft fe9it, -^ 9Beittl
itun fetner ^reng nad^jutoetfen tfl, baß aSe bidtfex erfc^tenenen
SSerfuc^e, bte ^araSelen^S^^eorte ot)ne S3et^&(fe ber 9in#
fc^aitting {tt begrinbett/^ mißrungen ftnb/ fo fann bte lieber«
gettgung ber ©eometer nur auf ber utterfc^tUterltc^en unb ooQe
®ett)tf ^ettgetod^renben Ünfc^aumtgd^Srfenntntß berufen« SlDetn
sticht j^e attfc^aultc^e SorfleKung gewd^rt bürbei tooOe Hebern,
jeugung^ fonbern nur jene/ totlM (Ic^ an bte, t>on aQen ®eo«
metern M not^wenbtg {ugeflanbenen / (Srunbanfc^auungen ttt
fRaumUljxt am Qtinfad^fttn anfc^Iteßet X)te ©eometne oeretntgt
in fTd) bad (Sfement ber ftnn(tct)en SSlnfc^auung mit bem @femente
tti logffc^en Cenfenö. SBeber baSibfoPe Slnfcf^auung^t^ermigett,'
ttod9 ber bfoße Serfianb Tann eine geontetrtfc^e 3Bt{fenftf^aft eri^
(eitgett/ unb bad anfc^aultc^e ^unbament ber ®e(>mf ttrie tfl bitrc^«
üni tnbemonflrabe(/ ba ti ben ®runb fefner Ueberjeugung in ff(i^
felber hrdgt @o fdjetnt nun auc^ bie ^araBrferile^re'nft^t o^tie
^ilfUtljxtn ber Slnfc^auung bargeßellt toerbett ju f innen, ^an
fet)e münt ^b^anblung: Ue6er bad Ser^ddaiß be^ ^araOelen^
^roblem^ }ur S(enientar#®eonietrie/ in ben oermtfc^ten
attffd;een ait^ bem®eb{ete ber^^pfff, ^t^irofof^t^ie unbiStat^e^
watit; granffurt a. STO./ 1826. <S. 34o it/f.
m) SRocft ttjziUn toix folgenbe JRedjtferttgung be« etlften
(gucltbifc^en ©rnubfafte« mit. Q^ fei (gig. 2590 AGB = R unb
MN eioe müt&\)xUäi gegebene gerabe Stnie. SRac^t man C£ ^
EF z:; CD == DG CS MN unb jie^t DE unb GF nebjl bem auf
266
GFmtC mf*tet€tt ?0f^ COH , fö «ff DE > GE mi GF> CF;
fpl^id^ ou* i/a GF ober FO > % CF 4>bcr CE, t>. ^. FO > MN.
38enn bat^er auf bem ®(^ei|{e{ cineS l^aI6en rechten 9BtnfeB
UCB ein ^egnettt CF> i^elc^ed bD|)|^t'fo gro^ atö eine n>iKfä^r^
lief) gegebene ^tnie lyil^ tff , genDmmen nnb ani F bad Sot^ FO
anf ben anbem.@(ftütfel OH ge^ uiirb> fo mnf biefe« 2ot^
Sr6f er aM jlene gegebene Sinie feyn.
n) (Si fei nwi C^g. 260:) 3C QCL == V^Ry fi) Wirb,
toenn man CK = 4 MN nimml unb bod Soti> KSjtet^t, biefe KS
> 2 MN fe^n. SRad^t «an nuarGf ;« CK, jiet^t PK nnb auf
fit Mi C bad ?ort) CWM, fo i|l KP > KSv folgli* % KP ober KN
> 1/2 KS- allein VjKS > MN, folgli* an* Kn'> MN.
: aOenn ba^er in tm 6c^enfel eine^ SinfeK MCL = V4R
ein «Segment CK' ?=? 4 MN genommen nnb bai Sott) KN auf hm
«nbem Schüfet gejogen mirb, fo iß boffelbe ouc^ nti$tx ali
MN.
6e$t man' tfiefe ^albitnngen ber 9Binfe( nnb biefe Sonflmc^
tionen ber iotiit auf A^nlic^e 9(rt fort, fo ergibt ficb , ta^ f&r
tin ©egmenttt sMNnnb einen 9Binfe{ = y^R; für ein @eg#
ment= 16 MN unb einen SBinfet = 1/15 R nnb überhaupt fftr tin
(Segment = n >; MN un^ einen 2Binf el = - R (wo n jebe
^teit) tM)n 9Mf (leKt) e« jeb{^m(^I ein Sott| ^ebe, tt)eI(^e«>MN
i^. 3Da w«>ie i^albirungen nac^ bemOefe^e Vi^» Vi^» Vs^»
y^R -R einmal {U einem SBinfel fähren, welcher Heiner
<|U ieber angigebener ift, fo ifH^ierburc^ folgenber ®a( bett>iefen:
(So gibt 19 bem ß^enfel eine« jyeben fpi^en aBinfelö, n^M^r
n^ — R i(l, einen $unct/ and totläjtm ein Sot^ auf ben anbettt
• «•
@cbenfel errichtet werben tann, welc^e^ grjfler ali jebe ange«
gebene enblic^e Sinie i% .1
1
o) aB&re aber ber gegebene SBinfel nic^t = —R, fo fei
Cgig. 261.) 3C BCE berfelbe; unb x, DCE = r^R. 9Jac^ bc»
ffci^zx ali bie angegebene Sinte tit 92imm.t iiuin mtn CA =3 CG
imb {ie^tbai iott^ AU,. fo {ann- bafjelbe, wie man. leidet ein#
fI|E:^t^ tofUtnadi AM, noc^ nac^ ber »erlitigerteit AG üt N,
nc(4 Dim A nc^cb F fallen , fonbern mußtimfcben F unb C etn«
tuff^ru 9B<rb nun GH moQtn, fo entßet^; pai t^und AGH,
lüorin X. ^^A > 3C. .^A^.» ff^sM* AH > G|l 4ft. Den«
JCCAG = 3C CGA, aber 3C;AGH >,3C iCGA tinb ^ HAG
< X.CAG. Da nun GH.> GF, fo i(l.attd> AH > GF- .
p) ^iefety f&r bie Sisare ^pn ben parallelen mtc^tge @a0
ifi >9on bem Serfaffer bi^efed juerft flreng ertmefnt (Sritif ber
parallelen i'St^eorte* iS07* ®t;^67 n. f.) unb-bauthnad^ 3^w in
anbe.rn ^d^xiften aufgenommen )porben* (Sine Ünttjenbung mf
Si^fung bed ber&c^t|gt(;n ^r((^Km$ tfl fpfgenbe :
a^ werben CSig. s6!20 bie Sinien AB unb CD wn ber brtt«i
ten EF in G unb H fo gef^nitteu/ baß 3C BGH + 3C CHJ
< a R , abejf x. BGH = R unb 3: GHJ < R i(}, fo lege matt
an HJ einen äBin^el JUD, woburc^ x BGH 4- 3c: CHD = 2II
t9irb unb HD mit GB jpari^tel fep mü$. IDa nun ^ JHD < A
tß, fo werben bie aud a, b, c u« f. f* auf HD errichtete Kot^
ady bm, cn tt. f. n>. nic^t nur immer gr^er, je miter bie in
^J lie^enben ^uncte Don H entfernt ffnb, fonbern f 4 mn9 einmal
tin Sotb geben/ welc^e^ ffif^t iß atö jebe^fgejbene gerabetinici
2)a aber ber Slbßanb ber beiben. parallelen AB unb CD in affe^i
9>uncten ein beßimmter unb enblid^er iß/ fo muß eine«
jener totl)e einmal größer M biefer SIbßanb toerben unb foIg#
Ud^ bie Unit AB in t^rer SJerl&ngerung burcbfc^neiben.
aSenn nun biefer Durc^fc^ni^t tinml beriefen iß/ fo fann
tai (Sttclibifc^e Kriom in feiner ganzen Mgemein^eit/ toit
oben (in h) bargetl^an werben«
LY II. 3 u m ao. ® a 1 e* i^ier liegt bie Sergleic^« # ^aral#
tele |n>if(4en ben geraben Linien AB unb CD. @ie fönnte ßc^abet
auc^ auf einerlei @eite berfelben beßnben.
äBenn AB fowo^I a(d £F mit CD gleic^Iaufenb ßnb/ fo muff
au4 AB mit £F parallel fe^n. Z)enn wenn bie fd^neibenbe MHN
gejogen wirb/ fo iß jc MGB = x MKD ; fo wie andi 3C MHF
268
sr < MKD* gdgII4 inif 3C MGB s^ MHP m* »a^
kte AB nrit EP paxäätl fryn.
LVIIL Siifli 31* 6ate. ») Ci »M M btefer Sbfsale
i^orArt sefc^f / haf ff^ >^ S^0<toie Stauet maß m bcr Ser^
Ungentiig ha gegetoteii ttnie Moi^^
b) ündt tinntt i%i^ 3630 AD asf BC lotj^m^t vnb bamt
auf DA bttr4 A bie £F (ot^re^rf cmf^tet iverbcit.
c) genier fauste man bit DA iber A nacb M ȟtt^flicf^
»erlAffgern / K ^^^ = ^ ^^1I>C machen snb EFjte^m.
d) Da^ aber bttrc^ ben 9>iiii€t A nur eine ^aroUtU mit
BC n^ftc^ ifl, fbfge baräu6, ba^, totnn EF mit BC gfeicfK
f aitfenb i^ / nttit ^ FAD -f ^ ADC = 3 R feyn mu^. 9B&rc
ani^ Mdi bte JAH mit BC |>ara1Ie(/ fo miitt ancb 3C ^^^
+ 3C ADC = 2R fetjti lanb e« »Are 3: FAD =? j; HAD, »a«
tmm6g(t(^ ift.
LIX. 3ttm 33. 6abe. a) Slnt^ Htmte burc^ A (gtg. S64.)
mit BC bte DE pataUtl ge{ogen noerbeR/ toebim^ ^ DAB
= 9c; ABC tttib 5c; EAC = 3: AGB tfl. 2)0 «nn BC DAB
+ X BAC + 3C EAC =: 3B, fo mit^ aiic^ X ABC +3CBAC
+ 3c: ACB = aR fei^it*
b) 9Bftrbe btefer 6ab ttnab^dttgig ^on brri^arab
leTenle^re emtefett, fo finntt man^ierburc^ bai 9^obIem
ber ^ataUtUinitn üofffommett/ fo mt ti gefobtrt birb/aufi^
I6fen* Stele l^abett iettei «)erftt(^t ; aUtin Sttmm tfl ber Setoeti
geltingett.
c) 98ettit ttt bem gletc^fc^ettferigett X)ret>cfe ettter ber gfeic^eti
@d?ettre{ übtx beffett &p\^t ))erl&ttgert totrb^ fo tß bettütfie^enbe
{luffeittt)mfe( tto€t| eiitmal fo qtc^, ali einer ber üBinfet att ber
0viinbltnie« ^oK ba^er eitt 95t)tfel gefttnben toerbett/ melc^er
ber ^dlfte etned gegebeitett GAB (gtg* 12650 gleich ifl/ fo ^tu
I&ngere man CA jiber A^ nei)me AD = AB unb jit^e DB, fo
f(l3CD = 3:B = VjJCCAB.
d) 3m gfeic^feitigen £reie<fe beträgt jeber 9BtnM V^
bti rechten SQinfeM. , 3n bem rec^tn>tnfe(igen tiuitdt ftnb bte
itt>et fpt$en SOittfer ^ufammen = K , itnb toenn baö rec^t#
totnfelige Dreiecf jugleid^ aud^ gletd^fd[|enfelig i|l^ fo ifl jebec
fptfie SBBtnfel = Vj R.
269
e) Sßftin in einem Ibttitdt bte (Stif^t tinti SOSinfett
Mannt ifi/ fo fentit man attc^ bte &nmmt Ux imi ibti^tn
aBtnfel. Unb toeitn in itoti IDtetetfett ein 9Bitt!e( gemettt^
fc^aftltc^ ift, fo mu^ bte &nmMt ber }tt)ei ilbrtgen eiTenfoSd
üt (etbeti btefe(6t0e fe9ti.
f) aSentt matt in bem gleic^feittgen Sreiecfe Don bev
6))i$e ein ?ot^ anf bie (Smnblinie 3ie|t, fo enrße^en jwet
I^reiecfe, loorin ber ^ti^tt SQtnfel = R» bet mtfthre = V3&
nnb ber Heinfle = % ifl« Snc^ ifl in biefen £reie<fen eine
f^ailittt bie ipdifte ber j^ppotenufe. Unb toenn nmgefe^rt in einem
re€^ttt>infe(igen Creiecfe eine Sattere bie i^dlfte ber ipypotenufe
tft/ fo tfi ber tint fpi^e SQtnfel V^ iti anbem«
g) @oII an bad Q^nbe A (gig. a660 einer geraben 8inie BA
tin iotli auf f[e errichtet toerben, fo nel^me man AC toiDfA^r^
lieb, befc^retbe bad gteic^feittge Dreiecf ADG, Derldngere CD
Aber D bid DE == CD iß unb {ie^e £A , fo ifl biefe fenfrcc^t auf
AB, Denn3CDAC = 3c:ADC = y3R. «Oein JCEADssVjR;
folgli* 3C E^C = 5/3^ + VaR = R-
LX. 3 um 33* ®a$e. a) Durc^ biefen @a$ »irb bie
SBorterfldrnng bed ^araKelogramm^ jn einer flrengen @acb#
erfidmng« 2)enn man fte^t/ toit ein SSierecf entfielen fanu/
toorin bie gegen&berliegenben (Seiten einanber g(eid^ unb mit ein^
anber paraOet f[nb» (Sinioldjti Sieretf loirb aber tin^ataU
lelogramm genennt
b) £ie (Sleic^^eit ber ffc^ entgegenfle^enben Otiten nnb t^r
^araEelt^mu^ ffnb fo innig mit einanber k)erbunben / ba^ aui
jener biefer unb ani^ biefem auc^ jene ^eroorge^t« (ii fei ndm^
Ii(^ BA £= DG nnb BD = CA , fo mu9 , U>ei( BC = BG iß,
aucb A BAC c5 A CDB, folgli* X. ABC = sc DGB nnb fomit
BA mit DG paraUel fe$n. SBegen ^ BGA = x CBD iß auc§
'AG mit BD gleid^faufenb.
Umgefe^rt folgt ani bem ^ataUtUimui t)on BA nnb DG
bie ®Iei(^^it ber SBinfel ABC nnb DGB, tooburc^, toegen BG
= BG f toieber A ABC ^o A I^CB nnb fomtt B A = DG unb
AC = BD iß«
270
c) SBetbett ixoti congniente ZxtUdt, tolt ABC mtb DGB
fo Ott bte gemetnfame Seite BC gelegt, baß bte Scheitel ber iffv
^egen&berltegettbett ÜQinfel A unb D auf entgegengefe^ten (Sei«
Un biefer BC unb eben fo and) bte gletd^en aßinfel ACB unb DBC
m entgegengefe^ten Snbpunctett biefer BC liegen, fo mu^ e6en#
faUi ^ierand ein 9araSe(ogramm ABCD entfielen« — £a auc^
AC an DB unb BA an CD gelegt n)erben f innte, fo werben auc^
ISlierburc^ {wei ^araUelogramme gebilbet
d) Vtntt man (ic^ nun ( ^ig. 267.) tin gfeic^fc^enfeKge«
rec^ttt)inf eliged Sreietf ABC , wel cfce« auf ijorbemerfte »rt ( c. )
ttac^ ADC gefegt wirb, fo ifi bai ^ierburc^ enffie^enbe ^araHe«
logramm ABCD tin Quabrat, »eil nidjt nur ^C B = SC BCD
= x.^ = I^AB = R, fonbern auc^ AB = BC = CD = DE
i% — ©Are (gig. 268.) ba« gfeicfefc^enfelige X)reiecf EFG bei
F flümpfwinfelig, fo entjldnbe bre Staute EFGH, worin X,^
= 3C H; 5; FEH = 3C FGH unb EF = FG=:GH = HE ift.
e) Slud bem red^twtnfeligen ungleic^feitigen 2)reiecfe JRL
(gig. 2690/ worin JK > KLijJ, entflet)t auf d^nlic^e »rt bo«
Wedjtecf JRLM , in welchem JK = ML , JM = KL unb ^ J
= 3C K =s jc I- = 3C M i|l, T- 3(1 aber ein Dreterf (gig. 070.)
KOP gegeben, worin NO > OP unb JC ^ <; R ober 3C O
> R ifl, fo entfpringt ^ieraud bie St^omboibe NOP(), worin
KO = QP, NQ = OP, 3:0 = 5CQ» 3C QNO = >: QPO i jl.
f) Saß e< nur )Dterer(et Slrtenvon ^araVelogrammen
geben fann, Idßt ffc^ nun leicht ei1lfel)en. X)enn entweder finb bie
}wei Seiten, welche einen SBinfel be{felben einfc^(ie0en, einanber
gleich, ober fle finb ungleich* 3n jenem gaKe entfiel)t/ wenn
ber SBinfel, welchen fie biiben, ein rechter ift, ba^ Duabrat,
unb wenn berfelbe fc^ief (fpiß ober (iumpf) i(l, bie Wäute. Sn
biefem göBc entfpringt, bei einem rechten aSinfel, tai Mecbtecf,.
itnb bei einem fc^iefen 9Qinf e( bieSt^omboibe« (Ein f&nfter$aE
tfl unmjglic^.
g) Siud) ge^t an^ bem Sid^ei^igen bie Sonflructionbed^ait
ralleltrapej ^eroor. SQenn man nimlid} bie (Snbpuncte jweier
ungleichen parallelen an einer Seite mit jwei geraben Linien oer#
binbet, fo ent(lel)t' biefed Sßierecf , welc^cd einige Uebereinßimi
271
mungnitt bem ^araDjerögröiawe l)at ^i fei (^ig. 271.) AB möt
CD s(ei(^Iattfettb , aber AB < CD, fo ifi ABDG ein ^araOeb
trapej* S(uc^ Jattn ^ier AC tttci^t mit BD gletc^Iaufenb fe^tu
Senn m&tt bit^i, fo miVfte/ u)enn BC gqogen tDtrb, ^ AGB
= 3C,J)BC ttttb fofglic^ A ABC cö A BCD^ ba^er aud) AB
= CDfe^n^ gegen bte.Soraudfe^ung»
b)X)ad gen>6^nlici)e2;ra)3ei entfielet anf fofgenbe äQetfei
(Si fei ( $ig. 3730 ABCD ein ^araOelogramm. SRan t>erldngert
}tt>ei ^araSelfettcn DA unb CB aber A unb B nac^ E nnb F>
nej^me inber Sbene EABF einen tDtOtö^rlittieit $unct H nnb jie^e
AH unb HB, fo ifl AHCD tin folc^ed Ztap^. X)enn ba ed burc^
A nurtine ^araSele AB mit DG nnbbnrc^ C nur eine ^axaU
lele CB mit DA gibt, fo fann AH nid^t mit DG unb GH nix^t
mit DE gleid^raufenb fe^n« — Stimmt man ben $unct J inner«
^alb Ui Parallelogramm^/ fo entflef)t bad ^araÜeKrapej DJBC,
unb/ toenn biefer ^unct J in ber Sbene bed IDreiecfd BDG liegt^
tin aSierecf mit einem einw&rt^ ge^enben SQinfel«
i) aiuc^ fdnnen bie ^araOeDinien nun ali gletc^wei^
abfle^enbe erwiefen werben* Sd fei ($ig* 373.) AB mit CD
g(ei(^(aufenb mh wn bem n)tnf&^rli(^en ^uncte M bai Sot^ MN^
ton F bad Sot^ FH auf CD gejogen. i^ier iß/ megen X, ^^H
= ^c: FH]>r, auc^ MN mit FH pataM, folglich/ koenn MH ge#
gogen »irb/ 3C NMH = 3: MHF. Da aber anc^ 3C NHM
= 3C FMH i(l/ fo mu0 A NMH gg A FHM unb ba^er MN
= FH fe^m Züa biefer SBenteid mn ebenfo wn aUtn Abrigen
^nncten in AB nnb CD gilt/ fo ftnb ^araSelen auc^ QUiditotiU
abile^enbe Siniem SBenn Iti^er bie Sinie MN unter bem Sinfet
MNC = X. MIND s= R ftc^ mit bem (gnb))uncte N unb/ in einerlei
(Ebene bleibenb/ bon N na4D bemegt/ fo befc^reibt i^r anberer
@nb|)unct M eine gerabe Sinie MB , loelc^e mit CD gleic^Iaufenb
ifl. — jDurc^ ^ilfe biefed festem @a^ed/ n)elc6er aber unab«
b&ngig ))on ber ^araüelent^eorie betoiefen loerben muf / ^obtti
SRe^rere eö t)erfuc^t/ biefe itt^xt «»oKfommett befriebigenb ju tnU
toicfelu/ toa^ Sinnen iebod^ nid^t in Um (Sinne gelungen ifl/ tvie
man ti fobert«
272
LXL Bttm 34» 6a(e. «) Stefc Sr^aitptmtg fe^t oT^
S^effö bai IDafepn etneö ^'Arallelogramme^ t)oraud.
CucUbeö oerflel^t in btefem ®a$e unter ^araKelogramm jenc<
SBierecf , in welchem bie flc^ entgegenfie^enbrn Seiten mit etn#
anber g(ei(^(aufenb ffnb, oftne bie ®(eic^^eit biefer ®tittn ober
jene ber ffc^ gegenä6er(iegenben 9Binfe( babei Doron^j^fe^en.
(Bin ^araUelegramm in biefem ®inne fann nun folgenber^
gefialt conflruirt loerben« 9Ran (ege an BC in B.bie BA unter
einen beliebigen 2Binf el unb in C bie CD fo , la$ < BCD
= ^ CBA ijl» SQcrb nun burc^ B tim beliebige gerabe Sinie
BD unb bur4 C bie CA mit DB gleic^Iaufenb gebogen, fo ent^
(le^t ein SSterecf, toorin BA mit DC unb BD mit AC paraDel
tfl* — Sa^ nun in einem fold^en Sierecf e bie ©egenfeiten
unb ®egenn)infe( einanber gleich ffnb, tt>irb tofUommtn flreng
in bem a4. ®a^e bemiefen«
b) lüiefed ^araUelogramm ABDC noirb inbeffen t)on ber
jDiagonale BC nicbt b(o$ l^albirt, fonbern in jtt>ei unter (tc^ con^
gruente 2)reie(fe BAC unb BDC get^eiit. 9Qie itmgcfe^rt au^
^toti congruenten Dreiecfen ein ^araOe(ogramm entließen fann,
iß bereite oben (LX, c.) tnitoldtlt toorben.
c) ^üdf Idf t ftc^ (eic^t umgefebrt jeigen, baf^ wtnn in bem
»iererfe BACD bie Seite BA s= DC unb BD = AC ift, nun
and^ BA mit DC unb BD mit AC pa»aOe(, fo toie auc^ X ^
= D unb X I^BA = 5C I>CA ffion mug.
d) UKein t»ie fofgt an^ ber ®j[ei(i)^eit ber ®egentt>inf ^( eined
Sierecfd, bie ®(ei4^eit feiner ®egenfeiten unb i^r ^araSeli^^
mu^? (Si fei C^tg. 3740 BACDf^m folc^eö Sierecf^ looritt
5:; BDC = K A unb 3C DBA=: ^DCA i(i. 3iet)tman BC,
fo entfielen bie beiben ^reiecfe DBC unb BCA unb ed i(l 2
X. BDC + a JC I>ßA = 4 R. 3ie^t man nun au* B auf DC
fcad ?ot^ BE, madft EF = BE unb jie^t DF, fo ijl ^ BDF
CS a 3C ^^^ tinb wenn ED ober D nac^ G öerlAngert n>irb , fo
mu^ X BI>^ = 5: FDG fe^n. Da aber 3 3C BDC + 2 jc BDG
= 4 R, fo ijl au* X, BDG = j; DBA unb ba^yer BA ^jaraüef
mit DC, worauf benn fotoo^Ibie Songruenj ber Dreiecfe DBG
unb BCA , aH ani) ber ^araSelidmud Don BD unb AC folgt.
275
ÜOenn ba< ^ot^ BE in T> ober »Ott J> mdj & f&Ut, fa
IDtrb ber S3emeid auf &'^n((cl^e Mxt gefä^rt
Um ein folcfee^ Sierecf ju conflruiren, tooxin 5; BOG zr
3C A unb je DBA = ^ DCA i(l, batf man a!fo nur eine«
beliebigen SSixnUli BDG @ci)enfe( CD aber D t)erlAngern unb
ttun fon)Dt)( ben SEBinfel DBA a(« DCA bem SBinfel BDG
gleich mattem
e) IDie ^aiixiitit Ui k^ongen Sa^ed lA^t jTc^ and) auf biefe
SSeife erfennem SBenn in bcm Sierecfe ABCO ($tg. 2750 ^
A = je G unb 3C D = 3c B f(l, fo mn9 anii, weil bie
®umme biefer V>ier SBinfefauc^ wx rechte betrdgt (mte eine Dtago^
«ale AG ober BD le^rt) 3CA+5c:D=aRttnb folgli* AB mit
DG greicblaufenb fetjm (Sbenfo ift au* 3c;D + 3CC = 2Runb
AD parallel mit GB. i^ierauö folgt nun ba^ SQetter? t)on fel6fl.
LXII. 3 um 35. unb 36. ®a$e. a) Sluffet b^r ^ier t)on
(Sttclibed bemerften Sage ber 6eiben Parallelogramme f innen
befanntlid) nod) bie beiben folgenben ($ig. 276 unb 2770 Statt
finbem 2) r t ifl BD ^ ali Diagonale be« erflen ^arallelo^
grammeö ADGB, jugleid^ au(^ ©eilenlinie be6 jn^eiten DFGB.
ip ieir aber fdSt B£, al^ Seitenlinie be^ iwnt^Uf fo^ ta^ ffe aud
bem erflen ein £)reiecf A£B unb ein ^araUeltrapej EDCB bilbet
Sm erflen galle ifl A ADB gg A DBG unb eben fo auc^
A DFG 50 A DBG; folglic^/aud^ A ADB + A DBG = A
DFG + A DBG.
3m jroeite« gaUe ifl, ioegen AB = DG; EB = FC
»nb AE = DF, andti A EAB ^ AFDG; folglich aud^ A
EAB + DEBG = A FDG« + DEBG.
b) l^iefer 35. ®ag tann auc^ fo au^gebräcft totxUn:
Parallelogramme^ tpelc^e auf einerlei ©runblinie fielen unb
gleiche ^6t)e ^aben^ flnb gleid) an gldd^e. Denn ^aratleUinien
ffnb gleid^meit abflel^enbe Sinien.
c) Slucö ifi eö leidet, jebed fc^iefwtnfelige Parallelogramm
in ein i^m 0leict)e^ Siec^tecf. ju ^oertoanbelU/ n)etct}ed auf ber#
felbigen ©runblinie jle^t; eben fo auc^ in tin anbereö/ n^elc^eö
einen gegebenen fpigen ober flumpfen äBinfer nnh biefelbige«
©runblinie ^at
18,
274
d) STitc^ lifft f[df fofgenber @a$ (eid^t SetvctTeit: SBetni
2n>ft gtctc^e f>araOe(ograin]ne attf tinttlti ®runbltnte fie ^en^
fo ^a6en fle awb tinttlti fyitft. (ii fei (gig. !1780 ABCD =
EFCD uttb (eibe auf ber Qixnntlinit DG fleftenb, fo ^a6ett
beibe andi einerlei $6^e« äßeitit bif aber B verldttgerte AB
nid^t in bie £F f&Ot/ fo mn$ fle unter £F, »if JK ober über
EF, toie GH faßert. 3m erften gatte »dre JK.en = ABCD
itnb fofglic^ aud) JKCD = EFCD, welc^e^ unrndgli^ i% 3«
2tt>eiten %aVit mAgte GHCD = ABCD unb Yorglic^ audf GHCD
= EFCD fe^n ; tpad ebenfalls totberfpred^enb ifi.
^ ®an{ auf d^nlid^e ^tt toirb auc^ bemiefen, baß gleiche
^araüelograntme t)on gleichen ^d^en andi Qltidft ®runbltiiieti
tjabtn mäffen«
e) ^er 36. @ag ijl eigentlich nidit toefentltc^ Derfc^iebeti
))om ndc^ jloor^erge^enben , inbem ber Unterfc^ieb^ loeldiett
(Suc(ibe6 {wifdjen ^araKelogrammeU/ tpelc^e auf einerTei
©runblinie flehen unb itoifdjtn folc^eu/ toelc^e gleiche ®runb#
linien ^abeu/ hin n)efent(td)er ift. £enn mnn auc^ ba^ ^a^
raOerogramm EHGF nic^t unmittelbar auf ber ©runblinie BC,
fonbern auf ber Don BC getrennten ®runblinie FG = BC ftttjt^
fo ift ti kidjtf an CB in B einen SQinfel }u legen, n>e(c^r =
3C; GFE iß unb b-ann ba^ ^Jarattelogramm EHGF fiber BC ju
fleKeU/ tooburc^ ber fßtwtii dber bie ®(eic^^eit toit iu))or
geführt wirb.
f) SBenn (gig. 179) ABCD ein SKec^tedf über ber ®runb^
fldd)e DC unb AJ mit DC gfeidjlaufenb ijl, fo wirb, »enn'EF
= GH gemacht unb ED, FC, GD, HC gejogen »irb , ABCD
n EFCD = GHCD fe^tt. Da aber DE >DA unb DG>DE
ift, fo ift ber Umfang biefer flleic^en Parallelogramme immer
großer, jie fd)iefer i^re ©eitenlinien ffnb; fo jwar, baß berfelbe
iebe gegebene Sinie äjftertreffen fann.
LXIIL 3um 37* ©aße. Da^er fanrt jebe8 gegebene
Dreiecf in ein i^m gleiche* »on berfelbigeh ®runblinie~ lotv^
noanbelt toerben, worin fl(^ einbeflimmteriffiinfelan ber ®runb^
linie beftnben foll. Siucb (ann man auf biefe SIrt iebed f(^ief#
tDittf elige DreiedC tn ein if^m gleiche« rec^ttDtnfeliged t)ertt)attbelti,
toojtt bie S^id^i^ungeti leicht entworfen werben (innen*
27S
LXIV. 3 um 38. ®a$e* a) Ibtt ©ewci« biefc« ©a$e«
fattn Ititbt tatutdi auf ben fßttotii Ui Jungfl toor^erge^enben
Siträ(fgefiit)rtn)erben/taP man burc^ A einen)t(lfäf)r(tcl)e ^araDele
AH mit BC jie^t, an B ber ©runbimie CB einen ^ CBA =
5:; FED liegt unb ^ietbutd^ über BC ba« Dreiecf EFD jiellt. .
' b) ©cKte ein flegebeneft Dreierf ABC (gig-.asoo in jwei
gleiche Zijtilt get^ei(t warben, fo ^a(6{re man feine ®runb(inie
BC in D unb jie^e AD, fo mn^ A ABD = A ACD feijm »uf
d^nlic^e 9(rt fann baffelbe in 4, 8, I6.«.«ae gleiche S^^eile
get^eilt iDerben ; nic^t aber in 3, ober 5/ ober 6 . *. gleiche X^eife«.
c)üu(:^ fann man (eidjt ein IDreiecf bilben^ xotldjti a, 3/
4^/ 5 « « « « nmal grißer ali ein gegebene^ ifi. di barf nur bie
^erl&ngerte Orunblinie Ui gegebenen IDreiecf^a/ 3/4/ 5.«**
»mal grdf er gemad^t unb t>on feiner @))i$e nac^ bem Slnfangö«
unb Snbpuncte berfelben eine gerabe Sinie gejogen loerbem
d) Slud) Id^t jtc^ biefer ®a|fo au^fprec^en: ^reiecfe t^on
einerlei ®runblinie unb einerlei fyitjt ffnb gleich am %lid)tn'^
in^a(te.
LXV. 3 um 39. ©afie* a) Diefer Sa$ f)tift au* fo:
9Benn gleiche Creiecfe gleiche (Srunblinien ^aben,
fo ^aben fie auc^ gleiche ^i^en, unb fann leicht baburti^
beriefen mthtn , baf iebei Sreiecf bie ^A(fte tinti ^ataUtlOf
gramm^ wn, berfelbigen (Brunblinie unb ^if^t Ui IDreietfd ifl«
b) 35itnn man bie jrnei Beiten AB unb AC c^ig. !28i.)
ctne^ IDreiecTö ABC in D unb E jfalbirt unb bie gerabe DE
}ie^t/ fo mn$ biefe mit ber britten Zireiecf^feite BC paraUel
fe^n« Denn wenn DC unb EB gejogen werben , fo iß A EDB <
= A ADE unb A DEC = A ADE, folg«* auc^ A EDB =
A DEC unb ba^er / mil beibe auf ber ©runblinie DE (le^eu/
auc^ DE mit BC gleit^Iaufenb.
LXVI. 3nm 40* ®a$e. a) Diefer Bau fegt, grei* bem
36. ©afte, t)orau«/ ^a^ bie ©runblinien ber gfeic^jen Dreiecfe
ttt berfelbigen geraben ?inie liegen. Sfujfer ber fiage / welche
@uc(ibed angibt/ f6nnte auc^ ber ^itnct C ber ©runblinie
CE entweber {wifctien B unbC ober auc^ erfi in bie Aber C k)er#
Idngerte Unit BC. fatten. Der fßtmii ift immer tin d^nridjcr.
18 •
«76
I
i
h) 5Be«tt auf bfe (Svutttlinit BC ritt BrefedP conjh-uirt
»trt, tpctcbeö bcm 35rc{erfe DCE congtueitt ifl, un^bcffcn
6pt$e ebenfadd oberhalb BC liegt, fo fann btefer @ag auf ben
iäugfl t)or^erge^enben jurficfgefä^rt tt)erbem
LXVII. 3«OT 4i- Sa^c* a) auf aftttüeubuttg btefe«
Qa^ti btxnljt bte Semanblung etneö gegebenett £)retecf& in eitt
il)m g[etci)ed ^araßelogramm t)on ber n&mnc^en ^6^e« Wlan
barf n&mKdi nur bem ju btibenben Parallelogramme etne<9runb^
Knie geben, toelc^e ^alb fo gro0 a(d jene be^ Dretecfö t(l« aud^
fann ba« )u conflruirenbt ^araOelogramm einen gegebenett
SBinfel t^aUn.
h) ®oK umgefel^rt tin gegebene^ ^araKerpgramm in eitt
i^m gleic^ed Sretecf Don berfelbigen S^ifjt k^ermanbeü werben/ fo
gebe man bem jDreiecfe eine ©runblinie/ n^eic^e noc^ einmal
fo gro^/ ald i'ene bed ^araffelogramme^ ifl unb »oOenbe
baffelbe tüit ^twüinlid}. Suc^ fann ba^ )tt iilbenbe jDreiecf
einen gegebenen äBinfel erhalten.
c) di fei Cgig« asao ABC tin gegebene« Dreiecf unb A J,
ali eot^ t)on A atif BC , feine ^if^u SQSirb nun JA über A
))erldngert , A£ = A J gemacht , buxdi E mit BC eine qUx^
laufenbe KEF gejogen, in i^r ein beliebiger '))unct D genommett
Ultb BB nebfl DC gebogen / fo ifl A DBC = 2 A ABC. Denn
ipenn man DF = BC mac^t unb FC jie^t , ferner burc^ A bie
AL mit BC paraUel iitijt, AG=: BC nimmt unb GC jie{}t,
fo i|i/ toie mhn leicht erfennt, ^Parallelogramm DMNF g^
g)araßelogramm MBCN. Mtin MBCN = ABCN; folglich
auc^ ABCG = Vj DBCF. e« i(l aber A ABC =' i/j ABCG
unb A DBC = i/j DBCF ; foglic^ mn$ and) A ABC = Vi A
DBC fe^n* ,
SQenn alfo ein Sreiecf ober aitc^ ein Parallelogramm mit
einem anbern gleiche ©runblinie , aber eine noc^ einmal fo
grope ^iiit tjat, fo ifl ti noc^ einmal fo groß an feiner $(dc^e*
d) X)a^erifl e« (eic^t, ein ^araßelogramm ober ein £)reiec(
in tin anbere« ju t)ern)anbe(u / totld^tt ü, 3/ 4 «««* n mal
, großer ober fleiner al« tin gegebene« ijl. ^ndj fann bai jtt
conflruirenbe nod^ einen gegebenen SBinfel ent^altett«
277
e) STnct lift ffdli efn gegebene« ^efetP baburc^ fit. ei» itim
gleic^ed ^araKelogramm Don ber ttimlt^en ©ritnbltnie Der^
manbeln / baß man bte i^6^e beffelben ber i^&Ifte ber ^6t)t be6
Dretecf^ gletd^ macbt @oOre aber ein 9>arai{e(ogramm tn ein
i^m gleic^e^ lireiecf )Don ber nAntHcf^en ®runb(tnie t)ermanbelt
iDerben/ fo mößte bte ^itjz bed Dreiecf^ noc^ einmal fo grof
ald jene beö Parallelogramme^ fe^m
f) Ue6ert)au))t ifl e« (eic^t^ mehrere ^araaelogramme ober
ICreiecfe toon gleicher ^d^e ober Don gleid^er ©rnnbltnie in ett|
einjigeö Parallelogramm ober Dreiecf ju t^enoanbefn; welc^ed
«Qen {ufammengenommen gfeic^ tfi nnb mit itinen bie ®rnnb#
linte ober bie i^^e gemein tiat Mti biefed fann (eic^t burc^
Zeichnungen erlAutert »erben«
g) fflenn (^ig. a83) AßCD ein ^araHeftrapeg ijf, fo t>er#
Idngere man DC iber C , ne^me CE zz AB nnb jie^e BE,
fo i|l A BCE = A ABD ; folglich audi A BDE = ABCD.
X)a^er ifl jebed ^araOeltrape) einem Sreiecfe g(eic^, beffen
<9runb(inie bie (Summe ber beiben ^araHelfeiten unb beffen
^i\)z ber ^bflanb eben biefer 6eiten ifl« Sluc^ {Tnb aUt ^axaU
leltrape^e t)on gleichen ^^araQelfeiten nnb j^di^en gleich am
gldc^enin^alte, mm fc^on i^re (Seitenlinien fe^r t)erfc^iebene
Steigungen ^aben»
h) 600 ba^er ein gegebene^ ^araHeltraf^ei in tin itim
gleic^eö ^araffefogramm wn berfielbigen ^if^t t)erwanbe(t
iDerben / fo gebe man bemfelben eine ®runblinie / wtld^t ber
falben &ummt ber ^^araOelfeiten jened Zvapt^ti gleich ifl«
SDiefed ^araUelogramm fann anä) fe^r {eic^t ein Slec^tecf u^erbem
LXVIII. 3 um 42. (5 a 6 e. tJiefer aufgäbe, »elc^e bereite
Dor^in (LXVII, a.) aufgeldfet u>orb^n i(i, fle^t bie anbere jur
<Seite : äßenn ein ^araSelogramm gegeben i|l / fo foK baffelbe
tn ein it)m gleicbej Z)reied( t^enoanbelt tt>erben/ toorin ffc^ tin
beflimmter SBinfel beflnbet, tveld^e ebenfaS« fci^on (LXVII, b.)
betrachtet würbe.
LXIX. 3um 43. 6 a^e« a) IDiefer Sa^ mirb mit größerer
Alar^eit fo au^gebr&cft : 9Benn man in einem ^raSeiogramme
278
e(tte ^ici^pnaU |te^f , {n t^r eiiteti lotBf&l^rftc^eti ^tmtt tttmiiit
nnh buxdi bicfeti {»et ^araDelcit mit |ioft/ etnett 9Bitt(e( btlbou
bim Gettctt be< ^araOelegramnietf legt/ fo flnh jene {teet 9<>^
raOelogramme , tpoburcb biefe Slagonafe niiftt gebt, gleich an
glAc^enm^alte. IDaf bie beiben Siereife, bnrc^ mtldit bte
Diagpiiak itid^f ge^f , tofrfltc^ 9)arallebgraitimc (Ittb , iß kü^t
aui beul Sor^erge^ettbett |it erfeitneit«
b) gSJenii hai ^^raKelogramiit ADCB ein fRtd^Ud ift \ fo
tpfifeii mAh bie betben fleiitent, etnanber gleichen f>araBe(o#
gramme Strc^tecfe feytt ; i|l e« aber ein Quobraf / fo ffnb biefc
le^rerit {wei cotigntente Onabrate«
LXX. 3nm 44. 6a be. 9n4 bemerfe man fofgenbe
S(u^6fttng biefe«/ liegen melfac^er Slnwenbungen/ fe^r mc^etgett
6abe«. aOeittt (gig. 2840 ba< Dreiecf ABC in ein ibm gleiche«
^araaelogramoi «^emanbelt »erben foff^ beffen 6eite = QR
nnb, beffen einer UBinfel = Q ifl , fo ^a(6ire man BG itr H,
mac^e JC CHD = )C Qf )>erldngere nun BC über C bi« CG
= QR> {ie^e bnrd^ C nnb G roxi DET bie ^araSelen ECM itnb
FGN, lege bnrc^A mit BG bie ^araOete AF, »elc^e bie
eben genannten in D, £ nnb F fc^neibet, jie^e FC, t>erldngere
{le Aber C bi4 ffe bie Aber H »erlAngerte DH in L fcbnetbet unb
(ege Xiwx burc^ L bie LN mit BG ))araKe(/ loelcbe bie IDnrd^^
fc^nittfpnncte M nnb N bilbet, fo ifi CGNM ba< «verlangte
f)araBe(ogramm« » ' .
Senn e« iil CGNM =s DECH (43. 6.)* SIKein DECH =:
A ABC; folglich an« CGNM = A ABC« gerner ifl auc^
MN = CG= QR nnb 3C CMN = 5C ECG = je DHC = X Q-
LXXL 3 um 45 ® ab e. a) Qßan bemerfe ^ter golgenbef«
QBenn \», einer geraolinigen gigur ^vA %\iMm 6d7eite(f>an€te
Diagonalen gejogen werben, fo fann biefelbe in Dreiecfe get^eilt
»erben nad^ fo(genbem ®efebe:
3m 4 Cc(e gibt i Diagona(e a Dreiecfe
» 5 » geben 2 Diagonalen 3 »
>69J»3 » 4»
• 7»>4 « S»
279
tn&^te im n (Ecfe biefe Senoanbluttg ber Sreietfe in 9>ara0elo^
$ramme n— smdl auigef&^t noerbem
h) t^aljtx hmtxU man biefe«« Cf< fei ($ig. 285.) ABCD
ein Zta^ptif fo {ie^e man bie Diagonale AC, burc^ B oiitAG
bie ^axaUtU BE, ml^t bie Aber G t)erldngerte DG in E fc^neibet
iinb niin bie gerabe AE, fo ijl A ADE = ABCD. Denn ti
ift/ u>egen ber ^araOelen BE nnb AG, auc^ ba6 A BAG = A
. £AG. Um bat)er ba« 93iere(f ABGD in ein ^araDefogramm
t^on gejfebener 6eite nnb gegebenem SBinfel }n t)ern>anbe[n,
barf biefe Sfufgabe mt in 9e{n{[ auf ba9 Dreiecf ADE anf<^
gelifet »erben.
c) auf d^nfic^e STrt fann ba« gönfedf Cgig. ^86.) ABCDE
tn ein if^m gleid^e« Dreiecf ))ern)anbe[t merben. 9Ran Derl&nger^
CD mUt&fixUdi Aber G unb D , j{el)e bur* B bie BF mit AG
«nb burc^ E bie EG mit- AD gleich faufenb. äBtrb nun AF unb AG
Ö^aogen, fo i|l A AFG = ABCDE. Z)enn ei x\t, wegen A
AGB = A AGF, auc^ A ABN = A CNF unb eben fo auc^
A AEM =r A MDG.
d) ^nd) ift ti ilax, bafi burctiben 45. ®ag jebeS gegebene
'gerablinige ^itUd in ein it|m gleiche« Stec^tecf t)on gegeben^er
&nU t)ern>attbeU loerben fann. Sie mit biefer in Sctbtnbung
ftei)enbe Aufgabe: ^in folc^ed Siefecf in ein il}m g(eic^ed
pu abrät (u toermanbelU/ fann aber ^ieran^ noc^ nic^tabge^
leitet »erben. Cod^ wirb biefe Aufgabe mn ba(b folgen*
LXXII. 3 um 46. 6a^e« a) aDie Sonßruction bti
Quabratef , beffen &titt gegeben ifi, iß bereit« oben (LX, d.)
tta(bgen>iefen toorben bei Sntße^ung ber t)erf(^iebenett Slrtcn ber
^araOeiogramme. SQenn (Snclibti in ber Sufl^fung ani
bemSnbpuncte A ber gegebenen Sinie BA tin ietfi AG erricf^tet
unb fkb i)ierbei auf ben ii. @a& be{ie^t, fo ift tlax, ba^ biefe
Slufldfung bort nid)t Dorf dmmt , n>ei(bort ber ^unct A f ein
dnhpnnct ber gegebenen ^inie iß. ^enn inbeffen BA &ber
A tDiOfi^rlid^ vttl&nQtxt »irb^ fo i# biefe Slu^dfung auf bie
280 ^
wrifit inrttfgefßbrf. &at SB^fintg ü^ncScrl&Bgctttiig
bcr BA tfi obrit (LOC, g.) gegeben iDort>eiL
b) SJemt e^ ferner ^et^t, man foBe barcft D bie DE stf AB nnk
bnrdi B bie BE. mit AD pataütl {teilen, fo tfl bte Snf ofong
biefer änfgabe bereite fr&^er (31. 6a$.) geleiert »erben, olein
baf betbe ^oroffelen fUtf tn einen fhiiicte £ bnrcbf4netbem
»äffen/ »irb (Hlfdyn^eigenb ongenoannen- Der Seweid ^ieoon
iß etnfady biefen Da DE mit AB nnb B£ mir AD paraSef,
anc^ ^ A = R i|l, fo rnnf andi ^ ADE = x, ABE = R
feyn. Denf r man ((c^ nnn bie tinie DB , fo mnf 3C BDE -f»
3C DBE < 1 R fei^n nnb folglid^ miffen bie tinienDE nnb BE
fi(^ einmal buribfc^neiben«
c) Daß gleiche Linien anc^ congmente Qnabrate
bt(ben/ fo toie anc^ nmgefe^rt congmente Duabrate gleiche
@eiten ^a6en mftffen / . Idßt {Td^ fei^r Itidjt bnr4 loirHic^e (Son#
(Iruction birect nnb anc^ inbirect nac^meifen*
LXXin. Snm 47« @a$e« a) Diefer &aii, einer ber
tftdjttgflen ber Clementargeometrie, wirb antb ber ^^t^ago^ ^
rdifc^e {e^rfa$ genenttt, xotil man htm ^^t^agorad feine
(Erfiabititg jufc^retbt (Sfai^ind bemerfte {^ieräbe^ (Euclidis
Elementorum Libri XY etc. Francofurti 1607, pag. iSi),
^olgenbe^: « Inrentio porro admirabilis, atque pulcberrimi
« bujas tbeorematis ad Pjtbagoram refertpr, qai, at scribit
• yitmvius Libr. g. c. a. Hostias Musis immolayit, qnod
m fe in tarn praeclaro inrento adjayerint. Sunt qni
« patent , eam immolasse centttm boves : si tarnen
< Proclo creäendam est, nnum tantammodo obtalit*
« Fortasse autem Pjthagoras, nt DODDnlli volunt, ex nume-
« ris occasionem sampsit j ut theorema boc i ny es ti garet»
« Cum enim hos tres' numeros 3, 4? 5 diligenter esset con-
c templatus , , Tidissetqae qoadratum namerum majoris
« aequalem esse quadratis numeris reliquorum, composuit
« trianguium scaleiinm , cujus mazimum latus diTisum erat
« in 5 partes aequales , minimum in 3 ejusdem magnitu-
« dinis et medium in 4* Q^o facto, consideravtt angulum.
« sub bis duobus lateribus co.ntentum, invenitqu« euia
' 5»I
m
i
' t
< esse rectum. Idqne in qnampitirimis aliis numeris, nt
c in 69 8, 10 et 9, is, tSetc. obserraTit. Qtiare inqniren*
« dam esse jadicarit^ nnm in omni triaognlo^rectaDgulo qna-
« dratum lateris, qaod recto angnlo opponitnr, reliquomm
« laterom quadratis aequale esset , qaandoquldem ommia
« trianguia qnornm latera habfebant magnitndinem secnndam .
c dictos nnmerosy continebant anum anguiam rectum. Atque
« itatandem mirabile hoc tbeorema maiima aniini Toluptate.
c adinvenit, firmaqae ratione demonstraTit. Qaod tarnen
€ Eaclides 'mirandam in modum ampliricavit Lib. 6. prop«
« 3i, .nbi demonstraTit, non «olam qaadratum latc^ris*,
« qaod ai^galo recto opponitur, aeqaale esse quadratis
' « reliquorum duorum lateram, rerum etiam figuram quam-
c lib^t rectilineam super latus recto angulo op^osltam
« constructam, sive ea sit triangulnm^ siye quadrangulum
« etc* aequalem esse duabus figuris , quae super reliqua
« latera describuntury dummodo} priori sint similes, simili-
«^ terque descriptae, ut ibidem ostendemus. »
Sicero fagt (De Natura Deorum, L III. c. 36) g^ofgett^
ted: c Pytbagoras , cum .in Geometria quiddam noyi inye-
« nisset , Musis bovem immolasse dicitnr. Sed id qnidem
« non credo, quoniam ille ne ApoUoni quidem Delio
c bostiam immolare Tolait^ ne aram sanguine adsperger^t.»
't)ed SSitruDittö oben htmattt ©teDle ifl Diefe: «Item
« Pytbagoras normam sine artificis fabricationibus in-
< yentam ostendit, et quam magno labore fabri normam
« faoientes yix ad yerum perduccre possunt. Idrationibus
« et metfaodis emendatum ex ejus praeceptis explicatur
« Namque in «umantur regulaetres, equibus una sit pedes
« tres, altera qüatuor, tertia pedes quinque haeque regulae
.« inter se compositae tangant alia aliam suis cacuminibua
« extremis , tcbema habentes trigoni , deformabunt nor-
.« mam emendatam. Ad eas aute^L regularum singularum
« longitudines, si singula qaadrata paribus lateribus descri-
« bantur, qm>d erit pedum trium latus ^ areae babebit
% pedefi noyem, quod erit quatuar^ aexdecim; cjupd
282
• qmnque erit, Tigtnti qninque. Itaqnantiim areft« pedom
;« nnmemm dao qnadrata ex tribos pedibas longitudini»
« latenun et quataor efficiant, aeqae tantuia niimeram
« reddit nnum ex quinqae descriptnnk Id Pytkagoras
m cum inreniaset, Don dubitans a Masis se in ea inrcntione
c monitam, maxima» gratias agenSj- hostias dieitur iis
.« immolasse. »
b) Die Se^ottytmtg Ut 47. 6a^< lift bte Sage bet
hUthit brei Gettett be< rcfffrminfrligett Z>retetfd brfdbnebenett
Cttabratc ntteiitfc^tebeii* (Sitcjtbe^fä(^rt ben ^cioetd an jener
Sage / tiadl^ loeld^er jebe4 biefer Dttabrote gaoj onfferbalb betf
Dretecfe« f&Ot« 2)a e< nntt tittreffant tit , ben SeweM aadi
M ben äbrtgen no(4 nt^glicben Sagen btefer Qnabrate anf
i^nltdie Steife )n f&ljttn, fo ^ot ber Serfafier Dtefe« alle ^ter
in^gltc^en %äUt tn einer eignen Sb^anblnng enttoidett CX)er
99t^<>g0^&if<^^ 2'bvf^tb/ nitt32 t^eiK Mannten , tl^tM
Itenen Oetneifen* Bu>eile/ mit einigen Seweifen toermebtte/
Sltt|[age. .9Rain{, I82i« XII n. 48. @.4)« gjlan iberjengt ftc^
balb/ ba(} ftber^aupt ad^t »erfcfatebene Sagen ntjglid} ftnb.
Kennt man bad Heinße Dnabrat A, hai mittlere B, bai grdf te
C, fo ftnb U folgenbe:
1. ®ott>oi)l A ali B nnb C faSen nad^^ ünfTen/ ti>{e bei
^«nctibe«.
% A fASt nac^ Snnen ^ B nnb G aber nacb afuffen^
3. B fdKt nac^ Snnen^ A nnb G na(b anfTen.
4* G fAM nad^ Snnen^ A nnb B nac^ Sluffem
5* A nnb B fdDt nacb 3nnen/ G nac^ Stuffem
6. B nnb G fAOt nacb ^nnen, A nacb Stuffen«
7« Ä nnb G fdat nacb ^nnttt , nnb B nad^ Sluffen.
8« A, B nnb G fdHt nac^ 3nnem
c) Snr «rlAntetttttg folflt ^ier ber ^mt\% über bte britte
Sage. 3w§t man (gig. 187.) bie KD, fo ip, »egen jc BAK
= 3C GAD = R nnb X GAR = ^ GAK, au(& 3C BAC =
3C KAD; ferner i(l AB = AK, AG = AD , folgli* A ABC
^ A AKD nnb 3C AKD ss jc ABG— R, J5a auc^ 3C AKL
= R^ fo ijl DKL tiM gerabe Stnie b. ^. bte über 5. »er#
Idn^rfe LK mnf in D eintreffen.
S83
Bitfit man mn ant B auf AC ba< fot^ BM, itxl&tiQttt
>c< hü R ttnb )tei)t DB , fo ift A BAD = i/, Stecfitecr ADRM
ttnb auc^ A BAD = % Duabrat ^KLB. j^orgltc^ ifl^ ADRAf
t=z AKLB. 9luc^ gebt btefed fc^on taxani ^tvoex, ba0 ADRM
= ADSB unb ADSB = AKLB tft.
Saf aber MREC = BC0F tß , ii>irb ^ter flcrabc fo tocr
bei Sttclibe« bemtefen«
golglicft mu0 ADRM + MREC = AKLB + BCHF fmtt.
d) Z)er SemcM Aber bte ac^te HQt ifi fofgenber. HOeitii
(^{fl* SSSO ABC bat gegebene xtd^ttchxUliit Creiecf tfl, «itb bie
Ottabrate berbrei ®eiten baben bte eiitgegengefe$te tage üom jener
be« (E tt c H b e </ fo t)erIAngerr man FH bxA O unb )te^e OB. jpier
ifl A OFB 55 A ABC nnb ba^er 5CF0B = X, PBLzz j: BAC.
DannnjcAßM + 5cMBC=R, fo ift attcbSTABM + jcBAMss
R. Caber muß aucb 3C AMB = R unb BO (ot^redyt auf AG
feyn. Wiixh nun OB nacb P t)er(dngerf/ fo i|t aucb 3C BP£ =st
R nnb bai^er fo n^o^I MPEC ali MPDA ein Stecbtetf.
3ie^t man nun B£ , fo mufr ^txl OB = C£ unb OB mit
C£ gteicblaufenb ifi, OGEB eine 9l^omboibe fe^n^ worin A.
OBC c5 A ECB. (8i ift aU\ A OBC = i/j HFBC. Da^er
OBEC = HFBC. Da aber OBEC =z= MPEC, fo ip attc|^
MPEC s= HFBC-
SBirb nun DB nnb AO geiogeU/ fo mn^, tt)egen OB =ADy
nnb ia OB mit AD ^»arallel ift , ancb OBDA eine Stbomboibe
feyn, unb e« ifl A AOB c€ A ADB. aaein A AOB = 1/2
AKLB unb A ADB = % AMPD; fofglicb AKLB = AMPD*
5DaI)ertt)irbnunFHCB + AKLB=ADPM + MCED=ACED.
e) Sin Sngidnber/ i^enrp 9oab, ^at tu feinem {e^rbuc^e
ber iBeometrie (Sonbon 1733) folgenben eigenl^Amlicben SSttotii
biefed ®abed mitgetbeitt« di fei (^ig. 3890 ABC ba^ gegebene
recbtn>infe(ige Dreiecf unb ADEC, AKLB unb FHCB bie Sage
ber brei Duabrate feiner Stittn, fo mn^ bie £ber K DerlAngerU
LK in D einirefem Cenn n»enn man DK )iei)t^ fo iß; n>egeii
DA = AC, KA = AB unb j: DAK ;= JC CAB, aucb A DAK
g€ A CAB , ballier 3C OKA ss 3c ABC ss & unb fomit DKL
tine o^xaU Unit,
284
9htit ){e^e man bnrcfi D bie MP mit AK , iwc&i E bfc PS
mit KL )9araII(f y n)e(4ie ffc^ in P fd^neibrn mäffen unb )Dei^
längere BA in M, nnb, BL in S, fo ifi MPSB ein Quobrat
15enn, wegen 5;B = R> mug3CM=j:P=3CS = R
fet^n unb", wegen A DKA e5 A CBA gS A AMD ^^ A DPE
85 Ä ESC (Wie man (eic^t finbet) ijl, avi6:i BM = MP = PS
= SB. Sben iflfo Mar, baß, nad^bem'AK nacft V »erlÄngert
wirb, DPVK ein Ctnabrat nnb DPVK. cd FHGB, aw^
Äec^tecf MDKA g^ «Äe*tecf VSLK fei^
nimmt man nun Dom Duabrate MPSB bie Qnabrate ber
Befben (^at}:itUn AKLB unb FHCB b* ^. AKLB unb DPVK ^in#
weg , fo bfetben bie (eiben Stectitecfe MDKA unb VSLK jnnt
Stefle. SQirb a(er Don eben biefem Duabrate MPSB ^a9
Duabrat ber $t)potenufe ADEG weggenommen, fo bleiben bie
»ier congruenten I^reiecfe AMD, DPE, ESC unb CBA übrig,
totlAjt jufammen ber ®umme ber eben genannten Sted^terfe
gleich ffnb, weil A AMD = Vj AMDK. I)a^er muf ADEG
= AKLB + FHCB fepm
SKan (Ie{)t letcfet, baß biefer SSewei« auf fofgenber ©djfuff^
form berul)!: !Benn A — B = D unb A — G = D i|l, fo
muß aucf) B = C feijitt»
gi\r bie übrigen noc^ m JgTic^en {leben berf^tebenen 9agett
ber Cuabrate ^abe id) biefen Seweii in ber oben (b.)'ange^
füijrten 9(bt)anb(ung gegeben«
f) 9!oc^ ein onberer, f|6cl^ft etftfadier unb (Tnnreicfiet
aSeweid, beffen (Srflnbung man 3o^. 2; ob. 9Ra9er in ®hu
tingen jufdireibt, i|l fotgenber* (5d fei (gig* 29O0 ABC ba»
recbtwinf eh'ge Ibxtiz^, beffen leiten» Duabrate wie bei @ u c I i b e ^
bcfc^riebcn finb, fo 2tei)e man HJ nebfl ben Diagonalen CG unb
KC, xoz\&tt, xoit leicht ju beweifen ifi, eine gerabe t^inie
bilben. ferner lege man an FD ba^ Creiecf AGB in.t)erre^rter
?age FED unb jie^e GE.
^ter ifl (eid?t in beweifen , baß iai SSierecf CAFE bem
Sierecfe GABK unb bad Siered GHJKbem Sierecfe CBDE con#
gruent fei» ^ofgHc^ ifl baö Bz&j^zA i&ABKJH bem (Sec^iecfe
ACBDEP an gldc^e g(e{d^« Stimmt man wn jenem bie }wet
28S
cortgntettten jDrefecFe AGB unb HCJ, wn fctefcm aUt bie imei
thtnfaUi congiruenten t^ttitdt AGB unb FED l^intotQ, fo
b(ei6en im erflen ^aUt bie Ouabrate ber beiben datijtun unb
im }i:^etten ^aSe bleibt bad Quabrat ber ^ppotenufe übrig,
golglic^ {!nb biefe ffltfiz ebenfaQ^ gleich«
g) 2Set( bai gleic^fettige X)rete(f bie eittfac^fle regele
tn&^ige ^igiir i|l^ fo leitete bie|fe6. ben SPerfaffer be6 ©egen^
todrtigen auf ben ®ebanf en / aber jebe ber brei Seiten eine6
rec^tn>in(eligen jDreiede6 ein gleid^feitiged 2)reie(f ju befdireibett
nnb nun ju beu^eifen^ ha$ bai über ber iE)9))ctenufe conßruirtc
fo groß fei, ali bie jtt)ei anbern jufammengenommen. ^er
fdttoti^ ifl biefer. di fei (^ig. 391.) ABC bad rec^twinfelige
Z)reie(f unb AGD, A6E, BGF jebe« ber brei gfeic^feitigett
2)reie(f e , fo )iet)e man au^ D tai iotti DO auf AG , tooburd^
AO = GO tt)irb. Bi^tft mm nun BO , fo ift an* BO = AO
= OG unb fokoo^I AOB aU BOG tin gleic^fc^enferige« Dretecf.
3ie^t man nun bie SSerbinbung^Iinien £0 unb FO, fo mnf^
jene bie AB, biefe bie BC balbiren^unb auf i^r (ot^redit (te^em
du(^ ifl EO mit BG unb FO mit BA paraOeL
3ie^t man nun bie geraben DB , EG unb AF, fo ifl, mil
AD = AG, AB = AE unb ^ DAB = X. ^A£, aud) A DAB
ce A GAE. Sluf d^n(i(^e Slrt wirb bwiefen, baß ABGD g^
A FGA unb A BFA g^ A GBE iß. n
IDa ferner OF mit AB parallel ifl, fo muß A ABF =r A
ABO unb fofglict A BJF = A OJA fe^n* ©e^t man beiber#
feit« ba« Sierecf JOGF t^iniu, fo ift »iererf OBFC = A AGF
= A BCD. Nun ifl aber »ieredf OBFG = A BOG + A BFC
= A BEG + A BFG; baljer «u* A BEG + A BFG = A
BGD. €e^t mm {u jener ®umme iai Xvtiti GAE unb {u A
BGD ba« jenem gleiche ADAB, fo ifl ^Änfedf GAEBF = Sieretf
t)ABG. 9f2immt man ba« biefen beiben Figuren gemeinfc^aftlicbe
2>reiecf ABG ^inweg, fo bUibt A AEB + A BFC = A ADC
toelc^ed ber ju ben>eifenbe ?e()rfa$ ifl.
92oc^ fann man ali intereffanfe Q^igenfc^aft biefer brei geraben
girtien AF = BD =: GE bemerfen, baß ffe ffc^ in einem
9)uncte burc^fd^nciben , um totldjtn ffe ftdji gleiche $QinfeI
/'
286
tdbtn, bereit jebet &= Vs ^ <ft* ^^n ^ttotit tjit^on anfjttfinbeif,
ffl eine (e^rreic^e Uebuttg in ber ®eometne« dim meitere au«#
fft^run^ botoott fe^e man in ber oben ()tt b) bemerftett
Slb^anblung«
h) $nbft(6 Derbtent ttoc^ fofgenber Ce^rfag ^ ^on melc^ent
ber ^9t^agor&tfc^e ®a$ eine (eid^te Folgerung ijl, ()ter ange^^
f&titt )u werben. SRan ftnbet if)n bei ^appu^, jeboc^ in einer
tttoa^ anbern ®e(loIt. (Sd fei AGB (SCafel XVI, gig. las, a.>
ein beliebige^ IDreiecf, CFKB tin noiKt&^rlic^e« ^araUetogramni
fiber CB unb GEJA ein folc^e« Aber CA , fo mi'iffen bie aber
F unb £ ))erl&ngerten Sinien KF unb JE flc^ einmal in D
fc^neiben^ tt)ei( ftd) BC unb AG in G gefd^niuen ^abcn* 9luf
gleid^e Sirt mäffen tit Aber K unb J )oerIdngerten DK unb DJ
bie beiberfeit^ verlängerte AB in M unb L fd)netbem
3ie^t man nun bie gerabt DGN unb burd) B unb A bie
tnit ii)r gleic^Iaufenben BH unb AG, nebß ber Serbtnbungdltnie
GH , fo ifl GHBA ein ^ataUtloQtamm. Denn eö i|l GA =
DG (^araffelen j»ifctien f)araßelen) unb HB = DG, folglic^^
andi GA z^ HB« Da nun noc^ GA mit HB paraOel ijl/ fo mu(t
GHBA ein Parallelogramm feyn* 9(uc^ ifl noc^ ON = GA =3
HB = DG.
^nn ijl BGFK = BGDH allfein
BGDH = BHQN (I. SB. 36. ®0
folg«* BGFK = BHON
9lttf gleiche «rt ifl ferner
AGEJ = AGDG Uttb
AGDG = AGON,
ba^er AGEJ = AGON;
forglit^TJCFK + AGEJ r= BHON + AGON = ABHG.
Da nun biefer (Sa$ oon jebem Dretecfe AGB gilt^ ei fei
je C=R ober ^ G < R, ober sc C >R, unb »onjebem über
AG unb BG befcbriebenen 9>araSe(ogramme , fo ifl er auc^fAr
ben befonbern %aU bewiefen^ in welchem ^ C = R ifl unb itber
AG unb BG |it>ei jtluabrate befc^rieben finb«
üi fei nAm(id) ( gig. 135 / b. ) AGB ein rec^ttt){nrerige«
Sreiecf / BGFK ba« Quabrat Aber BC unb ACEJf jened über
287
AG , fo mäffett bie il6er F itttb E Detl&ttserteh ttnfen KF unb
JE fft^ fo irt D fcfcitetbeii/ baß 3C JDK = R i|l. aßirb miii
turdb D unb C bfe gerabe DCN gejogen, fo tjpt ju brwcifen, ba0
fte auf AB rot^r^d^t (le^t @^ ifl n&mltc^ , n>egen BG = GF,
AG = GE = FD unb X BOA = X GFD = R , au* A
AGB cS A DFd unb SC GDF = 5:; GAB. 9Bettt X I>GP
= 9C AGN, forglic^ 3C GAN + j: AGN = 5: GDF + ^
DCF = R unb fomit auc^ 3C GNA = R.
3te^t man nun BU unb AG m\X DN g(c{c(^raufenb unb bte
SttbinbungtfKnie GH , fo ifl jn }etgen , ba0 ABHG ba« Oua^
brat bcr iSj^otenufc {jl. IDa 5c HBA = R = jc KBG , fo tfl
auc^ 3C ABC = ^ H!BK unb, toegen BG = BK, 5; BGA =
5C BivH = R, nun aucft A AGB c5 A RHB, unb fomit AB
SS BH. 9uf gan) A^n(tct)e Urt n)trb beriefen / %^% auc^ ba^
8ot^ AG =: AB tfl. X)ai)er mu0 ABHG ba< Duabrat bcr
i^Dpotenufe unb )ug(etc^ = BGFK. 4- AG£J fet^n.
©ollen ba^er trgenb )met ^araDe(ogramme C^tg« laS f a.)
BGFK unb AGEJ in txn ctniigr«/ toeld^eS ti)rer ®umme gleich
ifl; Dertt>anbe(t n>erben / fo fe^e man fie unter einem beliebigen
9Qinfe( AGB jufammen, t)erl&ngere KF, }£ nacb D, jie^e
DGN , bie BH unb AG mit i^r g(ei(^Iaufenb unb enbric^ GH,
fo i/l GHBA = BGFK + AGEJ.
©an) auf d^nlicbe Slrt f innen M&i i, i, 5 unb mel^rere
gegebene ^araUelogramme in ein einjigej ^enD^tnbelt loerben,
loelc^ea aUen jufammen genommen gleich ifl.
i) 9!un ifl ei kidjt, itöti ober mehrere Duabrate in tin
cinjigeö Cluabrat ju t^enoanbelU/ tozlijU i^nen jufammen
genommen g(eict) ifl. Um bieQuabrate (2;af.XII, ^ig. 1192.) ABGD
ttnb GFGH in iin t^nen gfeic^ed }u DerwanbelU/ fe^e man fte mit
i^ren ©eiten BG unb CF unter einem rechten SBinfel BCF ju^
iammzn unb jiet^e BF, fo ifl, »enn man bai Ouabrat BJKF
conflruirr, BJKF = ABGD + CFGH.
X)enft manffc^ (gig. a93)AB unb BG unter einem rechten
SSJinfel ABG ))er(unben unb AG gebogen , fo ifl hai Cina^tat
Don AG ben Ouabraten t)on AB unb ))on BG jufammen gleti^.
errichtet man CX> anf AG, DE auf AD, £F auf AE (ot^red^t uub
288
}{cl}t AF, fo {(i ba& Dttabrat }^qn AF fo grofi ali iit ^nmrnt ber
Cluabrate k)on AB , BC , CD , D£ unb £F.
k] (SoK ^in Duabrat gebtibet mxUn, todd^ti htm Uttter#
fcftfebc ber Ctuabrate »on AC unb BC (gig. a94.) flfcid) t(l, fo
errichte man BD lottixtdit auf CB unb bef(f)ret^e mit CA ctneu
Sogen; toeld^er BD in A f djneibet. jpier ifi bad Duabrat Don AC bem
Cluabrate t)on AB unb BC {ufammen^ fcfglid? ba^ duabrat ^on
AB btm Unterfcibiebe ber Duabrate über AC unb über BC gleich.
1) Um bie i^dlfte ctne^ Duabratee in ein Duabrat ju )oer#
toanbelU/ fei (g^ig. 295.) AB bie Seite bed gegebenen Dua#
brate«. SBIrb AB in C ^albirt, CD = CA = CB lotbrec^t
auf AB unb AD, BD gejogeU; fo i(i AACD ^^lABCD, fofglid) AD
sBD unb; mt man leidet ftnbet; auc^ X ADC = ^BDCzs
s/2 R, fomtt ^ADB = R. Vatjtxmu^ iai Duabrat t>oti AD
ber i^&Ifte be« Duabrai« t)on AB gleich fe^n*
STuf d^nlid^e Sirt f innen nun auc^ Duabrate couilruirt
loerbeu; »eld^e 1/4, V4, y., V4, Vg, Va» %> Vs «• (•'»•
eine« gegebenen (Inb; nid^t^^ber Vj, 2/3 > V«» Vs^ Vs »• f f*
beffelbem
LXXIV. 3tttn 48. ©a^e* a) Diefer (Sa$; »elcfter ber
itmgefe^rte be« 47. @a$e« ijl, fann aud) auf fotgenbe Sirt
inbirect ermiefen toerben. SBenn ( $ig. 396« ) in btm 2)reiecfe
BCA ba« Duabrat i)ön AB btn Reiben Duabraten Don BC unb
CA jufammengenommen gleich unb ^ ACB fein rechter i(l ,
fo mn9 er {(einer ober grj^er ali berfelbe feyn.
%&v 5: ACB < R, fei x: ACE = R , f miftt, wentt
CE =: CB Qtmadjt unb AE gebogen n)irb Duabr* A£ = Duabr»
AC + Duabr. CE fepn* Da aber Duabr, AB = Duabr, AC +
Duabr CB c= Duabr. CE) fo »Are auc^ Duabr AE = D^
AB, toerc^e« ni4lt migUd) ifl/ ba AE > AB (a4. @0 fe9n
8IU0/ U)orau« Duabr. AE > Duabr. AB folgt«
%üt 5C ACB > R, fei JC ACD =Runb CD = CB, fo ift^
tt)enn AD gebogen n>irb/ Duabr* AD = Duabr. AC + Duabr»
CD, unb e« mu^tt ijiu, mit man leicht erfennt, Duabr. AD
= Duabr. AB fei;)«, toeld^eö »tb^rfpred^eub ijl, «oeilAD <
AB c 34. @. ) fepn mu^.
289
b) STttc^ laffen flc^ auf Uinlid^t Srf fofgenbe @A^e Betoetfett:
i* 3it jebftn fpt^minfeltgen iDreiecfe i{l bad Duabrat
einer @ette f leiner ali bie @umme ber Duabrate ber
beiben äbrtgen @eiten {ufammengenommem
% SQenn in einem t)reiecfe ba^ Quabrat einer Seite
fleiner ifi ald bie ®umme ber Ouabrate ber beiben
übrigen ©eiten , fo ifi ber / jener erflen @tiu gegett#
äberliegenbe 9Qinfe( ein fpi$er.
3. 3n jebem |lunipfn)in{eligen "Sreiecfe ifi bad Dnabrat
ber, bem (lumpfen äöinfel ge'genuberliegenben ®ette
ffciitx ali bie ©umrne ber Duabrate ber jwei äbrigeit
(Seiten.
4. SBenn in einem Sreiecfe hai Duabrat einer ®eite
gr60er tfl , ali bie ©umme ber Duabrate ber jn>ei
Abrigen ® eiten , . fo ifi ber , jener Seite entgegetu
Uegenbe SBintel ein ßumpfer«
19
290
51 n m e r f tt tt 3 e n
lum
LXXV. 3wr 1. (SrflÄntwg. a) Slud beut SW^mgett
ifl frefannt, (af bie ®e(}a(t unb ®r6ge eined Strd^tecfd bejjtmmt
fei/ ipenn {rnei ®eiten brffelben gegeben ffnb; and) ifl eö (etcfcly
eitt fold^ed Dtecfitecf au^ biefen (inten ju conflruiren, fo toit
fd^on eine gegebene 9ime jur Sonflr^ction be^ Duabrateö ^in^
reict)t Die in biefem Sucbe entmicfeCten Se^ren fe$en btefe
(Sonflructionen juin ooraud unb aOe Semeife (tnb ebenfaSd
t)ierauf gebaut. £)a aber biefe Semeife^ nod) auf einem anberit
(aritbmetifcf) geometrifct)en) ^ege gegeben h>erbett
fönnen, fo foUen ^ier einige $tilfö(et)ren baju vorgetragen
toerbem
b) Unter ^Reffen berf}ef)t man tticbtd anbered, a\i bef}tm#
ineU/ n>ie oft eine M <?in^eir genommene ®rcße in einer anberti/
i^r. gleichartigen entba!ten i(}» Die (Sti^t, toomit man bte
anbere aufmißt; n>irb bad 917 aß berfelb^n genennt X)a hai
SRag unb bie gu meffenbe @r6ße gleid^artig fe^n mAffen, fo
Ünnen (Linien nur burc^ Linien unb ^Idctjen nur burc^ %l&ä^tn
gemeffen n>erben.
c) SBenn )n)ei gerabe ^ n>infii^rli4 grofle Sinien gegeben
ffnb; fo l)aben (te entn)eber gan{ genau tin gemeinfc^aftlicbei
9J?a@ ober fte fdnnen fo genau auögemeffen n>erben/ baß ber
%itjUv Heiner aH jebe anjugebenBe Sinie ifl. Denn toenn
(gig. 297.) AB nnt CD bie gegebenen ?inien iinb, unb AB
> CD i(i, fo ift entweöer bie größere AB gerabe ein 9Wel)rfacbeÄ
ber fleinern CD , ober nici)t. 3m erfien ^atte t(i CD felbfl ba^
gemeinfcbaftlic^e 9Raß von beiben* 3m jn^eiten ^alle ne^me
man Vj CD = G£ ali SDZaß an, fo ifl biefe« emiocber geuan
^t
V
tn AB ent^alreit ober nidft. 3n jettem %aUt f^aUn beibe ünitn
bie CE 2um gtmetnfamen 9Ra^e ; tn btefent tfl ber Unterfd^teb
Heiner ai^ CE = i/i CD.
gd^rt man fo fort, bte CD in 4, 8^ 16, 32, 64, 128 u,
f« f. g(eid)e Ztfeih {u treuen , fo ifl jeber berfelben ein genaue^
9Ra6 ^on CD unb , n)enn er nid)t oitd) ein genaue^ 9Ra|$ üon
AB tfl, fo muf ber Unterfc^teb boc^ loeniger ald bte ®r6ße bei
STOaße^ felbjl betragen.
®a ab^r biefe« SKaß , bur* forfgefe§fed i^uilbiren, Heiner
al^ jebe gegebene Sinie n>irb, fo mn^ altd) ber Ueberfct)iiß bti
bem OSeffen Heiner ali jebe leinte werben b. t^. bie Linien AB unb
CD f6nnen entmeber t>o(Ifommen genau ober fo fcf^arf mit
einerlei ^Sta^ gemeffen toerbrn, bag ber ^e^fer hierbei
fleiner n>irb, aU jebe ^njttgebenbe noc^ fo fleine
Sinie.
3luf &^n(ici)e 9lrt loirb gejeigt, haf and) brei ober mehrere
gegebene gerabe Cinie ein gemeinfamed üRag l)aben.
d) 3?un fei (Jig. 298.) ABCD ein gegebene^ Quabrat unb
DE bad yjla^ feiner @«ite DC; fo, baß DE genau t)f«rmal in
DC entijalm \% Sefcfcreibt man über DE bad Heine Quabrat
DEFG, fo ijl flar, baß baffelbe oon D nad) C »iermal in DG
unb ebenfo Don D uad? A antb toiermal in DA fann gefleOt
tDerben. ©aber wirb ba^ Quabrat ABCD burc^ 4 x 4 = l6
foldjer ffeinen Duabrate GFED audgefüHt.
3?enntman GFED ba^ Qu abr a t mag fo ent^dltABCD,
im $Idä)cmnt)a(te, 16 folcber Duabratmape, unb e^ ifl Har,
baß ber ^nt^alt eineö Duabrate gefunben wirb, wenn man bie
3al)I, we(ci)e angibt, toit oft bad Sinienmag DE in be|fen
(Seite DC entl)alten i^, einmal mit fid) felbfl multipücirt. Xai
^robuct jeigt bie QRenge ber quabratifc^en 9ßaft()ei(e
(eined ^Idicbeninbalted*
e) SDSdre (gig. 299.) HJKL ein gegebene« SRecfctecf nnb
ba« Sinienmag LQ in LK ffebenmal unb in LH breimat ent^
galten, fo würbe, .wie man fc^r Ieid)t erfennt, bad Duabrate
mag MMQL in ber Sbene HJKL genau 21 mal enthalten fepn.
SDa^er wifb ber ^Idd)enin^a(t eine« Stec^recfe« gefunben^ wentt
19 *
292
man bie S^¥^^f noclcbe anbeutett/ n)te oft bie &titt bti
Quabratmaßrö in jeber feiner }mei 6etten entsaften t(l, mit
cinanber multiplicirt. ©o (ieHt atfo ein ^robuct 4x9= 36
bcn 3nt)a(r eined ffttdit^d^ tax, bcffen fletHere ®ette bie Seite
be^Duabratmaged4ma(/ be(fen größere aber biefe Seife 9 mal
tnttfilt. 3m SlUgemeinen fleUt a x b ben 3nl)alt eitie^ Stec^tecfi
t)Dr, beffen eine ®eite baö 9Ra0 a mal, bie anbere aber 1> mal
entbd(t Sliif dbnlic^e 9lrt britcft a^ (befanntrid) ein atgefärjrer
Siuöbrucf f&r a >< a)ben 3nl)a(t jebed Duabrate^ aud.
LXXVI. 3ur % ©rfldrung^ a) Da« Onomon tjt
alfo jener S^beil beö ^araKerogramm^ / n)e(cber ent)let)t/ loentt
man in beffen X^iagonale BD (^ig. 300.) einen wiflfäbHic^ett
^unct G nimmt, burd) biefen bie FGE mit AD unb bie JGK
mit DC paraUel ;iet)t/ unb nun cnrtDeber ba^ Heinere ^ataUt0
logramm FBKG ober bad größere JGED vom gegebenen ^araU
lefogramme ABCD m'egnimmt. 3n jenem %aü bleibt ba^ @no^
mon FADCICGF unb tn biefem bad Onomon JABGEGJ. Da
na* bem gröberen (I. fd. 43. ©0 AFGJ = GKCE ifl, fo
be()ft)t jebeö ®riomon and brei Parallelogrammen n)ooon {met
unter ffcb einanber gletd) ffnb an glAcbe. ^ärbe ber ^unct
G in bcr SBlitU t)pn BD genommen/ fo n>&ren auch bie beibeit
@nomone g(eict) an gldd)eninba(te. ^ire tfitxhti bad ^araUe^
logramm ABCD nod) ein ffttdjUi ober ein Quabrat, (6 w&rbeit
fle auö^ congruent fet)n*
b) Daö SBort ©nomon bebeutet auc^ ein SQinf e(maß b«
^. ein practifcbed äOerfjeug, um einen red)ten Sinfel burc^
3etd)nung ju bilt)eny unb i)ierburd) ifl moi)I $ u c ( i b e i
bewogen n)orben/ biefecJSDRort in bie ©eometrie aufjnnc^men*
X^enn menn bad gegebene ^araOelogramm eitt fRt(bU(t i^iQ.
301.) ABCD ift/ fo bilbet ba^ ©nomon ABCEGBA bie ®efiaU
eineö ^Öinfelmaßed.
c) 3n ber SlfJronomie toerflebt man unter ©nomon ein
9Bcrfjcwg, um bie ©onnewb^t)*' jn meffen, jUi»b in ber febre
von t<in ®onnenul)ren (®immonif) n>irb ber Beiger ) n)eld)er
burc^ feinen ®d^atten bie ®runben n^eifet/ ebenfalls ©nornoii
genennt.
293
JJtXVtL gumt. ©a^e. a) Stt »e|Ufl auf fca«jem'j(e>
locril oben ^m ber Sered^nung hti $(äd}niutt)a(ted ber ?ied9t#
edc ifl bemerft worben , Idgt fld) biefer Se^rfa$ auf aritt}mf#
tifc^«8^^<''^^^'f<^^^^t 6en>eifeu.
€^ fei BC = a, BG = A = b , ferner fei BD = c , DE
x= e, EC = f , fo ift, «aA ber 9lnnabme; a = c + • + f
tttib folglid) auc^ a x b = (c + a + f) x b, ober
aXb=:cXb + ©xb + fXb. SlOeitt
a X 1> ■= Wecfetetf BCHG ,
c X b = JÄ^cbterf BORG,
ex b = lRe*tccf.DELK uub
f X b = Me*terf ECHL , folflli* 3Ied)te(f BCHG =
Sttd^ua BDKG + fHttbttd BELK + !»ed)te(f ECHL.
b) 9Ran äberjeugt (tci) Uxdit , bag biefer JSemeid ganj
oOgemetn i(l unb eben fo geführt werben fann, loennBC fn
mehrere lunb nod) fooie(e) Slbfcbnirte gerl)etU ifl. öftren
einige biefer Sibfdjniüe ber imit BG gleitb, fo entfldn^en
bufCbffe Ouabrate, M ZtftiU bed Stec^tccfd BCHG. (Erldu#
terungen in Sa^en (Tnb feicbc beijufugcn.
LXXVIII. Swm a. ©a(je. a) (Sd fei (|ier AB = a, AC
= b.unb OB = c« fo tjl a = b 4- c unb tat^er aucb.a x a
= (b + c) X a ober a* = a.x b + a X c- Cd ifl abera»
= Duabrat ABED, ferner a xb zz Mccbrcrf ACFD, mil
AB = AD unb a X c = SRecbtecf CBEF , weil CF z= AD =
AB ; folgli* SXmt>v. ABCD=:9Je(t)t. ACFD + SRe*t. CBEF.
«b) Jttdbme man a2=:b+ c+d+c + f, fo würbe a*
= (b+. c + d+c + f)Xa, ober a* zz a X b + a X c
+ axd-faxe+ axf fejon b. Ij. baö Duabrat öon
A beil&nbf ^ier and ber &ummt Don fAnf SteicbtecteK a x b,
axc> axd, axennbaxf. 2B4re babei nocft b=:c=d
.='6 = f , fo würben biefe fänf 9?rd)tetfe aud^ uod) einanbcr
congruemfeyn. Slud) ^ter io(fen fid? leicht 3at}Icn^iSeifpteIe
' geben,
LXXIX. . 3um 3* ®a Je* a) @d fei AB = a , AC = b
stnb CB = c » fo ifi a = b + c. SBirb nun beiberfettö mit
c maltijolicirt/ fo ijl a x c =c bx c + e»^ liaein a x 0=
294
mtftit ABEF, ferner b x o, = 9?e*t. ACDF mb c« =
Duabr. CBED , forglicfi i(l 9te*t ABEF = JWe*t. AGDF +
ßuabr* CBED.
b) 9luf itinliibt 9(rt ift andi bai Stec^M au* AB tittb AC
C%iQ* 302.) bem Stecbtecfe aud beit beiben abfcbnttten AC unb
CB nebfi bem Duabrare bed Üb^tbniM AC gfetcb« X)enn wenn
man AF = AC ouf BA lott^ndit jleCt unb FE mit AB, fo
ipie BE unb CD mit AF flleictiraufenb iitbt, fo ift ABEF ba«
Siecbtetf aud AB unb AC , ferner tft ACDF batf Duabrat wn
AC unb CBED bad Mecfeterf Don AC unb CB.
®e^t man n)teber AB =: a , AC = b unb CB = c , fo
{ft a = b -f c unb folglich andf axb = (b + c)xb
©ber axb = b»+bxc. aHein a x b = med^t. ABEF,
ferner b* = Qnabr* ACDF unb b x c = 3le*t. CBED ;
folfllid^ mnfl SSec^t. ABEF = Quabn ACDF + JRecftt CBED
fepn.
Setfptele in ^af^Un ftnb fe^r einfach }tt geben*
LXXX. 3Üm 4. ©a$e. a) ©e$rmanAB=i:a, AC=b
Itnb CB = c, fo ift a =: b + c, forglid) a» =:i (b + c)*
s=b» + abx c + c^ Smein a* = ABED; b^sHOFD;
a b X c = 1 ACGH = ACGH + GKEF unb c» = GBK.G;
fcfflli* ift auc^ ABED = HGFD + 2 ACGH + CBKG.
b) Diefed ift ber bef annte ^ftlf^fa^ üur 3(ud{iel)ung bet
duabratkDurjeln / n^enn biefe SBurjeln jn>eitl)eili9 ftnb. Slffettt
tüenn (gig. 303.) AB in br ei »ißfAljTlidie XtitUt AC, CD
ttnb DB gett)etU ift, fo beßet^t ibr dnabrat ABEF an* ben
Cluabraten t>on AC, üon CD unb t)on DB, bann auö ben
gmei Stedjtecfen Don AC unb CD, au^ ben jiDei Siecbterfen üon
AG unb DB unb an* ben beiben Stec^tecfen Don CD unb DB.
jDiefed ergibt fdb (eict)t an* 93etr4ct)tung ber gigur unb folgt
aud) barau6 / bo^ , n^enn AB = a, AC = b , CD = c unb
DB =r d gefegt tDtrb , nunme{)r a z= b + c -f d unb folglich
a* = (b + c + d)* = b» + 2 bc + c* + a bd + 2 cd
+ d* ijl. ^ler wirb ndmficft
b5 = Cluabr. ACLG ,
2 bc = Me*t. CDML + 9led)t. GLNH
/
1295
i^ = C«abr. LMON
, ^ bd = «e*t DBJM + 9le*t HNPF
2 cd = 9le*t. MJKO + JRec^t. MOQP
d» = DHabr. OKEQ.
c) Sluf At)n(id)e Slrt f6nnten aucf) bte STu^brAcfe (b + c
-1- d + e>^ ; (b + c + d 4- e 4- f)^ u. f« f* biuTc^ DuabraU titib
ffttdjttdt conflrutrt loerben.
LXXXL 3ttm 6. ©afre* a) di fei ^ier AB = a, AG
= CB 5=b, CD = c, fo ift AD = b + c unb Dß = b — c
iittb man l)at
(b + e) >< (b — c) + c* = b», »eil
(b + c) X (b ~ c) = b»^— c* ifl* «Heitt
, (b + c) X (b — c) :;= gjfctit ADHR
c* = Qüobn LHGE unb / , :
b* = Ouobr. CBFE, forgtvc^ ijl .
ADHR + LHGE = CBFEv
b) WÄftme man AB = nunb AD = 8, fo »4re AG =
CB =st 6; DB == 4 uub CD = 8 — 6 = 2. SKan ifitti hatf^x
8x4 + 1X2 = 6x6, tote biefeö mxllidi ber gaK ift*
c) ©e^te man AG ä a , CD :p: b tinb DB = c , fo xöitt
AD = a + b uttb ber ?rt)rfa$ biefer (a + b) x c + b*=:=
(b 4- c)*, beffen äBa^r^ett leicht erfaimt toirb* £enn ed folgt
ac + bc + b* Ä b* + 2 bc + c* ba^er
. ^o +• bo = 2' bc 4- e* unb
ac = bc 4- c» =; (b 4- c) X c ober
a = b 4- c , toai nun »irf lic^ ber %aU ifl , iveil
AC = CB = CD + DB t(l.
LXXXU; 3um 6. ©aee* (g« fei AC = CB ä a,
ED = b, fo i|l AB =zi 1 a, CD = a 4- b nnb AD =
2 a 4. b unb ber ®a^ fagt: .
(ä ä 4- 1>) X b 4- a* =2 (a 4- b)^ 2)afl biefej nutl
toittlidi fo fei, Iet)rt bie Uifbtt tRed^nung, ba
(2 a 4- b) >< b 4. a* 13 2 ab 4- b« 4- a» Unb
(« 4- b)» = a^ 4. 2 ab +>* ifi.
5596
LXXXIIL Sunt 7. Ga$e. @e^ man ffitt BA = a,
BC = b »IIb C A = a — b , fo i(l bie Sc^auptung bieft :
a» + b* zr a ab + (a ~ b)», beten SD3al>rl)e« (ogfeic^
einlettc^tet, ba (a — b)» = a* ^ a ab + b* itnb forglic^
2 ab + (a — b)* = a» + b* ifL
SDSdre BA = lo, BC = 3 foIgU* CA = 7, fo ^4tte
man
10* + 3» = a X 10 X 3 + (10 — 3)* ober
100 + 9 = 60 + 49 = 109.
LXXXIV. 3 um 8. (Sa$e. ©e$t man fjia AC = b,
CB == c, fo ifi AB = b + c unb bte Se^aupfung folgenbe:
4 (b + c) X c + 1> * = [(!> + c) + c]* nnb bit
Sntn>tcfe(ung ber Suöbr&cfe . le^rt fogletc^ tl)re SiiAtigfeit
£enn eö ift
,4 (b + c) X c + b* = 4 bc + 4 c» + b*
[(b + c) + cp = b* + a bc + c* + a bc + a c*
+ c* = 4 bc rf- 4 c* 4- b* ttoie juüor.
LXXXV. 3wm 9. ©a^e. a) «d fei AC = a =5 CB,
CE = b , fo td AD = a + b nnb DB = a — b* lOtt
Huittud Ui ®a$e4 wirb nun folgenber:
(a + b)* + (a — b)* = a a^ + a b*.
Do nun (a + b)* = a* + a ab + b» unb .
(a -- b)* = a* — a ab + b* ijl ,■ fo mnß
(a + b)* + (a — b)* = a a* + a b» fe^n*
h) ©e^te man AB = a , folglich AC = CB = y^ a ,
atnb CD = b, fo »Are AD = i/j a + b nnb DB = Vj a
— bj nnb bie Se^auptung biefe:
0/2 a + b)* + CA a — b)* = a X Q) + a b*. Da nun
(i/j a + b)* = % a» + ab '+ b^ ^ ferner
(% a — b)* zz V4 a* ^ ab + b* i|l, fo ifl
(V2 a + b)* + (%*- b)* =y4 ** + ab* =r % a* + 2h\
«Kein il X Q) = a x ^ = V2 ** fofflK*
ifl bie Slid^ttgf eit bed ©a^et enoiefen«
297
LXXXVI. 3itm 10. 6a^e. 9t fei AG =s CB = a
IStib BD = b, fo AD = 3 a 4- b| unb CX) = a + b.
jDer Set)rfa^ ifl nun fo(grnbft:
(a a + b)* + b* = 2 a^ + a (a + b)^. Q« toith aitt
(2 a + b)» z= 4 a» + 4 ab + b», forgK*
(a ä + b)* + b* = 4 a* + 4 ab + a b*. Ba ttUtt
a (a + b)* = 2 a» + 4 ab + a b* i|l, fo i|l aud|> ,
'2 a« + 2 (a + b)^ zs 4 a* + 4 ab + 2 b* lOte JUöOt.
LXXXVII. 3um 11. ®a$e. a) X)te aRigitAfeit
ber Hofidfung btefer Slufgabe ge^t barau< ^crt)or, baf, lornn
bad Siecbtfcf aud BH unb BA gr6ger al^ ba< Duobrat t)ott
HA lüArc, alöbann burcb bte Serfktntrung )Don BH lenetf
Stedytrcf flettier unb btcfe^ Quabrat gf^fier tk^Arbe* 9Bdrc
aber ba« Sftecbtecf auö BH unb BA fleiueir aU hüi Dudbrat
bon HA, fo lüärbe burd) Vergrößerung ber.BU ba^i^ Siectitetf*
größer unb bad Quabrat fletner werben. £a nun btefe
^egenfettig^ Sergrößerungen unb Serfletncrungen nad) bem
Öefe^e ber ®rengfeit gefcbe^en f innen, fo mn9 einmal iai
SltdiUd bem Quabrate gUid) werben.
b) (Stne algebraifc^e Slu^dfung t|l folgenbe. iSi fei
3A = a y HA =: X , fo ijl BH = a ~ X unb ti foU fe^n
(a — x) a = X*; folglich ijl
a* — ax = X* unb
X* + ax = a* , ba^er
a» a» S a*
X* + ax + ^ = a» + - = -^, fomit
+ \ = yl
5 a*
-T- unb enblic^
5 a*
a /5 a*
X = — - + ^ -T-, tpefc^er Sffiert^ nun leicht con#
flrutrr werben fann.
S^ fei (gig. 304.) FG = a, fo t)erI4ngere man biefe
?inie ober G bi^ GM = Va «* i(*/ erriete in G auf MF ba«
«ot^ GD = GF =;: a unb jie()e DM, fo ip DM* = a* +
©* 5 a * i 5 a*.
= -^ unb- DM = y -^ gD3irb nun au» M mit
298
I
MG ete j(ret<6ogett (efc^rf eben , i^elc^er MD f rt N ft^nltbet /
Jo i(l MN = i/j a unb ND =a — % a + W -J-.
. LXXXVIIL 3w» i2. @a$e. ©iefer ©aft fantt aud^
fofgenbeTgeflalt fe^r einfad} 6en>iefen n^erben. (i\ tfl
CD» = CA» + AD» + ii CA X AD (II, 70 JlBei»
DB » =: DB» foffllid )
CD» + Dß»=:GA»^ AD» + DB» + aCA xAD, nun ifl
. CD» + DB^ = CB» dfi
Cß» = CA» + AD» + DB» + aCA X AD, al6er
AB» = AD» + DB» ♦
CB» = CA» + Aß» + aCA X AD.
LXXXIX. Sunt 13* 6a|e. (Sin anberer Sewetö tiefet
@<t^ed, A^itltc^ bem tn^rigen/ tfl tiefer* <Sd ifl
AB» = AD» + BD» unt
BC» = BD» + aBD X DC + PC» (II, 7.) folglich
AB» + BC» =r BD»^+ 2BD X DC"+ DC» + AD» + BD» otet
AB» + BC» =£ BD» + aBD X DC + AC» + BD» ober "
AB» + BC» = A C» + 2BD» + 2BD X DC , ober
AB» + BC» =:'AC» + aBD (BD + DC) b. ^.
AB» + BC» == AC» + aBD X BC.
LXXXX. 3 um U. ®a$e. a) Diefe SlufgaSe fann aud^
turd) ipälfe beä nacbfofgenben Sebrfage^ , n^elc^er ^ier fc^ott
txnt @teQe finben f6nnte^ aufgeldfer n>erbem
? e ^ r f a e.
Cirt SDBirtfel im Rxz\\z ^ beffcn ©Aeitel in ber ^eripfterie
liegt unb bejfen Scl)encfe( bur(4 t^it ^nbpuncte feinet £)ttrc^
ntefferö ge^en , ifl txn red}rer.
äBenn (gig. 305.) ber ffiinfef ABD mit feinem ©djeitel B
in ber ^eript)erie liegt unb mit feinen ®d>enfeln BA unb BD
auf ben (Snbpuncien A unb D Ui X)urc^me|ferd AD ße^t , fo
ift tr ein reAter.
9Qenn man burc^ B ben X)urc6me{fer BCE )iet)t, fo ift,
lüegen BC = AC , nun au* 5: ACE = 2 3C ABC unb auf
j[teic^e ort, wegen BC= CD, auc^ 3CiECp=,l 5: GBO.
2^
Dal^er tfi mn
je ACE + 5^ i:CD = a 9c: ABD;
aBein 3C ACE + x, ECD = a R, ba^er
ift X, ABD = R.
, b) Um nun tai SNedjtecf ABGD (^tg. 306«) in tin ihm
gfetdied Quabrat {u ^ottxoanMn, Derfdngere man AB AberB
btö A£ = AD \{t, befcbreibe aber AC einen ^albfxti^, \>tu
lAngere CB nac^ F unb jte^e FA unb FE , fo i(l ^c AF£
s R unb folglid^ Ouabtat FANM = fRtdjttd ABCD.
CI,47.).,
300
^ttmerlungen
brittcn ^uift bti (SutUbti.
■ 'I
I
LXXXXL Suri.CrfrÄruiig. a) ffia« biefer <grfr4#
vnng entgegen (it fielen fd^eint/ fann (eicftt babnrd) vermittele
mrbeit/ ba0 man fagt: ®Ietc^e jtretfe ffnb jene, n>elcbe fo
in einanber gelegt n>erben fönnen, bag fle ffd) becfen unb fo(g#
Itcb nur einen Jtrei^ bilben ; unb nun ferner ben>el(et, baf {wei
Areife , »elcbe gfefd^e Surc^meffer ober ^albnieffer t)aben , fo
in einanber gelegt n^erben f Annen , baß (fe fld) becfen. riefet
Se$tere get)t nun au^ ber @nrßel)ung bed jtreifed baburcb ^in^
(eucbtenb l)en)or, baß man jeigen fann^'e^ !6nne mit einem
gegebenen i^afbmeffer nur tin 5lret6 befct)rieben »erben«
Gellte aui C ( $ig. 307. ) mit CA nod) tin anberer jtret^ aU
ADBE rennen befcforieben merben, fo mi'tßtebieferjummenigflen
einen ^unct auffert)a(b ). 93. in P, ober einen ^unct innere
' tialb j. 35. tn N tfabtn. ÜRan jiet)e CF unb CN. 3n jenem
gaUe i|l CF > CA unb in biefem CN < CA (XIII, a.)
tpeld^ed Unmigltd) ift, ba ber 9t4biud CA (I'd^ immer gfeicb bleibt«
b) 9luf dt)n(icbe 9lrt fdnnte man ben gr60ern ober
((einem Jtreiö a\^ )>nen erfldren , brffen i^albmeffer großer
ober f letner a\S ber eine^ anbern Streifet ift , nacbbem bemiefen
toorben ifl, baß ber mit gr6ßerm ^albmeffer befcbriebene JTreiö
nur }um Xt)eil Don bem mit ffeinerm Stabiud befc^riebenen gebecft
n>irb{ fo uoie umgefet)rt biefer (e$rere nur einen 2!t)ei(bederf}ern
becfen fann, toa^ feine weitere (Sct)mierigfett i)at. Diefe Sttii^
rungen ffnb ba()er ^ter a(^ @acberf(irungen ju betracbren.
LXXXXJI. 3ur 2. (grfldrnng. a) mt mehr Sttau
l^eit fagt man, bie SCangente fei jene gerabe Sinie am Areife,
tvelc^e mit bemfeiben nnt einen ^nnct gemein ^at; obwohl
^ 301
ft^netbet feine Staitgeitte fe^n fantt.
b) 'Cufe Srfldrung ber 2!attgettte muß äfirtgend erfl burd^
bie @d(e ber SBtffenfcfcaft }ur 9lealitdt ge6rad)t toetben b. ^*
man m»|^ burd) äberjeiigenbe ®runbe bart^un , tote eine feiere
{{trabe tinie entßeljen \M^.
LXXXXIII. 3ut 3. (SrflÄrung. a) «u* ^ier fanit
man fagtn: Areife beriit)rcn fid), n)enn ffe nur einen
^unct mit einanber gemein ^abem 2;)iefe IBerubrung fann fo#
lt>o^( t>«n Sinffen als t)on Snnen' Statt ftnbem
b) 3(1 ^lar/ ba0 aucb biefe Srfldrungen nur SSorterffd^
rungen ftnb unb erfl burc^ bie tDiftnfc^aftltc^en @d^e mäffen
gerecbtferttgt merben.
LXXXXIV. 3ur 4. SrffArnng. X^a e« öon tvatm
^uncte auffer^alb einer gegebenen geraben tinie nur ettt
Setb auf biefelbe gibt^ fo benimmt biefeS totl) ben Slbflanb
üeS ^uncteS t>on biefer^inie, unb ber @inn biefer Srfldrung
tfl beutlid). Um folcbe gfeid^toeit vom ^tttelpunct abßebenbe
Stnien wirflicb ju conflruiren/ )tei)e man {n>ei wiOtfi^rlicbe ^alb^
mef[er/ net)me von jebem ein gletcbed Stäcf unb }iei)e burd) beti
Snbpunct^auf (te jwet <!otbe/ n)eld)e ben AreiS beiDerfeitö ein^
mal burcbfd^netben mäffen , fo finb biefe Linien bie t)er(angtem
LXXXXV. 3 u r 5. S r f I d r tt n g. 8(uf dbnlid)e »rt »fe
}ut)cr f 6nnen auch jwei »om QRittefpuncte ung(eict) weit ab(lel)enbe
gerabe Linien m 9x^\\t conflruirt tverbeU/ ünb bann fann man
fagen, jene berfdben fei nd^er bei bem SRirtelpuncte, auf
noeld^e ba« ffeinere Sott) fdOt
LXXXXVI. 3ur 6. (grfldruitg. a) ggenn man in ber
Peripherie bed ^tretfeS jmei n)t(irä()r(td}e ^uncre annimmt unb
2n)ifcben i^nen eine gerabe Serbinbung^Iinie {tet)t/ fo \\t\%t
tiefelbe eine S e ^ n e bed Äreifed» X)ap aber feine jwei ^uncte
biefer ^eripberie, aud) wenn fie nod) fo na()e betfammen liegen,
eine gerabe Sinie bilben f jnnen unb fomit bi)r (Set)ne nie in ben
93ogen faden fann, ifl (eid)t nad^jumeifen. 3n bem greife
t$ig.308.)au^CmitCA feien A unb B jtoei no(^ fo na^e bef#
fammcn (iegcnbe ^uncte , fo fann bie gerabe Sinie AB nie vx
-*4 \
SOS
bell Sofien AEB faUtn, t&eil 3c GAB =r ^ CBA < R uiib
folflltd) icbe t)on G nai!^ AB gejD^ene Sittte fleiner alt CA ff9tt
unb folgHd^ mit i^rnn (Enbpuncte . innerhalb beö ^i\ti liegen
muß.
.b) 2)iefe Srflärung be« ftrei«a(fct)n{tte< aK jene«
Zijtil^ ber lfrei^f[dd)e/ »oefc^er jYoifd^en einer @et)ne ttnb bent
burd9 i^re (Snbpititcre beOimmten SSogen entl)alten ift, ifl alfo
^ter fcbon ol^ ©acfaerfldrung ju betrad9ten. Sluc^ fte^t man
Ui(bt, baf jebe ®e^ne im Greife jwei 3(bfct;nitte, einen
grd^ern unb einen ((einem ^abe. 3fl bie @el)ne bet
jDur(l)me(fer , fo (inb beibe 3(bfcbnirte einanber gfeic^ unb jettet
i(l ein ^aibtnii. gerner wirb ^ierau« beullicb/ toat man
®e^ne be« Slbfc^nitt« unb Sogen be« Sibfc^nittd
nennt
LXXXXVII. 3ur 7. Crfldrung. Diefe @rfldrung
bed 90infe(d , loelcben eine @e^ne im greife mit i^rem Sogen
bilbet, alfo etwa (gig. 308.) bcd SBinfeU^FGH, (d^t (ic^
tt)oi)( burd) bie Slnfc^auung erldutern/ fann aber erfl burcft hit
fpdteren Se^ren ber ÜBiffenfcbaft, nd^er Derflonben werben«
(Sinige t)aben (te, ald eingefc^oben / wi ben (Elementen beö
$uc(ibed weggelalfen.
LXXXXVm. 3ur 8. erffdruttg- 0) ffienn man in
^em ^rei^bogen ($ig. 308.) GHF ben wiOffübrlicben ^unct J
nimmt unb JF nebß JG jte^t, fo i(l ber SQinfet FJG ber ^IQinfel
im Slbfcbnitte FGJF. gRan jle^t aber^ baß ber $unct J auc^
anberewo genommen werben f6nnte/ woburc^ bie Sinten FJ
unb JG eine anbere Sage erl)a(ten. Db ber nun entflei)enbe
SBinfel aud) ein anberer, b. '^. ein größerer ober ein fleinerer
al^ ber vorige fei/ fann an^ biefer Srfldrung, welche fibrigen<
eine ©acberfidrung ifi, nid)t erfannt werben. X)ie fofgenben
6d$e werben (et)ren/ baß aUe biefe äBinfel einanber g(eict) finb*
3luct) ifl f lar, baß in bem größent Sibfcbnitte FABGF folc^e
ilBinfel entf)et)en, wenn man üon F unb Gt nad^ A ober
ttac^ B gerate Linien iiet)t.
b) Die ©runbiinie iti ^bfc^nitt« i(l immer bte
@e^ne Ui ^reifed> welche benfelben mit bem i^r jugel^örigett
Sogen iilttt Ibu ^ifft iti Vb^d^nitti timtt mm f eitc#
<oti> nennen ^ oefc^ed au4 ber STIttte ber ®f ^ne anf fle fen!#
udit enrtc^fet nnb bii jnr ^erip^erie Deri&ngerf wirb. Un#
gleiche Slbfc^nilte ^6cn t>erfd|tebene i^i^en. 3ebcd anbere
auf bie ®e^ne sejogene , bii )um Umfange «verlängerte ?ot^ tft
fletncr aU jene« fräl)erel Dicfe beiben SA^e mitfTen aber erft
iett)iefcn werben.
LXXXXIX. 3ttr 0. «rüÄrnng. So (le^e alfo (gJg.
308.) ber SBuifel FJG auf bem .Sogen FABG. Z)dcble man
fccb bte geraben Sinten FA unb AG gejogen, fo (Idnbe ber
aßtnfel FAG auf bem Sogen FJG unb beibe 3Qinfe( würben
jufammen bte gauje ^erip^erie be« greife« {wtfc^en i^ren
Gc^enfeln faffen.
Uebirbaupt (agt man i)on i'ebem 28tnfe(/ beffen (Sdftittt
tn ber ^ertpberie liegt ^ er fie^e auf jenem Sogen ^ weld^er
jtnifcben feinen ®d)enfe[n liegt. @o ße^t ber a&infel FGJ auf
bem Sogen FJ unb ber aSinfel GFJ auf bem Sogen GHJ.
(Sbeu biefeö gilt aucb t)on bem SRittelpunct^winfel ACB^
Weld^er auf bem Sogen AEB |lel)t.
C. 3ur 10. erfidfung. (Si ift öffo (gig. 309.) jene«
Stftrf be« aui C mit CA befcbriebenen greife«; weld^e« {wifd^en
ben ^albmefTern AC unb CB unb bem }n>if(t)en tbnen (iegenben
Sogen AGB eingefcfcloffen wirb, ein £ r e i « a u « f cb n i 1 1. Tlan
nennt X AGB ben 3Binfel be« 3lu«fcbnttt« unb Sogen
AGB ben Sogen be« 9lu«fcbnitt«. StäcTt nun CB aD#
mAl)Iig in bie ?age CD, woburd>3C AGB jum 3C ACD wirb,
fo wdd}fl ber Sluefcfenitt i)ierburct) an ®xi$t unb wenn CD noc^
weiter bi« jur Sage CE, in bie Verlängerung wn AC, fort^
räcft, fo vereinigt (tcb in bem ^aibfreife ABDE fowol)l ber
$|u«fcbnitt aW ber m^bnitt St&mt CE in bit Sage ))on CF,
fo fdnnte man ffd) unter ABDEF einen au«wdrt«gel)enben 81u«#
fcbnitt nnb unter ACFH ben grw6bnltd)en Sluefc^nitt, al« feine
Crgdnjung lum gangen Areife DorfleOcn.
CI. 3ur 11« Srfidrung. ^JQSenn in bem ftreife ( ^tg.
310.) AC£F burd^ben Slbfc^nitt ABC ber ÜQInfelABCunbburc^
ben abfc^nitt DFE ber äBinfel FED gebilbet wirb, fo ftnb biefe
)
I
30«
}niet Wf^ftiiUe itic^t Mo9 eittanber ittnlidi , fonbetti cottgntr it<>
»fitn caxiü ito* 5; ^ = 5: E i(l* ®&w aber 3c ABC =
^ MNP in bem griferit Äteife' MPQH , fo tiNtkrben beibe Hb*
fd^nitte ABC unb MNP etnanber d()nlid) frton b. I). an ®ef}aft
Abereinflimmen bei oerfci)tebener ®r60e. Sbe n fo aMd) abfcfcmtt
FED unb HSQ , wenn 5C FED = ^ HSQ ifl. Diefe aet(n*
Itcbfeit muß inbeffen^ fo note jiene (Songruenj, cbenfaQd erfl
loiffenfd^aftltci^itegränber werben.
CIL Sum i«^®aee. £er iSewet« btefed' @a$e< tfi tn^
btrect "^Xl man e{nei9 birecten SSetoet^ / fo (ä{fe man folgen^
ben i^Affdfa$ t^oraudgeben.
SQenn man 00m 3Rttte(|)uncte be< ßreife^ etil
2ot() auf eine @e^ne in i^mjie^t, fo wirb biefelbe
^albirt.
(gd fei (gifl. Sil.) CD ein ?ot^ auf AB, foift AD = DB.
gRan jte^e AC unb CB, fo ifl, wegen CA = CB^ auc^
3C A = 3C B; ba^er; wegen 3C CDA zz 3C CDB = R,
au* 3C ACD = j: BCD unb folglich A CDA gS A CDB , wo#
X^yxi AD = DB folgt
iDber : I>a CA* ^ CD* = AD* unb CB* — CD* =
DB*, fo mnß wA^ AD* = DB* unb fofgli* AD = DB fe^n.
3ufa^« 1. £a bon C nur ein Sotl) auf AB möglich tu
itnb biefe« in ber ^xXit bon AB eintnp, fo xm% wxii bai
^Vii> ber SRitte ber ®e^ne errichtete Sot^ DC burc^ ben SRitteU
punct be« jtreife« geben.
3ufa$. % aßirb ba^er biefe« Sot^ CD &berCunbD
itad) £ unb F berl&ngert, fo wx% £F ber Surcbmeffer unb
folglicb in beifen 9Rttte c be» jtreifed 3Rttte(punct fe9n«
3uf a 9« 3. Sind) folgt ^ieraud, ba0 ein Stxtxi nur tintn
SDlittelpunct ^abe, benn er fann nur in bem einen tot^e
DC unb mu$ folglich in ber SRttte bon FE (iegem
CIIL 3um 3.. ®a$e. a) Siuc^ biefer @a$ fann (et(^t
btrect bewiefen werben. SQenn AB ($ig. 312.) bie gerabc
ginie i|i , welche bie ^uncte A unb B be6 jtreifed oerbtnbet^
fo'ji^t)^ ^^^ ^^^ i^albmeffer CA unb CB, woburcb bad gfeicb^
fd^ntelige £reie(( ACB entfielt/ in we{cl;em3CCAB=:^CBA
30Sf
< R ^ 3lt^ manmn tai tot^ CD, fo nmp biefr« )tt>tf<^eii
A unb B nnb. \^at (jaad^ CIL) tti tet SDtitte t)ott AB in D ein«
mffen «nb tj Ht CD < CA. IDa^er (iegtD innef^alb bed
Areifti^. Da jlebe onbere gerabe Unit , xoxt CE ,. e6enfaS< <
OB ifl; fo mn^ auc^ jeber ^unct jmtfc^en A nnb B ffd^ in betn
Stxti\t btftnben. äBnrb AB äbeir B t^crlAngcrt, fjD mn^ CF >
CB fcpn nnb folglich F anffer^alb beö Areifed liegen«
b) Daber fann eine gerabe Sinie ben Stttii nur in )tt>et
|>nncten burc^fc^heiben. Denn ^düe fle auffer A nnb B no^
einen ^nnct gemein , fo mä^te eine Sinie töte CE ober CF ber
Sinie CB gleich feyn Mnnen, xotl&iti nnm^gltc^ \% J^zmna^
fann buvd^ brei in gerabet Sinie (iegenbe ^nncte fein Stttxi
befc^rieien tt)erben nvlb jeber fireiö bogen, fei er anc^nod^ fo
ff ein ^ sutß aH eine frumme Stnie betrachtet »erben«
CIV, A) Snm 3* ©a$e« Doß ba« oon E onfAB
gejogene Sotb biefe AB in F ^albirt^ iß bereite oben (CIL)
beioirfen »orben. SBtrb btefed $ot^ £F 6iä }ur ^erip^erie in
D oerldngert; fo ifl and) Sogen AD r= Sogen DB» Denn b(i
SQinfel A£D = SDinfel DEB ifl, fo fann jener fo in biefen
gelegt werben/ baß {tc^ beibe becfen unbEA in£B fAQt. SoUli
nnn Sogen AD nic^t in ben Sogen DB fallen , fo m&^e ein
9)unct oon AD aujferl}alb DB ober tnneri)alb BD faden/ n>e((^ei$
Setbetf ntd)t möglich iß, ba fonfl bie Jpa(6mefer ungleich
to&ren« ^h^z man noc^ bie @et)nen AD unb DB , fo f 6nnte
man ^ier fct9on einfci^n, baß AD =DB n^dre, weil A A£D
ce A B£D i(l.
CIV. B) 3ttm 4« «ä^e. a) Die 5tl|ef!d be« ©a^«
%ti^t eigentlich: fo fann ni&it jebe k)on ber anbeten
^albirt werben. Denn ti ifinar, baß eine wn beranbern
^albirt werben fann..
b),9Qenn (tci) jwet gleiche gerabe 2iniet|(g^ig. 313:) AN
nnb BM bergeflalt im Greife fct)neiben, baß it)re ©egmente AD
nnb BD, fo xoiz aucb MD unb JND ^inanber gleich finb, fo
wirb eine Sinie $iDJ, miAit bie ©cbeitelwinfel ADB nnb MDN
^afbirt, nnb 6eiberfeit6 }ur ^eri^^erie reicht, ein Dnrc^meffer
biefe« ^eifeö fe^n. Denn wenn man MN iizl^t, fo ifl A
20
306
MDQ e5 A T^DQ folg«* MQ =: DfQ intb rt mi ff* ftt tem
tott)t QD ber SSRitUlpmtt U^ Jtuliti beftitben.
CV. ^ttttt 5« ®a$. a) i^ier tbetbeit)tt)ei Greife Her au ^^
gefegt/ tt>e((^e einanber' bntc^fcimeiben« ©oKen ffe toirN
nc^ conflruirt tDerbeti, fo tnäffenfie ^erfc^iebese WiU
telpttttcte liabtn. ^tnn Ijätttn fie nic^t k^erfc^tebene SDZimU
yuncte , fo mähten fte benfelbigen ÜRiltelpunct i)abeit ^abett
fit abtt einerlei SDlitttlpnntt unb attd) einerlei \i^aAmejfer, fo
ffnb cd congruente JEreife^ wtlijt nur einen e{n}tgett
biiben« @inb bie i^albmefier k)erfc^tebeit/ fo fann ber grifcre
Areid mit bem f leinent feinen ^unct Qtmtin ^abtn unb. bcibe
f innen (U^ baber nid^t fc^neiben* 3lKein nic^t aOe greife ^
n^eld^e t)erfc^ebene 9Rttte(puncte i;aben/ fc^neiben . einanber»
2)a^er bemerte man ober bad @4ineiben unb Ser&^reu ber
Äreife folgenbe ©&$e.
b) SQenn bie (Sntfernung ber aRittelpuncte {tbeier greife
Qxi^tt iii/ ali tit ®umme i^rer j^dbmeffer, fo liegen beibe
QMi auffer einanber unb i^aben feinen $unct mit einanber gemein*
Cd fei (gig. 3140 AB > AD + EB, fo liegen bie «reife
M unb N gan} auffer einanber« '
£enn tjätun ffe auc^ nur einen ^unct g. S« C gemein/ fo
I0&re AC ipalbmeffer wn M unb BG 9tabiud wn N unb ti
mil^te AG + GB < AB fe^n, toai miberfprec^enb iß, ba AG
+ GB > Aß fe^n muf.
c) SBenn bie Sutfemung AB i%\Q, 315.) {Meier Steife M
unb IV fo groß ifl / aU bie ©umme i^rer ^albmeffer AG unb
Cfi y fo i)aben biefe «reife nur beu ^unct G gemein b. ^. fle
bträ^ren fld^ Don liuffen.
jDenn »enn fle noc^ einen ^unct, tttoa B gemein ^dttett,
fo to&ren AD unb BD bie ipalbmeffer .biefer «reife unb ti
tnäßte AD -f DB = AB feyu/ toaö nic^t fe^n fann, ba AD -(.
DB > AB ijl.
d) SBeun bie (Sntfernung ber SRittelyuncte CD (gig. 3i60
f leiner iß/ ali bie ©umme ber i^aibmeffer, b* ^. toenn GD <
€B + AD, fo m Affen fic^ bie jmei «reife in {wei^uncten
bur(^f(i^neiben.
9ff#ff(t itmir mit GB ben ^alhhtig BHE^^ (o mitßfM^
ber ^unct A innerhalb fetner %läd^t beftttbetu ÜBiirb Mi^tx mit
DA tbtv^üU tin ^albtttiß^ ASF bt^^THbtn , fo muß berfclbe,
ha ber.$ttnct F offenbar aufer^alb bed igy^albfretfeö BH£ (tegr^,
tiefen k$tern net^urenbig bur d)fct)(neiben« Z>ai>er fyal: tn N eut
2)urfbfcbtiitl^l»tnct @tatr. Siuf ii^ntidfc ^xt mu9 tin piStittt
Z>urci}fci)ititt iti M erfolge«. ..
^).9&eon bte Siitfentuttg ter SDitttelpun^cte jweter jtretfe
CD (gig. 3t70 nebfl bem ^albmefer D3 t>U tltmxn fo grof
tß al6 ber iQa(bme(fer bed grSßern/ fo beftnbet.flc^. ber fleti^
Areid goti) innerhalb be« erdfern unb tjdt mit ifysn mxx ett^n
SEitti^tMniipwct Qcmtin: ^
Denn ^&tten biefe treffe :<iuf«rB'no(^ einen anbern
|)un€t/ etn>a £ gemein^ .fo iiti^t man CE unb.DE, tt>elct^e
cbenfaSö ^attmeffer fe^n mfiften, Da nun CD + DB = €B
ifl, unb DB = DE, au(h CB=:CE w&re, fo mußte öuc^ CD
+ DE := CE fe^n, »ad »iberfprec^enb ift, »eil CD + DE
> CE fe^n muß* , ,
f) SSSenn t>it @ntfernung ber ^tttelpuncte )»eier ^retfje^
«ber CD (^ig. 318.) nebfl bem ipalbmeffer DB bed. einen Heiner
ift, aW ber atabiuö CA be« anbern / b,,I). »enn CD + DB <c
CA iß , fo liegt ber Heinere ^reid ganj innerhalb bed gr jßenc
itnb ijüt feinen ^unct mit it)m gemein.
Denn »enn beibe einen ^unct^ et»a E gemein ^dtten^ fo.
ivdre DE ipatbmeffer bed f (einem unb CE 9iabiu6 beö grdßern
Xreifeö unb cd ip^te^ nac^ ber,9(nnat)me; CD + DE < CEr
fepn, mi ntc^t migUc^ ifl, ba CD -{- DE > CE fepn
mu$. " - ,
Sluffer biefer fänffac^ tterfc^iebenen Sage fann bei.
)»et Areifen aud,»erfc^iebeiten 9Ritte{)?uncten feine anbere me^r
6tatt ftnben. / ^'
CVL 3um 6. ©aße. a) Dit ^ppott^effd. biefe« @a$efc
(}»ei Seriibrungdfreife Don 'innen> ifl nun burtb t^Ad S3or^ec^'
gel^enbe er»iefen.
. b) ip&tten fte einen gemeitifc^aftlicbfn 9Ritter))uncr > fo
tn&ften fte/ bei gleiche» ^albmefferu/ burd^aud inetnanber.
20 *
3oa
folcit mib f 6ci »ftfclif ebeneit 9l«>tcti , »ittf ber flcäiere ganj
CVII. 3itm 7. ®abe* a) 6oB alfo btnrd^ etteit iit ber
Jhretfcbrne gegeNttett ^nnct B (gtg. 3190 eine gerabe tinie
px f>ertp^erte gejogeii loerben / toelc^e bie f (ef nße t>ott aOeit
»Agileren i^f fo Hie^e moit bnrc^ B ttnb ben 9Rtne(f)itiicl G
bie gerabe tinte BG, tDelc^e/. nad) D ttnb Ä üerldngrrf/ {nnt
Snrcbmeffer AD wirb, i^ter tft nun BA biefe Heinfle Cinie.
jDie größte aber, we(4)e axA B )ur ^eri)>^erie ge}ogeit idct^
bnt f ann , i^ BD.
b) Tba ti bei flettgen (8r6f en {wifc^ett bem 0r60tett ttnb
^(einßen noc^ ein SR itt lere tf geben niu0/ fo entfielt bie
Srage: ffio liegt biefe mittlere Cinie, welche, ti>ie man leicht
einfiebt, bem i^aI6meffer gleid^ fei^n mn^? — 9Benn matt BC
itt F ^albirt ani F tai Sotb FC anf AG errid^tet nnb £B
(ie^t/ fo tfl BE biefr mittlere tinie» £enn ed i|t, loie
man reicht ftnbet , A EFG g^ A EFB , folglich BE = GE
Sa nun CE ein ^al(»me(fer bti Jtretfed iß , fo muf awi) BE
ein folc^er feyn.
GVllI. ,^um 8. @a^e. a) Da^euclibe« in biefent
Gabe ^^tt Linien fpricbt, tpefc^e ani bem ^unctet) naäi bem
l^o^Ien nnb nac^ bem erhabenen Xl)ei(e ber f>ertp^erie ge«
}Ogen toerben/ ifl be^^alb nic^t )u billigen, totil bie ®ren)e
ntcbt nad^gewiefen ifl , totidit in Sejug auf biefen ^unct D ,
tai i^o^le Dorn (Sr^abenen ((Reibet. Siefe ®reh}e liegt ba,
too }uoei Don D an ben Jtrei^ ge)ogene SCaiigenten benfelbett
ber&i)ren* 3ener Ztitil ber ^erip^erie toe(d}er itüxSdftn biefen
IBer&t^rung^puncten nac^ D ^in liegt', iß ber erhabene unb ber
anbere, immer größere iC^eil berfeibett iß ber t)cl)(e in Sejug
auf D. aUein Cuclibe^ Itfitt erß fpdter (17. @ab) n>ie wn
D biefe jwei Tangenten ju ccnßruiren jtnb, obgletd^ fon>o^C
bie Sonßrucrion ber itangente für einen ^unct in ber ^eri^
p^erie, ali aucb fAr einen ^unct auffert)alb beö greife«
fd^on Dor bem 8. Ga^e ^dtte nac^gewjefen toerben (innen«
b) 9Rit Umgebung biefer Segrtffe Dem trbabenen unb
l^o^Ien Xfjult ber ^erip^erie (6nnte man ben>eifen:
309
1) büf mtttr aBen iinitn, todd)t tat» D naäi edtfm
toilltifitliä)tn ^uncte ber ^etrtp^erie Qti^tn, jettc
tPffcM btitc^ bett Wxittlpvitict tritt, alfo DMA» bie
gf j0te fti. 4?« tfl alfo tiac^ Sttcltbe« }tt jetgen ^ bof
DA > DE; DA > DF; DA > DH; DA > DG
it f; f. fei
3)Da9 ttnter affett attt D ttad^ irgetib eitlem ^ttttcte
ber ^ttii/itjttH gejogeneit iinitn jene (it&nrftct^ DG) bte
fleinfte fei/ toeh^e ba^ anffer bem Areife liegenbe
Stgmtnt ber Serfrinbung^tinie DM btlbetv too bettit
bemiefe« »irb, ba0 DG < DH, DG <DC, DG <
. DE it; f« tö. ift.
CIX. 3 um 9. 6a$f. Die Sliclitigrfit be« 6a$e< gel^t
fogleic^ batani ^eroor, baf aoö jebem ^uncte D o^ig« 3130
iDelc^er ntc^t ber SRiUelpunct bed jtreifed ifl, (nac^ 7. ®a$)
itur }i9ei gleiche gerabe imUn DA=;DB ober DMssDN jur
9erip^erie gebogen Mtxhtn Itonen. SJentt alfo ani einem
.^nncte im pfeife brei gerabe uttb gleiche ^nitn ium Umfange
ge^en/ fo mui biefer ^unct be^ SRittelpuncf fepn«
CX. 3'tiv iO. 6a$e. ,a) DieferSa^ fann auc^ baburd^
beioiefen ioerben> baf gmei Httxft, meiere brei ^ynncte mit tin^
Mber gemein f^oAtn, fo inetnanberfaOen muffen , baß fle ffd^
becfen«
2Dnr<^ brei nic^t in geraberCinte Kegenbe ^ttncte C^ig*
330O A, B unb D einen JhreiS }u conftruiren^ t^erbinbe maM
■tiefe $uncte butt^ bie geraben Linien AB unb BD, tialbixt
AB in £ , BD in F unb errifi^te bie {ot^e £C unb FC nac^
ber Sefnnng be« 9Binfe(iS ABD t|in; fo m&ffen ffcb biefe^
loeif nad^ gejogener ^ulf^Iinie EF ber X. ^^^ < ^ itnb anc^
3C£FC<R iß/ einmal in G burcbfc^neiben* 3ie^t man nun
CA, CB unb CD, fo in lei*t einiufe^eU/ baß A AEC c^
A BEC unb A BFC 5S A DFC unb folgli* CA = CB =
CD ifl« X)a^er muß ber mit CA ani C befc^riebene ^ttii
burd) bie f>Kncte A , B unb D ge^en«
' b) STuc^ ffe^t man ^teran^ / baß burcb biefe fefl6eftimmte
f>nncte A, BmibD nur tXnStxtii confltuirt »eriren fann /
510
mil bie ^ofl^e fiC nnb FCnnt eilten Vuvdf^diniMpunct
'ü. gefeit« '. " ' '-•■ ...
. 1 c) 9Benit fldi. mn itoti »hrfc^Cebeite Streift itt'bret 9>unctett
l)itr(tfcbnetben fi^iuttrti, fo tnä^teo f!e btefe bret ^oncfe gentettui
«fcbaftficf) M(rett.' 'Sa aber burcfo btefe bret 9>uiKfe/ tvelcbe nie
in einer geraben Sinte liegen f^nnen^ nnr ein Xvti^ mißlidi
\ifti, fo tuArined nietet {wei' t^vfc^icbene ^etfe>r.fenbrnt ti
ntüffe nnr fitteinjiger fe^jt*
cl) Greife / toeld^ bret ^nnetejottt etnanbet gemein ^aben^
'ftnb nidjt me(^y {tvät^erfcbiebenesftrel^/ fcnibem be(ffn,einanber.
^ CXL 'ignnrll, ®a$e. SnbAr ipi^potl^effe Wefi^ ®a$e«
tDerben tt)teber ;met jf reife ))oran^9efe$t> too^n einer ben
innbem D0n Slttten' berül^ft. Xie (fonflruction fofd^er ^eift
(t)üt SncUbtd nic^t nac^gewiefen / ifl aber eben (XV , e)
gejeigt tt)orben* *
CXH. 3nnt ±% Sa^e. Xta ^ier b(efe(brge N^9)»ot^eff<
in Sejng auf }»ei Areife (Stairfnbet, welche fic^ Üuffen
berüi^ren^ foi gife ^ier bie n&mlid^ Setnerfnng wie juwr.
5Wan fel)e oben (CV, c)
CXUL 3 um 13. @a$e. «n* bi* «tafir^tit tiefet
jttfei Se^anptungen ge{)t ani bem ^en^ot/ waö bereite frä^t
Don biefen IBerät^ning^fr^ifen (CV, c n. e) bemerft morben ift.
CXIV. 3nmi4. ®a$e, IDiefer ®a$ folgt ancft baran^,
baß, tüenn AB^=CD t(l, an* AF=CG fepn miißr nnb nun
bie recbfwinfeltgen Dreierfe EFA nnb EGG, tütilinii^ntn
AFsrCG, ferner EA = CE «nb5CEPA = 5cEGC = R ifc
finanber congntent ffnb , ba tjon A nur eine fdjiefe ginie
.3= AE auf ben Sd^enfel F£ möglich ifl/ meiere eine beflintnte
®r*ße f)at (XLIII, d, e.) •
SP aber EF = EG unb E A = EC , fo mu9 aui^ gfeic^eni
Orunbe and) FA=GC unb forglid?.AB£=CD fe»m
CXV. 3ttm 15. Sa^e;. a) Ditf bte größte 8tnie^ foefc^e
»Ott einem n)ittfÄl)rIict|en ^incre A (JJig. 321.) beö Äretfe«
ADB in bemfelben gcjogcn »erben fann; ber ^rcbnteffer AGB
i^, folgt leidet barau«/ baß lebe anbere Sinie n>ie AB (leiner
Q\i AB fet^n inn#. ffienn man.CD.jieljt, fi» ijl AC + CD
311
> AD;: ;a«ritt AC + CD = *AC + dB =s A»; ÖÄ^et AB
> AD.
b) mttm EG ( gig: SM. ) ttd^er ttl G ift aU DF , fo tfi
JEG > DF. Da Met büd ?ott) GB < CA ijl unb CE = CD ,
fp am«; weit Eß* = CB*~ CB^ itnb DA«=:CD» — CA^
4ierJBB*> DA* anb fblgH* «ii*, EB > DA. feijit.
' Sttf täli^itlid^e Sbt laÄxK Uipiefett , bd$ /. mw EG > DF
1(1/ auc^ CB<GA ff^tt mn^.
r'.^'^i CXVL 3itm 16* ®a$e, a) iftitc^ böfnt ®a$t»jrb ber
SStgrtff ber £ a n s e 8 1 e }i)r^ eigestKdy^it ©iidrer f (drung« ziaf
4>te %ittie AB c^ts* 32^30/ toelc^e tn D itaf CD {ottyrec^t f}f<|t;
.nur btefin^unct mit bem JCreife gemein ^r; folgt and^ fogki^
^df autS > baf jebe anbere aud C gitogette , wie CE bb^v CF ,
»eil 3c: CDE = 3C CDF ä R i(l, griger oU CD fe^a« |iab
f9{g(i4 i^mi Sabpaacl aaffrr^alb be« Areifeö ^abea mag*
b) Da jeber ^aatt bet ^eriy^erie/ mie M obcY N, riaea
aabe?a 9tabia« CM ober CN Oat^ fo ^at aacl ieber ^aact ber
$en>^erie eiae <iitb<re S^aageate.
, CXVH, 3itm.i7. ®a$e* a) Cd ijl Har, bafi ba«^
biefelbtge SoaftracHoa ao^ eiae jtaeite JCoageate AHC^tg.
394 ) ermatten »irb*
h) 3n Setag aaf bea ^aact H a. B tairb ber Sogi^it BDS
cr^abea anb ber liBogea H^mb ^oI)< genenat
c) 9Braa ber ^nct A ta ber t)erlÄagertea DA foxtt&ät,
fo atAfl^a bie Zaageateapaacte H aab B immer me^r gegea N
anb M rücfea / o^ne bag H je einmal ia N anb B in M ^ele.
Deaa aira mü^ttn bie beibeir Saagenten, iveil bei N anb M
rechte SDSiafel tt>&i^n, mit einaaber pataM fe^n, taai ber
Slnaabmie taiberfprid^e , bag fle aad einem ^aacte ia ber
Derliagertea Siaie DA fommca.
. d) Stidt bageg^a A nd^er aac^ D, fo rAcfea aacft H aab
B mtf)x aac^ D , aab toeaa A ia D felbfl fAUl t io faOea aad>
H aab B ia D anb aa6 ja» ei S^aageatea tvirb aaaeiae
«injige*
e) ^ier beaierfe man folgtabe Stafgabe. di ftnb C^ig«
325. ) jwei if^albfreife FAK anb JDL t)on ang(ei(^ea 9tabiea
512
CK>BL auf feft ttdttlt<f|fn geraben Unit FE gegiietu fSXm
foK eilte (tme {te^en / welche f&r ieben eine ZanQtntt ili«
^ S^^an ^albtre *€B in G , ht^ttiVt einen ipalbfrei« GMB
unb trage ani C in benfelben bie GH s CR — BL. ^Uf^t man
nun HB, fo iß ^CHBsR. SBitb nun CH nac^ A ^tvl&v^
gert, burc^ B bie BD mit CA paxaUÜ gqogen unb buri:^ A
nnb D bie gerabe AD gelegt > fp i|l AD tote SCangente fiir beibe
Äreife.
Denir »eil ^ CHB =3 R , fo ift an* jc AHB = R unb
n»eil BD mit HA greid)iaufenb ifi / fo mnfl an(^ ^HBDssR
feyn« . 3)a ferner HAssBD, fo ift AHBD ein STecbtetf mtb
3c;HAD=3c:BDA=R, fol^lic^ AD für jeben Ärei« Tangente»
CXVIII. 3nm 18» ®a$e. Diefer ©a$ Idßt ffd^ and) fo
beweifeh* SBenn DE in C auf FC lot^red^t fle^t/fo ift DE
eine /SCangente. %un gibt zi aber k>on F auf DE ttnr tin
£ot^^ folglich muß biefe^ ioti) bcr Stobiud FC fe^n.
; : CXIX* 3 um 19;. © a^e. »ud) fo. flBenn DE in C tint
Stangente ifl , fo mu$ ber Stabiud GC aitf i^r Miind^t fielen
(1$; ®.) IRun gibt e« aber auS G nur ein ioti) auf DE;
folglid^ mn$ bittfei^ burci^ ben 9Ritt«()^uiict get^em
GXX. 3 um 30« @a&e. a) Der einfädelte ^all itt^ber
tage ifl ber/ bei bem ($ig. 3360 ber eitfe Sieben fei dA bei
l^erip^erieibtnteM BAD burc^ ben ÜRittelpunct bee Stttife«
ge^t« ^ier ifl BCD ber ibm entfpredbenbe aRitteft^unctöwinfel
ttnb man ^at ^ n>egen GA = GD , , fogleic^ x.^ = 3C^ unb
SC BCD =r 2 jc A.
b) 5ödre (gig^ 3a7.) ä3BD ber ^eri»>{)eriett)infel unb 5C
ABD > R ^ fo n)drrbe ber SBinf el am aRiite(t)uncte' ber au^^
m&xt^ ge^enbe SSinfel AGD fepn , loeldiem ber Sogtn AHD
entfpridjt. ipier ifl »ieber 3C ABD £= i/j jc AGD , xda^ nm fo
anfc^aulicber n^irb, n>enn man BGH jie^t/ woburc^ x.^^^
= 3C AGH + s: HGD »irb,
GXXI. 3um 31* &a$e. a) Sluf d^nlic^e 9(rt ffnb autS^
bie ilDtnfel im anberen Slbfc^nitte BGD , n)cnn ffe it^re ©c^eitel
in bem Sogen BCD nnb i^re @c^enfel in B unb D ^aben, unter
fk^ gleich«
h) SBBttitt bte etlint BD cgtg. 528*0 Heftter ift aM bf<
5treif(d Sitrcftmrffer , fo Unb Mt ^ttipiittiminUl im grii^rti
.ftr(i«(Hdeti BAD fpt$e ; leite im Hetnem fßü^tn B£D aber
dumpfe 9Bii4e(. IDettn n>emt man bie ^alinieffer CB uttb CD
lie^t , fo t^ sc BCD < 2 R;, aSeiit 3C BABas J/j X. BCD. ;
foIflU* 3c;BAD<R,
aiitf A^nOd^e 9lrt ifl ber cr^bcne 9BtiiM BCD^ locrc^em
ber JBogejR BAD entfpri^e^ flt^et dt sA, toeil^BCD (ber
. fiM6iinlidft aOisfel) <2iL Da itttn ^ BED s % 3C BCD
(bem er^f^^nett) , fo ift atecti 3c;BfiD>R;. .
c) Z)a0 aKe ^erip^ertetoiitfel, toelcfte mit t^teti @(l^et#eftt
mcf , britt : S)iirdmttffer ftei)en^ reckte Iffiinfel .fbtb/ ffl berei»
oben (rli^^XXX, a) bemiefe^iDorbett. . ^ . . j
GXXII. 3 um 33. €ia|e. X)er umgefe^rte ^a$/ nAft
feinem ^euKife, .ift fotgenber. SBSeim in einem Sierecfe bte
^wei ^aare wn ©egcnwtnfeln 2n)ei Steckte betragen^ fo faim
ttn Jtrei^burcb feine vier SQinUlpiarttte f^efd^riebrn tperben.
SCBemt (^0; 3390 ABGD bat aSiered ift^ t^oirin K^BC
+ 3c;ADC = 3R unb JcBAD + 5:;BCD=:Jtft, fo brfeftreibe
man and G einen J£reid> :Ydeldjtt burd). bte ^nnctr 3, A unb
D gei}t ;(CX^ )a). ecllte blcfer Arei j nun ni4it bnrd^ € get^en^
fo mi^tt er br&ber, etn>a nac^ BFD^ ober brtinter/ noie na^
BED falle«.
Wtxt^^HtHf fo mäfte> )oenn BC nac^ F Derlingert unb
DF gejofltn »ü* ■, X. BFD + 3C A =:= 3 R fepn ( 33. ®. ). 5Da
aber anci^ ^BCD + 3cA=3R ift, fo »dye jcBFDrsJC
BCD , .n>e(c^ed nnmdgltcli ift.
SQdre btefed, fo mft^te, wenn man BE jie^t / ^ BSD
c=^BOD fe^n, tt>elc^ed ebenfaOd nic^t fe^n.fann.
CXXIII. 3um 33. ea|e. a) ©oBee über AB (^i^.
330.) auffer bem Slbfc^nitte AF£B noc^ ein onberer möglich
fet^n, ber t^m d^nltc^ ift,. fo mii^U biefer entmeber einen
^unct auffer^alb beffe(jften, nHe C, ober innerhalb beffelben:^/
toie D, ^aben. SBSdre iened,« fo m&f tc, n)enik AC, CB unb £B
Sejogen mirb, ^ AGB = 3^ ABB; unb todi^e btefe«, fo mfi|re/
314
1»inU BDP^ AD: mtb AF ge)Dgett mit^, 3C ABB == 3c ^^^
ifr^tt^ roüdiii mberfinre^rttb t>«
b) 3^af oitf bcr an^bcin Gette DOtt AB thtnfdH (cüi
(|oI(brr aififc^fft AI jgftf^ {fl^ folgt baxan^, baf'in<ttt beit gege#
;brttett SIbf(t^mtr;AF£B jrnfettd ber ehite AB coiiflrttirett itnb
nun ben ndmlic^en Setocid tDieber^ofen fattm
GXXiVi 3ttm a^. edift.: a) a^a bte (Songriicit} ani
ibtt UtbtmnfdmttmnQ in ®t^alt iiob Srj^e iftttötQttit , fo
ifufb ^btcfe ^ttr 'genanttren ^rei^obfl^müe emainbet congnmit
b. ^. fie f6nnen (9 ineiitaaber fälUü, ba^ f[e ntnr dm» ettt#
ijigcn btibett '
: .b) SiBer loie ti^etbeit )iDe{ Sttriiai^ditnttt temftmittf \ottd^
ctttanber b(of A^nltd) jtnb ? !Riir ^ierbitrc^ fanit bte ebtn gegc^
%lne (Sttlixun^ . (:U1 , . 11 @rff« ) jtir Sac^erildrutig toerbeit*
'IDit Uid^tt (Sonfhuction / uxlc^e 'Cuclibci &6ergangen ^at,
# folgenbe«
.<S^ fei (^ig* 331.) tit beut Atetfe ttm D ein »Kc^iittt
AGB gegeben: unb man foS eittnt i^m dl^nlic^ett. in bem Greife
'Mm W con^irutreit.
ÜRatt {te^e AD unb DB, fobanit EN »ifffil^i^Iic^ itnb
^nla*e x,l^s±^I}. gßirb nun EP getogen, fo i(l 3lbf(^ttitt
EMF &t|nlt(^ bem ^bfdjnith AGB..
92iinmt man bte n)tafft^rltc^en 9>ttncte G unb H unb ^te^t
AG, GB unb EH, HF, fo tfl^ inett ^D = ^J^, and^ 3CO
:=:5CH.aEeint*ifl3Cö + BCG=3»Runb5:a+3CM=iR,
folgli* andi, ^C^ — ^CM- 3** ober eirt «ffimW bed tinm
^b^djniM einem beö anbem gletd)/ fo ffnb auc^ alle ein^
anbcr gleich imb btefe Übft^nitte efnanber di)nU(i^«
GXXV. Bums5. @a$e* Sßon biefem ®a$e f feilen tmr
,foIgcnbe I) 4cb|l einfache auflöfung ' mit
' . SBBenn (ftg. 332.) ABB bet gegebene Slbftftnttt ifl^ fo
tj^albire man Ab in E , errirf^tr baö Sott) DEH auf AB , jie^e
,DA, fi^ ijl 5c:BI^A<R, fo tt)ie üift^ 3Cl>AE<R. »im
<erriti)te man in A auf DA bad Sotfy AL, fo mu^ btefeö^ wetf
3C ADC + ^ DAL < 2 R , bte DH fc^neiben* ©« fei G biefcr
SIS
mvfbfdiitiiiripmct r {^ Wiftt man DG iii G «itb ti fJl^C
«er «IRittetpuhcf tt« jtr fnbinktlt mfi^ti, ^fftn-^A^nitt
ADB ift. V .
' t^itümm maikmit GGssCD ^iite« ipalMrei« fiWr GD
ttäc^ A Ifitt 6efd)retM^ =f& muH bei^feKe^tfui^ A geißelt, «ffiftve
l>wfed itt*t / f«> miftt <]Ä>CG ober CfA<GG fe^wv Utk
etfhn ^aOe mi)me tti(Mt GM tc CG tittb e^ wAffte bet tODii bell
faiti > jre^enbcti Sinien GJ>f ttnb AfET^birM^ebilbete SB3iiiflI
-eMD'rk R f fe^h , *üa« «<*t fe^n lanit^ täji: GADri.fi. i(l,
Sm gnoeiten gaffe fei CN = CG , fo müßt« btr wn ben jit
jie^tiben «iüien GN irnbND ge6rtbetc.^irif«' GNDrzR-fe^ii;
ieoüi- thtnfaU nid^t matt ftiM ^ io^V^OADtciRi^.^^ry/.
' GXXVi. 3 » m ^. ® a 6 «• a) aüc^ üe metle man f rfgm»
ten ^«fttn Settxtl^;; •'£>a/ tta^ ber Slnltä^me^ GB=aHt
Hüb 5C:BGfe = 3c:EHF, . f6 fattn BGG^o: ftt EHF gflegt tt^
ben, baß fie fid) becfem (Soffee nttttber SSogett BKCbtfll
Sogen ELF niift becfen, fo^ w*ßte irgeftb ein'^imct »o« BKC
•cniweber inner^Ib^ beö Stdume^ UfiLf'/olkr aufferfyalb' itffiU
-ben faffen. Sn^jenem %aUt wärt ixt wn H.ndd^ i^ti gejogene
tKnie tttimt unb in btefetlt größer ali HE , H)<id unmdglit^ tfl,
mit äffe ^uncte in BKG ))on G bie ttni>erdnb^te (fntfetnun^
=iGB=rHE l)a8ett. ...
®a >fe ^eripljertetDtnfel A tihb D nur bann eincntbetr
glef* HWb/mnn itfntti gleiche aRütetpnnWwinfel G unbH
,i^^pre(^en, fo m&^tn anc^ bie !Bogen BKC »nl^ELF einanbtr
gleich fe^n, »enn 3CA = ^B i% -
h) auf dljulii^ mtt wM beriefe*/ bftß, wenn JCBGC
> EHF wÄre, nun au* Cogtil BKC > Sogrn ELF fejjn uing-';
iinb umg^fe^rt , totm ^ BGG < ^ EHF wAre, fo miigte md)
IBog. 'BRC < 55og. ELF fe^m -^ %ttntt, wdre ^^BGC =a
$:EHF, fo müßte oud) Sog. BKC = 2 Sog. ELF fe^n n. ff.
CXXVIL Sunt 27* ©a&e* Btefer ®og, ber umge#
ft^rte be^ »origen, fann aw(()'feJ)r Itid^t burc^ hai Snetrtanbf^^
legen ber aW gleicfy arfgeRommeittn'Sogen bettjfefen werben ,
wobei ffc^ bie ganjen »tt^iritteunb folglich auc^ bie SBSinfel
am SWimipuncte be'cftn miijfen. — a«c^ gehören größere ajbgen
51«
gtSflcro WSinfiln , ntinnt üfi^tn m tUlnttn ^tttrlit vitb
X, 3. • « . nrncd ffcifttt Soffti eiltfyre^eit Oitd^ 2/ Z... .nnu^
Qx^$em SBififeln*
CXXVIII. 3 um as. @aliu 9lnii i^ itt iwt ff^fttn
6c|tte gestrige 9ognt ^uf ber einen (&ette gri^eii nnb aof
.^v anbern @etfe fletnev , ati btt im Keinem @e^ne gelinge
anf einer &titt berfeliien« IDenn ipcnn EF > BC ifl^ fo muf
nnc^, »e« KB=KC = LE=iLF ifl, 3CL>3CK unb folg^
iict) SBogen EHE > S^gen BGC ^ aber anc^ Jßogen EDF <
jBogen BAC fcf^n»^
r iCXXIX. 3um 39. 6a^e. tiefer @o$ ifl ber iimge^
lehrte. be£ ^prtgen^ nnb tattn awi^ fe^r einfach babitrcb bu
4RHefen mefbeit/ b^f, wenn 99og« fiGG = 9og« EHF {(l^ jener
|0 in..biefen .:gefegt )perben fann^ ba$ fle (ic^ betfeüiDO benn
fN^fc^en ben in eiinatAer. (tegenben : ^^ten B , E unb G, F
tiiir eine gfwfer ^ini^miglicl) i% , .
Uwgefe^rt/fplgt^nic^t immef;,,.bag/ wemt Sog. EHF>
J8^, BGC ift:,;,aH*^:EF>BG feuit mi^fe* Denn »cnn Sog»
EHF bi^ )um IB.ogen EHFDN w&Mt f? tonnte EN<B€ feijn.
CXXX. 3 n m 3Q. ® a $ e, a) 9Qtnn man «xHt C anf
AD itnb BD (koei Sott^e jie^l unb bii pr ^frip^erie Derldn^
gert/ fo n)irb ber SBogen ADB in mer gleiche S^betle :get^eift,
iDeil bie bei G entße^enben SKittelpunctfwinfcI einander gleich
ffnb, SInf &^nlic^e %xt fann biefe Sl^eitung bei Sogend weiter
'fi^rlgefe^t nn^berfelbe in 8^ 16/ 32... • unb &ber^au)Dl in
a° gleidje iCtjeüe gett)eilt werben.
b) SBenn bec^g^gebfne Sogen ein ^albfretd ifl, fo gibt
bie er(te 2;bei{i|ng ben gierten, , bie jweite ben ödsten, bit
abritte ben fec^$iei)nlen %iftil be^ ganjen Umfangt u. f* w«
GXXXL 3 um 3t. @a^e. Stnige t^on biefen €>&1itn
ffnb bereit« früher (LXXXX, a u\ GXXI, b) beriefen worben.
Unter bem ^Binfel bed grißfrn älbfc^nitte« CBÄC
wirb ^ier jener äBinfel »erfianben, welcher Den bem Sogen
CBA unb t)on ber ®e^ne AG gebilbet wirb unb folgiic^ ein
gethifc^tliniger ifi« dbtn fo ifl: ber üBinfel bie« f(ei^
nern 9bfci)nitt« CDAG jener gemifd)t(inige SBincet, weld^er
»on bem Sogen GDA unb ber 6e^ne GA gebilbet wirb«
^ ^ «17
exxxil. Sunt 3l Sa$e« a) SOetm bie tDtlltt^rrii^^
de)0((ene iimt BD fel6|l Iott)ted|t auf £F flcl^e, fo tfl btt
Sel^au)3tttttg be$ 6a$ed ))on felbfl einfeuctihiib.
b) ^®enn AB ($tg. 333.) eine ICaitgente unb AD efni
Sf^nt be< Areifed EDA x^, fo tfl ber SBtnfel DAB» totlöntlM
UljUn mit erflerer bitbtt, bie ^^Alfte jened SRimlpuncMtDfnfel^
DCA , toel^er auf ttm bttr(^ bte Ge^ne abgefc^ttlttriten Sogen
DPA fttf)t Deittt toenit ED ge|ogen »frb, fo t|l äC AED ä=
3CDAB, »eil 5:E + 5cCAD=:R=3CCAD + ^DAB; aUiiil
X AED = V2 5C ACD ; fDffllic^ atic^ 5C DAB = 1/5 ^ ACD.
CXXXIII. 3ttm 33. @abe. Son biefem @a$e l^eiien
toir fofgenbe einfachere Sfu^ jfuitg mit
SBemt ($ig. 334.) AB bie gegebene {inte unb ber Sinfef
be< Slbfc^nittö zin reeller ifl; fo barf nur AB in*G tfatbitt^
ittt« C bie CD lot^red^r barauf errti^tet unb ber i^albfrei« ADB
befc^rieben tt)erben , totlditr ber )uftnbenbe JKreitabfc^nitt ifl.
SU aber Aß (^ig. 335.) bte gegebene ?ittte unb PQV<
B. ber gegebene 9BinfeI, fo ^albire man AB in D, errichte tai
loiDtö^rlid^e iotf) FDE auf biefelbe unb lege an AD in A einen
BCDACniR — 5c:PQV = ^HQP, beffen ©djenfel AC bie
DF in C fc^neibet. 3ie^t man nun CB , fo iß, »egen A CDA
^ A CDB , au(b CB = CA unb ber auiS C mit CA befd^riebene
Xreid muß burc^ B ge^en. SQirb nun M toiKtö^rlfc^ genommeti'
unb AM, MB gegogen, fo i|l 5c AMB = 1/2 5: AGB =^ ACD
= R — 3C r>AC = R — 5c HQP = X. PQV. golglic^ ifl AFBA
ber oer(angte Slbfc^nitt
SBdre ber gegebene ©in W be« «bfc^nitt« , ober 3C PQN
>R, fo oerldngere man NQ nadf V unb bilbe nac^ bem (Sbtn^
bewiefenen ben 5(bfc^nitt AFBA, »orin 3C AMB = äc PQV iff,
fo mn9 ABEA ber attbere »bfcbnitt fepn, worin 3cAWB = 3C
PQN'id, ba 3cM + 3C:N = aR.
CXXXIV. 3um 34. ©a(}e* 3Wan bemerfe auc^ fofgenbe
S(uf{6fung. SOßenn in bem Jtreife um G ( ^ig* 336 ) zin @egi;
ment foU xonllruirt »erben , worin f[(^ ein gegebener 9ßinfel
H befinbef, fo jiel^e man CA »iUfil^rli*, mac^e 3c ACD = x.
H unb 3: DGB = 3c; H , fo . i(l ^ AGB = 2 JC H^ 3^^¥ nun
intti ABl fo i|l, M 5:Eä VjSCACB, mn audli x^^^C
ACD.
ÜB&re ber gegebene SUinfel em rechter ^ fo müßte man in
kern Areife einen IDurc^meffer )ie(fen. SIBdre er aber flumpf ,
fo m&ßte man baj @egmeiit für feinen f))i|^en iße6eni|}i«W
finben, tQobur<^ auc^ jened fär ben flnmpftn 9Bittfe( cDnßruirt
i^, meil betbe jufammen ben gcrnjfn ^rei^ umfcbließen«
CXXXY. 3um 35. @a$e. a) Diefer @a6 fann burc^
folgenben i^(föfa$ beriefen merbem
• SSSenn C^ig« 337.) in bem Areife um C eint toiUU\iix\id)c
@e^jnci AD in fi btli^biQ get^eitt ifl,. unb nebfl ber 93erbcn#
bungölinie CB no(b ber ^albm.effef CA gebogen u^irb, fo.tfl
tai Siec^tecr auö AB ynb BD nebfi bem Quabrate wn CB bem
Dnabrate beö ^albmefferö CA g(eic^* «
3ic^t man ba« 8otl) CE, ifo i(l AE = EDsr:AB+BE
Itnb BD = AE + BE foIgHd^
AB» + AB >< BE = AE x AB atteitl
BE* + CE* = CB*, fotgttc*
AB* + ABxBE + BE* + CE*=AExAB + CB*, ferner ift
• ABxBE =ABxBE, bal)er
AB* + 2 AB>:BE + BE* + CE*=AExAB+ ABxBE+CB*
AB* + 2ABxBE + BE* + CE*=AG*, ba^er
•AC* = AE X AB + AB X BE + CB* ;' aHein
AExAB + BExAB,=:BDxAB, ba^er
AC* = AB X BD + CB*.
b) Iffienn nun bie beiben Seinen (gig» 3380 AD nnb EF
fic^ in B fc^neiben, fo ifi, n)enn man tit SSerbinbungöIinie CB
ttnb bie ipalbmeffer CA unb CE }te^t Cnac() a),
CA* = AB X BD + CB* unb
EG* = CA* = EB X BF + EB*, folglich '
AB X BD + CB* = EB X BF + CB* unb ba^er
AB X BD =3 EB X BF.
SDenn bie beiben Sinien burc^ ben Tlitttipmit bed Areife^
gelten , fo ifl ber @a$ Don felbfl e(nleuc()tenb.
CXXXVI. 3 u ra 36/ @ a $ e, a) Slubrrcr S3wei« be*
erflen'^galle«. $ier ijl ^
&19
DB» = DE^ — EB», ober
^DB» = DC» + aDC X CE + CE» — EB» üUt
DB» = DC» + aDC X CE, foIfllidSl
DB» = DC» + DC X a CE ober
DB» = DC X (DC + aCE) D. l),
DB» = DC X DA.
h) Z)er ixo efte^aB tann auf d^tinc^e tirt (etoiefeti loerbeti«
c) Ueber^oupt tß nunmehr folgenber @a$ berufen: HQcnii
wn einem ^uncte auffer^alb be6 Areifed beliebig oiele gerate
Stnien fo tki^ bemfelben geiage« »efbeit, bü^'jebe botfelben
in 2n>ei ^uncte fc^eibet, fo (inb aVit, ))on biefen .ganjen Sinien
itnb t^ren aufTer bem greife Itegenben (Stiicten gebilbeten StedK^
etfe einanber gleich unb jebe^ berfelben ifi fo groß cM bad
Ctuabraf ber wxk bem nnflf&^rlic^en: Erntete ndc^ bem Jtreife
ge^enben 2!angente*
d] @oate alfo ein Slec^tecf , be(fen ©eiten (^ig. 105) AD
itnb CD xoiixtn, in ein i^m gteidjed Ouabrat loermanbelt
töerben, fo befcfereibe man über AC=AD — CD einen Ärei^
nnb jiet)e au« D an it^n bie SCangente DB/ fo iji DB^ =DA xDC.
CXXXVIL 3um 37. ©a$e* a) SKan jTel)t fogIei(*, tai^
biefer @a$ ber umgefe^rte Ui k)origen ifl^ unb auc^ inbirtct
beipiefen loerben fann.
b) X)er nic^t mit ge^ jriger £(ar^eit beflimmte Slu^brucf i
9Benn bie Sinie DB ben ^reiö trifft^ fann burc^ folgenbe
SDarjleKung umgangen merben* äBenn bei ber , ben Stxtit in
ben ^naen C unb A fc^neibenben Sinie DA bo« Stec^ted abd
DG unb DA bem Quabrate einer Sinie DB gleich x% fo n)erben
bie ^uncte B unb £, welche man ftnbet, wenn man mit DB aud
D einen SLxtit befc^reibf , tbelc^er ben gegebenen ^rei« in biefen
9>uncten fc^neibet^ eine folc^e Sage ijaUn, baß DB unb DE
{tt>ei SCangeute biefe« Areife« ftnb» a)aß ber ouö D mit DB
befd)riebene Stui^ ben gegebenen fc^neibeit m\x^ , folgt barqu^^
löeil DB not^ioenbig >DCm <DA i|l. Denn bie Seite t\\X9i
Duabrat^N^ tpelc^e« einem Stec^tecfe gleid^ ifi , niuß grißer aU
beffen Ueinere unb (leiner ali beffen größere @eite feyn.
sio^
Sfnmerfundcn
S it m
^ itxitn id u4i t ^b ti (Suclibtß*
CXXXVIII. Bttt i. Srlldrtttto. Z)tefe dttlitw^ t(i
eine (Sac^erf I&rung / ia folc^e einbefc^rtebcne gerabltnige ^igu«
rttt Ieid)t conihrutrt werben {6itneit. 3limmt man ). S. in
jeber @ette etned gegebenen Ibxtitdi 'einen beliebigen ^unct
nnb t)erbinbet je {toei berfelben mit einer geraben iitiit, fo
ent|lei)t ein.einbrfc^riebened S)reiec(; aitf dt^nlid^e 3frt
fm Sierecfe ein Sterecf / im S&nfecfe tin ^ünfect nnb überhaupt
im D(fcfe wieber etn n@cf*
CXXXIX. 3ur % Srfldrnng. £>btt>ol>I biefe ®rHdr#
nng bie nmgefe^rte ber t)origen ifl , fo mu^ bie Sonßruction
folt^er nmf(tirieben<n fignren jebe^tnal »iffenfc^afttic^ nac^^
gewiefen werben«
®oB }. 93« um bad X)reie(f (gftg. 339) ABC ein anbered
©reiecf befc^rieben werben / fo fei jc AGB < R. (Sttid^Ut
man nun burc^ C anf AG ein müt&i)xli(hti Sot^ CD nnb jiefyt
AD, fo ifl x.^<^' 2>a nun aud^ ^BC£<R ijl, fo niu0
ein ani B auf DGF gefdUte^ iotf) in bie )>erldngeree DG
treffen j. 93* in E. SQSerben nnn ^bie Sinien DA unb £B über
A unb B »erfdngert ^ fo mfiffen (ie fld), w<i^ X ^^ "t K E
< 3R, einma( in H burc^fc^neiben« golglicb t(l HD£ hai
Itmf4)rtebene Dreiecf.
Stuf dt)nltci)e SIrt Idft ffc^ bie (Sonflruction etnei nmfdüric»
benen Sierecfö u* f. f nac^weifen«
521
\ CXXXX. Sttt 3. Cftflirungi ©fefetfrtrdttitigfflfü»^
^adierflArung ^ Da bte Son^ntction iebet gerablthisett gigttt
in ben $retd , fobalb nur eine befltmmte Settenjabt t)fr(anflt
ipirb^ fe^r einfach iß. 9Bet( n&mlic^ feine bret ^uncte ber
9>erq>i^rie m gerabev einte (kgen, fo tntfte^ an^ ber belie^
(igen annai)me Don bret futteren unb av^ ben bret Serbin^
bung^Hnieft ein e t n 6 e f cb r i e b e n e ö X) r e ietf. !Rtmmt
man tner ^uncte im Umfange unb t)erbinbet jeben mit feintm
benact)barten burd) eine gerabe Sinie , fo entfielt ein ein^
befcbriebene^ Sierecf;. and f&nf fol(i)eY ^uncte er^dj<
man ein einbefc^riebened .^ttofetf nnt aix^ n fhincten ein gtrabf
Itnigeg nd^tt^ m Aretfe.
CXXXXI. 3ur 4* erftdrung. Um btefe ©rfldrung
gnr ®a(4erecdrung }u machen / mu$ gegeigt werben ^ xoit feiere
itm ben ^reiö befcbriebene gerabltnige ^iguren eiHfiet)en tonnen*
Umbtefed ^ier fdyon an einem ©eifptri gu, geigen, fei (^tg*
340. ) ADB ber gegebene &tt\t , um meieren, ein X)rete(t be^
fc^rieben werben foU* 9JIan gie^e nacfa Sefieben einett SicÜb»
mejfer CA, auf t|)tt eine Zangente FAG filr ben ^Junct A;
bann unter einem n)Ulfät)Hid)en ^infel ACD ben gtabiud CD,
itn^ an D bie Sangente FD£/ weldK/ fieberig mrldngert, bit
GF trt P f^neiben mnh »eU JC DAF + 5< ADF <a R. üBirb
ipiuf dl)tUi(^e 9rt ber ^albnu$[er CB fo gegogenv t^ er fomo^I
mit CA. al0 mit CD einen ^intel ACH unb DCB btfbet, fo
mu8 ^vi&f bte burd) B gelegte SHangente jlebe ber gmei anbern ,
FG tn G unb F£ in £ fc^neiben, 'n>obnnf). ein Dreiecf FG£
ent[te))t/ /»elci^e nm bett AretiS ADB befd^rteben ifl.
Ünf dt^nlicbe Ürt f dnnte.iancb ein Sierecf, gAnferf, @ec^ee(f
it« f« n>. um ben Jtreid conflruirr merben. .
CXX)ytII. 3ur 5, «rfidrung. Snfofern man fo eben
bte Wdghd)t<it erfannt l)at/ eine gerablinige i^igur um einen
Xreid gu befcbreiben^ i(l auci^ im SlBgemeinen ermtefen, ba0
ein Stx^^ in eine folcbe ^tgur fann conßruirt werben. SfQein
bte fragen: 9Bie fann in jebeö gegebene IDreiecf ein SLxtxi
iefd^rieben werben? ftann tn \^ti Sierecf txn Sttn^ befd^rieben
toerben? Sßte tnuP biefed Steretf, ober überhaupt eine gerab#
21
1
/
322
■
läitge ^tgttv (ef^affttt fc9stf bt iDef^e eitt jtreft fiefc^rtefieit
tDttUn foU? f jttttcn ntt^t o^ne bcf^tibere oifjenfd^aftd'c^e ^JUf^
f&$e beantiDortet toerben.
GXXXXIIT. 3ur 6. (?rf(&tutt0. 2)aea leitet tfl.tn
einen gegebenen JIretd 'trgenb eine gerabltntge gigur t>on 6e#
ftimmtee ®eitett}al)I jn bef(^rei6en (CXXXX.)/ fo ifl auc^
insofern bte QRdgttc^fett bed nm eine gerablintge ^tgur befc^rie^
benen ^reifed erfannn Slttetit/ toit wirb um ein gegebene«
iDreierf ein StxtU befcbrieben ? Xann nm jebe« Sierecf, ^Änfecf
n« f.^f« ein fcld^er conflruirt werben^ ober wai muffen biefe
Sftgnren für (Stgenfc^af ten ^aben^ bomtt biefef m^gltd^ tfl?-*
Z)tefe fragen muß bte geometrifc^'e SBiffenfc^aftMe^r« beont«
Iborten,
CXXXXIV. a) 3utr 7- CrllArnng^ ©iefe (öHdrnng
l^etflt auc^ fo)0tel ^ M : eine gerabe Stnte tfl in einen Jltrei«
getragen/ totnn ge atö @el}ne biefeö^reifei^ confiruirt ift. -^
9la(b allem tfl fbir, ba0 fie nic^t großer ali brr 2)nr(^meffec
be« gegebenen, jtreife« fepn barf. 3fl (te Heiner old ber SurdlK
meffer, fo le^rt ber folgenbe i» ®a$ t^re S(uf{6fung. .
b) ®oIlte aber bte gegebene gerabe Sinte HJ C^tgw Sil)
titelt in einen gegebenen Jhrei^v fonbern in einen Arei<
Aber^aupt' eingetragen n>erben, fo bärfte man (te nnr in G
ffalbixtn, an^ G auf Hl. ba« itnbeittmmte Sot^ CM errichten
unb in i^m ben lotOfälirlic^en ^unct D ne^men^ fo U)ttb ber
mit bif ani D befd^nebcfne 4Kretd itnc^ butrc^ J geben: — SSimmt
man anbere ^nncte in CM, fo gibt ti un{dl)(ig t^ielerlei
Greife , für weld^e ^ie gegebene Sinte HJ eine iSe^ne .ift . .
CXXXXV. . 3nm 1- ©a^e. a) ®obaJb matH tinffeW.
baß ber au« C mit C£=D befc^riebene Sttzi^ brn Stttii ABF
in itcti ^nncten f Anetben mu9 / fo ift aucb • bte ÜufT ifung
begränbet. Die SIotDwenbigfeil biefe« IDnrc^d^nitt« gel^t aber
fog(etd) barau« t)ert)or/ baß (Tcfyber ^unct £ innerb^alb be«
gegebenen Areife« befinbet Sind) entfpric^t fowo^I bie Ge^ne
CA/ al« bte @et)ne CF ber Stufjgabe.
b) 9Ran bemerfe hierbei fofgenbe Slufgab'e« S« ifl (fig.
342) ber jhrei« iVI^DM nnb etit ^unct A auffcr^aib beffeibe«
J
323
Qt^htn. Wian foll hntä) A eine ben Stttxi ((^netbenbe Unit
ABD fo gießet!, baß bte <Se^iie BD «itte {)e^immte Oiri^c,
Heiner ol^ ber I)urcl)inejfer MF, ttt)Mu
2ßir ti^eilen folgenbe üuflAfung mit« * 9>;an jte()e ACM ,
'trage vxm M nac^ N bie MN, »elc^e ber gegebenen ?inilf PQ
fileii^ tfly iie()e aud G auf ^N baö Sot^ CH , befc^eibe über
AG au« ber Wttt £ ben ig^albfreid CJLA, trage GH am G
aan^ J anb jiefye AJD, fo ift BD=:PQ,
25cn« ba ^ier 5C GJA = R , fo ijl DJ = JB. aOein ,
»egen GM = GD unb GH == GJ i(l auc^ A GHM g^ a CJD,
folgli* HM = JD unb ba^er benn MN = DB; fomit auc^
PQ = DB.
GXXXXVI, A. 3 um 2. ©a^e. J5urc^ i£)iilfe btefe«
4Sa$ed {ann auc^ in jeben gegebenen Sttti^ ein g(etc^fetttgeS
Sreitcf befcf)rieben werben, ober auc^ ein g(e{ci)fc^enfeltge« /
tbdxht^ mit einem gegebenen g(ei(^fcbenf^(igc*i £retecfe gletd^e
SBtnfel tfüU Snt^dft ba^ gegebene Dreiecf einen red)ten $Bin^
fei, fo ijl bie Jluflöfung no^ einfacher, ba bie eine 2)reiecf«*
feite «unmebr Burcbmeffer bed gegebenen Äreifed »erben mn^,
• CXXXXVI, B- 3 um 3. ©a^e. au(^ fann biefe auf*
lAfung auf folgenbe ^rt aufge(6fet »erben; !S}enn (^ig. 343)
ASG Iba^ gegebene t)reiecf unb DEF ber gegebene Äreid ijl,
nm to^cben ein i^m gleid^minfelige« t^ttUd conflruirt »erben
feil , fo befcbreibe man f n biefen ^rei« ein i!}m gfet(i)n>infelige«
Ur^iecf JGH ( a; ©aß ) jie^e auö bem SMittelpuncte be«
Äreifeö O bie ?otl)e OD, OE unb OP duf bepn brei (^xun,
toerldngert f!e bii |iftf'^eJ(vberie in D, E unb F unb jte^
bittdj bieft ^uncte bie StKingenten ML, MK unb KL, nocfcbc
fid) in Lj R ötib M burd>ftf?neibett muffen, foi|l MLR baö
)« itibenbe ^reierf. - ^
'€XXXXVn.\ 3'Um^4. ®<i$e. a) 3dge man tfitt bie
geirabe ?inie AD y fo »Are , »egen DE = DG , jc ÖEA ä ^
DGA = R unb AD = AD , nunmeljr A ADE JS A AÖG
Itnb '3C EAD = 3c; GAD: .aSenn baber hit brei äBinfel ^ine^
K
gegebenen Dretecfd l^albirt »erben , fo iftöffen bit brei gerabcn
Sttiien, »elc^e biefe* be»iHen, fic^ in einem ^uncte' innere
21 ♦
324
m
ffali Ui IDretecfd intd^fdimiitn , rotid^ti .ber Wiittttpnntt bti
in baffelbe gu conßrutrertben ^etfe4 ift.
^ b) Da bie Dreiecfe ADß, BDC unb CDA etttetref ^fte
= D£=:DF=:DG ifabtn, fo ifi ba^ gegebene Dretect ABC
einem ant)ern Vvcitdt an ^Idcbenraum gfeid), n)elcbe# fctneit
Umfang AB -f BC + CA gur ®runbjtni« unb ben ^albmtjütt
feinet etnbefd)rtebenen ^reifed }ur i^6^e ba^*
CXXXXVIII. 3um 5. Qaat. a) Die STufldfung btefer
Aufgabe iji bereite oben (GX, a.) t)prgefommen , inbem jebc
brei , nicht in geraber Sinie liegenben ^uncfe norbn^enbig ettt
Sretecf beflimnien. SucHbed fe$t. inbeffen bie Sage be^ SSJliU
tefpunct^ biefed ju bilbencen ^reifed befonberö auö einanber ,
iDelcber bei fpi^minfefigen Dreiecfen innerhalb, bei flumpf«
iDinfeHgen anfferbalb ibter (Sbene unb bei rec^twinfeligen itt
bie- ÜÄitte il)rer ^Dpotenufe f4Ht.
b) Dentt mcm (leb and F ( ^ig. 112 ) ein Sot^f auf BG ,
fo n>irb BC bierburcb balbirt, fo toit aucb baö and bcr SRifte
wn BC auf ffe erricbtele Sotb burd^ F geben mug« ®enti
baber auö ber >JRiire jeber DreiecT^feite ein Sott) auf fle eftitbttt
unb jebe« berfelben gebörig oer(Angert n>irb, fo mftffen f{d^
biefe brei Sotbe in einem ^uncte bux4)f4)neiben.
CXX)^XiX. 3um 6. (Qatie. a) äiucb ift flat, ba0 htt
Stvtii bntdb biefe 6i>|iflcuction in vier gleiche Siuefc^nttte getl>eitt
loirb^ beren jeber ein glAcbenquabraut til.
b) @oUte in ben mit CA ( gig. 344 ) be fcbriebenen 9xtii
ein S^cbtecf confiruirt werben/ tooju eine @eite MM<;^€A
gegeben ifl / fo trage man biefe gegebene Sinte MN a(6 @ebne
BD in ben ftret^^ b^Ibire ffe inj, ei;ricb.te bad Sotb JC,
toefcfaed beiberfeite btd U unb A i^erldngert/ ium Surc^lnef^er
HA toixJb, macbe CGzzCJ, jiefie burcb G bie EF mit BD
gletfblaufenb unb bie Serbinbungdiiqien £B. unb FD, fo ifl
EFDB tat »erlangte gtecbtecf.
♦ Denn ba EF mit BD paraOel ifl, fo mni ^ CGE =ä jc
GGF = R unb folgheb EF = BD feij^n. Xaber i|l EFDB ein
Parallelogramm/ unb./ tocil GFsiD, aucb X,^^^ =9C
DJG = R, ebenfo 3:F = R; ba(^er FEBD tin Ked^tecf-
525
•
CL. Sunt 7. Gft^t. a) IDaß bte butcft A, B, C unb n
gejogenen S^angenfen f[<4 tn ben ^uttcten G , H , K unb F
t)urtbf(bneiben mdTffeR, tfi batauö f(ar, tt>et( eine t>on A nad^
B gejogene Stnte AB }n>ei OBtnfet BAG unb ABG bilbet/
toeli^e {ufammen deiner ali {n>ei recfcre ftnb«
b) Da AC = GH , fo ifl bte @eire bed um ben JFreM ju
6i(benben Duabrat^ bent Durcbmeffer biefeö jtreifed gleid«.
c) Dehft man (id) bie geraben Linien AB , BG , CD unb
DA 9 fo iR ABCD ba^ in ben Streik conflruirte Quabrat Da
nun biefe^ innere Quabrat an^ mtt, bad Auffere Oua^rat
ober aud acbt g(eid)f(benfe(tgen rccfattoinfeligen Dreiecfen bef>et)t^
feeren jebed bem Dretecfe A£B congruent ifl, fo muß ieneö
£tuabraf bte ^&(fte dou biefem fe^n. •
d) Sfoü um ben JTretö ($tg. 345) JRHG eine IRaute
Befdrrieben merben, fo )tebe man einen toillfubrftcben Diircb^
tneifer KG, burd) G unb K auf ii)n bte unbrflimmten ?orbe
FGA unb BK£, jiebe einen {weiten rurd)me(fer JCH unter
ein^m n>iUfAI)rItd)en fpi^en SOinfel KCJ unb lege burd^ J unb
H bie {otbe BJA unb FHE, toelcfae bte t)origen in.B, £, F
linb A fdjneiben, fo ifl BEFA eine Staute«
Denn rnenn man C£, CF, CA unb CB jteht, fo ffe^t
man letdjt , baß A ECK cS A ECH ; A BCK j^ A BCJ uttb
folgli* £R + KB =:EH + HF b. ^. £B=:£F ifl. i:ia ferner,
toegen 3C GKE = 3c;KGA = R bie BE mit AF , unb »cgen
3CHJA=5c:J*JE = R» bie BA mit EF poraUel ifl, fo muß
BEFA ein Parallelogramm unb, u>egeu BE^EF, etne Staute
fepn.
CLL 3 um s. ®a$e* (SoKte in bie Staute ($ig. 345.)
BEFA ein $rei^ befdjrteben loerben, fojiebe man bie Diago^
ttalen AE unb ^ BF unb auö i^rem Durd^fd^nittepuncte C bie
Jot^e CG , CH , CK unb CJ auf AF , FE , EB unb B A , fo
Ifl C ber ^JRtttefpunct unb jebe^ biefer Sbr^e ipalbmcffer bed (U
futbenben ^retfe^.
Denn ^a X GAB = X, CAF, ^ CJA rrjc; CGA =R
luib CA = CE ift, fo juuft A AJC g5 A AGC unb folgli*
CJ=CG fei^n. 9luf Al^nlid^e SIrt ifl auc^ CK=CU. Da aber
326
0114; 3C CFG = 3CCFH, JCCGFcsJcCHFsrR unb CF =
GF tfl, fo mn9 auc^ CG=:CH unb fomit auc^ CJ=CR fe^m
gorglid) f(l CG = CJ = CK = CH unb ba bei J, K, H unb
G recbte SOmfel ftnb, fo uiäffeu AB, BE , £F unb FA
2:angentcn bc6 au* C mit CG conflruittcn Areife* fe^n. —
2)a0 CG mit CK. unb CH mit CJ eine gerabe Sinie bilbet,
folgt au* bem ^araKeIi*mu* t^on 6£ unb AF unb )>on BA
unb EF.
CLII. 3 u m 9. ® a 6 e* a) ®olI um tin gegebene* ffitäittd
EFDB cgig. 344) ^in Mttii befcbrieben mxUn, fo ^albire
man EF in X> , BD in J , }ie{)e GJ unb ^albtre ffe in G , fo {(l
C ORitterpunct unb C£ ^albmeffer be* )a ftnbenben jfreife*.
Denn wenn man flc^ hiz Dier Sinien CE , CB , CD unb CF
benft, fo muffen bie Dreiecfe EGG, GGF, DJG unb BJC eitt#
anber congruent fe^n , noeil fie jwei (Seiten unb ben t>on i^neit
eingefr^loffenen recbten UBinfel gemein ifabivu Da^er ift CE
= CF = CD = CB. — ipierau* ffe^t man, ba0 um iebeS
gegebene Stec^ted ein jSrei* befcbrieben werben fann.
b) Um eine 9taut( fann fein Xrei* befcbrieben werben*
Denn ba bie Stantt ( ^ig. 345 ) BEFA t^eil* f|}i$e , tl)eiM
flumpfe SBinfel entölt, fo mn^ , wepn bie Diagonale BF
burd) bie @(beitel ber jlumpfen SBinfel gebogen wirb, ^EBF
= ^EFB unb folglich EBF tin fpi^minfelige* Dretect f(9n
unb ber burd^ B , F unb' £ gei}enbt jir^ei* muf in CE feinen
9Ritte(punct l)aken. Da^er muf berfelbe immer n^eiter wn A
al* oon E entfernt fei^n unb tin Jtrei* burc^ £,«B unb F fanu
nici^t burc^ A ge^en.
CLIII. 3um 10. ®.a$e» Da in bem A FGH, wie be^
lannt, 3:F_+ 3C0 + 3cH = aR unb 5cG = 3CH, fo ift
and) 5kF + a^G = iiRunbba5:F = i/33:;G, fo ift VaSC
5 4 R
G + 25:G = aR, forgIicl)-5:G — iR «nb G=:-— . Da
nun aUe nm ben ^itulpmiü eine* Greife* ^er liegrnbe SBittfel
jttfammen = 4 R ffnb , fo würbe hit ®r6ße be* Sßinfel* G
gefunben werben^ wenn man Un Umtrei* in fiinf gteid^e
S'^cilc eintijeilen f6nnte.
t
327
Va 3CGr-y«» «Hb ^CF^i/^^cG, fo ifl^F:=z^/^^K
SS y5 R itnb biefer aQiitf e( finnte cettßrmrt toerben , toenn ber
Ctuabrant in fSttf gletc^e Xijtilt gert)ei(t todre.
CUV* 3ttm 11. ©a$e. ©a/ «ac^i bem aSeweife, <m
4R
Dr^iecfe FGH btr 3C ^ = "V ^P/ f^ '««« ä« ben ÜRittefpunct
5 »
fce» 9ifle6f»ett «reiff» ABCDE e i n f olc^e'r aBinfel =, 3C <>
gelegt uitb bte i^m ^ngc^örige ®el;tte gejogen toerben« X)tffe/
fünfmal im Greife ^enioigetragen , gibt ebcitfaSd baj regele
mäßige gänfetf in bemfelben, toit letdit etnjufe^en tu.
CLY. 3um 13* (5a$e. a) aDa0 fid) bie bnrc^ A, B,
C, D unb £ gfjogenen Stang^nten in ben ^mieten H, K, L,
M nnb G burc^fc^netben muffen , folgt taxan^ , ba$ , wenn AB
flegogen töÄrbe, sc HAB + x. HßA < aR fe^n mu^. Die
Gongruenj ber Sreiecfe FBK. unb FCK fofgt antb barau6, baß
FB=FC, 3c:FBK = 5CFCK = R nnb FKsF'K iff.
b) X)a <f uclibed biet bie (Sonfhrnction eined regelmdfltgen
^önfecfd in nnb um einen gegebenen Xvti^ gefet)rt l)at/ fo
cnhle^ft noc^ bie ^rage ^ wie eine fpic^e ^igur übiv eine gege#
bene {inie äH @eite berfelben ju conflrniten ifl.
SBdn nim ($tg. isO) CD biefe gegebene ^inie^ fo bilbe
«tan ein gleidjfetenfeitged Dreied FGH , worin 5; G ±= j: H
= 2 5CF, ma*c 3c;I>CA = 3: G unb 3c;GDA = 3c;G> fo
cntflebt ein IDreiecf ACD , welc^e^ bem Dreiecfe FGH gletc^^
winfeltg iß. 98irb nun nm biefe^ Dreiecf ACD ein ^rei^ be^
fc^rieben, bann JCÄCD fcurc^ CE, ^ ADC bur* DB^cAirt
3tnb roon A nad^ fi bie AB , ))on B nac^ G bie BC , t)on A
siocb E bie A£ nnb wn E nad) D bie £D gejogen / fo ift
ABCDE ba^ «verlangte regelmäßige ^änfecf über ber gegebenen
Gtitt CD.
CLVI. 3um 13. ®a6e. a) Da« regelmÄßige gftnfecf/
weld^ed biefer ®a| Dorau^fe^t/- fann nun md) bem Songen
Ieid)t befd^rieben werben.
b) Sine anbere 3lufI6fung biefer Slufgabe, woju man fto^
noc^ bie geraben Linien AC, AD, BD, BE benfen mut,
beruht auf fo(genben ® A(en :
328
1. A ABC ?g A AED , alfo AC = AD ttttb hU wn A
Oitf CD gezogene Sott) mocbt CK. = DK.
2. A EBD cö A CAD (3 ßleicfte Seiten ) unb bai ?ot^
Wn B auf D£ macbt DL = EL.
3. A FD[v cö A FDL i a Seiten unb R) alfo FK =FL,
FB = fA, AFDB^^AFDA (3 gleicbe Seiten) 5;FDB =
5:FDA, alfo iftDFG ein?ot^ auf AB, unbBGzziAG, ABGF
gSADLF (1. @. u. bie SB.) FG = FL = FK nnb FB =
FD = FA.
4. BW man FE , fo ijl A FLE gg A FLD (2. ®. u. R)
FE = FD. 3ic^t man FC , f o i(l A FKC c5 A FHD ( n. @.
». R) FC = FD=:FB = FA, aber BE=:EC, alfo EFH ei«
«ot> anf BC unb BH = CH.
5* A FCHgS A FCK (l. ©. tt* bie S.) aCfo FH=FK
ssFL = FG. •
6. aBegen FE=:FA nnb CA = CE mui CFM ein ?ot^
anf AE fepn, alfo AFEMg^AFEL (x @. n. R) baber
FM = FL = FK = FH = FG unb ber an^ F mit FM bef*rie#
bint ^ttii mn% bie ^änfecföfeiten in M, L, K, H nnb G
berühren , tozldit beffen 31angcnten burcb biefe ^uncte f[nb«
gol0(id) ifi ^ierburc^ ein Kreij in iai gegebene regelm&^ige
g&nfecf befc^rieben.
CLVIL, 3um 14. ®a$e« a) m&ndidu, ba ber SQinfel
BCD burc^ CF unb SBinfel EDC burd) DF l^albtrt morben ifi,
fo i|l and^ in ben Dreierf en FCB nnb FCD bie CB = CD ^ FC
= VC unb 5C FCB= 3g; FCD , folglich FB = FD unb 3C FBC
s= X. FDC = i/j 5c: A BG. X)al)er i(l »iebef X. FBC =r x FB A,
CB =i= AB unb FB = FB , fpmit FA =s FC. Sluf d^nlictoe 8lrt
tft auc^ FE = FA unb ber mit FC ani F befc^riebene Stxtii
muß burci) bie ^uncte A , B , C , D , E gel)en.
b) Slud) ^ann leidet ben>iefen merbeu/ bafi iai um ben
Stxtii befd^riebene regefm&gige ^Anfetf mit bem in benfelben
befc^riebenen rcgelmdßigen ^ünfecfe einerlei SRittelpnnct babe«
c) 35a bie Sreiecfe CFD , DFE , EFA , AFB unb BFC
etnanber congruent ftnb, fo jfl bad regelmdßige g&nfecf einem
Drtiecfe gleich , beffen ®rnnb(inie feinem Umfange unb beffe«
SS9
^i^. iinm i^tfit flteid^ tÜ , toetd^ei wn feftiem fDKttelymicte
oitf nnt feiner ©etfeit gcjogen wirb* ^tefrö 2)retc(f fanii
Uiibt tonUtnitt iDerbeit.
d) Stttcfa tft f (ar , ba0 ber ^itttlpmct Ui reQermAgtgeit
^Anfecfd gefunben wtrby ti>enit map oon jwet tDiUfAbrlicbrii
SBmfelpitnctctt auf t^rf gegeouberftegenbcn (Seiten jwei Sot^e
|ie^t . 3^r X)urci}fci)nirie))uiict ifl biefer SRittelpunct.
CLvill. 3um 15. ®a$e. a) i^ieran« folgt, baf ber
^a(bme(fer etneö Jtreifed Sugleidi aud) bie ®ette be^ in i^n
gn befcbreibenben regelm&gigen @ed}detfe^ ifl. Um biefe^ {it
J>i\ttn , batf a(fo jener nur fec^ömal in ber ^txiif^iixxz i)erunu
getragen werben.
b) @eU in ben Stuxi (^ig. 346) ein regelm^Stge« Dreied
befcbrteben merben, fo bilbe man burd) ben ipaibmeffer CA
ba^ regelmAgige OeAdecf ABDEFG unb jiet)e nun bie geraben
tinien AF, FD unb DA, fo tfl AFD bad gleicbfeittge Dreiecf
im «reife. T IDenu ba S5og. AGF = S5og. FED = S8og. DBA,
fo i|i oud) ©e^ne AF = ©el)ne FD=,@et)ne DA.
c) @oUte um ben Stuii mit CA ein regelmäßige tf ©ecb^ecf
confiruirt »erben, fo {iet^e man burcb bie ^uncte A, B, D,
£ , F unb G SCangenten , xot\^t einanber burcbfcbneiben mik{ß
fen tttib biefeö duffere ©ec^^ecf btiben« ^er Setvei^ , baß e<
ein regelmdßiged ifl, fann (etcbt geführt »erben.
d) Sluf dt)ntid)e Sirt fann vm ben «reid mit CA ein gfeid^^
fettiged Sreietf baburcb befcbrieben »erben , baß« man burc^
A, F unb D (bie SBinfelpuncte bed innern gleiitfeitigen
3}retecfd ) 2:angfnten {iebt, melcbe ffA in brei ^uncten tur(^#
fctneiben unb bad verlangte Xreiecf erjeugen.
e) Slud) f6nnen bie Slufgaben: 3n ein regelmäßige j BtAit*
td unb in tin regelmäßige^ Xreiccf, ober um birfe ^tguren
^ einen SuU )u befc^reiben , (eic^t nac^ bem Sor^erge^enbett
aufgefäfet »erben.
f) (Sd mni aud) hai regefm&ßige @eA6ecf einem Creircfe
S(ei<^ fe^n, bcffen ©runblinie fein Umfang unb bcffen ^61)e
tai iotlf t>on feinem SRtttelpuncte auf eine feiner leiten ift.
350
CLIZ. 31101 16. eaat. a) ffuclibe« fffft f^ wr^
Mi, haf man in bctt gfgebeiteit StttU tm gfetcftfcttigf^ Srrictf
btfdiuibtn Unne, uni« (Er firfif^er md?r ntntttclter sclc^rt ^
ff ine fiufli^mg biefcr thtfgabe folgt Ott^ IV, 3 6« ttnb riite
liotitt t(l eben (CLVIII^ b) gegeben »orben«
b) Snf i^nfti^e SIrt, wie fAt^tt gejeigt wotben t^, fann
nnn andf Aber jebe gegebene tinie ein regelndpige^ ^ftnfie^hetf
geomefrtfi^ confirnitf loerben.
c) Hui htm Si^^engen gel^f and^ fftmet , iai man eine
l^ierfac^e Steige t^on regetm^figen Sieiecfen in nnb nm beii
Stttii, ancb über eine gegebene gerabe Unit conflrui^
ren finne, n&mlic^
1. Keifte
3 dd
6 da
12 (Sd
34 dd
48 (8d
9. f. f * •
d) 3Bie man bie ^eripberie bti Sttti^ti äberbauye te
9 > + < gletd^e Ztftilt ctntbttlen tinnt , totnn biefe 3aI^I <ine
9>rimiat^I ifl; aifo j. fß. in 17, 357, 65537..« gleicbe Xl^ile,
fjat {Uerfl ®au0 (Disquisitiones Aritbmeticae , Göttingae,
i8oi ) geteert.
3. Steige
3.9teii)e
4. Steil^e
4 dd
5 «(f
15 dd
8 Cef
10 dd
30 dd
16 dd
üO.dd
60 ffcf
33 (Ed
40 fftf
130 fftf
64 dd
80 (gd
340 dd
331
•
CLX. Sorertnnentng {u büfem ISuc^e. a) Da
liefern Qucbe bie $e^re t^on ber 9Ie^n(id)Mt ber Siguren ent^
tDtcfdt roitb, mld^t nit^t o^ne Sftttoenbttng ber SSer^dttntffe
itnb ^roportionett bargefleHt werben tanUr fo iat Sttclibet
im f&nften Suche batoon ge^anbelt; fo, ba0 biefe^ Such aM
Sorberettung lum fed)flen att)uf<htn ifL 3nbefeu f[nb me^^
rere Srfldrungen )u jenem Suche nicht fb befriebtgenb ,
bafi (fe oKgemetnett Seifatt gefunben hatten; toa^ befonbert
tn Sejttg auf bte (Srfldrung ber gleichen Serhditniffe
gefchehen t|l, gegen n>efihe mehrfache Semerfungen gVmacht
toorben f{nb« "^wnit ffch bie {efer felbfl h^^v^o>< äberjeugen
tiimtn, werben bte erfien acht Srffdrungen tfitt mitgetheilt
b) 1. (Srf Idr. Sine ®riße i(l titiiZiftil einer anbern,
bte Heinere n&mlich t)on ber grdfern, wenn bie gri^ere ffch
t>pn ber fleinern genau meffen li^t
% (ErUAr* £ie gri^ere ifl ein Sielfache^ t)on ber
fleinertt, wenn ffe fleh t>on ber fleinern . genctu meffen l&pt
3« (Srfl&r* (Ein Serhdünif ifl eine gewiffe Setieh^
tntg; welche jwei gleichartige ®r6$en, in 9i&<fftcht ber ®xi$t,
auf einanber t^ahtn*
4. Srfidr. ®r60en ha6en ein Serhdltni^ ju eiui^
anbcr, wenn ffe »eroielfdUigt, einanber ftbertrfffcn f innen.
5. Srft&r. (Sti^tn haben gleiche Serh&üniffe jn
einanber, bie erfle itAmlich gur gwfitrn unb bie britte jur
mitttn, wennJbei SSergleichung jicbe/@I(tcht)t€lfachen ber erficn
552
ttttb bttffnt mit |ebem (Sfetcbt^felfa^eti ber )tt>f tittt unb titVrfett,
ti (xdj immer ftnbet, baf, n>enn bad Sirlfacbe ber erilett
Üettier ober eben fo gro0 ober gr6Ser a(d ba« Sie{fad)e ber
jtoetteit ifi ^ al^bann aud) bad Sielfacbe ber britten im erfien
%aat tietner, im anbem eben fo gro0 unb im legten ^ade
Sr6ßet, aU t>d^ Üitlfadic ber oterten t(l.
6. (Sxtl&t. 9Benn ©rißen gleiche 9}er{)&{;ni{fe {u ein#
anber b^ben, fo flnb (fe proporriontrt.
7« (Srfl&r. 9Qenn bei ®letd)oteIfa(t)en bad Stelfacbe ber
erfien '®rj^e größer aU ba6 Ste(fa(be ber {weiten, aber ba«
SBielfadye ber britten nid»t gif jßer aH bad Sielfacbe ber vierten
tß,«fo Itat bie erfie jnr {weiten ein größerem Serb&I^niß,
4iU bie brirre }ur üierten.
8. (Erfldr Sine Proportion ifl bie (Sinerlei^eit
i®Uifbiltit ) ber IBerb<ntffe.
c) Da mehrere biefer (Srf(Amngen nicbt ^inreicbenbe Slav*
fjtit unb Sdidrfe be(t$en, oucb bie Sebre Don ben SerbAft^
stiffen unb Proportionen in )ebem guten Se^rbucbe ber' Siritb^
tnetif befriebigenb bargefiellt ifl, fo wirb ber ^nioait btefe^
fftnften SBucbd ber @lemente liiet übergangen, aUein ber i*
^a$ be^ fecbfien Sncbed nicbt nacb *ber d^uclibifcben ^l^tbobe,
fonbern auf eine anbere überjeugenbe Sirt bewiefcn werben.
CLXJ. 3ur i. (Srf Idrung bed fecbflen Sucbö.
a) Diefe SrfK&rung ber Sie bn lieb feit ifl eine bloße $Borterfl&r#
itng, ta man t^itt nocb nicbt einffebt, toit jwei mebrfeitige
giguren gleiche ^infel b^ben tinnett; fo; ba§ jugfeicb oucb tit
©cbenfel Dicfer ^IQinfel unter ffd) proportional ffnO. I>ocb fann
man biefe Slebnlicbteit l^itx fcbon an jwei gletcbfettigen IDre^
ecfen oon i)erf4)iebener ®r6ße ber Seiten erldutern, welcbe man
be^balb dbnlicbe Dreiecfe nennen fann, weil fdmmtlicbe
SBinfel einanber gleicb unb bie Scbenfef, welcbe (!e bilben,
oucb proportional finb, ba fle flcb wie i:i )oerbaIren. dbtn
fo flnb aucb aBe Ouabrate oon oerfcbiebenen ®etten unb ade
regelm&ßige Sielecfe s>on gleicher @eiten}(rt)I unb ungleichen
eeitenlinien einanber d^niich« 9Ran fönnte noch weiter ge^en
iinb iiber {wei leiten . jwtier ungleid^en Cluabrate jwei gteid^
333
•
ßAnben, ton »rieben fä) feidit nad^weifen M^r, ^af {{e gleiche
SBtnfel nnb pro|>orttona(e ^xttn t^aUn. 'Snbfifen.ffnb biefei
ilär @tfl&Qingen befonberer ^dOe, n>eld}e ba^ tlfigemcine biefer
?e^re nicht erfch^pfen.
b) S(u^ bem Sbigen ( LXXV , ^ tfl befannt , ia$ je be
2n>ei gegebene gerabe hinten ein gemeiifcbaftltcbe^ ^a^ ^abem
äQenn alfo {n>et gerabe ^tnten A ttnb B gegeben (Inb; fb/ baff
tad gemeinfame ^JRaß in A gerabe o nnb in B gerabe mmal
entt)alten tfl/ fo «)erbilt ffti) A:Br=n:i]i. SBAren nun C unb
D jmet anbere gerabe Sinien/ bei welchen , ffir ^ehi größere^
ober Ketnereä 3Ra§> M jimor/ • ebenfaOi €:D = n:m nodre^
fo m>e qucb A:Bz:C:D fef«, nnb biefe üitr ^nirn bilbetm
eine ^fTroiA^rHiom .
CLXII. 3ur a. (?rf I&rung. Sßenn }. 9. in ben b«ibeti
9>araaelog»iiltnien (gig. 34f) ABDF nnb BCGE bte ^ropor#
tton AB:BG = 6E:BD ®iMt fmoet, fo fagt läan, ^f biefi
^etten.imitnigetehrtrn Serl^<ntffe (le-lyem
ChXUli rgnr 3. ertldrun^« d^ tfl alfo bte gerabe
Sinte AB (^ig. 3^8) nach fletiger ^roporti^n g^tf)ei(r, toemi
AB:AG-i:Äe:CB t|l. Cd mug baher in tteftm gaße ba«
Stecbtetf an« JUB unb CB bem Dnabrate au« AC gfetd) fe^.
<;iiX4y..3nr4* «rfldrnng. a) Der ©egriff ber ?» 6 ^k
i(i bejj^td^f auf jenen ber ®runbltnte. ®« r«nn in bem
jDretetfe jebc &tiit ali @runblmte ängefehen toerben. 3ß nm
baffelbe f|n$nxiiifielig, fo fdflr bo^ iion ber tl)r gege^&berße^enbent
@pi|e aiif fie gezogene iotif, welche« bte S}t\H'bt^ Drt^ietfd
Üt^i inmxtfalb feiner ^idcbe. 3(1 e« rechtn)tnfefig; fo ifl jebe
(gathtte, 'in'^e)ug auf bie anbere , aM ®ruii4>f'tni'€ nnb aU
^itft {u berracbien. Stimmt man im (tumpfwitlfeligen XHreierft
eine wn ben fleinern (Seiten ali ®runbltnie/ fo fdllt tit ^itat
aufferhalb be« Dreiecf«* ^.
b}. ^ti'.^araUelograntmen verfielt man-mter. ber ^6^
ben Sibflanb jweitr^aralUlfeiten, Sei tintm ^jret^abfcfcnitte
iü bte ^ilft jene« iottj, tneldl^e« au« ber SRlitte feiner ®e^ne
erntetet unb bi« lum 99ogen soerldngeil wirb. Set unrege(#
526
tiixd) 3C CFG = kCFH, 3c;CGFcs5:;CHFs=R ttttl) CF=
CF i(l^ fo muß auc^ CG = CH unb fomtt auc^ GJsCR fft^tt.
gorgli* f H CG = CJ = CK = CH itnb ba bei J , K , H nnb
G reckte 9Stnfe( ffnb, fo mäffeit AB, BE , £F uub FA
SCangentcn beö ani C mit CG cottßrnttten Aretfeö fe^n. —
£)ag CG mit CiL unb CH mit CJ eine gerabe Stnie bilbet,
folgt aud bem ^ataKeli^muö t^on B£ unb AF unb «)on BA
unb EF.
CLII. 3 u m 9» ® a 6 e. a) ® oU um eiu gegebene« Slec^tecf
EFDB (gig. 344) ein kxtii befc^rieben toerbett, fo ^albire
man £F in X> , BD in J , jie^e GJ unb ^albtre ffe in G , fo tfl
C ORittefpunct unb C£ i^albmeffer bed )tt ftnbenben ^reife6«
Denn wenn man fld) bie ))ier Stnien C£ , CB , CD unb CP
benft; fo mäffen bie Drciecfe EGG, GGF, DJC unb BJC eitt#
anber congruent fe^n , uoeil fte jtoei Oeiten unb ben t)on i^nett
eingefci^Iojfenen rechten UQinfel gemein ^abem Da^er ifl C£
= CF = CD = CB. — ipierau« pe^t man, ba0 um jebed
gegebene 9tect|te(( ein JSreid befcbtieben werben fonn.
b] Um eine 9taut( fann fein Xreid befckrieben werben*
Denn ba bie [Raute ( ^ig. 345 ) BEFA t^eil« fpi^e , tl)eiM
fiumpfe SBinfel ent^<, fo mn9 f totjfin bie Diagonale BF
burc^ bie Scheitel ber |lumpfen SBinfel ge{ogen wirb, ^EBF
= ^£FB unb folglich EBF tin fpt$winfelige9' Dreietf fe9n
unb ber burcb B , F unb' £ gel)enbr i^xti^ muf in C£ feinen
SRittelpunct i)a6en. Da^er mu$ berfelbe immer weiter t)on A
aU oon E entfernt feyn unb ein jtrei« burc^ E^B unb F fann
nic^t burc^ A get)en.
CLIII. 3um 10. Sage. Da in bem A FGH , wie be#
fannt, 5:F-+ SC^ + ^H = aR unb 5cG = 5:H, fo ifl
auti) 5:F+a^G = iiRunb ba j:F=:i/j3:;G, fo i|i Va^C
r AR
3 5
Da
nun Qße um ben «DJittelpmict eine« Greife« ^er liegrnbe SBittfel
jttfammen = 4 R finb , fo würbe t>it @r6f e beö ffiinfeW G
gefunben werben, wenn man Un Umfrei« in fünf gleici^e
SC^cilc einttfeilen fJnnte,
V
527
s= V^R unb bicfer UBinfel fintttc conßrmri merbe»/ loenn ber
Cuabrönr in f&ttf gleiche Ztjtilt get^etlt n>&re.
CLIV. 3um 11. ®a$(. IDa/ tiac^ bem Semetfe, im
4R
Irciecfe FGH btr 3C ^ = -r ^P/ f<> '««« ß» *^^« STOittefpunct
I 5 »
>e« a^flefcencn «reife* ABCDE ein foldjet aBitiW — 3C O
gelegt unb ble tf^m juge^^rige Seltne gebogen n)erbett« 2)tefe,
fünfmal im «reife ^eruoigetragen , gibt ebenfalls tai regele
mäßige %Anfed in bemfelben^ toit Itidit einlieferen i(i«
CLY. 3nm i3* ®a$e. a) Xiaf fid) Uz burc^ A, B,
C, D unb £ gezogenen 3;ang^nten in ben ^mieten H, K, L,
M unb G burc^fc^neiben muffen , fofgt barau* ^ bap , n)enn AB
gejogen Ȁrbe, 3C HAB + x RBA < aR feion mu^. Die
QSengruenj ber Dreiecfe FBK unb FCK fofgt aud) barau*/ haf
FB=FC, 3c:FBK = 5CFCK = R unb FKsF'K i(l.
b) Z)a Suclibe* i)ier bte (Sonfhruction eine* regelmdfitgen
^änfecf* in unb um einen gegebenen «rei* ge(et)rt tjat, fo
entfielt noc^ bie ^rage , wie eine fpld^e gfigur über eine gege#
bene Unit M ßtitt berfelben ju conßruiren ift.
9Bdre mm (^ig* 130) CD biefe gegebene iink, fo bilbe
tnan ein gleidjfdjenfelige* Dreierf FGH , »orin 5; G -= j; H
= 2 3CF> mache J^DCA = 5C <^ «n^ 3c;CDA = 5c:G, fo
entfltebt ein Dreiecf ACD , welche* bem Dreierfe FGH gfeic^^
loinfeltg iß. 9Birb nnn um biefe* Dretecf ACD ein «rei* be#
fc^rieben, bann 3c -ACD burcti CE , 5c: ADC bur* DB ^|<i<»irt
jtnb oon A nach ^ bie AB , ^on B nach G bie BC , wn A
nach £ bie AE itnb ))on E nach D bie £D ge{ogen / fo ift
ABCDE hai «verlangte regelmäßige ^Anfecf Aber ber gegebenen
Btite CD.
CLVI. 3 um 13. ©aße. a) Da* regetmdßige günfecf ^
loetciie* biefer @a| t)orau*fe$t/' fann nun nach bem SSorigen
Ieict)t befchrteben merben.
h) (Sine anbete Sluflifung biefer Slufgabe, U)0)u man fleh
noch bie geraben imitn AC, AD, BD, B£ benfen muf,
beruht auf folgenben Sd^en :
536
c) SBfrten hälfn bte brei ©eiteii (gig. 351.) AB, BC
Attb CA tit b^tt ^uitctnt D , E unb F fyalbtrl unb bie Serbin«
bung^linten DE, EF iinb FD gejogen/fo wirb ba0 gegebene
Sretecf ABC in vier unter ffcb congruenfe X)retecte ADF, DB£,
DEF unb FEG geti)ei(t / bereit jmei aneinanber grenjenbe ein
Parallelogramm bilben.
CLXVIIL gnrn 3. <5a(je. a) ©enn in bera "Dreierfc
BAC bie eeite AB — AC i(l, *fo ttjtrb t>\t AD, »efcbe 3CBAD
rzJcCAD ma*f, auf BG fofl)re*t Reben unb A ADB gS
A ADG fe^n, worauf ol)nebie« BD — DG folgt
b) X)a9 bie ntir DA |$araQe( gejogene CE bfe über A
toerfdngerte BA fcbtteiben 'muß, folgt fogleid)^ barau^> baf
5c; ßCE zz 3c: BD A , baber 5CBCE+ 3c:B<2R i|l.
' o) @d fei (gfg: 35a) ABC ein gfeicbfcbenfelige« ^eiecf /
fo i|l , wenn man 3C ABD = JC CBD mad^t ,
OB : BA n CD: DA ober auc^
CB:AC = CD:DA, folgli*
Ke*te(f AG x CD = 9le*tetf DA ><'BC.
golgli* ifl Weggegebene ?inie AG* in jwei Sf^eire get^fflt;
fo, ba^ bad 9led)te(f au6 ber ganzen unb bem einen Gegmente
beut Stecbtecte aud bem anbern Segmente unb einer vierten
?inie gleich ift.
' <l) MStit ba« ISreierf ABC bei B recbtwinfelig , fty »flrbe,
töenii 3C ABD rr JCDBC :=iy2K 'gematfct wirb, bie ^ppt^tenufe
AG nadjf bem S^cfrbiSUniffe ber beiben Safteten CB unb BÄ
getMt, benn e« ifJ CD:DAi=:CB:BAV'
CLXIX. 3um 4. iöa^e* a) ffienn e« tn biej*m ®a$f
tfti^t, baß bie ben gfeidben ^iHfeln'^ge^näberliegenben @etten
l^omolog fiiTb/ fo t^ biefed ^ebt' a(^ Srfidrung ber
^oiii'O logen leiten eined Sreifrf^ ju betrachten. X)entt
foUte e6 eine 93ebauptung fet^n , fo maßte fräber fcbon eine
(Srfl&rung folcber bomoicgen ®eiten t>oraud gegangen feiern
b) Ter Slu^^rutf homolog wirb fowo^t von Seiten
aU t)on aQinfeln gebraucht/ ünb fowo^I bei congruenfen
ali bei A^nlic^en giguren. ^ennc^ig^AjAABC^ADEF
337
I •
(
ifk, fo baß mött 5:A = 3:D, 3cB=3CE ««b 5CC = 5:P
^at , fo ifl bt€ Qzitt AB ber DE , bie A€ ber DF iinb lic
BG t}er £F ^omolog^ mil f!e paanoetfe gleichen 38tnfeln
gegcnMerltcgem Sluf glei^ie SIrt ffob bie äQinfet A unb D,
B unb £, C uttb F j^omologe 2Qinfe(^ tt>etl fle bett gletc^ett
©dteii eitfgegettfit^em (Sanj auf g(eit^e Sirt tfl ed mit ^omoi^
logen ®f itejt ttnb äBinfeln jweicr d^nlic^eit Sreiecfe. Sil
I- ». (gifl- 355) AABG <?o A DEF b- ff. ift 3CA==:3CJ>,
3C;B = ^E uub 5:C = KF» fo ftnb AB^ DlE; AC, DF
itnb:BC^ EF^otQoIege Seiten; ebeafo toie bie, biefen Seiten
gegen&berliegenben Sßinfel A/D; B, E unbC» F homologe
c) l^enft man (tc^ unter ABC unb DEF jn>ei congrnente
gleict^fc^enfelige Sreiecfe, u^prin A nnb D bie ßpiiitn bejeic^^
nen , B unb £ jur iinhxi , C nnb F jnr. Stec^^ten ber ®rnnbr
linien fielen nnb AB ?= AC = DE = DF ijl c«nb »elc^e man
ffc^ leicht t>er}ei(^nen mirb} / . fo ftnb AB nnb DF, obmo^I f[e
ben gleichen äBinfeln C nnb £ gegenüberliegen/ benno(^ feine
homologen ©eiten beiber X^reiecfe, totii, totim man fiit} BC
itnb.EF ia einer geraben Stnie benft, bie BA fo tton brr
£tnfen jur Steckten/ n)ie bie DF wn ber Siechten jur Si^ifen
gegen fte geneigt iß* ^Jlan tonn nun bie Sage ber BA njlb
FD gegen biefe iink, fo mie and^ iene ber CA tinb £D finf
f^mme^trifc^e nennen*
d) Shic^ fann man «»on. einer homologen unb fymmetrif^e it
Sage ganzer giguren gegen einanber fprec^en. 9Qentij..^.
C Sig. 355 ) bie a^nlic^en Dreiecfe ABC unb DEF eine fto|(^e
tage ^abeu/ ba0 i^re homologen ©eiten BC nnb £F entn^eber
in einer, geraben Sinie liegen ober mit einanber gUic^iaufenb
ftnb/ fo ^aben ffe bann eine ^omo(oge Sage/ tt)cnn*bie
homologen ©etten BA, £D nac^ b^rfelbigen Stic^tnng
^in geneigt (tnb; eine fymmetrifct^e Sage bann a^^r,
menn bie homologen ®tittn,. toit ca nnb CA, eine entgegen^
gefegte Siic^tnng ^aben«
je) 2)a, na^ ttx fr&^ern aB^rterfi&cnng / folc^e t>xt^it
&^n(ii^e genennt jsfttptn, tottäft gleicht Sinfel unb C44«l^i^
SS»
liegenbe) pte^^ettionalt Btittn I>a6e«, To i(l Mefer gSrgriff
^ierburc^ geometrifc^ 6egränbet ttttb hm\t\tn, baß jtpet X)ret«
etfe einanbcr Af^ttlid) ftnb ^ mnn fle , einjeln genommen ^ {»et
gleiche SQinf el ^aben. £enn ber briUe 9BinfeI muß nun audi
bem bntten gleich fe^n.
f) £er Sewei^ bei 4. 6a(ed fann aud). baburc^ geffi^rt
»erben ^ baf man bai Ztreiecf CD£ fo in bad Dreiecf 3AC
legt, ba^ D in A, DC langd AB unb DE Idng« AG.fAllt
^ier mn9 nun , »eir 3C ^CE = 5:; B i(l ^ CE mit BC gleid)^
raufenb fepu, tooxaui bie Proportion DG i DE = AB : AG
folgt/ m fi.m,
Sluc^ fann ber Sen>ei< biefe^ @a|eS leidet inbirect geführt
iverben.
CLX. Sum 5. ®aee. a) i^ter ifl ))or StSem {U beiDei^
fen/ baß/ loenn in ben Sretecfen ABG unb DEF
1) AB:BC = DE:EF unb
2) BC:GA = = EF;FD ifl, nun auc^
3) BA:AC SS ED:DF fe^n muffe.
9Ran erfn^nttt btefed fogleid) haxaui , baß / wenn in bett
erften {toei Proportionen bie erften/jweiten, britten unb vierten
©lieber mit einanber multiplictrt tt>erben , eine neue ^ropor^
tton entfielt, totldjt im erflen Serl)d(tniffe mit BG, im
iweiten mit BF gehoben uoerben fann. ®efd)i€^t nnn biefed,
fo er^dlt man bie britte Proportion. ®ki(ti\oiz alfo aud ber
®[tidjtjeit (weier 9Qin{e( in gioei ^reiecfen bie <9Ieic^^eit ber
beiben britten Sinfel folgt, fo ge^t auc^ aud ber ^roportto^
ttalitdt jnoeier (Seitenpaare iene ber brittett ^aare Neroon
b) 9indj fann ber 93en)eid auf biefe Srt gegeben merben.
^an ne^me (gig* 353) DG = AB unb }tet)e bur* G bie GH
mit EF paraHeL ij^ier i|l ED:DFc=GÖ:DH; aBein e« i|l
auc^ ED : DF = BA : AG , folglid) mn9 DH= AG feiern 8luf
gleiche 9irt mirb bewiefen, baß, toegen
DE : EF = DG : GH unb wegen
DE:EF = AB:BG, aüd^
GH=BG iH. ^ofglid) muß aucli ADGH^AABG uttb ba^er
3CD==3:A, X^ÜGK:=iX.^zs:^E unb xDHGzsJCC
= 3C F fejjtt.
339
c) 9(it4 Hmtt bie ^tBoi^tfjtit bei 5. @a|e« inbirect bewtV
fett toerben/ tote matt Idcbt fetbfl .jittben tDtrb.
d) SBenn alfo in jmei Srtittf eit )n>ci $aare {yroporHontrUr
6tileit t)or^attbett finb^ fo mAffen bie IDtetvtfe c^enf^Ud tittaiif
brr itinlid) itpn b. b« fle ttt&([ett gleiche bomofo^ 9Bin{e( bai^ctt«
CLXI. . 3um 0, ®a{k€^ : a) tiefer @abf toeli^er bie
brt tte ^bingtii^ juif S[ef)ti(i(bfeit ber Xttitdt ettt^&U, fattit
and9 auf fofg^nbe Sltt beunefett n^erbeii.
<f« fei (gig* 353) BA:AC=:ED:DF Ußb 3CA = 3CD.
fo we^iric wati DG = AB , DB = ACutib jie^^ GH. i£)ier#
bur* wirb nun A DGII ^ ^ ABC unb GH n{it EF gUiA#
laufemb; folg»* XD<;h=3;E=2=3CB wnb 5:DHG = 3cP
= 3C C f. tDorau« bann fiomer AB:BC = DE;EF uttb AC:C»
= DF:FE folgt.
b) 'Sa^er ffnb )tt)ei ^r^ie^e einanber d^ttlic^ :
i) 9Bet)n ffe jtDci gcintitifc^aftlicbe SBinfel/
! !^> Stod ^aan ptopf^tM^n^Ut ®ntm, ober
, 3) 3tt>if*eit eineui.^iiare j^roporttonalft @eiten etntn
gUic^en üBinftr ^aben.;
CLXII. 3um7. @a$f* a) Um biefen ©a^ mit nöt^iger
^(arbeit jn iberfetyen , bemerfe man ^ofgenbed» So feten
<§ig. 354) ABC nnb D£F {mei gegebene Drcietfe/ tn welchen
5;A=:äCD nnb AB:BC=?:PE:FF ift, fo ift b?r, ben ©eift«
AB unb DE gegen&berliegente äBinfef ACB itnb DF£ tfttf
t»eber =R> ober <R (gig-.a.) ober>R (gig. b..)
3m erßen ^aUe ffnb bie Dreiecfe gfeic^n^inCelig unb m&p
ten, aucb wenn eö »on AB, BC, DE unb EF nicbt ange#
ttommen lodre^ |)rcporrionale @eiren b^ben^ ba gtei(^toin^
felige Dreiecfe andi d^nticbe^ S)reiecfe ffnb*
3in {weiten unb brttten %aüt.nelimt man BJ = £D
stnb jie^e JK mit AC gleicblaufenb , fo ifi
AB : BG = JB : BK unb auc^
AB:BC = JB:EF, folglicb
BK = EF nnb bie 25reiecfe JBK unb DEF ^aben bie ^infet
BJK unb EDF, bie ©eiten BJ nnb ED, nnb enblic^ bie ©eittn
BK unb EjF mit ei^nanber gemein. -
an *
' •*
540
SBeittt matt ttuit hat 9o!^ &G auf AG obtr auf i^re
SerlAngerung aber G jie^t, GH=GG sia<^t unb BH iitt^t,
fo f^itufu auö ben brei ®rätfen AB, BG unb ^A, fe tote
mi facu i^nett etitfprec^enben JB , BK stib 3C ^^^ ^^ }tt>ei
Dcrfc^tebeueit Drttecfe ABC utrb ABH, fertter JBK unb
IBM gebUbet tDctbcu; obtt auc^ nur bicfe |n>ei Derfd^ic«
benen 2)rete(fe*
@tnb ballet bie, beit etiun AB, JB unb DE gegenäberi*
Hegenbcn SBinfel AGB, JKB, DFE fpi^e äBinfel, fo muS
9CJKB=$:DF£, f0{gKc^ AJBKcoAOEF unb fomU ADEF
c\:>AABG fepn»
@inb bagegen bte, beu imzttttn @ettett AB , JB , DE
nttgegeu(iegenben 98infe( AHB, JMB, DPE fl um )>fe ^inhl,
fo muß loieber JC JMB =: j: DPE , folgli* AJBMgöADEP
unb ba^er A DEP cv) A ABH feijn*
b) ÜBenn ba^cr jioei 2)retetf€ ebt^n SDBtnfer gemeiit unb
|toei Seiten^ tDeld^ benfelben nic^t etnfc^Iießen / proporltottar
i^abtn itoobu tint btefer Seiten bie bem gemeinf(^aft(ic^en
9Qtnfe( gegeniüberfie^enbe tfl) unb bet/ jener anbern @eUe
gegenüberliegenbe 9Qtnfe( in beibett ^reietfen eiu fpt$er ober
tin flumpfer iß/ fo (tnb hit betben SreiedFe etnan^tr d^iilic^»
SB&re biefer genannte HJBinfel ein rechter, fo mäßteit
biefe iDreiede, ba fie nun gleic^mntfeUg ffnb, o^nebie^ andf
d^nlic^e fe^n.
GLXIII. 3 u m 8. @ a b e. ^Ut nur eine ämtoeu'
bung t)on biefem fe^r folgeret(()en @a$e. 2)a BD : BA =
BA : BC i(I , fo toirb Kecbtecf BD x ßC = Duabrat BA x BA.
Da ferner CD : GA = GA : CB , fo i(l SRkAtccf CD x CB =
Duabr. CAxGA. golglic^ muß au* BAxBA + CAxCA
= BDxBG + GDxGB ober BA xBA + GA xCA = (BD
+ GD)xCB b* i). BAxBA + GAxGArzBGxBC fepn^
tooburc^ ber p9t^agorifcbe Se^rfa^ auf anbere äQeife^ ald
fr&^er gefd^e^en ifl, begrAnbet mirb.
GLXIV. 3um 9» Sabe* a) ©offte eine gegebene
gerabe 8inte in eine größere 9Renge gleicher ^l)ei(e }: S. in
üi get^eilt loerben , fo t^etle man v ffe 2uer|i in 7 unb banit
5M
lebeü btefer 7ter toUUx in 3 gleich ^tik, Um >er SUZfitil
t>om 7Un Zt)til ifi ber aitt Zijtil bed ©attjen*
b) STuc^ f ann bttrc^ i^Alfe biefed ®a$(^ jeber frefttntinte
St^etl eine« Quabrated. in ein i^m gleiche« Quabrat »emoanbelt
loerbem Um j. S3« Vs eineä gegebenen Qnabrat^ in ein Omß
brat }tt )>emanbe{n , t^eife man iroti ^ralle{feiten be{pe(6en
in fünf gleiche ZijtiU ttnb jie^e butrcb bie Sobyuncfe ber brttten
Ztjtit^imnttt eint Querlinie, fo {erfädtbA^ Duabrat in jmei
Stec^tetfe, »opt>on baö eine % tinb bad anbere Vs beffelben iß^
itnb beren jebe^ nac^ bem Sor^erge^nben in ein if^m gleid^^
Onobrat t^frri^anbelt 9>evben {onm
r>
' €) 9Ind^ tdfit f!(^ irgenb ein beßimmter £^ei(; 2* fd* ber -
%fftii< timi gerablinigen IBieleKNi in ein- il^m gleid^e« Onabrat
i>ien»$inbe^n.* fBlan k>ern)anblf^ bai Sieled in ein i^m gUi«^
n
StcAUd^ ne^me 9on biefem ben - Zfjtil nnb i^erttHinble il^n in
bq^^ k)er(angte. Dnabrat
CLXy.. 3ttm 10, Softe* Djefe aufgäbe ifl eigentli*
bie allgemeine, Don toetc^er bie unmittelbar t>ert)ergegangne
tfur einen befonbern %aSi btibet 6ie l)at mannigfaltige Sn#
tpenbungen*- SoKte {«-9« «(n- gegebene^ IDreiecf bnrc^ eine
i^inie )^n t^n (S)>ifte auf bie ®runb(inie nac^ bem Serl^dltniffe
toon 3:5 getj^ei(t tDerben, fo, tj^eile man nur bie ®ruttb(inie
tia^ biefem 33ert)&(tniife.,nnb jie^e t)on bfm 2;^ei(|)uncte nad|^
bed DTfiecf^ @pi6c bie SBerbtnbungöIinie«:
GLXVI. 3nm 11« @afte« a) Sßan . erl^drt bn^ Sbtfj
I6fung biefer Slufgabe mt fletige geometrifc^e ^xopottion,
tDO{tt ba^ erße nnb mittlere ®lieb gegeben ift.
h) jBiti^M^ AB:AC=:AC:CE auc^ ABxCE = AGX
AG fofgt, fo ifl bai Stec^ted wn AB nnb C£ hm Ouabratc
t>on AG gleifi^. Sa^er Jqiui burc^ biefe Aufgabe jebed Duabrat
in ein il)m gleic^e^ SRec^itecr ^DerwanbeU warben, tt)0]u eine
loillläi^tlid^e Cinie ali ®eite gegeben ifl; bie anbere &tiU
wirb burd^ bie Slufljfnng gefitnben.
542.
CLXVII. Sunt la. ©afte. a) Sluc^ tinntt man bit
jweite Unit B , at^ftatt fic »on G itadj E ju fegen > »on D tiac^
F tragen. iWun mögte bie britte ginie C t)ott G nad} E |)m
getragen »erbeft. Daf man ^ier biefelbfge ?inie HF aW
»terfed ©Heb er^dft, i(l leicht ju bemeiferi, »enn man bie
bo})pefte 3«i*nung entwirft.
b) Sud) fann jcbed gegebene Slec^ted feiert in ein anberei
»erwanbelt werben, tüoju eine »iKfii^rlic^e ®titt gegeben tfl.
X)enn baö Siec^fecF and A iinb.B mn9 immer bem 9{ec^tecfe
anö C nnb HF gWd) fepn.
CLXVIII. 3um 13. ®«6«. rff t)a ^ier AB:BI>=BD:BC
{(1/ fo muß bad Sted^tecf au^ AB unb BC bem Ctuabrate \>on
BD gleid? feipn. IDal^er fann man burc^ SInwenbung biefer
Jlüfgabe jebe« Mecbted- iii eirf tl^ni'^lfidjeS Ouabrat oerwan^
iDanbelrt, »ie fc^on frä^er, jeboc^ aiif anbete SBeife,'(fl gelehrt
»orben. ^ .
b) 5fnc^ i(l in jebem rec^fwinfelfgen I)re{ecfe ba ^ Ctnabrat
bed auö bem ©^eitel beö redeten ffiinfefö auf bie J^^potertüfe
gegogene ?otf)e^ bem SRec^tecf au« belt beiben ©egmeitten biefer
^ppotenufe gfetd?.
c) De«gleid)en ijat ber ^atbfrefJ^^ ADC bte merfwilrbige
(gtgenfc^aft, baß ba* Quabrateinei irjenbwo auf AC errief*
Uttn, bi« jur ^erip^erie oerldngerten ?or^e« bcdi iRecfttecfe
an^ ben beiben ©egmenten be« X)nrcbme{|er« g(eic^ tfi; £iefe
(Sigenfd^aft beflimmt bie ißatur b'ei^ -^et^linie fo genau, baß
ffe fldf ^ierburc^jDon jeber anbern frummen Sinie wefentlic^
itnterfc^etbet 2)a^er fahn (!e a(« eine (Srf l&rung ber ^rei«^
linie angcfe^cn »erben. ? ^ ^
CLXIX. 3um i4. ©age. "Die Sonjlrnction jweter
gfetc^en ^aranelograöime, tpeld^e einen gemeinfcl^of^Iic^en ffiin*
fei l)aben, ergibt ffd) leicht au* bem 44. ©aße be« I. Sudj6.
Daß bie über F tjerldngerte AF nnb-bfe ober E oerfdngerte
CE ffc^ in H frfytteiben muffen , unb baß tit ^ierbnr* tnU
jie^enbe ^igur FHEB ein Parallelogramm i(l, ergibt ffc^ fel>r
tinfad^ aui frät)eren @&gen. 9uc^ fann bie (Sonflruction ber
343
^^t^€(K be< ix0tkt» ^ili bteftS Sfo^rt rettet au^fA^rt
iDevben / ba man nur iti jtoei flc^ in B fc^netbenben ünitn
DB : BE = GB : BF machen unb hit ^araSelogtamme DF ttiib
BG biVbtn fanm
CLX:k. Sunt 16. @a^e. a) Um {(bei Dreiecfe jn €Dtt#
fltuircn / n^rlc^e etnanber gfctd) fUib unb einen SBtnfel gemein
baben^ bötfte man mir jwei gleid^e ^araüetogramme ))0n biefer
(Sigtnfc^afr, xoit in ^ig. i4o gefc^el)en ift, bitben unb in i^nen
bie diagonalen FD unb EG {ie^en , mobuvd^ bte beiben üxtU
tdt PBD unb £BG biefer i^9pio%1{^ be« ®a$e< entfprdd^en.
h) Sluc^ fann ber Seioei^ wn ben ^Dreietfen (^ig. i4t)
DAE unb BAC leicbt baburc^ geführt »erben , baß man bie
f>aranelogram«e bilbet, »on »elcben biefe Sreietfe bie ^äifit
(tnb unb nun biefen @a{i auf ben 14. ®a$ jurädfAbrt
c) ZMe ip9por^efr< bed jmeiten Slt^etf^ ber Se^anytung
tann leicht baburd^ in ber (Sonfimction bargefleSt werben / ba0
man tjitt mt jnwr ( CLXIX ) Derf&^rt«
GLXXI. 3 um 16« 6a$t. SBenn a, b, c unb d ^iit
Sa\iUn bebeuten unb ed ift a :b=c: d^ fo^ muß axd=]^xc
fepm Kun (ann man ffc^ unter axd fowofyf^ att unter bxc
ben Snbaft eine« Stec^tectt DorfleUen/ n^enn biefe Sudjßaben
anbellten, tt>ie oft bad al« (Sint^tit genommene 9Raß in }eber
@eite Ui SlecblecM enthalten ifl. ^olgtid) ffiib bte tfitthnxdi
cntßebenben Stec^tede fc^on nac^ bem obenSemerften (LXXV)
cinanber gleich«
9Qenn umgefel^rt bie {loei ^robncte a x d itnb b x e ein#
anber gleich finb , fo fleOen (Te ivoti gleiche Sted^tecfe t)or unb
ti muß nun auc^ a : b = c : d fepn*
CLXXII. 3um 17. ea^e. SCBenn im SlDgcmeinen a:b
r=b:c ifl, fo muß axc = bxb fe^n, b. ^. ba^ ffttdjM
ani a unb c tfi bem Duabrate wn b gleid^. SBire umgefe^t
axc = b^, b. b« ein Sie'd^cecf einem Ouabrate gleid?, fo
mH^t andn a : b = b : c b. t). b bie mittle^ gedmetrifd^ 9hro#
yortionaOinie in>if(i^en a unb c fe^n.
CLXXIII. 3um 18. ®aee. a) 9Bantt eine gerablintge
^tgur einer i^r A^nlid^en aud^ hi^nlid) Hegt, ^at (^ttcltbe<
SM
iMsit ^efi^ttberd ertlirt; fatttt jebo<ib fettie n>ettere Gc^mtcrig^
feiten ^a6ett« äBcnn (gig« 35^) bie Dmecfe ABG^unb abc
dttanber ä^tiKcb ft»b/.BG mit cb g(etcb(aufettb i^, abor ^B
2itr {tnfen Don BC ttnb ^b = ^B jnr Steckten "oon cb itnb
eben fo 3C <^ Jtt^ Kerfjten »on BC unb 3C c = SC C gut ginfett
)[)on cb liegt, fo })Vit ba^ I^reied abc gegen ABC Uint .di)nfif^e
Sage* aQobl aber ifi bad IDreied D£F , loeld^ed ebenfalls bem
Z)retecfe ABC d^nltc^ ifl, )ttg(etc^ auc^ btefem 2)|:ete(fe ABC
d^nlicb liegenb^ bü flcb jur Dtecbten wn BC unb £F bec
SBinfel C=:^F m\> jnr «tnfen ber ffiinfel Bt=^E<beftnbet-.
$luc6 f dnnte (tcb bie Sinie £F in . bee Serldngeri^iig «>on BC
beftnben« X)tcfc d^nltc^e Sage &^n(td?er ^ignren gel>jrt
übrtgend nicftt }tt tem SEßefen berfeibfn^ fonbernbie^ nw iwt
bequemen ISttradrtttng berfelben«
. b) Da, luttti.ber frö^ern äBorlerHdmng^ jenr giguren
d^n(t(^ ^eiffeif/ n>e(4ie/ einjeln genommen, g(etcbe .SBinfel
nnb pro))orHona(e ©etten l^aben, fo mttf beibed tA^n^ben betbe«
SSiereden AGHB unb CFED beioiefen »erben. - . .
1) iia X AGB = .5: c:fd unb auc^^
3C BGH = ^ DEE, fo muß ...
5C AGH = 3c GFE feij^tt. Da ferner .
3: AB<i = 5: CDF unb att(*
X GBH = 3C FDE.ijl, fo mufl
5C ABH = 3C CDE ^9tt*
a) Da A AGB 00 a CFD, fo ifl ...
AG : GB = CF : FHöber
Afir : CF == GB : FD, Da audl>
A HGB 00 A EFD, fo ifl
Hft : GB = EF : FD, ober
^ HG : EF = GB : FD; e6 »ar aber
AG : CF = GB : FD, folglidj i(l
AG : GH =s CF : FE.
®an) auf gleiche Strt »irb 6en>iefen, bafi AB:BH=CD:DE t^.
c) Sefdnbe fTc^ Aber ED noc^ ein Dreied , beffen @pt^e
K ^eijfen foK,. fo bftrfte man nur an BH in H einen SBBinfeC
regen, weither zzjcDEK unb (n B einen SDBinfel ss^cEDK.
345
\
I
tftemt mcat:itn Ibmdfii^mttipunct fctefet hdütn&d^tvlltl mit
3 y fe to&xt A HBJ coA EDK. unb nm and) iai ^infed
AGHJB iOfam bem:9ftt<fe(r6XF£KD. ....
^ lte6rrl^aupt tfl bittan^üaXf toit man fm a%mttiten eät
gerablimged n Scf Aber eine gegebene Unit (onfiruf rtn (atm ^
tȟd)eS tintm gegebenen nlScfe d^nlic^iiL . .
dyUnäi tann Abclr MN (^ig. 356) babnrc^eut SBieledP^
fcem gegebenen ABCDE d^nlic^, gebi(bel mirbttt; bat tnan AB
ssMN matiitf ani A bie Siogbnalen AG:, AIKnnb nun burc^
b hk bc mit BG , bie od mit CD nnb bkde mit D£ gleich«
lanfenb {ie^tv woinxdi ABCDE (n> abcde.
IDenn ti ijl AAbc(S^ AABG;; AApdcNDAACD; AAde
CO A-AEDE; ba^rt Äi)6Ä:+>3C Acd=r3c;^BCA + ^^rAiJD
b. ^. ^ iicd = 5C BCn, -mW)» oAf gtei^ aöeife:aift^ ^jcde =
CDE, fo^ttie anc^,3CAed4r3[5.AED. »a^ : . .
Ac : AG 5= Uh'iBG Unb ättdSl .
\ I 1;;,,* 11c.VAC:= cdr.CD' :..i: , .
{|l, fo l^atj man :bc:odx^BG: CD nub ^nf A^nKtfie SQUfe
cd : des CD : DE , fü mfe.auc^ cA : Ab z: £A : AB.
SQSdre bte gegebene Stnte MN > AB , fo . f &nnte man AB
Aber F t)^r(ilrgern nnb änf d^nfid^e J2(rt verfahren«
<4 9Bdre C^ig. 357):bad ©et^öecf GHJRLM gegeben nnb
man foHte ein anbered conihniren, weld^ed . tl)m. d^nlic^ i|i:>
ot)ne bat tVgenb eine (Seite befelben gegeben tt>dre., fo ne^me
man in biefer ^ignt, einen tniflfä^rlid^en ^unct T» gie^e.bie
Stnien TG, :TH, TJ, TK, TL^ TM nnb »eridnge«e ^
Aber i^re Snb|)uncte/ ne^mt bann bie beliebigen . ^uncte N nnb
A, j(e^ ND,. AB pataUtl mit GH; OP, BC ^ratatter mit
HJ ; PQ, CD paraBeL mit JK n. f. f- bi« ^nm ©djiuffe beibitr
©etW^rf^/* fo i|l foiüo^r WOPQSV aK: ABCDEf bem 'gege#
benen @ec^decfe GHJKLltf dl^inlic^. Denn e^.tflANTOco
AGTHooAATB; A OTP co A HTJ oo A BTG n* f. f. nnb
man n>ivb anc^ leidet einfe^en, ba$ bie ttttd» bit @d)Iut(inieit
nv, AF ent(le^enbeto Z^reietfe JNTV nnb ' ATF ebenfaH« bem
Dreiecre GTM d^nltc^ ffnb. 2)ie meileve Sbttffäl^mng be|$ Se^
t9eife< ifl bem wxiQtn d^nlic^*
346
^ CLXXIV. 3^m I9»®a(r* 92ati timierfe l^ier f^fgoibrtt
a) ^te gfl&d^enrdume A^nli^ef ttAttointtlt^tt Creietft
Din^alten ffc^ n>te bte .gldc^en Der &6ec t^te ghic^namtge Seiten
befc^ütebenen Quabrate.
(Ed fei c^ig« 368) in ben dftnlic^n jDrttecTen ABC nnb
FGH , $: B =: 3c: & = I^ unb BC£D bai CUtabrat ftber £C ;
CHKJ iene« iAtt GH , fo tfl
A ABC : A FGH =: BCED : GHKJ.
. Senn »enn man bie Siagenaicte CD unb HJ jte^t, f» ^
A ABC : A CBD = AB : BD nnb
A FGH : A HGJ == FG : GI^
Ibaaitt AB:BD (=;=BC) = FG:GJ (t=QH), fö i|l OIM^
A ABC : A CBD = A FGH ! A HGJ, ba^et
A ABC : 2ACBD =:: A FGH : 2 A HGJ ober
A ABC : A FGH = BC£D : GHRJ.
b) l)ie ^(dc^nrdnme d^nlic^er Sreietfe fiftet^anpt )M^
J^olten ftc^ n>ie bie Duabrate i^rer ^onrofogen Seiten.
(Eö feien C^fg* 359 > bie ^reiecfe ABC nnb'EFG etnanber
i^nlic^/ fo ifl audi l){er
A ABC : A EFG = Gnabr* AB : Duablr* EF.
Itenn »enn man bie 2ott)e AD unb EH )tel)t/ fo i|l A ADB
CO AEHF nnb A ADC coAEHG, 35al)er f^at man
A ADB : A EHF = Dnabr. AB : Quabr. EF nnb
A ADC : A EHG = Qnobn AC : Qnabt. EG.
a^a aber Duabr. BA : Quabr. FE = Duabr. AC : Duabr* SG,
fo ifi andi AADB: AEHF = A ADC: AEäG, nnb folglid^
A ADB : A ADB + AADC = AEHF: AEHF + A EHG, b.l>.
AADB : AEHFrisABAC: AFEG. 13a aber and^
A ADB : A EHF =: Ouabr. AB : Quabr. EF , fo ifl attdl»
A BAC : A FEG i= Quabr. AB : Quabr* EF.
- c) aSdre j. 8. EF = i/j AB , fo »drbe A BAC : A FEG
s=2Xa:ixi=4:i fe^n, b. ^. ein Dreierf;. weldjed einem
onbern d^nlic^ tfl unb tt>orin eine (Seite noc^ einmal fo grof
ifl, a(d bie i^r ^ologe @eiee bed anbern Dreierfö; tfat einen
t)ierma( gri^ern ^Idc^enin^aft alt jene«. ®m Umfang ift
aber nur no(^ einmal fo groff.
547
1
©tdnben bfefe Seiten fm Ser^dftmffe t)on i:n, fo to&xitn
bie "gldcftett im Ser^dltniffe »ort 1 : n* feD« ; bie Umf&nflc aber
ffc^ lüie 1 :n tjer^alfen.
d) j^ier temerfe man fofgenbett ^6c^fl einfachen fßtmii
hti ^t)tt|aöorifcfeen ?ef)rfaee«*
• @i5 fei fiAC (gig. 359) ein recfetwiiiftKge« ©reierf «nb
AD ba« ?of^ t)on A aüif BC, fo t(f
A BDA:A ADC:ABAC = Quabr. BA : DuÄn AÖ iQttabr.BC
Xa nun A JÖDA + A ADC = A BAC i(i;' fo mtt| au(fy* Quabr,
BA + auabr. AC = Duabi*. Bt fe^n. ^ ' '-
CLXXV. 3 um üo. Sage* a) Die Sftifgafte: eine gigW.
jtt cönflruiren, toelc^e einer gegebenen Ä(^nltt!)i(f> ijl bereirt
bben (tm 18. 6a^e) aufgelifet »orben unb wirb biefem ©aftt
ftrt Öebihgniß öoraudgefelt ' '' ''^
i>) SBehn (^ig. 360) AmiDE coabcde f|l unb man jie^
bie Diagonalen AD, AC unb nd, ac, fo ifl Hai'; bag beibe
IJünfecfe in gfeid^oiefe Dreiecfe unb in dt)nlicl^ liegenbe Dreiecfe
get^eift »etben. Da nun, nac^ ber annähme, 5:;E=5cCe
«nb AErED^aered ifl; ^0 ifl aüc^ A AEDcoAaed unb jic
EAD=3c:'ead> fo tme'^CEöA izr^^eda. - *
Da ferner 3CB = 5C^ «wb atic^ AB:BCr±ab':bc, fo ttl
ättd^ A ABCoo Aabeunb 3c;BAC=3Cbac^ duAi 5::BCA=5:;bca.
'Drf aber 5: EAB = 5^ e»*» ? ^ oiwf «w* BCDÄC = 3c:
dac,-'unb ba 3c; BCD ==: ^C bcd ifl, aud) 5: ACD p 3C acd
feijit*, Da^er benn auc^ A DAC csö A dao. Daher befiele«
A^nltd^e SSiefede ani dl)n(ic^en Dreiecfen.
knn i^ ä AED : A aed = AE^ : aei*) ferner ' '
'' ' ' ■ A ADC : A ade = ADi : adq »nb
AE*! : aei = ADi : adi , fofgltcft
A AED : A aed = A ADC : A ade ;, ba^er
A AED : A AED + A ADC = A aed : A aed + A ade ober
A AED : AEDC = A aed : aede, bal)er
A AED : A aed == AEDC : aede, fomit.
Äer ^u^brutft AEq : acq foS fo »iel ^A^tn aUi CluAtal
Aber AE : ü^uft^rtq: iitx ae«
348
AEDC: Äcdo ae AE<J : ae^. ^ <!)6er
, AEi : ae*i = ABi : abi , fo i|l aitc^ :-' .
AEDC : aedc r= AB«! : ab . aUeilt
^ AB<i : abi = A ABG : A abc , f olftHc^
AEDC : aedc = A ABC : A abc unb
AI^PC + A, ABC : A ABG = aedc + A abc : A abc b. ff.
AEDCB : aedcb == A ABC : A abc, aKctlt
A-A^C r.Aabc =-ABq : aba , folglich
..;;, AED^C)^. ;. a^dcb = ABq :. aK
c) SBÄre ABirlab, fp nrilrbc ABCDE==:4abcde feijtt,
|t|^b anlernet V *»*>? AB =: n . a^, fo xoi^ttt ABCpig = nx nab
(«9««.,— Mt . ßttif^tni^t f totld^c frä^er t)on ben.Duabratett
i$}m^m »*t^fff if««b (LXXlII;,^ h-^kl, tinrnn ;nun e^en fo
auf (ü^nKc^e Sielecfe angemenbet .merbett* ®oEte 3« 93« bie
0fite ctnef ;SteIedö g^eftutbe^itonben/ u:»e((^ed, bem gegebenett
ABCD^: d^nltf^ Httnb bie .^dlfte :be{fel^n ifl, fo . tfalbire^ man
BC in F, f rrid^te bad ?art FQ = FD nnb jie^e I}G., SKae^t
man nm I>H==pG, fo tg DH bie, ^ ber ®eite DG entfprecbenbe
©eik be« 31^ finbenben fflieltrf^. .©emt eö ijl DGn == %DCq
itnb ba^ gegebene S^ieled ABCDE mt^hlt (Ic^ ju bem aber DH
f;onßri|irteit toie DG^i : DH*i.
CLXXVI. 3ttm ai. ®a^f» a) Die SeJ^auptung biefe«
^a^eÄmirb ft}(oai fcfedrfer fo mt%ft)roc^en: SGftenn jebf wn
(>oei gerabfinigen Figuren berfflbigett britten &^»Ii(§ ifly fo
finb. auic^ ien^^weigignten efnanbor felbfl dftnlic^,
b) üBdre iebe« ptt beiben :g)iinfcrfe (gig* 36.0) ABCDE
tinb al^cde . einem brittni mit a'b'c'd'e' bejeiej^n^ea 0Ättfecfe
dl)n[tc^/ fo mä^te. auc^ ABCDE co.^l^^^de fepm ^Denn ti ift
AB : BC = a/b' : bV nnb
ab : bc =3 a^b ^ ; Vc% fofglict^ ; «^
• AJ? .: BC = ab TTcT^ gerner ifl »
BC .,; CDt = b'c' : c'd' unb ^
bc : cd =; b'c' : c'd', ba^er
BC : CD = bc : cd
Itnb berfelbige 9tm\i gilt f&t bie $ro))orttottaUtdt ber dbrfgett
Seiten.
S49
gettter iß BC ABC =r 5:; a'bv un*
' ^ 5:; ABC = $; abc ' .
itttb eht d^ttlic^er fSttotü hm fix olle übrige WinUt itftfjtt
xotxhen. •
CLXXVn. 3 it m 22» © a $ e^ a) ©er e r |l e Z^ett biefc«
@a$e< »ftb fe^r einfach fö iewtefc«. 2)«- - ^
AB : CD = EF : GH ifl, ft> ifl OIIC^
^ABi : CDq = EFq : GH«. aUeih'
KAB : LCD : MEFV : NGH W = AB^ rCDqrEF^cGH^, folflrfc^
ani^ KAB : LCD = MEFV : WGHW.
b) Der ^ttotii t^ jmeüen Zfitili tß ber umgefe^rfe
iti t^örtgeh unb 6ebarf feiner ipeitern SitieiitaRberfe^uttg. —
jba^ bie Ä^nltc^en gtgurett auc^ ä^nlicfy liegen b feien ^
gehört ntcf)t }ur SBefen^eit U6 Qa^ti.
CLXXVIIL 3um 23* ©aße; enteeber fmb bie gege»
Senen Parallelogramme SKec^tede, tt)te ($tg. 36l) ABDC iiitb
DEFG, ober fc^iefwinWtg; »ie HJRL unb Kivmo.
3m erfien %aUt iü, nac^ bem gramem,
ABDC = CD X DB unb
DEFG = ED X DG , f orglic^
ABDC : DEFG = CD x DB : ED x DG, ober
ABDC : DEFG = (CD : ED) X (DB : DG).
3m j n>ei ten ^aSe jte^e man an6 K anf HJ iai ictt^
KP, toüditi, .tt)ei[ HJ mit ON paraOel ifi> xidm&tti nadi
Q t)erl&ngert / anc^ tin iotij anf ON fe^n muß , fo iß A KP7
es:) AKQO, weil auc^ 3CJ = 3CO i|i, forglic^ Ijat mm
KP : KQ = KJ : RO. aflein
KP X LK = HJKL unb ebenfo
KQ X KM z= KMJNO , fofglicfy
HJKL : KMINO = KP X LK : KQ X KM nttb
HJKL : KMNO = KJ x LK : KO x KM b. ff,
HJKL : KMJNO = (KJ : KO) X (LK x KM)
CLXXIX. 3ttm 24* ©a|e* Diefer einftic^ ©a^ fann
cnd) baburc^ benoirfen werben/ ^a^ man gnerfl bie Sle^nlic()fett
ber ^araUelDgramme AEFG unb FHCK unter ftc^ nnb bann
3p0
»
fcte ^tfjnlidjhit Ui titun wn i^itett mit bem ganjett ^ataUelo^
gramme ABCD jeigt.
. CLXXX. 3 um 25, ©afec* ipier ip bie gegebene gigur,
2U n>e(ci)er eitte äiinlidjt foQ gefunbea n>erbejt / ein Dreicd!.
SB&re btefelbe trgenb ein anbere^ gerabliniged fßieltdj fo
f^nnte biefed juerü in ein it}m g(eict)ed Sretecf t»etn)anbelt unb
bann ebenfo )oerfa^ven werben^ nm ba^ ii)m dt)nli(^e iDreiecf
(Don ber ®rfße einer , gegebenen $igur) {u ftnben. 2)ie (Seite
be^ i^m gleid^en unb bem gegebenen SSielede A^Iit^en Sie(e(f6
Fann b^tnn auc^ leicht beüimmt merben.
CLXXXI. 3up 26. ©afte. a) Slucf) fann biefer Sag,
iDie man kidjt ftnben n>itb , birect ben)iefen werben. @tnc
itDt^tt)enbige ^ebingniß biefeö ®a$e^ ifl , baß ba^ neugebilbete
^araOetogramm mit bem gegebenen eine dl)n(icbe Sage ^abe«
b) Sluct) gilt bie Set)auptung p^i ©aged bann nod)^ tt>eun
Jbeä Parallelogramm^ ADCB ©eitenlitiien AD unb AB liber D
ttnb B unb fo t)erldngert toerben / tia^ ffe biefen ©eiten felbft
proportional (tnb. 2)ie $er(dngerung ber X)tagonaIe AC iiber
C mn^ bann in ben SSinfelpunct biefe^ aber bie t)erl&ngerten
Seiten }u befdireibenben ^aralle/ogrammd eintreten« ^
c) £6 finnten and) bie Seiten DA unb BA über A fo
t)erl&ngert n^erben^ baf biefe Serldngerungen biefen ©eiten
felbfl proportional wdren^ woburc^ ba^ neu gu bilbenbe ^aral#
lelogramme aufferbalb be^ gegebenen {tele. £)ie über A t)er^
Idngerte CA mu^ and) X)iagonaIe biefed dujfern ^araHelo^
grammed fei^m
CLXXXIJ. 3um 27- ©afte. a) 2)er erfle JC^eir biefe«
©a^c« fann auc^ fo au^gebrticft tt>erben :
SDBenn ötan be« Parallelogramme« VE5A ^araKelfeiten VE
unb Aß in D unb G ^atbirt, t>ic Unit DC }iet}t/ bann AK >
AG noidfü^rlid) nimmt ^ DB unb KQ mit AV g(eict)laufenb unb
burc^ ben 2)urd)fcijnitt«punct F bie GFU mit VE ebenfall«
parallel jiet)t, fo iji VDGA > OFRA.
jDenn e« i^m^i biefer (Sonflruction .
QEHF = LFKG , allein
DEHL > QEHF, folglich
9S1
DEHL > LFKC aUt
i)EHL s= VDLG, alfo .
VDLG > LFKC , nun Ift
. , GLCA = GL€A, fomtt
VDCA > GFKA.
b) $(ttf fi^nltAe Slrt n>ifl) aud^ bet {toeite £^t( hmU\m»
GFML = VLCD, aUtin ^
gVmL = HGLK, f oIflHdf
VLCD z= HGLR unb ba^et
VLCD > HEVR, allein
KVDA = KVQA , btt^er
KLCA > HEDA.
c) QOenn bie tt)tlltöt)r(tc^e 9tnie AB (^{g. 363 ) in C ^al^
(itt, aber AC bad Quabrat ACDE , aber CB bai Duabrat
CBLD errietet, jcbe ber «tnien AE, CD, BL fi6er E, D-,
L and^ bie BD ibtt D t)errdngert u>irb / bi^ ein auö bem toiUf
fü^rMen ^uncte M auf AB errichtetet Sot^ biefe (entere in H
fe^neiber unb nun burc^ H bie mit EL iparaKcfe FHJK lutit,
fo iflt ba« Duabrat EDCA großer aW bad Wetj^terf FHMA.
allein ed ifl, wegen x.^BCz=:i/^lXy and^ HM=fMB; folgfic^
auc^ ba« Strd^tecf FHMA im Sted^tecfe Mi AM unb MB
gleic^. I>ai)er ifl bad größte ätec^texf^ iDelc^eö au4
ben Segmenten einet gegebenen Sinie AB gebilbet
iDerben tantC, iai Duabrat ani it^rer i^dlfte. jDenn
jebe^ anbete Sted^tecf aui i^ren ungleid^en Segmenten muf
Heiner fctjn.
N d) 35a ba« Duabrat EDCA ani ben ,S;i>eiren ENMA unb
NDCM , bad 9te(^ecf FHMA aud ben Ztitikn FHNE unb
ENMA befielt, fo iß jene^ um fo wl großer aU biefed, um
Wimtl WDCM großer aW FHNE x% »Kein NDCM = JKLD
== FJDE , folglid) ifl HJDN ber Unterfc^ieb Don EDCA —
FHMA. aBein HJDN i(l ba« Duabrat J^on ND = MC= AC —
AM = 1/2AB — AM. Dafrer betrdgt ber Unterfc^ieb
jmifc^en bem Duabtate ber ^dlfte einer gegebenen
tinie unb bti dttd)ttäi ani i^ren {wet ©egmen^eii
552
fo t)tel dli tln Clnaitat, beffen Seile bte 2)tfff rett|
2toifc^en ber falben Unit unb intern fleinern ©eg^
tnente tfl.
e) S(uc6 lAft ffdf btefer le^te &a^ fo (eb)etfeit. (S^ fei
AB = a, AM=:b, fo t|l MC = Vaa — b unb MB = a — b,
folgH*- 9lec^trcf . FHMA = b(a — b) = ab--B*, Oiiabrat
(a \* a* ■; /'a\*
--bj =-_ab + b^ DuabratEDCAz=(-)
= y «n^>« 'fl «tt» toirflid^'ab — b* + y — ab + b^zi:^-
GLXXXIIL 3um28.6la$e. ilBenn bad gegebene ^(u
raDelogramm D ein Ouabtat tft, fo »irb biefe Aufgabe fof^
genbe: (Sine gegebene gerabe Sinte fo ju t^eileit, baß baö burd>
biefe Segmente gebilbete Stecbtecf einer gegebenen $igur gletdy
fei, loefc^e jeboc^ nic^t großer/ ali bad Ouabrat au^ ber
falben ?inie fe^n barf*
CLXXXIV. Sunt 39* @a^e« a) 9Benn baö gegebene
^Parallelogramm D ein Quabral iH, fo fann biefe. 9lufgabe
fpfgenbergeflaU au^gebrAcft merben : Hn eine gegebene gerabe
Unit AB ein ber gegebenen $igirr C gletc^ed Siec^terf fo gu
befc^reiben, baß biefed baö gegebene Ouabrat ald Ztjiil tntl^iit.
Ober fo: I)ie gegebene, gerabe ßinic AB fo nac^ O gn
l^er(^ngern/ baß bac^ aui AB nnb biefer SBerl&ngervng gebib
Mt fft^.d)ttit einer gegebenen ^i^nv Qlti(b ifi* .
£)ber fo: Senn bie Sinie AB a($ ber Untiejrfc^ieb jweier
9te(bte(Hfeiten unb bie ©röße biefeö HlcifUM gegeben ifl/ bie
®rdße btefer Seiten felbfl ju jtnben«
b) Siefe beiben Aufgaben (bed 38« u. 39. Sa^eS) btcnen
)»or{äg(ict^ ali i^il(f^fd$e fomo^l im X. SSuc^e bed (Sucfibe^;
ül^ auc^ in* ben Säc^rn be^ ^poKoniu^ ;k)on ben Aegel^
fc^nitten. £ia()er fabelte SRobert Simfon jmei frühere $er^
au^geber ber Snclibifc^en Elemente (S^acquet unb Sec^o^
led)/ weil fie biefe gmei ©d^e, a\i nodren (Te faß oon feinem
Gebrauche r in i^ren Stu^gabe'n ijiinmeggetaffen f^atten«
CLXXXV. 3um 30* @a|e» $ine aigebraifc^e Siuf^
I6fung biefer älufgabe ifi bereite oben (LXXXVU, b) miu
get^eüt n>orben.
333
CLXXXVL 3ttm 3i/6a6e. IDer düfad^fle gaO ^fefc«
6a^ed.tfi ttx, tt>eitn über jleber ©ette bed reci7tn>itifeli9cit
^reiecfd ABC ettt gleich fettige^ Srciecf befc^riebeit tt>irbu
2)af tn btefem ^oSe bad äbet BC confiruirte fo groß fei / al^
tu 6eiben über AC lutb AB errid^teten {ufarnntf ngenomiif en/ ifl
ft&tifx (LXXIII, g), ebne bie Se^re )>on ber Sle^nlic^fett {u
i^&(fe {tt nehmen / 6en>tefett nootbem
CLXXXVII. 3um 32. ©a^e* Die ijj^polliffl« biefe«
St^rfa^cö t|i ju unbeflimmt atilgebrAtft unb muß ettva fo lau^
tcn: ÜBenn (gig. 363) ein ffimfel BAG gegeben ifl unb man
)tel)t aud G bie CD mit BA , bann au4 einem n»iOfät)r(ic^en
9>un(te D bie D£ mit AC gleicblaufenb unb ti ift £A : AC =
CD: DE, fo liegen bie brei ^uncte B, C unb £ in einer
geraben ?inie.
Ifiiir t^eifen fotgenben inbirecten S3en>eid mit 9Benn man
bie SSerbinbungdlinie AD {ie^f, fo ifl/ totil BA mit CD gleic^^
lanfenb ifl, 3C o + 3C » + 3Cz = 2R nnb »eil AC mit DE
paraBel läuft, auc^ X.^ + X.^ + X.^ = ^^9 folgtiefe äCo
Sollte nun bie über G t)erldngerte BC nicfet nacfe £ get)en , fo
fei ütod BCF eine gerabe Cinie. ^ier »Are 3c;I^FC = x
AGB, fofglicfe au* A^FCoo aACB unb bat^er benn BA:AC
= CD : DF ; aKein ed ifi BA : AC = CD : DE. gofgli* fan«
CF feine SBerl&ngerung t)on BC fe^n. (fbenfott)^nig lann CG
biefe SSedängeruug' fet^n.
CLXXXVIII. 3üm 33. eage. a) €d feien (gig, 364)
in bem Äreife mit CA jmei wißfütfrliclje ü)?ittc[}>unct^tt).infel
AGB unb BCD gegeben, fo- ifl entweber ber ffeinerc 3C BCD
genau in bem grigern jc AGB entl)alten, ober mcfet» 3m
erflen %aüt mu^ , t>a g(eicfee ^itre())unct^tt>tnfe( aucfe auf
gleirfien Sogen flef)en (111. 35. 26. ©.), au* ber ^ogen DB
eben fo oft in Um Sogen BA enthalten fe|^n unb eö ifl ^DCB
: ^ BGA = ©og. DB : Sog. BA.
3ni )u>eiten ^alte ^albire man ben ^c^BCB, nnb »enn
feine ^älfte fein genaue^ SRag t)on BCBCA to&xt, fo net)me
man V4 3C I>CB^ VsäCDCB, ViöäCDCB n. f. f., fo i(l ein/
23
35i
mal ettt folc^er Ztjtil wn ^DCB ein Qtnanti 9Raf Mit 3c
BGA ober tttd^t Sfl Se^tere^^ fo mu0 ber geiler, n>e(d)cr
Ni bem S^u^meffen btefe« ^inUli bUiht, Heiner aK bai
9ßaf fe^tt. Sllletn btefed 9Ra$ wirb f (einer ald jeber anjit#
gebenber 98infel; fofglid) aud) jener ^e^Ier unb 6etbe SBinfet
DGB unb BGA m&^tn ein gemeinfame^ Wiai ifahtn , melc^ei
ffe fo genau aufmißt, baß ber $e^(er Heiner iß, ol^ jeber
onjugebenber SBinfel. 3(1 (grjlere^, fo i(l*d für ßc^ Har.
b) Da 3CAEB = V2 3CACB unb XBEI>= »ASCBCD,
fö muß auc^ 5CBED : 3:; AEBä ©og. DB : Sog. BA fepn. —
jDa ferner ber Heine QRtüelpunctdtoinfel, n>e((^er aK SRaß ber
9Binfe( DGB unb BGA anjufe^cn ifl, fowo^I bie S6ene be«
Heinern ali and» bed großem 9Qinfe(d genau erf&dt/ tt)obur(^
bte «»«fc^nitte DGB unb BGA entfleben , fo tfl aud) <»u«fd;nitt
DGB : »udfc^nitt BGA = ©og. DB : S5og. B A = 5:; DGB : j^BCA.
c) Jpierauf berut)t bie Wet^obe, bie SBinfel burc^ ® rabe
)tt meffen. Z)enH maix fic^ ben Duabraten ( $ig. 365 ) BGA
in 90 g(etc^e S^^etle get^eilt (noooon man bie aRöglicfifeit
erfennt) unb nimmt an, AF fei V90 i^^efed Sinienquabranten ,
fo ^eißt AF ein ®r abbogen* Zit^t man FG, fo i|l ^FGA
rzVooBCBCA^Vgo^ unb eS^eißtJcFGA einOrabwinfcL
iDa^er ifl (wenn ber ®rab burc^ eine Heine jur SRec^teit
fle^^enbe SRuBe bejeidjnet wirb) Ri=:90^; aR=i80^; 3R=
3700 unb 4Pi=36o^ «inen gegebenen ffiinfel, a-S-^CAGG
meffeu; ^eißt beflimmeu/ toiemele ®rabn>infe( feine (Sbene
au^f&Den.
A) hieraus ergeben flc^ nod) folgenbe ®dge :
1) Vit ®umme jweier iRebenwinfel tfl = 180^« SDdre
j. 9. ber eine = 70®/ fo mögte ber anbere = I80® — 70<* s=
iio^' fepm 9luä^ ifl bie @umme mehrerer 9lebenu)infe( =
180®.
3> SBet^n man bie ®rJ9e txnti Don )tt)ei 6c^eitelit)tnfe(tt
fennt/ fo ifl bie ®ti^t jebei anbern befannt. (£« fei einer
= 40**/ fo ifl fein SRebenwinfel = 180*^ ~4o® = i4o^
3) SlOe ring^ um einen gemeinft^aftlidfen ^c^eitefpunct
liegenben SQinfel (Inb lufamwen =: 36o®. %n^ betragen bte
j
5SS»
btd ÜBinfel ithH DtefeM {ttfatnmeitgenontmni i80^, benn ftr
fitb = 2R.
A) 3r jebem recbfnomfeligen Dreierfe tfl bte Summe hn
{toet fpt|en äBinfel =90^ ffi&re i 93. ber eine =65^ fo
iitÄJte betr otibere = 9o<^ — 65^ = as® fe^n* 3m gleicftf^etife*
Itgen rec^rnotnfeltgen Sreiecfe tfl jebet ber {loet fpi^eti äSuifel
5) 3n jebem gleic^eitigen Z^reietfe tfl jeber ber bre{ SBinrel
=t:60^ ba3x60^ = i8O<>=:2R !(l.
6) Hui Um tIBtnfef an ber Gpi^e eine« gfeicbfc^enfen^en
IDretecf^ fann man ithtn an ber ©runbUnie bereci}nen. (E^ fei
jener =74^ fo ifl 189^—74^ = 106^ bie Summe ber ffiinfel
an ber (Srunblinie. t>a nun 6etbe etnanber gleich (Inb/ fo ift
jeber.= — = 53^. Umgefet^rt fann ber 5D3infeLan ber ©pifte
bered^net werben , tütnn man einen an ber ©runblinfe in ®ra^
ben fennt di fei biefer = 40®, fo ift 180^—2x40^ = 180®
— 80^ = 100® jener an ber ©pi|e*
e) Wlan {!e{)t ^ierau«, baß bie ®r jße eine« ®rabbogen<
feine ht^immtt unb unt^erdnberlic^e ifl, baber ^^^^il
tt€ gr6ßern Greife« großer aH eben biefer 2:^eil Ui ((einem
Areife« fe^n muß. Snbeffen f)at jeber ®rab jur ganjen ^erii*
ptjfxit, fei ffe noc^ fo groß ober noc^ fo Hein, immer ba<
it&m(id)e SSeri^AUmf. £at)er fagt man, ber äßinfel FCG
(^tg. 366) noerbe fowo^I burc^ ben Sogen AB , ali an^ burc^
brn Sogen D£ gemeffen , ba flc^ ^ier ber Sogen AB fo }ur
9)eript)erie be« Äreife« mit CA t)er^&It/ wie ber Sogen DE
|ur ^erip^erie be« Areife« mit CD.
f) 9?oc^ fAgen wir tjitt jwei ^äOe aber ba< VSlaf jener
93in(e( bei, beren Scbeitel ffcb enfweber auffer^afb ober
innerbalb ber Aret«ebene b^flnbet 3(t (^ig. 367) jener
aSinfel BAE , fo {iel)e man inxdi G bie CD mit AB gfei(6#
laufeub , fo ifl nnn ^ DCE = jc BAE ; aOein % Sog. DE ijl
ba« 9Ra6 wn 3C ^CE ; folglid) aucb jene« t)on ^ BAE. $« tfl
ober Va Sog. DE ?= y^ Sog. BE — % Sog. BD = i/j Sog. BE
23 ♦
336
-*- Vs Sog. MC* X>a9 80g. BD = Sog. MC etfeimt man
fegleii^ barand, haf, nacft einer gejognen Duerlitite MD niiit
3C BMD = 3C MD(^ t(L
Set befti jc ^FH oerUtigere matt GF tta^ K , HF nac^ L
ititb {te^t bur(4 L bte LJ mit KG pataUtU ipter iß ^ JLH
= 3c: GFH , folflli* Va »og* JH ba« ÜRaß t)ott ^d GFH. C«
ifl aber % 80g. JH = i/^ «pg. JG + «A^Sog. GH = «/,
80g. LK + Vs Sog. GH«
3^7
*^nmerfungen
) u m
CLXXXIX 3ttir 1. Svflirittts» SBetttt dutUhti
ffitx fagt: (Sttt Stitptt i^, toai Sdtige, 9reüe unb Zitft t^at,
fi\ mn9 nod^ beigefügt tocrben : ttnb ring« ttm^er tti ®ttnyn
eingefcftloffcn iß; benn c^tte bfefed toixt ber geomttrtfc^c Stit^
ptv wn bem utienbltc^en Xitftttatmt nid^t «>erfd)tfbem
. CLXXXX. 3ur 3. CrriArung* ütitt btefe itnb bie
DDr^erge^enbe CrflAntng fe^e matt batjenige, ioa< Uttiti
oben (I, a--d) bemerft worbctt tfl«
GLXXXXI. Sitr 3. erfr&ruitg. IDtefe Q^rHArttttg tfi
eine bfo^e SBortetfldrung ttnb crfl bnrc^ bte wifenfc^aft^
liefen @d$e ber XitptxUtitt ober Stereometrie |tt begrftnbett.
(Eine gerabe ^cnie fle^t fc^ief anf einer ^6ette, toenn fle ntc^t
mit aOen in btefer (Ebene bnrc^ i^ren %u$puntt gezogenen gera#
ben Linien rechte OBinfel bifbet«
CLXXXXII. 3ttr 4* (grflArnng. iJiefe «rndrnttg
fegt Doran^ / ba^ ber Snrc^fc^nttt jn>eier (Ebenen eine gerabe
Sinie i% Sluffetbem ift ffe ebenfalls nur eine SOSorterflArnng.
fSlan lann and) fo fagen : Sine (Ebene (le^t fenf rec^t auf einer
anbern/ toenn bie beiben Linien ^ toelc^e an^ einem toiOfä^r^
liefen ^nncte i^red 2)nii^f(^nittd in jeber Cbene auf biefeii
Z)urd^fd)nitt fenfred^t gejogeo tottUn, tintn rechten Sßinfef
bilbem
3a8
•
CLX3LXX11L 3ttr 5. 9tUitnnq. SQenit etne ger(Kbe
ttnie attf einer (Ebene fc^tef fltlft , fo nel^me man in t^r etneit
beliebigen ^^nnct , benfe flc^ and ibnt auf biefe (Ebene ein Sot^
nnb von beut ^nncte, wo ti in ibr einfrip, eine gerabe
Cinie {nm gnßpnncte ber febiefe^tinie/ fo iß bcr ^icrburd^ tnU
llebenbe fpi^eSBinfel ber Üteigtingdivinfef ber fcbiefen tinie
gegen bie Cbenf, worauf |[e (lebt Diefe (ErHArung fe|t bie
Conjirucfion bei Sotl^e< ^^oraud unb iß bentnacb Ititt ebenfaS*
nur eine a&ortern&rung.
CLXXXXIV. 3ttr 6. dttUtun^. 6obalb man beii
IDurt^fcbHitt jnoeier ebenen aU tint gerabe {inie erfennt, fo
iß biefe (Erfidmng ^ier fcbon aM6a(ber((dritng|u betradj^
teu/ ba ed nur barauf antimmtf {wei tot^e in einer (Ebene
|n erricbtem
SBenn man ben SSegriff M KeigungdwinfeM {unt ©rnnbe
legt / fo laffen ftcb biefe (Erf (drungen aucb fo geben :
(Eine gerabe Unit fttfit auf einer (Ebene ober eine (Sbtnt
auf einer (Ebene (otbrecbt ober fcbief , wenn ber 92etgung<#
winfel jener Sinie ntif ber (Sbtnt ober ber beiben (Ebenen eitt
recbter ober ein fd^iefer i%
CLXXXXV. Bnt 7. Srndristtg. £aß in biefer Se^
fldrung bie Neigungen {weter (Ebenen gegen einanber dbnlic^
genennt werben^ toefcbe eigentlicb üollfommen gleicb ßnb^
rann nicbt gebiDigt werben , ba bat 98orr dbniicb hierbei nic^f
in bem b^g^bracbten €inne genommen iß*
GLXXXXYI. 3ur 8. «rtldrnng. Diefer (ErNdrung
mnf beigefügt werben/ ba^ ^araOel # Sbenen jene ßnb, welcbe
nicbt iufammentrejfen / wenn fte gleicb betbe nacb aOen 6eiten
^in t^erldngert werben* Git i^ äbrigend ebenfaKö nur eine
8Borter(Idrung/ wie ti fx&fitt jene ber ^ataU^Uinitn
gewefen iß.
CLXXXXVII. Bttt 9. Qfrfldrnng. Siefe Qhrfldntng
ber dbnlicben Stixptv iß nicbt befriebigenb, inbem tiSt6tptt
gibt/ welche bnrcb gleiiboiele / dbnlic^e 6ettenßd(ben begrenjt
werben/ ttfnt einanber d^niicb ju fe^n; }* f8, fymmetrifcbe
Stitptt wn nngleidlier ®ti$t iti 3n^atte0/ welcbe weiter
9S9
mteit nA^er itttad^M tDevbett* Stitptt griffen dbnli^/^iDetm
fte gretAioiele ft(^ berfeiibe ^iryemittfel , d^nltc^e homologe
Geitenfidc^en ^ ))roporttottale homologe ^tithtanttn ^abeit
itnb je {loei flc^ fc^etbenbe j^omologe ©etrenfldd^en benfcb
bigf n SReigungdtotnfcI miteinanber tilbett« ©old^e Stitpn 0iib
ba^er in aOem übtuin^mmtni mb nuxAn ber ®rj$e t>er#
fc^itbctt« Dtefe Crfidntttg ifi aStrbtng« nwc eine SOJorterfldr^
itng / totld^t erfl burc^ bie folgeitben ®d$e begr&ttbc t .tocrbett
fanm Sfö (Sriduterung biefed 93egrif$ fann man fic^ {nxi
fiBdvfd Don Derfd^tebencr ®rdie benfen, ober jwei Engeln ton
tD€tf(^tebenen Surc^meffcr/ wel^e aM d^nltc^e A6rper erfc^i^
tt<n* — Unter eettenfanten ber St6xptt t)er(le^t man jknr
gerabe Sinten , in noeinb^tt fic^ je jmei ebene ®eitenpd(^en ein^
onber bnrci}f(t)neibem 9Bad ber jljrperminfel ift^ iDirb
sinn fogleic^ nd^er erfldrt toerben*
^ CLXXXXVIIL 3ttr io.«rfIdrnng a) Äir^jer ^eiffen
f(f)Ieci^t^tn gleich, toenn fte benfelbtgen ^iryerraum einfd^lte^
f en nnb »erfc^iebene ©efialten ^6en« @o fann j* 16. eine
breiecftge ^^ramibe mit einer DieredPtgen^ ein SBörfel mit einer
ßugel n. f. f. ben ndmltc^en firperlic^en SRanm einfc^Iießen ,
t90 benn btefe ft6rper einanber gfetd^ ftnb. 2)ie Sebingnn^en/
unter totlä^tn bie Mxptt gleiche Sn^alte ifobm , mäffen in ben
fotgenben @dgen erfl entmitfelt n)erben. t)a^er ifl btefe ($r#
Ildrung ebenfaO^ eine blo^e (Erfldrung Ui SSjlorted {n nennen«
1>) SBenn bie Sle^nfid^feit (Tc^ mit ber ®hid)litit Deretntgt,
fo entfielt bte Songruenj ber StitptXr totld^t fomit and ber
Uebereinflimmung in ©r^^e nnb in ®e(lalt ^erDorge^t Die Sr#
ffdntng Ui Snclibe^, nac^ tt^eld^er gleiche nnb d^nlic^e
Stitptx folci)e (Inb^ welcb^ Don gleich Dtelen d^nlicfien nnb
gleichen Ebenen begrenzt n>erben^ i^ nidii beßimmt^enug/ ba
bte weiter nnt^ Dorfommenben f^mmetrifc^en fiirper biefe
SRerfmale ^aben / o^ne DoKf ommen einerlei )u fe^n«
c) kongruente Stitpa tinntn fo in einanber gefieOt I9er#
bey , baß (le nur einen einzigen bilben nnb man fann nun t)on
tarnen fagen> baß fte ffdl) b e cf e n* 3u^ (Srtdnternng benfe matt
i* 93* {wei Xugete t>on g(eid^ Stird^meffer/ »elc^e , n»ttn flc
36Ö
mit iffttn ^itttlpnncttn in eittanber faDen^ ttuti auA mit i^rett
Puffern (Brenjen in etnattber lit^tn tinb nur eine tiniiQt SbxQtl
Hlbett«
d) Sie Sc0rtffe \fon ber ®ltid^titit, Üe^nlic^f ett unb
Soti0rttfn{, ipeld^e in bett fr&i)ern SSäc^ertf ber (Sleäieitte in
Sejug anf ebene Figuren betrachtet worben {inb, nt&ffen nun
eben fo , bnrc^ , bie folgenben 6d(e , auf ft6r)>er angemenbef
I9erbem
CLXXXXIX. 3ttr 11. @rf Idrung. a) ®ie 9?arur be*
lirperlic^en SQinfeK erfennt man am beutlt^flen ani feiner
Sntfie^ungr 9Ran neunte oberhalb ber Sbiene eineö miStöt^r«
lieben Dreiecfö einen ^unct unb jie^e Don itim nacb iebem
Sc^eifelpnncte biefe^ Dreiecfd eine gerabe Sini;, fo entße^t an
Um ^nncte anffer^alb be^ X)reiecfd ein ^irperminfel unb
2n>ar tyier tin breif antiger* Btint brei@eitenfanten ftnb
bie brei.geraben Sinien^ meiere bon bem bemerften^nncte, fet#
nem ®(^eite()>nncte/ an^ge^en unb feine @eitenfld(^ett
jene brei ebene SBinfel^ noelc^e t>on je jmeien biefer Seiten^
fanten gebilbet n>erben«^ SRan fie^t j^ierau^/ ha$ biefer ^6rper^
n>infe[ einen f6r):erlic^en ffianm, jeboci^ nur nac^ einet
@eite ^iU/ begrenjt; fo toie auc^^ ba0 bie ®r6{|e beffelbea
nic^t berdnbert toirb^ tvenn man gleich feine @ettenfantett
grj^er ober fleiner mac^t SSetrac^tet man Un K6rpem>infe(
wn SluffeU/ fo n>irb er auc^ tint ddt genannt*
b) 92immt man oberhalb ber Sbene eined tt)illfu^rlic6ett
Sierecf^ einen beliebigen ^nnct; aud welchem nac^ jiebem @d^i<f
Ulpnnctt bed SSieretf ^ eine gerabe Sinie gejogen wirb , fo ent^
fle^t an jenem ^uncte ein Dierfantiger^irpertpinfel^ an
t9e((^em ber @ct)eitel^ bte mer Tanten unb bie mx Seitens
fldc^en (eid^t )u erfennen ftnb.
c) ÜBirb auf d^nlic^e Sfrt auffer^alb ber Sbene einei
5(&d6, 69di, 7(S(ii.... nScfö ein $untt genommen unb
tcit wtl)in t)erfa^ren/ fo ffe^t man, toit f)ittbntd) ein 5 , 6,
7 • « * • n fantiger ^ jrpern>tnfe( entfielt
CC. 3ur 12. (Srfidrung* a) Suc^ biefe Srndmng ber
^pramtbc ifl nid^t l^inreid^enb beutlid^* ~ Stimmt man ober#
sei
ficAb eine« gegebenen Dretetf« einen ^unce^ wn mlAm nndt
jetem @d)etrel beffel(en eine gerabe leinte gej^ogen tt)irb, fo
entfielt ein Äirper, welcher öon öier Dreiecfen efngefc^Ioffeti
fflnnb eine breiedige ober breifeitifle ^^ramibe ljei$t
SRan erfennt an xt)X ^itx StitptvioinM , fec^« 6eitenfanten ,
t)ier ®eiten^dc^en / beren iebe ein Sreieif ijji, nnb ben fdrper^
Irenen Stanni/ U)e(c^en ffe einfd^iieget
b) IDenft man (Ic^ anffer^alb ber (Kene einet SierecK
tinen ^nnct^ wn welchem )u jebem Scheitel biefet fßittzdi
eine gerabe Sinie gejogen ifl/ fo entfiele ^ierburc^ bie t>ier#
feitige ober t^ietecf ige ^^ramibe, tooran f&nf Jtirper^
ivinfel/ oc^t Settenfanten / bie Werccfige ®runbfldc^e nnb
bie ^itx breiecfigen @eitenfläd^n jn erfennen finb.
c) ainf &t)nnd?e SIrt Idft f[4 bie (Sntfle^ung ber fünf,
fedbd^ nnb mei)rfeitigen ^^ramiben nad^koeifen. Die
^pramibe ii6er{^an))t i(i baf)er ein J^5rper/ n>eld)er t)ott
einer gerabltnigen $tgur ali ®runbf{&(^e unb^Don fot>te( 1Dret#
ecfen a(« @ettenf{&(^en (egrenjt ifl/ alt miettelfeittg biefe
®mnbfld(^e i(l» n
CGI. 3ttr 13* (JrHdrnng. a) Die (?n<jlel)ung ber
»erfc^iebenen Slrten prl^mati^ditt Stitptt gc^6rt in bie »tffen*
fd^aftlid^e @nttt)i(fe(ung ; ba^er ifl biefe (Erfldrung Ui (Sncli^
feet eine bh^t äBorterHArung.
b) 3e nad)bem bie ©runbflddie bet pritmatifc^en ^dr})ert
ein Ureiecf, SieredP, gfinferf u. f*-f, ifl, wirb bat ^ritma ein
breicfeiget; Dierecfiget, fänfetfiget n. f. n>. genannt.
^uiftn feine Seitenfanten lot^rec^t anf ber (Srunbfldc^e , fo
^eigt et ein f entrechtet/ fonfl ein fdjiefet ^ritma» Xiai
breifeitige ^ritma ^at fedjt SitpttwinhU brei Seitertfanten /
brei Seitenfldc^en / tocl(bt ^arallelogromme ffnb; an bent
Dierfritigen ^ritma erfennt man ac^t jlär^ertt>infe( / t)ier @ef^
tenfanten, t>ier @eitenfld(^en/ nnb auf di)nltd)e 3(rt fann biefet
fär bie me^rfeitigen ^ritmen naci)gen>iefen tt)erbem
c) Sin Dierecf iget ^^ritma / weldjet in fe(i)t ^ataVeto^
gramme eingefc^foffen ifl/ wovon jkoei gegenä&erfle^enbe ein#
anber yaraHel nnb cbngruent finb / totrb im SSefonbern ein
^ararieIo)E){))ebttm genamtt/ totlditt titnfaM tin \tnU
red^ie« ober ein fcbiefed fei^n tann. Wlan f!e^t aber \0QUidf,
bap biefe (ivtl&tunqtn tbinfaU nur SBorterfldrutigeit (tnb.
CGII. 3ur 14. Srfldrttttgv ») ^i^ frumme ^l&d^t,
tDtIcbe (ei biefer Utnbre^uttg too» bent ^a(6en Umfange bei fic^
bre^enbeS Xreifed befc^neben totrb/ ^tft bte £ttge(f(dcfye/
itnb ber von i^r eingefcbloffene jt^rperranm ifl bie fitptx^
lidft ftugel ober ber jtugelf jrper*
b) Diefe (Srfl&rung tfl eine &a(4erf (drang ^ totil fle bte
fftttfie^ung ber ^ge( noc^meifet
c) IDenft man f[c& irgenb eilten Xtetdabfc^nttt/ ni^elcf^er
tnn bie feße 6e^ne einutal gan}^ unb gar ^erumbemegt wirb ,
fo entfielt ^ierbnrc^ ein runblicf*er Stitftx, weld^er, gletd^ ber
Angeld iDon etner frommen iDberfldc^e eingefc^Ioffen x%
GCIIL 3ur 15« (Srtldrung. Slre ibtxt^upt fftift
jene ttn6en)eg(tc^ bteibenbe Sinie^ um welcbe trgenb eine gerab^
linige ober frummltnige $ignr einmal gan} nnb gar ^ernm^
gebre^t n>irb; toit )« S« tDor^tn (GCn, c.) bie ®tijnt hti
abfc^ntttd.
CClV. 3ur 16. erirdrnng* a) Diefer mtuipmct
muß Don jebem ^nncte in ber Cberfidc^e ber jtugel gletdje
Entfernung ^aben^ noeil er t>on jjebeni ^uncte ber ^erip^erte
iz6 erjeugenben i^a(bfreifeö gleic^ioeit abjte^t
b) 3ebe fold^e oom SRittefpuncte jur Dberfldc^e ber Augel
ge^enbe Sinie toirb ^albmeffer ober I9tabtud ber jhigef
.genennt/ unb e^ ifl flar^ baß in betfelbigen ^uge( aOe fyalbf
liteffer einanber g{eic^ ftnb*
€CV. 3ur 17. (Srf (drung. a) ^ierauS folgt mn ancb/
baß in einer Xuge( aUe IDurc^meffer einanber gleich ffnb, votii
jeber Surdumeffer aui )met gleichen i^albmeffern befielt.
b) Dcnft man fidj {n>ei concentrtfc^e greife nm itfxe, ia
eine gerabe Sinie fatlenbe Surc^meffer gebre^t^ fo entfielen
^ierburd) concentrifc^e kugeln*
CG VL S^t i^.(itfliixn n g. a) Dicfer Äegef; mtlditt
au^ Umbre^ung etned rec^twinfeligen Dreiecf^ um eine fetner
i&attjtitn entfielt; ^eißt ber fenfred^te ober iotl^recirle.
563
gtnenni toirb , auf ber Jtreticbcne ^ welche bie anbete Sotl^ete
befd^reibt, ttnt bed XtQtti ®ruttbf(At^e bilbet, fenfrec^l
fh(>r. Sie i^potettiife be« bett Xegel etrjettsenbeit 2>reie<f«
^eif t bie 8 e 1 1 e be^ StQiU , ttttb e« iß ^ieraud flar ^ baf ber
fenfrec^te Ae^el attc^ ein gleid^fettigev t^«
b) SQenn man fidb bnr^ bie ®pi$e bed fenfvec^ten Sttitlt
itttb burc^ 2n)ei miOfft^rlid^e Snbpnncte Ui ^nrc^mefferS feiner
Ornnbfidc^e eine Sbene benft/ tt>a6 gefc^e^en fantt/ ba jebc
brei, nic^t in gerabet Sinie liegenbe ^nncte in einer £reie(fd#
ebene liegen^ fe ^ei^t biefed Z)reiec( bai Slrenbreied ntd>
{^ immer bem hepptlttn, ben Aegel er|engenbete Dreictff
tJitith* 90enn nun ber an ber &pi^t be6 £egeM befinblicbt
flBtnfel biefe^ Dreiecf« ein red^ter, ^m^tt ober f|»i|er i^,
fo tfabtn bie Sl(ten ( ani ®r&nben / totl^t in bie Se^re wn
ben Aegelfc^nitten ge^iren) ben ßegel einen rec^tn) in fel{#
gen^ (inmpf^ ober fpt^winfeligen genennt
c) Slllein ed gibt an4l einen f Riefen Aegel^ beffen <Sntf
(le^nng folgenbe ifl. SRan benfe and bem 9Sitre(pnncte eine<
gegebenen Areifed eine tt)iBfii^rIid^e gerabe Sinie fc^ief anf
' feiner (Ebene aufgehellt/ ne^me in it^t tinm beliebigen ^unct^
2te^e bnrd^ tbn nacb bem Umfange eine n)iIlfA^rlic^e gerabe
Cinie nnb fitjU biefelbe , mit i^rem oberen (Snbpnncte fe^ nnb
bie ^etip^erie flet^ berftf^renb^ einmal ringd*nm f!e ber^ fo
befcbreibt biefelbe bie frumme ®eitenf{dd)e eine^ fc^iefen ^egeK^
befferi ®runbf{dc^e ber gegebene' Xreid ifl. X)aß biefer fd)tefe
Aegtl ein sfngieic^feittger ifl^ erfennt mon ebenfalls (eic^t ^ierau^«
. d) (Sin JCegel Oberhaupt ifl alfo ein Stixpn, meld^er
t»on einem Greife alt ©rnnbfldc^ nnb t^on einer frommen / in
ffd^ fefbfl jnrädlaufenben ; in einen ^unct fld) enbigenben
frummen ©eitenfldc^e eingefd} (offen n^irb*
CCVIL 3ur 19. (Srf (drnng. Da @nclibe« nur ben
fenfrecbten Aegel erfldrt ffat, fo t|i auc^ biefe (Srfidrnng ber
Sire ntc^t allgemein genug / ba ffe ffc^ nur auf biefen jtegel
bejie^t« Die Stre bed ^egeld äber^upt i|l eine gerabe Sinie
Don feiner @pi^e bii ^nm SRittelpuncte feiner @runbfld(^«
3G4
(Ste^t fe auf Ir^eerer Mffttäjt ober fc^ttf , fo ^Yb bev Stt^tt
fel6(l ein (otl^rec^rer ober ein fcbiefer genentin
CCVm. 3ur ao. ^rfUritng, Stuc^ biefe Ohrndmtitg
begießt fid^ tiitr auf beit fettfret^ten ftegel/ tmb nic^t auf beit
£ege( äBer^aui^t 3m SiKgemeiiten tfl bte ®r»nbfldc^e beS
jtegel^ iener Stttii, totläjtt mit feiner fruiiinren Seilenfldd^c
ben ganjen Mxptt begrett)et
CGIX. 3nr au Crfldrung. a) f^ntlibti erlldrt ^ter
ntrr ben fenfrec^un ober lot^rec^ten SpHnber^ benn
innr biefer entfielt bnrc^ Umbre^ung etned Dtec^tecfd um eine
feiner <Seiien ali .unbetoeglid^e Srenlinle* Die^ biefer nn^toeg^
litten ®eire gegendberliegenbe befc^reibt tint einfach gefr&mmre,
in f[c^ felbfi juräcftaufenbe ^Ihdjt , toütift bie ^eitenfl&c^e
hti Syltnberd genennt toirb.
b) Buffer bem fenf rechten (S^Iinber gibt ed auc^ einen
fd^iefen/ beffen (Entße^ung auf folgeobe SBeife anfd^aulic^ n>irb.
9ßan benfe au^ bem Wittelpuncte eineS gegebenen ^retfe^ tm
fc^iefße^enbe iimt auf feiner (Ebene anfge(}eSt nnb nebme an,
ti bewege ffd^ biefer ^reid , in ftetö paraUel bleibenber 3tut^
tung/ mit feinem 9Ritte(puncte in biefer Sinie aufmdrtd/ fo
befcf}ret6t bie ^erip^erie biefe^ ^reifed eine frumme g^ldc^e,
toetc^e mit ben beiben ^rei^^dd^en ben fc^iefen S9linbet
bilbet. 9ßan ffe^t fogleic^, ba0 berfefbe nic^t burcb Umbreii
ll^ung irgenb einer ^ignr um eine feftjie^enbe älrenlinie ent«
liefen f ann»
CCX. 3nr aa. (grfidrnng. a) ©tefe Srfldrung ifl
nic^t allgemein genüge ba f!e ffc^ nur auf ben fenf rechten
%linber nnb nic^t auf ben (S^Iinber äber^aupt bejie^t
b) Unter ber Site eineö S^Iinberö toerfie^t man ä6er^an))t
jene gerabe Sinie , toeldit ben 9Ritte())unct feiner ©runb^dii^e
mit fenem feiner Cber^dc^e Derbinbet« €te^t fle auf ber
Orunbßdcbe (oti)recbt/ fo ifl ber S^linber m fenf rechter; ße^t
fie fd^ief / fo ^eiß't er ein fc^iefer Soliuber.
GCXI. gur 23«^rndrung* 2)ie)e (SrHdrnng ber
®runbfld(^en Ui (&plinbzxi bejie^t fic^ lebigfic^ anf ben
fen {redeten Sylinber^ 3m Sl%emetnen ffnb bie ©runbfldcl^eii
hti S^fittbi rf jene jti^ti SbtnH / totld^t timnttt pataM uitb
Slcid) ftnb , ttttb nitt ber frummen Sciten^&d^e bte ®reti|eit bti
Stitptti bitbtn.
CCXII. 3ttr M. (Srri&rung. 92a<^ biefer Orfr&ritiig
ifl e« tiic^t formet, tu 99etug auf bte 6t«^er enttotcfelte ilEittf
ße^ung ber £)rge( uttb (Siplittber, folc^e Stitptt ju conflrutreii ^
totltht etnanber d^nltc^ ffnb*
CGXIIL 3it¥ 25« (Erf I&rtttig* a) Stefe Q^rn&niitg be«
aSärfeK ifl 6(o0e SQorterU&rung ^ toetl bte (Entiie^ung btefe«
$thvptt^ j^inburc^ no(4 vAA^t nae^gmiefett tfL
b) Z)er 9Bärfe( jetgt ber Unfid^uttitg «d^t cotigruettfe 9i^
|)emtofe(, bereit jeber Mn bret ebenen ^tafeln gebtibet »tift
nitb jw jlf unter ftd) gleiche <SeUenfaneen*
c) aiuA iü berfelbe oXi eine befonbere ^attttng bei ^'arak
felopipebumd {u Setrad^tln.
d) SRan bemerf e» noc^ ^fer , baf jene ecf ige pritfntafifi^
AJr))er^ beren @eitenfanten auf ben ©mnb^Idc^en (ott)rec^
flehen, fen(recl|^te; aBe tibrigen aber, bei tt)e(cben biefef
ber gaU nic^t iii , fc^iefe ^riömen genennt ti>erben.
CCXIV. 3nr !26. Srridrnng. Bnr anfc^anltc^en (]?n^
fle^ung biefeö Sthtpvct btent folgenbe Sr^rterung. SRan^albire
bte bret' Seiten eine^ gegebenen gleic^fettigen Sretecf d nnb
jie^e bnrc^ \t ^t\ biefer 5l^et(pun€te brei gerabe Serbtnbnng^
linien, fo entße^en «»ier cengruente gleic^feitige 2)reie((e, tüot)99
brei -um ba^ mittlere j^erumliegem £enft man flc^ nun lebet
biefer brei dnffem Dreietfe um bie %t\X% bed mittlem folangt
wA^ Dben gebre^t/ VA i^re brei ®^\i^Xi (Ic^ in einem ^uncte
Dereinigen / fo entfielt l^ierbnrc^ ba6 Setraeber. SKott
erfenni fogleic^ Mi. biefem jtirper ))ier congntente Sihxptu
tüinfet, fec^^ gleiche @eitenfanten unb gleiche Sßeignngen ber«
felben gegen ^\t S6enen^ toorauf ffe flehen» Diefer ^6rper
^eißt regelmdßig^ weil er ))on congruenten ©eitenfldcben fo
citigef(4{o{fen ifl , baß ffc^ aSe A6rperminfel nnb <Seitenfanieit
etnanber becfen«
GGXV. 3nr 37. (Srfrdrnng. SBenn man ober jcbe
(Seite etne^ gegebenen Duabrate^ ein g(eij^feir{gc^ £reiecf nac^
366
üu^tn h^ditiiht ttnb ttisn annimmt^ ti tttfjt ffc^ j[ebe< bet»^
fr I6ett um bte am Cluabrate Itegenbe Seite , bii iijtt @pf|eii
flct) in einem ^uncte t)ereini9ett , fo entjle^t ^ierbitrc^ eine fenN
te<2^fe V)terfeit{ge fMoramtbe. jDettft man flc^ biefefbe nun nod^
eiitmal nnb mit i^ren ((uabtattfci^en (Sruubjldc^en fo jufammen»
flefägt, baf biefe ffc^ betfen/ fo entfielt bad Octasber, olö
ein ebenfalls regelmäßiger Jt6rper / looran man ^tdji gleid^e
A6rpern>infe(, adit congruente gleic^feitige Sreiecfe nnb itoilf
gleiche ©ettenfonten erfennt«
CCXVI. 3ur M. (JrfrÄrnng. 10«* «Dobecoeber »irb
um ^^ß({di|}en burd) äfnfc^attung eineö SRobeOed erfannt ^ an
"loetc^em man jmilf con^ruente regelmdifige ^änfecfe, jwanjtg
gleidje ^jr))ern>infel unb breiffg gfeid^e Xanten erblicft
®etne mffenfd^aftlic^e <Sntfle^ung fegt bie Jeetjren ber
(Stereometrie vorauf.
CCXVII. 3«*^ «• grfrArung* »uc^ ba« 3cofaeber
iüith am Sequemflen burd^ Slnfdiauung eined QßobeSed beutHc^.
€^ jeigt ^ier jn^anjig cohgruente g(eict)feitige ICreiecfe, jm6(f
gleiche X6r|>ern>tnfer unb breiftg gleiche @eitenfanten* @etne
€nt(ie^utig get>6rt ebenfalls ber SB3iffenfct)aft an*
GCXVIII. 3um I.Sage. Hie Süc^tigfeit biefed Saged
folgt barau^; bo^ eine Sbene jiene §Idd)e i^, welche man f[(^
itadi allen ®tiun, ber Sdnge nnb Sreite nad^^ ali eine gerabc
ttntt, tüit bereite Sübtn (IV) bemerft n^orben ifl«
CCXIX. • 3 um a. (Sage. ?luch biefer Sag ifl t^Ä*fl «in*
fadj unb Idßt ffd^/ glei(jh bem loorigen^ al^®runbfag auf jleSen!;
GGXX. 3 u in 3. (Sage. Da ;ebe (S6ene burd^and gerabe
{{1/ fo mu^ auc^ ber X)ur(^fd)mtt jweier ^benen eine gerabe
tinie fe9n. SBdit er frumm , . fo mA^te ti and) eine ber
<S6enen felbfi fe^n.
CCXXi. 3Hm 4. Sage, a) Die ^»pot^efF« Mefe« ©age«
fp eigentlich bie »nnafyme/ bag 5:FEB = 3cFEl>=l^ H
©enn »enu biefWlft^ fo mn^ andi SC FEA = jc FEG = R
fepu/ weit jeber biefer SQSinfet ein 92ebenn>fnfel bed vorigen ifl.
b) SIber nun fann man fragen : SBte toirb benn bieft
^9Potfj^^ conflrutrt^ b. fj. n>i^ tann^man eine gerabe EF
367
airt bem 6diüta E eine« Qt^thivitn ^iuMi DEB fo
errieten , baft ^c FEB = k FED = R i jl ?
c) SBenri btefer 9Binfe( DEB nidjt eine befitmmte ®rdge
fabelt foH, fo legt man burcb FE eine totOfft^rKcbe (Ebene
FED itnb errichte in it^r au^ E auf FE ein 8oli) ED. Dann
lege man bnrd^ FE eine (Sl&ene FEH nac^ anberer Sttc^tung
unb errichte in it)r auf FE an^ E bad iotij EIl^ fo fle^t FE
auf jebem ec^enfel eine« SQinfeM DEH fenfrec^t unb ber @a^
bereifet/ baß FE nun auc^ auf itt, tinQi umiftt loerldngerten
SBinfelebene DEH rot^rec^e ße^e*
d) ig)ier bemerfe man no(^ folgenben IBen^eid btefe 2 @ab^<«
SBenn 3cFEA=3c:FED=R i|l, fo jie^e man AD unb burcl
E bie »iOfft^rlic^e EG , too benn aud^ x, FEG = R fe^n folt
9Ran benfe, ti fei FE unterhalb bet (Ebene AED «>eY#
I&ngert bi6 EF' = EF ifl^ unb e6 feien nutf bie geraten PA,
F'G unb F'DJ gejogen. ipier ift nun A FEA gS A F'EA ,
folglich FA = t'A. auf gleite 8lrt ifl an(b AFEDcSA
F'ED unb FD = FD. Daljer mu^ awi^ A FAD 5Ö A F'AD
Itnb fomit X. FDG z= jc F'DG fe^n. jpierand folgt nun antb >
baß A FDG cö A F'DG unb f olgJi* FG arF'G ift. (S6 ^aben
ba^er bie Creiecfe FEG unb F'EG bie brei Seiten^ eingeht
genommen , gemein unb ti ifl A FEG ^ A F'EG ; folglich
5c; FEG = 3C PEG = R.
e) Z)iefen 93en>ei« tiftilt $rof* Sbeler in feiner neuen^
ben SInfdngern nö^Iic^eU/ mit a[nmerfungent)erf ebenen Ueber«
fe^ung ber (Elementar #®eometrie Don Sacroir @. 150 mit,
loeld^er i^n t)on ßauc^y, einem jungen au^gejetc^neten (Beo#
meter, erhalten ffattt. (Er ifl aSerbing« ffnnreid^; fe$t aber
t>oraud, baß bie »iafä^rlic^e Sinie EG )n)ifc^en bie @c^enfeC
be« aBinfeld AED fdOt. %itit {Te auffer^I^ biefe« 9Bin#
fei« , tote 3. S. EH y fo mußte ffe r&cfm&rt« über E t)erl&ngert
»erben / tt>o benn fftr EG ber loorige Semei« flatt |tnbet. 3ß
aber nun X. FJEG — R , fo muß auc^ 3C FEH = R fev«*
6oflU bie Äb^r E t)erl&ngerte HE nac^ A ober D ge^en , fo
tt>dre obnebie«^ t>a 3C FEA = 5:; FED = R, nun auc^ K FEB
rzJCFECssR.
368
giere enMt« bte m'att^rlt^e eüite EG tu hit mtittU
thtnt A£C ober D£B , fo Ifat toithtt berfe(6ige Seioetd 6talt
CCl^XII. Bttn 5. 6a$e. a) Die ^pot^efid biefe«
6a|eö , »eld^er ber ttmgefe^rte bti Storigen ifl/ fanit , me
}in)Dr, (ei(^r cottßniiu loer^en.
b) Son btefem 6a$e f^eilett mx folgenben nesett inbirec^
ttn SBetDeid mit SSenit ani htm (Sntpunttt einer geraben
tiitie a }wei iotf^t b unb c auf fte errietet ftnb, totlAt irgenb
einen SBinf el ntfeinanber bilben , nnb ein brttte^ , and beQi#
feKtgen ^uncte wn a auf (ie erric^teted Sot^ nicbt in bie
(Sfrene ber Sinien b nnb c fiele , fo oerldngere man bie tinie
II jenfeitd biefer (Sbtnt lotOfubtlicb. Da nnn auf einer &titt
biefer (Sbtnt, in Se{ng auf bie {inie a unb auf bie Sot^e b
nnb c, aUti gerabe fo, tote auf ber anbern i9, fo fofgte
batauif baf t>ai britte iottj auf ber tintn Seite biefer (Ebene
läge / audi ebenfo , ba^ ed auf ber anbern @ette (dge* Siffetn
Mi bem nämltc^en ^uncte von a jinb 2n>ei in einerlei <Sbene
mit a liegenben Sot^e auf ffe unmigfic^. ^oIqUö^ fdUt ba^
britte ioth in bie (Sbene/ loorin b unb c liegen«
c) !Run fann bnr4 {)&Ife biefed @a$e6 auc^ ber ?e^rfag
in 4« eigentt)AmIi(^ bemtefen tperben« 38eun jmei gerabe Sinien
a unb b einanber fdjneiben unb bie gerabe c in il^rem Durd;^
fd)nitt<))uncte foii)o^( mit a a(d mit b einen rechten SBinfef
bilbet, unb e^ foKte irgenb eine britte aui htm gemeinfdjaft^
lid^en Durc^fc^nittöyuncte in ber (Ebene ))on a unb b toiUf&^r^
lic^ g^2ogne d mit c feinen red)ten 3Binfe( bilben, fo lege mau
burc^ c unb d eine (Ebene , totld)t bie (Ebene oon a unb b in
einer geraben tinie e fc^neiben muß. ^ier ifl nun ber 2Qinfe(,
toeld^en c mit d bilbet, entmeber fpi$ ober flumpf* (Si fei
biefed ober jened, fo muß (nac^ b) ein au^ bem gemeinfd)aft#
liefen Durc^fd^nittgpuncte auf c in ber (Ebene ))on c , d unb e
gejogned Sot^ f in bie (Ebene wn a unb i> faUen. (Ed befdnben
fid) alfo bie jwei Sinien; d unb f, in einerlei (Ebene, toai
toiberfpred)enb ifl, ba oon einem ^uncte in einer (Ebene nur
eine gerabe Unit nadf einerlei SRic^rung möglich ift»
569
ifl bad Cafe^tt jioeter geraten Stuten / Don tpeld^ea jebe auf
berfelbigen Cfbene iot^recbt ßel)t @oIcbe Stnten fonnen baburdy
CDü^trf »erben , baß man f&r bte Sinie AB fcmol)( ^ ABD
\ott 3C ABE, bann ffir CD fowo^l äcCDB al^ 5c;CDE = R
snacbt, unb nunmehr btefe {inten mit ii)ren SBinfelebenen DBE
itnb BD£ in biefelbige bvitte Qrbrne fleUt f auf welcher nun
fowol)! AB aK CD loti)red)t fe^n muß«
CCXXIV. 3ttm7*©a|e* Da na* ber 35* (SrllÄrung
beS I. IBuc^ed jene gerabe Linien paraSele t>eiffen^ welche in
einerlei (Ebene liegen unb ht\ jeber Ser(&ngerung ju bei^
feen (Seiten niemals }ufammenlaufen^ fo i|l flar^ baß bie Linien
AB unb CD y n)e[(l)e oM gletcbfaufenb angenommen flnb , {nvnici
in einerlei (Sbene liegen. Sßenn aber biefe« ber gaD til/ fo
cr^eOet letcbr, baß auc^ bie Serbinbungölinie EF.fic^ vx ber«
felbtgen (Ebene »befinben mAffe.
CCXXV. 3 um 8. <S a(; e« Um bie ip 9 p o t f| e f t « tiefe«
teiirfa^e« )u conflruiren , errichte man BA c na^i CCXXIII. )
auf bie ebene DBE Ioti)rec^t, fege burcft AB t\m beliebige
<Sbene ABD unb jiebe in biefer (Ebene eine gerabe Sinie DG ;
fO/ baß 3: CDB = K ijl, fo muß DC mit BA paraKel fe9n«
CCXXVI. 3um 9. 9>(k%t. Slud) bte i^9)>ot^efi§
tiefe« ©a^e« xavi% er(l conflruirt toerben , xmxl m^n fonfl nidir
"«rfennt, n)ie biefelbe mögltd) i|l. 3Qenn man auf FG in G
fomoi)! bie GH a(« bie GJ (otl)red}t fleOt unb nun in ber (Ebene
FGH ten $: GHB IS R unb in ber ebene FGJ ben 5: CJD ä
K madit , fo ifl HB mit GF unb JD aucb mit GF greid^iaufenb.
CCXXVn. 3um 10. ®a$e. Um bie {inten £D unb
EF, ;ber ;&9pot^ef[« entfpredjenb , gu conflruiren, fege man
burd^ bie ^uncte A , B unb £ tvcsz (Ebene unb jie^ in it^r bk
£D mit BA paraOeU Sluf g(eid)e Sirt lege man burd) C , B
Itnb £ eine (Ebene, in n>eld)er EF mi BC gfetd^faufenb toii^*
CCXXVIII. 3 um ii. (Sa$e. a) SSon bem gegebenen
^uncte A fann nur ein $otb AF auf bie (Ebene UGBC
gejogen iperben. X)enn wenn e« , auffer AF nody ein anbere«
Sot^ AM gdbe, fo ntftßte^ wenn MF gejo^en wirb, tiiftt
1%
370
^AMFsrR fcijtt/ ta äbtx audi JCAFMsrR iß, fo toixt
in Um IDretftfe AMF ber KAMF + xAFMsaR , toai
unmifjUidi i(l.
b) Slud) tfl iai wn A auf bie <E6ene HGBC grjogenr
iotfj bie fürjefle Sinie^ welche t)on jenem ^uncte gur (Ebene
tnAgltcb {|L ^enn iebe anbete, toie g. 8« AD, mtif , aM
^9potenufe be)S rec^tn^tnfeltgen IDreiecfd AFD , gr^^er aU AF
fepn.
c) ferner Id0t (14 Uidit Betoetfen , ba^ bie fcWefere tttite
bie grj^ere jinb umgefe^rt anc^ bie gt6f ere bie fcfttefere tft«
CCXXIX. 3um 13« @a$e* X)a t^itt bie ^nncte B, C
itnb A in einerlei (Ebene liegen , fo fann in biefer Sbenc burc^
A feiert bie AD mit CB paraOel gefegt tperbem
CGXXX. 3 tt m 13. ® a $ e« Wan f[ei)t , ta$ biefe 6etbett
Cd$e (13* u- I3v) jetken d^nlic^ (Inb , ti>e(d)e bereite fr&^r in
ber ebenen (Geometrie (L Sud?, li. u; 13. @.) betrachtet würben*
CGXXXI. 3um 14« @a$e. a) Die «^^pot^efl^ biefr^
.6a$e£ ifl (eic^t ju conßruiren, ba man burc^ AB eine beliebige
ebene legen unb in Hfx fowo^I burc^ A ali burc^ B auf AB
ein Sot^ errichten unb biefe« fftr eine jweite blirc^ AB gelegte
(Ebene auf d^nlict)e SBeife tt>ieber^o(en fann« Die (Ebenen ber
bei A unb B entße^enben SBinfel finb nun> bou fold^er tage ,
ba^ AB auf jeber berfelben (ctt^rec^t fle^t«
b) 6oD alfo mit einer gegebenen (Ebene eine anbete g(eic6^
laufenbe conflruirt werben , fo errichte man auf fte ein belie»
bige« iotif , {iel^e bnrc^ feinen ^u^punct in ber (Ebene (wei
gerabe, unter (tcb einen SBinfel bilbenbe Linien unb burc^ einen
wiOfä^rlid^en $unct in bem Sot^e mit jeber biefer beiben Sinien
eine ))araUe(e, fo ifl bie (Ebene biefe« 9QinfeId, welche erweis
lert werben fann , mit ber gegebenen Sbene gleic^Iaufenb.
c) SBenn auffert)alb einer Sbene ein ^unct gegeben ifl/
fo gibt ti bure^ biefen nur eine Sbene, welche mit jtna
glei(^(aufenb ift. ^an {iel)e burc^ biefen ^unct ein iotit auf
bie gegebene dUnt , fo maßte , wenn man burc^ biefe« 2ot^
eine (Ebene legte unb e« burc^ ben gegebenen ^unct no^l eine
jweite ^araBel # ebene gdbe, ^ierbie ©umme ber beiben inntxn
f
571
StBinfcI fletiier ali jtoet Steckte fe9n« l^aiftx mftf ten ffc| beibe
ebenen einmal fd^netben nnb f Annten nid^r pataM fe^m
d] Dai)er mu^ eine gerabe Sinie, mefd^e auf einer t)on jwei
f>aranelen iSbenen lot^red)t ßei)t, aud) forl}red)t auf ber anbern
fe^n. 9Bftre biefe^ nid)t, fo noürbe eine £urd?fd)nirtöebene
Idng£ biefet ?inie jmet innere SBinfel bilb'eU/ welche <aR
n>&ren itnb beibe ebenen müßten/ gehörig verlängert, fic^
einmal burd)fd)neiben.
' CCXXXII. 3um 15« ea^e. a) Um biefe, bte ^9pD#
trefft beö Qa^ti bilbenben paraSefen Sinien ja conflruiren,
bemerfe man biefed. 9lu^ bem (Scheitel eine^ n)tafiil)rltd)en
SBinfeM ergebe ffd) über beffen (Sbene eine auf it^x fc^ieffiebenbe
Sinie , fo bilbet ffe mit iebem @d)enfel bed gegebenen 9Bin!eM
eine Sbene ^ nnb man fann. aut einem beliebigen ^uncte jener
tinie in jeber biefer Sbenen eine mit ber untern gleic^Iaufenbe
jieljen.
b) 95eitn ba< wn B auf bie (Sbene DEF gejogene iotff
gerabe in ben Sd^eitetpunct E fiele , fo n>Ate ber Seweiö U6
6a$ed. nod» einfacher.
CGXXXIII. 3um 16. @a$e. SlKein nic^t umgefe^rt:
SBenn bie 2)urd)fcbnittd{inien £F unb GH parallel finb ^ fo
tnäftn ed aud) bie Ebenen AB unb CD fets^n. £enn ntd^tf
yaraUeleSbenen f innen g(eid)laufenbe lDurd}fd}nittiIinien ^abem
CGXXXIV. 3 um 17- ©a$e. a) (fö wirb bier t>oraud#
gefegt , baß bie betben geraben Sinien AB unb CD ganj unb
gar auffer einanber liegen , unb feinen ^unct mit einanber
^tmtin ^ben. Sud) mn^ man flc^ biefelben aber A unb B ^
fo tt)ie aud) aber C unb D t)erldngert oorfleKen*
b) Sß}enn {mei au^ einem ^ncie^A auöge^enbe Sinien
AB unb AD.t)on )n)ei ^araUeU Ebenen JK unb LM gefc^nitten
»erben , fo ift ebenfaH^ AE : EB = AN : ND.
CCXXXV. 3um 18. ea^e. Dber aud) fo. 9)Ian }ie^e
burc^ B auf CB in ber untern (Sbene bie Sinie BM (otbred)t/ fo
{(l ^ ABiV( = R. Siaein biefer ^infel ABJVi ifl ber 92eigungd#
lointet ber (Sbene DE gegen bie untere (Sbene; folglid^ ifi jene
auf biefer (ot^rec^t.
a4 *
y
572
CCXXXVI. 3 um 19* ®a$e. 25er tBcwet« btefe« Sa|rt
foitn auc^ auf fofgenbe 9lrt gefi}t)rt merbett. SDSeitn bte (Sbene
ABU auf ber untern VW (oti)rec^t fle^t, fo net)me man in ber
)Durc{)fci?nttt^(inte AH einen millh't^rlic^en ^unct D, unb }ie^e
fowotif DC oW DB auf AH fen f reifet, foifl JCBDC,' aM
!Retgung^n)infe(/ =R. Cenft man fid) nun burife MDG eine
S6ene GL , fo ifl Har , ba0 biefe nur bann auf VW lot^rec^t
fe^n fann, n>enn ffe in bte iink DB fdKt, toeil nur bann i^r
Keiflunggwinfel BDH=:R i(l.
CCXXXVII. 3 u m ao. a § e. Da^er f innen brei gege*
bene ebene 9BinfeI nur bann einen breifanrigen Stitjptxwinttt
bilbeu/ ipenn je jtvet jufammen großer a(ä ber brttte ftnb,
tpelifeed bann (Statt finben muß / n)enn bie (Summe ber juoet
Keiniien größer a(ö ber größte ifl« din Al)nHci)ed Serijdltni^
^at befanntlic^ auc^ 6ei brei gerdben Sinien &tattf toorau^
ein Sreiecf ge6i(bet tt>erben foR«
CCXXXVIII. 3 um 21* ©a^e* 9Ran erfennt biefe«
anc^ fogleic^ bur$ bie Slnfc^auung« (Si feien ( $ig. 368. ) bie
brei üBinfel ACD, DGB unb BGA jufammen i=:4R, fo ifl
f(ar/ baß ffe jufammen in eine (Sbene fallen^ Aber «Deiche
fTc^ ber ^unct G nur bann er lieben fann^ menn einer t>ott
i^nen ^nm wentgflen f (einer n>trb/ al€ er gegeben ijl. (Eben
biefed gilt t)on mel)reren um G ^erum liegenben 96in(e(n*
GGXXXIX. 3um aa. ©a$e* SBir geben t)on biefem
©a^e noc^ fofgenben S^mcii. (S^ feien (gig. 369) AGB,
BGD unb DG£ bie brei gegebenen ^infef , tobten bie jioet
(leinfieu/ ndtnlic^ AGB unb BGD {ufammen größer aU ber
britte DG£ ifl, fo (ege man ffe mit i^ren gemeinfäfaftlic^ett
©c^enfeln fo an iifxtm ©d^eitet G }ufammen^ mt ed bie ^ignr
)eigt, unb befd^reibe mit GA aud G ben Jtrei^bogen ABDE.
3ie^t man nun bte ©etjnen AB, BD, DE unb AD, fo i(l^
weil Sog* ABD > Sog* DE , aiic^ ©el)ne AD > ©e^n< DE.
Da aber ©el^ne AB + ©e^ne BD > ©el)ne AD ifl , fo muf
au4i ©et^ne AB + ©ej^ne BD > ©e^ne DE fe^n. golglic^
rann mit ben Buttn AB , BD unb DE ein Dreietf befc^riebeti
werben*
S75
CCXXXX. 3nm 95* ea|e. SBenii (gtg. 369) AGB,
BCD iitib DC£ bte brct gegebenen SB3inf e( finb , toorau« bet
MixptminM am (Sc^ettelpuncte G gebtibet tüerben (od, fo
benfe man (t(4 ben SDSindl £GD «m bie unbev^eglid^e 8tnte GD
aW aire fo ge))ret)t, bag ber ^unct £ fid) äbef bie ebene £GA
ergebt fyitv erfennt man Uidjt, bag ber 9Qinfe(, tpeld^en biefe
G£, bei fortgefe^ter S3en>egiuig/ mit GB bifbet, immer Heiner
toerben muf, bid GE toieber in bie Sbene DCA f&Qi, in
loerd^em ^aO er am Heinfien ift; aber/ naA ber annähme
todi (leM grd^er aK SC BGA fe9n mu0« Z^aber i^irb bie f{4
.bre^enbe G£ einmal mir GB einen S$infe{ bilben, weU^er =
3C AGB ifl, nnb in biefer Sage eniilebt nun bei C ber anö beti
brei 9BinfeIn AGB, BGD unb DGE gebilbeee Xixptminhl
CGXXXXL 3 nm 34. 6a$e. a) Der »nöbrucf biefe«
6a|e0 iß irrig/ ba ti oierfantige, wn ^araKefebenen begrenzte
A6rper gibt, beren {toei einonber gegenäberliegenbe feine
^itraOefogramme / fonbern ^araUeltrai^eje ffi^b« Sei me^r^
feitigen ^ri^men von regelmAf igrr ®runbfl&ci^e nnb geraber
6eiten)a^I (Inb }. S« bie gegenAberliegenben @eitenf{dct}en con#
gruente nnb gleicblanfenbe ^araDelogramme ; aOein n>eber bie
®runb^&(be nod^ bie Oberfldc^e t(l ein fold^e^ ^raHelogramm.
h) (Si xo&xt an biefer (Stelle febr )tt»ecfinA0i9 geu>efen/
toenn Suclibed bie @ntße^ung ber t)erfcbubenen ecfigen ^tii»
matifcben Körper nad^gnoiefen tfiiU, »)0|n bie bi^b^rigen
SBorberfdge tooDf ommen ^inreid^en / M^ie bie l^ier fotgenbe« $lb#
fc^nitte {eigem
c) Daö fenfrec^te breierfige ^ri^ma {U con#
(Irniren. (Sf fei (gig. 370) ba* IDreierf DAG bie gegebene
&xnnbflädjt^ fo errü^tf man au* ben 6c^ettelpuncten D, A
iinb G auf beffenSbene bie.brei loiOf&fyrltc^ großen/ aber unter
ffcb gleichen ?otbe DM = AP = GN unb jiebe bie SSerbinbnng^^
linien MF, PJV unb JNM, fo i(l MPNliAC ein fenrrei^te« brei#
ecftg?* ^ri^ma*
Da DM , AP unb GN iDttjt auf ber Cbene DAG ffnb / fo
finb fte aucb poamoeife mit cinanber parallel/ unb ba andi
DM = AP = GN iß/ fo m&ffen bie brei ©eitenßdd^en MPAD,
(.
574
WPAC itftb MNCD g?e*ferfe fe^tt* ©a Witt bie I)mecfc MPN
itnb DAG bie brei @eiten, etnjefn genommen/ mit etnanber
gemein ^aben, fo ffnb ffe andf cinanber congritent IDa ferner
5C BMP r= j^DMN =Rnnb au* 5:APM = 3cAPN=R,
enbli* 3CCNM = ^CNP = R, fo ffnb aud^ DM, AP unb CN
auf MPN lofl)re(bt unb e« muß MPN mit DAG greid)(aufenb
fe^n. Solgltc^ ifl ber conßruirte Jt6rper ein fenfrec^te^ brei#
ecfigeö ^ri^ma.
d) Sin fd^iefej breiecfiged ^ri^ma ju confirut#
rem yjtan errichte aud einem ^infelpuncte (^ig« 371) A
be^ gegebenen Sreiecf^ APG eine auf beffen Sbene fc^ief fie^
f nbe einie AM , jiebe bur* P unb G bie PB unb GN mit i^r
yaraOel , madte AD = PG = GF unb giet)e bie Serbinbungd«
linien DG, GF unb FD, fo ip DGFAPG ein fdjiefe* brei#
ecfige^ ^rt^ma. v
t^a bie brei Linien, P.G, GF nnb AD gleic^Iaufenb unUt
ff* ffnb, unb PG zz CF = AD ijl, fo ffnb au* hit brei
(Seitenebenen DGPA , FGPG unb DFGA brei ^araOelogramme.
Da ferner DG mit AP unb DF mit AG grei*Iaufenb ifl, fo
mu9 andf BcFDGsr^cCAP unb ebenfo 3CDGF=5:;APC, fo
wie au* 3C GFD=3cPCAfe9n. gerner i(i, wegen DGmAP,
GF=PC unb DFr:! AG, au* ba^ Ureiecf DGF bem Dreiecfc
APG congrüent unb Cn>ie man (eicht finbet) au* mit i^nt
paraOel. X)emna* iß DGFAPG ein f*tefed breiecfiged ^ri^ma«
e) Sin fenfre*ted ^arallelopipebum ju cott#
flruiren. 9Qenn (gig. 37a) DAGB m gegebene^ ^araIle(o#
gramm iß , fo erri*te man an^ bem @*eitelpuncte A ein iotf^
AG auf bejfen Sbene, jie^e bur* G, B, D bie mit ji^nt
glei*laufenben GV, BW, DO, ne^me AP=:GQ=BM=DN
unb jie^e PQ, QM, MN unb NP, fo iß.NG iai ju bilbenbf
^raIleloi9i))ebum.
X)a GQ, BM, DN mit bem iottjt AP g(ei*raufenb ffnb,
fo mäffen ffe e6 au* unter ft* fe^n unb fdmmtit* auf ber
@runbfld*e fenfre*t ßet)en* Ündij muß, toeti ffe alle einerlei
®rjße ^aben, jebe ber @eitenßd*en PAGQ, QGBM, MBDN
unb NPAD ein 9te*tecf feyn. gerner iß bie ObcrfI&*e/ »ie
375
mM UUbt itUnvt, htt (Sraittf Ad^c cottgntettt unb ttiit ifyf
gleic^Iaufettb*
f) Um ein fc^{efe< ^axalUU}fiipthnm {u €on#
f^tttiren, barf man nur au^ bem 9Binfe(puncte D (^tg. 374.)
tocö ^ataUtleivammi DBAG eine auf feiiier @6ene fd}tef#
fie^enbe Sinte DP erricbf en , butc^ G , A unb B bie mit Oft
fllei*raufenbcn CN, AM unb EQ $ic^en> DG = CJ = AL
£= £V mod^en unb bit geraben ünitn GV , VL , LJ unb JG
gießen/ fo tß GA ein fc^icfe^ ^araUelopipebum/ »oraler ber
^ Setoeiö, auf d^ntic^e SIrl/ wie )ut>or gef&t)tt wirb«
g> 9Benn ein Ctuabrae üli ®runbf[dci)e gegeben ifl unb
man btfdyreibt bar&ber ein fenfrec^te^ ^araOelopipebum, beffen
Seitenfante ber ©eire biefe6 QuabraM gleich ifl , fo tntfie^t
l^ierbnrc^ ber 9B & r f e L
h) Ueber^aupl ifl ^ierauS Rar, tpte 5, 6, 7 ik
ctftge, fott)ot)K fenfrec^te ali fcbiefc, ^ridmen entfielen f6nnem
CCXXXXIL 3ttm 26. ea^e. Da ^uclibed biefen
®a| nad^ bem i^m eigent^&mltc^en Segriffe ber geometrifc^ett
9>rop9rtion beweifet / fo foB berfeibe ^ier auf bie , ben 92eiiern
gewä^niicbe Srt entwicfeft werben*
Sd fei cSig* 375«) HB tai gegebene ^araOeropipebum ^
toelc^etf burd) eine (Sbene KJLM, paraUel mit' ben Seiten«
fidcben CAEH unb DBFG, in jwei ^ara(Ie(opipeben HJ unb
MB get^eirt ifl, fo gibt e« (nac^ LXXV) eine «inie HQ,
wcicbe ali gemeinfc^aftlic^ej 9Raß wn HM unb MG angefe^en
werben fann. ^i^tit man nun QP mit H£ paraOel/ fo ift ba<
f leine ^araKefogramm HQP£ auc^ ald gemeinfanied 9Raß ber
beiben ^araDelogramme HMLE unb MGFL ju betrachten.
SQirb nun burcb QP eine 66ene mit UEAG gleid^Iaufenb
geführt, fo ifl HN ein fleined ^araKelopipebum, welc^e^ eben#
fall« ald gemeinfcbaftlic^e« SRafi )9on HJ unb MB an)ufe^ett
tß« SBdre nun HQ in HM gerabe 7ma( unb in MG genau
5mal eiitl)a(ten, fo mft^te auc^ HP in HL unb HN in HJ
gerabe 7maf / unb ebenfo aucb HP in MF unb HN tu MB
Wieber 5ma( cntl^alten fcpn* 2)a^er iß
/
376
HJ : MB = 7 : 5 fc. f).
HJ : MB = HL c MF.
CCXXXXIII. 3um a6. ®a$e. dt fei C%i^ 3760 itl
F itt gegebene StitptttoinM f toelcf^cr i^oit ben brci ebtitnt
aSinfeltt GFH , JFG utib JFH gebilbet »trb unb matt foS
einen t^m dt)n(t(l9 (iegenben unb gtetd^en jtirpemtnfel an beit
^unct A ber gegebenen ttnte conflruiren*
^dVi ait^e loon J auf bie (Ebene FGH ober t^if Set#
lAngerung ba« totl) JK unb bte getaben KF» KH. Xuit
madje taw, X. BAC = JC OFH , BA = GF , AG := FH
unb iitift BG, fo ift A FGH ^ A ABC« 9Ra4t mM nm
3C GAE = 3C HFK unb ^ ACE = X, FHK, fo »irb A
AEC ^ A FK.H* (Srridstet man nun in E auf bte (Ebene
ABC bad iotti ED , matkt ED = KJ unb )te^t DA , DG, fo
tfl ber bei A entfiei)enbe Xirperminfet jenem bei F gleid^«
Denn wenn bie breietfige ^^ramibe JFGH geling in DABG
gefteUt n)irb, fo ifi fiar, ba0 beibe nur eine einjige
bifben unb folglich bnrcbau^ congruent finb.
CCXXXXIV. 3um 37- ©a$e. a) (S« »irb t)ittiü
»oraudgefe$t , ta$ bie gegebene tinie AB bie ^omcloge b. ^.
dl)nh(i) itegenbe mit ber Sinte C£ fei*
b) 9{od) einfad^er ifl bie Aufgabe: (Sin breietfiged ^ri<ma
}u conftruiren, weldje^ bem gegebenen (^tg. 377) ABCDEF
A^nlic^ t|l unb beffen @ette AG ber Seite AD (^omoiog feytt
foU. anan nel)me AD:AG=:AC:AK=:AB:AL, fo finb bie
^uncte K unb L beflimmt ^an jte^e "KL^ burd) L bie LH
= AG mit AD unb bnrd) K. bie KJ = AG mit AD paraael,
unb nun bie 3{erbinbungölinien GH , GJ^ fo iß ALKGHJ ber
|tt conflruirenbe Stixptt, toooon (etc^t benoiefen merben fann,
ta^ er mit bem gegebenen g(eicbe ^Arpern)infe( / d^nliiS^
®ren{{!Ad}en unb proportionale ©ettenlanten I)at
c) SAre AG > AD y fo f ann (eicbt eine i^nltcfte (Son^
(iruction au^gefäi^rt uoerbf n unb ba^ neue ^rit^ma wirb gr^er
M bad gegebene« Siuf gieicbe Qlrt {6nnen auc^ me^rfeitige
^riimen conflruirt werben^ loeld^e ben gegebenen dll^nlid^ finb.
577
CCXXXXy. 3ttm OS. ®aee. a) Sfitt ifl «»er S(0em px
6et0ciffti/ bäf flc^ bie X)ta9ona(eti CF ttnb DE in einerlei
dbznt CP£D 6eftnbett. Stefed folgt fogletc^ hatmi, weil
femo^I CD aM F£ mit GA gleicblaufenb i^ , »ttb ba^er and^
GD mit FE i^araUel fe^ti muf • Z)a nun CD unb FE in einerlei
(Sbcne liegen, fo mäffen (tc^ aud) CF unb DE in berfetbigeit
(Sbene beftnben. (?« ifl alfo auffer 3n>eife(, ba0 bad ^araOelo«
))i|)ebnm AB burt^ biefen Ciagonalfc^nitt in }n>ei breiecfige
9>ri<men get^eilt n)irb* «
b) aOenn biefed ^araDeroytpebnm tin fenfretfite« ifl c wie
bat in ben Elementen »ertriti^ttete), fo tann leidet gejetgt
werben, ba^ bie jmei, an< biefer^^^eißsng entfte^enben 9>ri6meii
einanber DoKfommen congrnent ffnb, b« ^. baß 0<fo
f 6nnen in einanber gefleSt werben , baf ffe nnr ein einjigei
bilben. 3n biefem ^aOe ifl ber @a$ Doflfommen bewiefen*
c) IDer Seweid beö Suclibet 6eru()t borjftglic^ auf ber
10» Srfl&ning biefe« eilften Suchet, nac^ welcher «gleiche
« unb Af)n(tc^e Jtär))er jene finb, welAe t>on gleich Dielen,
« gleid^en nnb d^u(ici;en (Ebenen etngefc^Ioffen werben. » SKein
biefe Crfl&rung entl>&It eigentlich eine tBe^auptung, welche
bewiefen werben muß, unb fe|bfi biefe Se^aüptung ifl nic^t
aOgemetn ridjtig*
d) @d fei ($ig. 378) AB zin fd^iefe« ^araKelopipebum
unb CU beffen Dtagonalfc^nitt, fo eutfleljen bie jwei breierfigen
^ri^men AECGHF unb ECDBGH. Jpter ifl nun offenbar
A AEC ^e A DCE , A FHG c5 A BGH , ferner ^araOel/ö^
gramm AHg^yan DG; ^ar. AGg^^ar. Dfl, fo wie tat
^araOelogramm EG beiben ^ri^men gemein ifl. SlOein bfibe
9>rt^men betfen einanber nid^t, b. ^» 0e f innen nici^t fo in
ftnojiber gebrad^t werben, biß ffe nur ein eiujtged bilben«
Sorau« fott nun bie ®Ieid)i)eit it)ret £6rperraume6 folgen?
e) ^enn bat fd)iefe ^araUeloptpebum BG (^tg. 379)
burd) ben ^iagonalfdjuttr BCGF in bie )wei breiecfigen ^rii«
men ABCEFG unb BCDFGU getl)ei(t wirb, fo fann bat le^^
tere fo neben bat erflere in ber verlängerten Slfc^tung FE unb
in ber terl&ngerten (E6eiie HFEG gefleOt werben, baf et bie
378
Sage gbfcdb l^at, tot btefe (leinen Sud«ßa6en ben grefen,
ber Sage nac^ tntfpxtditti. Wlan erfennt min fogictcft; ba0
Ie$tcred bad ^tUma ABCEFG nid)t becfen fann; aUtin ti
»trb ancb Mar, baf betbe ^ri^men eine f^mmerrtfcbe Sage
gegen etnanber ^a6en, wt^alb fle onc^ i^mmttxi^äit Stiu
per genannt werben*
f) SDein worin befielt benn biefe @9ntnietrte ber betbe»
^ridmen? 9Benn bie ®mnbf[dc^en FE&nnb cdb in berfelbtgen
S6ene, nnb • bie ' ^omotogen @eiten F£ nnb cd in einer
geraben iinu ed£F liegen, fo bat bie ©rnnbfdAe F£G fdjott
beö^alb eine f^mmetrifc^e Sage mit cdb, weil 3C<^^=^^^
»nb folglich EG gerabe fo )ur Steckten , wie db {ur Sinfen
geneigt ifl« fBttvadittt man bie beiben JK^rper, fo i(l bie
©eitenfliddje AEGC fo jur 9le*ten ber @runb|I&(fce FEG
geneigt/ wiie bie i^r congrnente @eitenil&4e bfbd jur Sinfen
t»on cdb geneigt ifi. ®an{ ba{re(bige gilt ^on ben 97etgnngen
ber @eiten9d(^tn AEFB nnb bdcg, fo wie and^ ))on CGFB
nnb fbcg. 2Betrad)tet man bie ^omoiogen ^irperwtnfel/ )• S«
jenen bei E-unb bei d, fo i(i jwar ^ A£F = ^bdc, ferner
je AEG = X. l»db nnh X FEG :;= jc cdb » (i^^i^ ^eibe Stixptx^
winfel f jnnen nid^t fo in einanber gefleHt werben , ha$ fte ft(^
bedfem 9Ran tann biefeibe ba^er ebenfalls fymmetrifc^
gebilbete A6rperwinfel nennem (Eben biefeö gi(t üon teben
iwti anbern t^omolog itegenben jtdrperwinfelm
g) Z)a breiecfige ^^ramiben bie einfacbfien ecfigen Xixptt
pnb, fofeicgig» 380) ABCD eine foltfte fc^iiefe ^^ramibe,
}n welcher bie fiommetrifc^e conflruirt werben foH. — SRan
toerldngere bie (Sbene ber ®runbf{dc^e DBG, in i^r auc^ bie
Sinie DB , nei)me BH nac^ belieben , mad}t HF = BD nnb
befd)reibe aber HF ein bem IDreiecfe BGD fymmetrifd^ed X^xßitd
HGF. 92un fdOte man aud A auf bie (Sbene ber ®runbf{&<4e
BCD baö iotij AJ , )iel)e BJ > JD , mac^e A FLH in ber (Sbtnt
HGF congruent nnb fymmetrifc^ bem A^JB, errichte in L
auf bie (Ebene FGHL ba^ iotti LE, ne^me LEnJA nnb {ie^e
EF;, EG, EH, fo ifl bie fc^iefe ^yramibe EFGH mit ber
gegebenen ABCD f^mmetrifcf^« JDer ^tmii l^ierAber ift leid^
579 ,
}tt filieren. --- Slu^ ffef^t man fogre{(f}> tfaf bit ^itttdi^tn
^^ramiben A6CDJ unb EHGFL ebenfalls f^mmetrtfcbe (Inb.
h) t>d fld) f9mmetnfd) gebtibete X6rper stk^t bttfen ^ fo
ntu0 ibre ©(etdj^ett auf onbete 9lrt, atö burii^ eine b(o^
Srndritng, wie @u((iteö get^an \)at, bewteftn merben.
Sd fei (^tg. 381) ABCD£FGH ein fd^iefed ^atdXitlo^
piptbum, ADHE feine £tagona(ebene , fo ifi ju bemeifen^ ba^
^xiima ACDHEG = ^riima ABDHFE.
, SRan t)albire CG in L , errichte LM in ber Q^bene CH nn»
LJ in ber Sbene GE fenfrec^t anf CL nnb jie^e JM, fo ftnb
CG , AE , DH ottf ber Dreiecf^ebene JLM letiftcd^t SQirb
nun ba^ fc^iefe ^araSefopipebnm AU wn ber &ber JM t)er#
Idngerten^reiecf^ebene LJM burc^fc^nitten/ fo entfielt hai
gtec^tecf LJMK, n>orauf CG, DH, BF unb AE (ot^recbt ifl.
9!un t)erl&ngere man bie CG , AE , BF unb DH über G ,
E, F unb H bi« GP=:CL, £NiiAJ, FOz=BR nnb HQ =
DM ifl , nnb jiet^e bie Serbinbung^ftnien PN , NO , X>Q nnb
QP, fo i(l NOQP ein bem »ecbtecfe JKML congruente« JHec^ted.
9luc^ ifl ^ierburd) em fenfrec^ted ^aralleloptpebum JQ ent«
ilanben, toridit^ burc^ ben Diagonalfdjnitt JMQN in jwei
cottgruente breiedige ^rtömen LJMQNP unb JKMQOJV get^etU
noerben fann^ unb ti i(l ber £6rper CADMJL bem ^drper
GEHQNP , unb ber «*rper ADBKM J bem Ä6rper EHFOQN
t)onfommen congruent. i^ierauö entfielt fofgenbe Bufammen^
flellung
Äirper ACAf gg Ä6rper EGQ
JfArper JLH = «i rper J LH
«irper (ACM + JLH) = Äirper (EGQ + JLH)
b* ^* ^riiSma ACH =s ^ri«ma JLQ.
gerner iß auc^
ÄÄrper BDJ gg Äirper FHN
X5rper KME = ^6rper K ME
Äirper (BDJ + KME) = Ä6rper (FHN + KME)
b. f). ^tiima BDE = ^xiima KMN. (2^ loar aber
^ri«ma JLQ g^ 9>ridma KMN ; fofglic^ {ifi
m4i ^tUma ACH =;s ^xiimcL fiD£#
372
CCXXXVI. Sum 19. Sa^e. Det SBmef« btcfe« Sa^rt
foitn atic^ auf folgende 3lrt gefät)rt noerbeh. 3Qentt bte @6ene
ABH auf ber untern VW lotljxtdjt ftttit, fo mtfmt man in bet
3Durd)fc^nitröItnie AH einen müfixtixlid^tn ^unct D, unb jie^c
fowo^r DC aW DB auf AH fenfretfct, foijl BCBDC,' ali
Wetgung^winfet, =R. I)enft man jtc^ nun burc^ MDC eine
@6ene GL , fo ifi TIar / ba^ biefe nur bann auf VW lottfttd^t
fe^n fann, n>enn fle iin bte Sinie DB fdHt, totil nur bann t^r
»eigunggwinfel BDH=:R i(l.
CCXXXVII. 3 u m ao. © a § e. J^a^cr Wnnen bref gegc#
bene ebene 3Binfe( nur bann einen breifanttgen ftirpernoinfel
bilbeu/ ipenn je jmet jufamm^n gr6ßer a(d ber brirte ffnb,
tDeld^eö bann &taU ftnben muß / rotnn bte &nmmt ber jn>et
f(einilen grißer aH ber grd^e ifi. (Sin &l)nltct)ed Serl}&Itni9
fjat befanntltc^ auc^ iti brei geraben Stnien ©tatt/ tvorau^
tin Dreiecf ge6t(bet werben foK«
CCXXXVIII. 3 um 21* ©aße* STOan erfennt biefe«
anc^ fogleic^ bur$ bie 9lttfc^auung. (8i feien C^tg. 3680 bte
brei üBinfel ACD, DGB unb BGA jufammen =4R, fo i(l
tlaXf ta9 fte jufammen in eine Sbene faden/ aber loelc^e
fTc^ ber ^unct G nur bann ert)e6eu fann^ n)enn einer wn
iijmn inm wenigflen f (einer noirb/ atö er gegeben i|l. (Sbett
biefeö gilt t)on mel)reren um G t)erum (iegenben äQinfelm
GCXXXIX. 3um 22- ©a$e» SDBir geben t)on biefem
©age no(^ fofgenben S?e»eiö, (gd feien (5ig/369) AGB,
BGD unb DC£ bte brei gegebenen @infe( , tooton bte jmet
fleinfien , ndmlic^ AGB unb BGD jufammen Qtiftt aU ber
britte DG£ ifi, fo (ege man {Te mit i^ren gemeinft^aftlic^ett
©c^enfeln fo an ifjttm ©d^eitel G {ufammeu/ toit e9 bie ^igur
}eigt/ unb befd^reibe mit GA auö G ben JCrei^bogen ABDE«
3ie^t man nun bte ©etjnen AB, BD, DE unb AD, fo tfl^
weil S5og. ABD > Sog. DE , andj 6el)ne AD > Qtfjnt DE.
Da aber ©el)ne AB + ©e^ne BD > ©el)ne AD ifl , fo muf
auc^ ©et^ne AB + ©ej^ne BD > ©e^ne DE fe^n. Jolglid»
fann mit bett Büttn AB , BD unb DE ein Dretetf befc^rieben
Werbern
S75
CCHHXX. 3tim 93* ea^e. aBenii (gt's. 369) AGB,
BGD niib DCE bte brei gegebenen Sßinf e( finb , loorand ber
^Arperwinfel am ®(t^eite(puncte C gebtibet iDerben foO/ fo
benfe man ffc^ ben 9Btnff I £CD um bte un6et»eglicl)e Stnie CD
aU STre fo getrei)t^ ba^ ber ^nnct £ ftc^ ftbef bie ebtne EGA
erbebt ipter erfennt man Uid^t, bag ber SQinfel/ mebben biefe
G£, bei fortgefegter Seroeguitg, mit GB bUtytt, immer Heiner
loerben mn$, bU G£ tvieber in bie (Sbene DGA fdOt, in
ivefc^em gaO er am Heinfien t|i; aber/ naid^ ber Sfnna^me
boc^ fttti grd^er ali ^ BGA fe9n mug« Va^ftt loirb bie ((4^
.bre^enbe GE einmal mit GB einen ^infel bilben , weU^er =
3C AGB {(l , nnb in biefer tage enißebt nun bei C ber an^ ben
brei 9BinfeIn AGB , BGD unb DGE gebilbete <6rpern>infer«
CGXXXXL 3nm 24. ea^e. a) Der »ndbrutf biefe«
&aiiii iß irrig, ba ti t)ierfantige, wn ^araKefebenen begrenjte
it6rper gibt, beren {toei einanber gegenäberiiegenbe feine
^araOelogramme ,' fonbern ^araneltrapeje ffnb« 93ei me^r#
fettigen ^ri^men wn regelmäßiger ®runbfldci^e nnb geraber
@eitenia^I finb ). S« bie gegenäberliegenben @eitenf{id}en con#
gruente unb gleid^Iaufenbe ^ araOelogramme ; allein weber bie
Örunb^dcbe nod^ bie £)bertlAc6e ifl ein fold^eö ^radelogramm.
h) (Sd tt)dre an biefer (Stelle febr {wecfmdSig gemefen,
toenn Suclibed bie Sntße^ung ber üerfcbiebenen ecfigen pri^y
matifcben Xixptx nacbgetoiefen ^dtte, idoju bie bi^b^rigcn
Sorberf&ge t)ollf ommen ^inreic^en / tpie bie ^ier fotgenben Slb#
fc^nitte {eigem
c) T^ai fenfrec^te breierfige ^rt^ma ju con#
(Iruiren* €« fei (gig. 370) ba* Dreierf DAG bie gegebene
©runbfl&cbe, fo erriete man aui^ ben 6c^ettelpuncten D, A
ttnb G auf beffeniSbene bie. brei loiflfä^rlic^ großen^ aber unter
ff* gteidjen «ot^e DMz= AP = GN unb jiebe bie Serbinbung«^'
linien MF, PN unb MM, fo iß MPNliAG ein feofrei^te« brei#
ecftg^ö ^ri^ma.
Da DM , AP unb GN iotf)t auf ber eitm DAG f!nb , fo
0nb fie aud) poanoeife mit einauber parallel , unb ba auc^
DM = AP = GN ift, fo m&ffen bie brei ©eitenpicben MPAD,
l.
574
NPAC itft* MNCD Wei^fecfe fe^tt. ©a iiiitt iit IDmedfe MPN
»nb DAG bie brei Seiten, etnjefn genommen, mit etnanbct
gemein ^aben , fo (inb fTe aud^ einanber congrnent» Da ferner
5C BMP = 5::DM!V =Runb au* 3C APM = 3c:APN = R,
enbli* 3cCNM = ^CJVP = R, fo (fnb au* DM, AP unb CN
auf MPN lotl)re(bt nnb e^ mni MPN mit DAG g(ei*(aufenb
fepn. g^olglt* t(l ber conßruirte Stirptx ein fenfre*te6 brei#
ecfiged ^rtdma.
d) (Sin f*iefe< breiecfige^ ^rt^ma ju conftrnt^
ren. 9Ran erri*te aud einem 9Qinfelpuncte (^ig. 371) A
be^ gegebenen Sreiecf^ APG eine auf beffen (Ebene f*ief fie^
enbe «inie AM , }iel)e bur* P nnb G Ut PB nnb GN mit i^r
parallel , macbe AD = PG = GF nnb {iet)e bie Serbinbungd^
linien DG, GF unb FD, fo. ijl DGFAPG ein f*iefe« brei*
ecfigeö ^ri^ma. n
X>a bie brei {inten, P.G, GF nnb AD gfei*(aufenb nntei?
f[* (Inb, nnb PG zz GF = AD ijl, fo finb au* bie brei
@eitenebenen DGPA , FGPG nnb DFGA brei ^araOelogramme.
Da ferner DG mit AP unb DF mit AG grei*laufenb ifl, fp
muß andi BcFDG^r^c^AP unb ebenfo 3CD(^F=KAPC, fo
wie aud}^ GFDrzJc^'CAfeipn. gerner i|l, wegen DG=AP,
GF=PC unb DF=i AG, au* ba^ Dreied DGF bem Dreiecfe
APG congrüent unb Cwit man (eicbt ftnbet) auii mit i^m
yarattel. Demna* ifl DGFAPG ein f*iefed breiecTiged ^ri^mo«
e) Sin fenfre*ted ^arallelopipebum ju con#
flrniren. 9Qenn (gig* 372) DAGB eiti gegebene^ ^araSelo*
gramm ijl, fo erri*te man and bem ®*eitelpuncte A ein iot^
AG auf beffen (Ebene, jie^e bur* G, B, D bie mit ji^m
9lei*Iaufenben GV, BW, DO, ne^me AP=:GQ=:BM=:DN
nnb jiel)e PQ, QM, MN nnb JNP, -fo ifl.NG ba« ju bilbenbf
9>araReIoptpebum.
Da GQ, BM, DN mit Um iottjt AP g(e{*(attfenb (inb,
fo muffen ffe t6 an* unter (t* fetpn unb fdmmtri* auf ber
(Srunbfld*e fenfre*t fiet)en. 9(uc^ mu0 , weil fte aUe einerlei
®r6pe l^aben, jebe ber ®ettenfia*en PAGQ, QGBM, MBDN
nnb NPAD tin yttd^Uit fepn. gerner ijl bie Dbrril&*e, wie
375
man Miit ttftnM, ber (Sriinbff&d^e cotigntent mi mit ifyc
glrtc^Iaufett^*
f) Um txn f(||iefe< ^atalltUpiptbnm in cotu
ffruirett, barf man nur aui bem 3Binfe(puncte D (^ig. 374.)
beö ^araOelogrammö DBAG eine auf feiger @bene fd^ief*
ße^enbe Sinte DP emd^f en , burc^ G , A unb B bte mit i^r
gleid^Iaufenben CN, AM unb BQ {tc^en, DG = GJ = AL
= BY moiiiien unb bie g^raben Linien GY , YL » LJ unb JG
gießen, fo t(l GA ein fc^iefe^ ^araOelopipebum/ tooräber bet
Setoeid , auf A^nlicfte 9lrt , toit )ut)or sef&t)rt wirb«
g) SBenn tin ClMbtat üli ©runbfldc^e gegeben tfl unb
man befd^teibt baräber ein fcnfrec^M ^araSelopipebum, beffen
@eitenf ante ber @eite biefeö Duabvate^ gleich tfl , fo tnt(le§t
^ierburc^ ber 9B&rfeL
b) Ueber^aupt t(l ^ieraut flar, tpit h, 6, 7 fk
edKge, foiDciyl fenfrec^te aU fcfeiefc, ^ridmen entfielen f Annen*
CGXXXXIL 3um 35« ea^e« Da (Suclibed biefen
@a$ nad) bem i^m eigent^fimlic^en Segriffe ber geometrifc^ett
^oportton betveifet , fo foO berfelbe l^ier auf bie / ben KeUern
Sett>6t>n(i(be ^rt entn^icfeft toerben.
Qd fei (gig. 375«) HB bad gegebene ^araOefopipebum ^
toelf^etf burd) eine (Sbene KJLM, paraUel mit' ben @citen«
fidcben GAEH unb DBFG» in jwei ^araDefopipeben HJ unb
MB get^eilt tfl , fo gibt e« ( nac^ LXXY) eine Cinie HQ ,
welche aK gemeinfc^aftüc^e« 9Raß wn HM unb MG angefe^en
tDerben fann. B^e^t man nun QP mit HE parallel/ fo ifl iai
Keine ^araffefogramm HQP£ auc^ ali gemeinfanied ^a9 ber
beiben ^^ara&elogramme HMLE unb MGFL ju betrac^tem
SBirb nun burcb QP eine Sbene mit HEAG gleid^Iaufenb
gffA^rt, fo ifl HN ein fleineö ^araffelopipebum/ melc^ed eben#
faüi a(d gemeinfc^aftüc^ed 9Raß t^on HJ unb MB an)ufe^en
tfl« 9B&re nun HQ in HM gerabe 7ma( unb in MG genau
5mal ent()arten, fo miitt auc^' HP in HL unb HN in HJ
gerabe 7mal, uub ebenfo auc^ HP in MF unb HN in MB
tDieber 5mal cnt^atten feyn* X)a^er t^
576
HJ : M© = 7 : 5 h* ^. -
BJ : MB = HL : MF.
CCXXXXIII. 3 um 26. 6a er. & fei (^{g. 376.) hti
F bcv flegebene Stitptxtoinhl , toelc^er ton itn btti tbttitn
SBinfeln GFH, JFG utib JFH gebtibet wtrb unb man foS
einen tl)m d^nücb (tegcnben nnb gletd^en jtirpemtnfel an teil
^unct A ber gegebenen Stnie conflruirem
yjlan iittft t)on J anf bie (Sbene FGH ober t^re 9}er#
lAngerung ba6 iotif IK nnb bie geraben KF, KH. 9tun
madjt man 3C BAC = jc GFH , BA = GF , AG •= FH
unb iutft BC, fo ifl A FGH ^ A ABG. 9Rad^t man ttuit
je GAE = X, HPK. unb JC ACE sz X, FHK, fo »irb A
AEG ^ A I^K.H. (Srricbtet man nnn in £ auf bie Cbene
ABC baö «ort) ED, mad^t ED = KJ unb jte^t DA, DG, fo
ifl ber bei A entflel)enbe Aorpermintel jenem bei F gletd^«
X)enn n>enn bie breiecfige ^^ramibe JFGH ge^6rig in DABG
0(flellt wirb, fo i(i flar, ba^ beibe nur eine eintige
bilben unb folglich burcl)au6 congruent finb.
GCXXXXIV. 3um 27. ©a^e. a) «« wirb fyter6ei
oorau^gefe$t, taf bie gegebene tinie AB bie ^omcloge b. ^«
d^nhcb liegenbe mit ber Sinie C£ fei.
b) 3?oc^' einfacher i|l bie Slufgabe: (Sin breiecftged ^ritoa
}u conftruireu/ n>elct)ed bem gegebenen c^ig* 377) ABCDEF
d^nlic^ t(i unb beffen @eite AG ber @eite AD l^omolog feytt
foU. a»an nel)me AD:AG = AC:AR = AB:AL, fo ftnb bie
^uncte K unb L benimmt 9Ran tiel)e "KL, burd) L bie LH
== AG mit AD unb burd) K bie KJ = AG mit AD paraOer,
unb nun bie Serbinbungölinien GH, GJ^ fo ifi ALKGHJ ber
)u conllruirenbe ^^rf^er, koooon (eic^t bemiefen n>erben rann,
ta^ er mit bem gegebenen g(eid)e ^6rpern)infe( / d^nltc^
©renjflAdjen unb proportionale @eitentanten tjat
c) Sßiätt AG > AD, fo fann ieid»t eine d^nltcfte (Son^
(iruction au^gefiit)rt werben unb ba^ neue ^ri^ma wirb grA^er
aU hai gegebene. Sluf gleiche 9(rt {6nnen aud) mei^rfettige
^rt^men conflruirt toerbeu/ loeld^c bin gegebenen A^nlic^ finb«
577
CGXXXXy. Sttm 03. Qal^f. a) fyitt ifl i)or Slffem )«
j^etocifen, bä9 0(6 bie ^Diagonalen CF nnb D£ in einerUt
(Sbene CJß'ED (eftnbrn. Siefed folgt fogletc^ hatmi\ tocil
fewo^l CD Ol« F£ mit GA gleicblaufenb ifi / nnb ba^er and|^
GD mit FE pataUil fc^n mu^. 2)a nun CD nnb FE in tintxM
(Ebene liegen, fo mAffen ffc^ aucf» CF nnb DE in berfe((»igeit
<S6ene (eftnben* (Si ifl a(fo au(fer 3n>eifef, ba0 bai ^ataUtlo^
ptpebmn AB burc^ biefen Ciagonalfc^nitt in {toei breiecfige
9>rt<men ger^eilt mirb.
b) SBenn biefee ^araDefoyii^ebnnt ein fenfreAte* f(l ( tote
bat in ben fftementen i^txfiiibnttn^ fo fann leidet mti^t
kioetbcn, ba0 bie jtoei, an6 bkferS^^eilung entfle^etiben 9>ridmcii
tinanber Dodfontmen congrnent ffnb, b. fj. ba0 (<(fo
f innen in cinanber ge(ieDt werben , ba0 fte nur ein einjiget
bilben. 3n bicfem ^aOe ift ber &a$ ooOfommen betoiefen.
c) 2)er Seweid bed (Euclibe^ 6erui)t oorjAglid^ auf ber
10. SrflArung biefe« eilften 8ud)ed/ nac^ »eitler «gleiche
« nnb iiinlidic Xit^pix jene ffnb; totltbt oon gleit^ toielen,
« gleichen unb A^nlid^en (Ebenen etngefd)(o{fen merben. • HOein
biefe Crfritung enti)Alt eigentlich eine Se^auptung, welche
beriefen werben mn$f unb fe|b(i biefe Se^aiiptung ijl ntc^t
aDgemetn ricijtig.
d) Sd fei (^tg. 378) AB ein fd^tefe« ^araaelopipebum
ttnb CU beffen Dtagonalfd^nitf, fo etttftel)en bte {n>ei breiecftgen
^ri^men AECGHF unb ECDBGH. ^ier ifl nun offenbar
A AEC ?g A DCE , A FHG ^^ A BGH , ferner f)ara0elio#
gramm AH g^ ^ar. DG ; ^ar. AG gö ^ar. DH , fo »ie bat
^araUelogramm EG beiben ^ri^men gemein ifl. Slllein bribe
9>rt^men becfen einanber nicht, b. h* f< f Annen nicht fo in
cinanber gebracht »erben, ba0 ffe nur ein etnjtged bilbem
SEBoran« foU nun bie ®Ieichheit ihre« AArperraumed folgen?
e) Sienn baA fchiefe ^aralleropipebum BG (gig. 379)
burch ben Siagonaifcfanttr BCGF in bie )tt)ei breietftgen 9riA#
men ABCEFG unb BCDFGU gefheilt wirb , fo fann bat (e^^
tere fo n^ ben baA crflere in ber DerlAngerten Slfchtung P£ unb
in btr t^erlAngerten 9btnt HFEG gefleOt werben, ba$ eA bie
378
Sage glifcdb f^at, n>o btefc fl ei nett Sud^ßaBen bett grofeit,
ber iüQt nadf ettefprec^em SRan erfetntt tran fogfeic^; hat
U$tcxti bad ^tiima ABCEFG nid^t betfen fanit; aOetit ti
»trb audi Uat, ba$ beibe ^n^meti eine fptninelrtfcbe Sage
gegen einanber Ifabtn, totiffalb (le ouc^ fpmmetrifc^e Aj«#
per genannt tnerbem
i) 91 Dein worin befielt benn btefe Symmetrie ber betbett
^ridmen? SBenn bie (Srunbflddien FEG^nnb edb in berfelbtges
dbtnt, unb • bie homologen ®etten F£ unb cd in eitiet
geraben Stnte ed£F Itegea, fo bat bie (Svmtfl&dit FEG fc^oti
beö^alb tint fi^mmetrtfc^e Sage mit cdb, n)ei( ^d£G=^Edb
itttb fofgUc^ EG gerabe fo )ur Steckten, tok db jur Stttfett
geneigt iß« Setrac^tet man bie beibeit Jtdrper, fo iß bie
©eitenßdc^e AEGC fo }ur Steckten ber @runb|li(6e FEG
geneigt , toit bie i^r congruente &tlttnHMit hfbd ^nr Sinfett
ton cdb geneigt iß. ®an; baffelbige gilt t)oa ben Üßetgungen
ber @eitenßdc^cn AEFB unb bdcg, fo wie auc^ t)on GGFB
unb fbcg. Setrac^tet man bie homologen ^jrperwinfel, i. S«
jenen bei E^unb bei d, fo iß jnoar ^ AEF = ^hdc, ferner
jC AEG = X. hdb nnb X, FEG :;= ^ cdb ; aütin beibe Ä6rper#
toinfel fonnen nic^t fo in einanber. geßeSt werben / bap ßt ßc^
bedfen« 9Ran fantr biefetbe ba^er ebenfalls fymmetrtfc^
gebilbete StivptxtoinUl nennen. (Eben biefeft gi(t üon iebeit
{wei anbern ()omo(og (tegenben jtär|)ern)infe(m
g) 2)a breiecfige ^pramiben bie einfacbßen ecfigen Xivptt
ßnb, fo fei (gi^. 380) ABGD zim folc^e fc^iefe ^9ramibe,
2tt welcher bie fpmmetrifc^e conßruirt werten foH. — 9Ran
t)crldngere bie (Ebene ber ®runbßd(^e DBG, in i^r auc^ bie
einie DB, nei)me BH nac^ Sefieben, mac^e HF = BD unb
befci)reibe aber HF ein bem Dreiecfe BGD fpmmetrifd^ed Z)r.etec(
HGF. 3tün fdOe man ani A auf bie (Ebene ber ®runbß&4<
BGD ba6 iottj AJ , ){el)e BJ , JD , mac^e A FI^H in ber (Sbtnt
HGF congruent unb fymmetrifc^ bem ADJB, errid^ie in L
auf bte Sbene FGHL bai Sot^ LE, ne^me LE = JA unb {ie^e
£F^ EG, EH, fo iß bie fd^iefe ^yramibe EFGH mit ber
gegebenrn ABCD f^mmetrifd^« Der ^trnii ^ierAber iß kiii^t
579 ,
)tt ffil^reti. --*• 9uc^ ffe^t man fogleicb, ifa^ hit lotmtfigeit
9>9ramiben ABCDJ unb EHGFL ebenfaUd fymmt trifi^e (Inb«
h) Z)d ffd) fiommetnfct) gebübete jt6rper itii^t betfeit; fo
mu^ tbre ©feicb^ett auf anbete art, atö burc^ eine 6to0f
^rfldritng, wie @uCltted get^n ifat, bemiefen toerben.
C^ fei ( 5tg. 381 ) ABCDEFGH tin f*iefe6 ^Parattelo*
)3^t>ebum, ADH£ feine X)iagonaf ebene / fo t|i {n beweifen^ baf
9)ri^ina ACDHEG = ^tiima ABDUFE.
, 9Ran t^al^re CG tn L , errichte LM in ber (Sbene CH nnb
U in ber (Sbene GE fenfrec^t auf CL nnb jie^e JM, fo ßnb
CG , AE , DH auf ber Dreietf^ebene JLM lotiiret^h 98irb
itun ba^ fc^iefe ^araOelopipebnm AU t)on ber aber JM t)er#
Idngerten ^retctf ^ebene LJM burc^fc^nitten , fo tntfltiit hai
gtec^tecf LJMR, toorauf CG, DH, BF nnb AE Iot^red)t ifl.
9tnn t)er(dngere man bie CG , AE , BF unb DH über G ,
E, F unb H bid GP = CL, £NiiAJ, FO = BR unb HQrs
DM ifl , unb iUtjt bie Serbinbung^Itnien PN , NO » OQ unb
QP, fo t(l NOQP ein bem Äetfctecfe JKML congrüente« Mec^terf.
9luc^ ifl ^terburd) ern fenfrec^ted ^arallelcpipebum JQ ent#
ftanben^ toeid)ed burc^ ben Diagonalfdinitt JMQN in jwei
congruente breierf ige ^rt^men LJMQNP unb JKMQOJV getl)eiU
. merben fann, unb ti t(l ber Mitptt CADMJL bem ^ivptt
GEHQNP, unb ber Mxp^x ADBKMJ bem Äirper EHFOQN
DoQfommen congruent« ißterau« entfielt fofgenbe 3u(ammen#
fleKung
Stixptt ACM 55 ÄÄrper EGQ
Jffaper JLH = ^6 ryer J LH
Äirper (ACM + JLH) = Äirper (EGQ + JLH)
b* li. ^viima ACH = ^ri«ma JLQ.
gemer tfi auc^
Äirper BDJ gg Äirper FHN
jg^rper KME = ^irper K ME
Äirper (BDJ + KME) = Äörper (FHN + KME)
b« ^. ^riöma BDE = ^ri^ma KMN. Gd toar aber
^rtdma JLQ gc 9>ridma KMN ; föfslic^ Pfi
an^ ^tUma ACH ^ ^tiima BD£#
380
i) QRait fe^f Abtt Mtflit^ fh hit StixptxUfftt fr^r u^icbttsni
&aii Witint 9(bl^anb(ung : Der 38. ®a$ bed XI. Sac^« bor
aimtntt bed Cuclibcd, fleprAft uttb neu cnotefrm 9Rain),
1818 b. Xupferberg. 33 @. 4^<» mit i ettintaftl, topti*
btcfcr (Segcnfianb ferner tnitoidtlt nnb mir ^ißortfc^n 92ac^
rid^ten weirer erldntert morben ifL
CCXXXXVI. 3 um 39« @a6e. a) 3)a bte betben
^araOeloptpeben^ welche Aber ber nAmlic^en (SrunbfUdc^e (tc^en
imb beren Seiten^ Ac^en in einerlei (Ebene faOen, eine breifac^
»erfdjiebene Sage ^aben ( jnnen , fo mnS ancb ber Semet« naA
biefer breifacften Sage gef&i)rt »erben* (Suclibeö ^at nur
ber einen biefer brei Sagen ermd^nt unb fid^ in feinem Seweife
auf bie befat^nte lo. (ErM&rung biefed S9u(^ed bejogen, tvelc^e^
toie nun befannt i^, nidft ali Semei^grunb gebrandet »erben
fann« . .
h) t>it erfte Sage ber }»et ^araUelopfpeben ifl jene^
in »elc^er bie (SeitenflAc^e M erflen {ugleid^ bie ICiagonab
ebene be< {»etten »irb^ ^ier ifl nun ($ig. 383) ^ri^ma
AMHFX^C =: ^rtöma OBPCMH (CCXXXXV) unb ^ri^ma
GBPGMHnr^rt^ma MMQHBP ; folglich auc^ ^araSelopipebuni
AP = ^araUelopipefcum MP.
c) 3ladi ber ixotittn Sage (0tg. 383) f&Kt bie @ei(eft^
ebene CMPB tti (»eiten ^araOe(optpebumd GQ mit il^rer
Obern ©renjltnie CM in bte Oberfldc^e NDGA bti erflen ^Oß
raOeloptpebum^ NQ. i^ter Abcrjeugt man fTc^ (eicbl , baß bie
beiben breircfigcn ^ri^men NCMABP unb DVFGOQ einanber
(ongruent ftnb. SBirb nun jum erflen ber jt6rper GDGMBOQP
gefe^ , fo entfielt bad erfle ^araHelopipebum NQ , unb fe(t
man |um gvoeiteu ^ridma eben biefen £6rper, fo entfielt tai
anbere ^araßefopipebum GQ, meiere ba^er ebenfaUö einanber
gleich fe^n mäffen.
d) 3n ber b ritten Sage (gig. 384) fdKt bie obere
®reji}(tnie TS ber Seitenfld^e TSBG Ui erften ^axaMo^
pipebum« NQ in bie £)berfldd^e MFRH be« {meiten 'fq unb
fd^neibet ba^er bie ®eitenfldc^e MHQC in ber geraben Sinie
OU. — i^ier ifl nun, )»it man leicht finbet/ bai ^xiima
S8t
TSNPGB bem ^tittna FRMHCQ congrtttttt 92imttil man t^ctt
jebem iai tUinttt bretetfige ^rtinta TSMHOC l^ttitDeg, fä
i(l ÄÄrpcr HÜBPMOGN == Sixptt RSüQFTOa Öe$t man
f^etberreird ba« bretetftge ^rt«ma UBQOGC t^inju , fo t»irb
KQ = TQ,
CCXXXXVII. 3 tt m 30. © a e e. I^ufe » i e r le^gage be r
(eiben ^araKeloptpeben wirb man beittlid)er in ber ($tg< 385)
erfettnetT« i^ier 6f{ttibeit ftd^ ft6er ber ©runbflAc^e PDGQ bte
jmei ^araQrfe^otpebeit QF uttb QR, t»tli9tp ber annabme
gemA^^ gleiche S^itftn tfabtn. Safter Hegeti iftfe C)berfld(i)eti
BH unb VT mit PG in einer ^araOeUSbene. 4IBirb baber
BF 46er F, GH ftbtr H, ferner SV Aber V nnb TR Aber R
i^erlAngert, fo entfielt bad ^araOetogramot JVMOA , wtldf^
ber ®tnntflidit PDGQ coiigruent i(l. Siebt man nun NP ,
MD, CG unb AQ, fo muf ^ nac^ bem 29. 6a$e, $araBe(0#
pipebum MQ = ^araOelopipebiim BG unb cbenfo andj MQ
CS 9kiraSelopipebnm TP fevn, folglid^ ifl ancb bicr BG = TP«
CCXXXXVIII. 3itm 31. ea^e. Ciefer ^itotii tann
and) auf folgenbe $lrt gef&^t iDerben.
a) S&enn ffd) Aber ber SRbombotbe ABCD ($ig. 386) et«
fc^tffed f>ataIle(opipebum • befdnbe , fo toerldngere man bie
$6ene fetner Oberfidc^e , errichte aui A, B, G, D mt ffotfte
auf AG bü }u jener (Sbene unb oerbtnbe bie (fnbpnncte gebirig,
fo entfielt ein fenfrecftte^^aranelopipebum^ welche« bem
gegebenen fcbiefen gleicb am ^nf^aU^ iü (^9. u. 30. ©d^).
h) aQenn Aber ber Sft^omboibe ABCD (0tg. 387) 'tin
fenfrecbted f)aratte(opi|)ebum (lebt^ fo i&ft ft4 baffefbe in ein
(ftm gtetdbed )oon b^r nAm(if^en ^it^e oerwanbeln , be(fen
tSrnnbflAcb^ ein ber gegebenen Ütftomboibe gleic^e^ ffttd^Ud ift
Senn votnn man A£ auf DG unb BF auf iftre Serldngernnji
lot^rec^t iitift, fo ift ABFEsABCD. Stimmt man iiun oott
bem gegebenen Q^aradelopipebum hai fenfrecbte ^rtdma toeg ,
beffen ®runbflA(^e bai IDreied AED tft unb fe$t bafTetbe
ge^irig an BCF, fo muß hai neu entfle^enbe ^araBeIoptve#
bum Aber bem 9led^te(fe ABF£ bem |uerß- gegebenen Aber
ABCD gleid^ feyil.
382
c) SBetttt (^tg. 388) fid) &htv htm 9lrcf)tfcfe ACEG ritr
MbttdfM ^ataUtlopiptbum btfinttt , utib man fc^netbet baf«
felbe nad) bent Xtagotiaffd^ntite GG , fegt bc^nn in be r belte^
bigen Entfernung AH eine fd^neibenbe ^araOelebehe HD unb
huxdi bie X)ttrd)fci}nitt^(tnie bei J eine mit C£ paraDefe fci)nei#
benbc (Sbene BF, fo finb bie beiben (et^rec^ten ^araUcIopipeben
ibtt ben ®runb{IAdien AJ unb J£ g(eid) am 3n^alte« Sentt
bad ^riöma Aber GAG ifl jenem Aber G£G , jene« Aber GHJ
bem Aber GFJ unb baö Aber JBG jenem Aber JBG congruent;
fclQlidf] bUibtn ati gfeid^e Sifferenjen bie beiben (ot^rec^ten
9)araQe(opipeben Aber AJ unb JE Abrig.
d) 92un feien (gig. 389) bie beiben ^aroSefogramme
ABGD unb FGHJ )Don gleicher @t6it, fo mA]fen aud^ bie Aber
il^nen ßet)enben gfetc^ ^o^en ^araOefopipeben gleich an 3nt)a(te
fe^n. Denn ABGD i(i bem Stedjtecfe au« AE unb DG ; FGHJ
aber tem OtecbCccfe aud GK unb JH gfeic^. Da^er finb aiic^
bie ^raüelopipeben Aber beiben Sted^tecfen einanber gferc^*
Wac^t man nun SRed^ted ABJH ($tg. 388 ) = FGHJ , bann
BG=DC, jie^t GJ, »erldngeit fie^ bii fie bie ^verringerte AH
in Gfc^neibet, ikht burd) G bie G£ mit AG, burd» G bte G£
mit AG g(eid)(aufenb unb ;oerIingert HJ nad) D unb BJ nac^
F, fo iü ABJHäJDEF; aOein ABJH = JRedjtecf aud AE
unb DG ; fofglid) »ec^tecf aud AE unb DG =3ted)tecr JDEF.
92un ffnb bie ^aralUtopipeben Aber AJ unb JE einanber glei(^«
i^olgti^ mAffen ei a^c^ bie Aber. FH unb AG fe^m «
-e) Da jebfä breiccftge ^ridma bie J^dlfte be« i^m ent#
f^red)enben f)ara0elopip.ebum« ijl , fo finb aud» aUe. breiecf ige
^ridmen pon gleichen ©runbfldiben uhb i^o^en gleich am
Jt6rperin {|a(te , totnn gfeic^ i^re @kimbfldd}en nid^t congfuenf
(Inb. — Sluc^ f ann man (eid)t ein gegebeiu« breiecf ige« ^ri«ma
m ein i^m g(eid)e« ^araHeloptpebum üon be^felbigen fyitft,
Itnb unig^efei}rt^ perwanbeln.
f) 9uf dl^nlid)« S(rt f6nnen mehrere gegebene bceiecfige
9ri«men ober ^raffelopipeben pon einerlei i^6i)e in ein ein«
)i^e« ^ri«ma ober in. ein einzige« ^'araUelopipebum Permanbett
iperbin , n^elc^e« i^nen jufammengenommen gleich i(l*
383
g) Ha man lebet oielecfi^t ^xiima, wit fl4 leicht btird».
3eicf)nuitgen naditoeifcn l&^h burd) X)iagona(ebenen in fot)if(e
bveietfige ^rtötnen treuen (d$t, <iU bie ©runbflAc^e Gettett
^at; »eltiger {tDei , fo mäffett auci|> aOe me^rccftgen ^ritmeif
etnanber ^Uidi fepn / toenn fte gleiche ®ntnbfldd^ett unb ^Abe«
fabelt, obwohl biefe ©runbfidc^en Sielecfe von ))errc^iebener
6eitest2a^( 0nb« IDat n ecfigc ^ridma fann in n — a breiectige
burc^ IDiagonaffldc^en jert^eilt werben.
CCXXXXIX. 3um 3a. ®a$e. a) S« n>trb bei biefem
@a$e )»0randgefe$t/ ba0 bie ®runbfld(i^en ber bti^tn $araUe(o»
yipeben fo(d)e ^araKefogramme (Inb, »oton einet nic^t alf
Serldngentng bet anbern angefe^en werben fann. . 9Qdre bai
f ine in ber Serldngernng bet anbern , fo ift bie Se^au))tung
Bereitd.oben iis, 6a^) betoiefen. Sejeic^net man biefe Ajrpit
mit P 9 p / i^re {) j^en mit H , k nnb ifyct ©runbfUlc^ett mit
G, g, foift, beiH = h,
P : p = G : g.
b) 9(u(ft t)er^a(ten ftc^ jwet $araneIop{|)eben von gfeti^er
Srunb^dcf^e mte i^re ^6^em Denn menn (^ig« 375) BDGF
aM bie gemeinfc^aftlic^e ®mnb#dci}e angefel)en mirb^ fo errtcbte
man aber biefelbe ein Ictfyctd^M 9)araneIopi9ebttm BM, beffen
^Hjt JB ber i^ii)e bet fleinern gegebenen .nnb * ein }n>eiM
lot^recbtet BH , beffen ^iijt AB jener bet grd|ern gegebenen
gleich ift. j^ier mnf BM bem ffeinern nnb BH bem gr6i}ern
gegebenen ^araBelopipebnm gleich fe^n* Stimmt man nnn^
toie oben (GCXXXXIL), ba« Heine ^araHeJopipebum AQ a(«.
SRttf Don AG nnb 9on JG, fo ijl AQ fo oft in AG nnb in
JG entölten , »ie oft AN in AB unb i» ^ JB entölten i^^
golglid? muS fic^ AG : JG as AB ; JB t)er^Iten. 9lat^ b^r
Dorigen Sejeid^nnng ( in a ) ifl alfo , bei G k g ,
P : pÄ= BL : L.
c) aBdren nun bei {wei ^^arattefoyipeben^ fowo^I bie
®runbfldc^en ali bie ^Ab^n ungleich, fo conflruire man tin
bxiitti = 9r 9 meldte« mit P bie (Brnnbßdc^e s; G nnb mit p
bie S^itit = h gemein ^at. Jgiier ijl nni^
• 384
p r X = B : li ttiib
^g : p = G ; g, fc rgtuft
P:p=GxH:gxh
t. ^* ^ataUtlopiptbtn von «»erfcbtrbeneii ©runb^cbcn titib
i^6^en (If^en in einem {nfammengefe^ten Ser^dintiffe i^rer
GrunbflAAen unb ^il)en.
d) Da b*reie(fige ^ri^men bte ^Alften bet i^nen tutfpxu
Aenbm ^araUelopiyeben finb/ fo gelten bie l>ier (a, b »• c)
cnttvitfeiren 9ro))cr«ionen auc^ Don bretecftgen ^riömen. t^a
l^tefectige ^ri^men fid) bntdf d'agonalebenen in breiecftge
t^etlen laffen / beten Summen jene Stixptt f!nb , fo ^aben btcfe
9>roporttonen awb 6ei t>ie(etfigen ^ri^men itttttiaupt &tatt.
CCL. 3um 33. ®a$e. b) üi fei (^ig. 577) ^rt^m
AKLGJH A^nlid» bem ^xiima ACBDFE , fo ift , locnn biefe«
bnrd) P nnb jene^ burd) p, bte ®mnb{{&d)e DBF mit G, GUT
mit gy bie S^it^t AD mit H nnb AG mit h bejeic^nef t»ixb,
P : p = G xRz g X h-
HBein ba G co g , fo- ifi and)
G : g = DEi : GHn fofgfi*
P : p = DEq X H : GHq x h
«(er e« ift DE : GH = H : h, fofgli* au« "
P : p t=t DEq X DE : GHq x GH b. ^^
/ P : p = DE3 : GH3 «nb hatftv an*
P : p = DF3 : GJ^ r= AD : AG3. .
b) Da d^nltd)e breiecftge ^ri^öten bie i^&(firen wn ii^nß
liefen ^aranefopipeben flnb , fo ftet^en au* At)nl{d)e ^aranefo^
|>ipeben im Ser^dltntffe ber SBärferjatyl fbrer ät)n(id) liegenbeit
®eiten. — Da ferner At)nrt*e melecftge ^rt^men an^ Abnii*en
breietfigen befielen/ nnb ^\t Summen g(ei*oteler d^nli*er
Streife ft* wie biefe Zt^iilt einjefn genommen oerbalten^ fo
l^er^alten ff* ibaijaupt aUt Atßlübt pieletftge pri^matif*e
S&Vftt toie bie 9Bärfe({at)I i^rer ^omologm @ciitvn.
c) !8e{ei*net man biefe A^tt(i*etf ecfigen ^ri^men mit P
nnb p, H)X4 homologen Seiten mitS nnb *, fo i(l^ für S:8=2:i
nun au(^ P:p=8:L $tkS:s=s3:iwAtbeP:p&s27:itt.f.w.
S8S •
I
SßMre fgig. 377) AL=%ÄB tmb ba« ttc(iiere ^ri«md
bem grj^ern ä^nUc^, fo mürbe jetteö =1/3 Dott biefem fq^m
9Ran fann biefe^ aucb baburc^ {eigen f ba^ ba^ %xh%rct burc^
oc^t Heinere , untet flc^ gleicbe genau an^gefäSt iperben fann*
d) äBenn a, b, c, d Dier gerabe Sinien bebeuten nnb e^
iß a:b = b:c = c<d, fo i|l auc^ a:d=;a3:b3. jDenn
c* b* b*
^ier n)irb d = -r^ «nb c = — ; folglich auc^ d z= ~ : b =
1)3 b3
-^ , ba^er iß nun a : d = a : 75 = a' : b^. «Rennt mw ^ter
cl 'a
t>te Aber a nnb b bef(i)rie6enen dbnlic^en ecfigen priCmoHfc^ett
^ir^er P nnb p, fo iß Pipsa^rb^, folgfid^ au(bP:p=ra:d.
GCLL 3unt 34. @a$e. a) (Sd feien bie gegebenett
^araKelopipeben P nnb p, il)re ®runbßdcben G nnb g, i^re
i^6^en H nnb h, fo iß, nacft bem %xi\^ttVL,
P:p = Gx:H:gxh-
Sßenn nun P = p iß, fo mu0 anc^
G X H =, g X h unb foCgffdSr
G : g = b : H
feyn, U)elc^ed bie erße 93efyau|)tung btefed (Sa$etf iß«
b) 2ß4re aber G:g = h:H, fo aiftßte aud^ GxHbs
gXh nnb folglidy P = p feyn, n)elG^ei bte |n>eite !Se^an)}#
'tung iß.
c) 38a^ bier «on ^araOefoytpeben beriefen iß , gilt eben
fo Don ecfigen pri^matifc^en ^orp^rn übert^aupt, toie ^vi^ btm
iBi*t)erigen ^ert)orgel)t. r. . .
d) Ca^er ßnb aOe ecfige prtimatifc^e A6ryer einohbei*
gleid), n)enn bie ^^robuete and ^ren (SrunbßdAen in t^re
ipäl)en etnanber gUici) ßnb, obn)o^{ ße t)erfci}iebenartige ©runb^^
^Ac^en ^aben , nnb »an fann leidet trermirtelß biefee ®a^ed
einen biefer Körper . in einen anbern il}m gleichen k)on ^n|
anberer ®eßalt oermanbeln.
CCLil. 3um 35. ea^e. ^xa 5tbei( ber ^^pot^eßtf
btefed @a$ed fe$t vorauf/ bag man au6 bem ©c^eitelpuncte D
br^ ebenen SBinfeld'EDF eine Sinie DL fo auf befen (fbene
ßeUe, XiQi^ ße mit DE nnb mit DF tie nAmiid^en SQinfef
25
/'
y #
S86
({Ibet/ totld^ ixt ani A auf bte (Sbtnt be^ t^m gleichen 9Sm#
fcM BAC gejDgene {tnie AH mit AB nttb mit AG bifbet
aUtin, tüit wirb biefer Sebingutig entfprocftett ? — 31m @itt^
facbßrtt burd) 9Inn>enbutig be^ 36. @a|rd/ tooburc^ ber St&tpeu
toinhl bei D fenem bei A gleich gemacht ipirb. 3ß biefed
gefcbe^eit/^ fo fdOt DL lAitgd AG. 3i^^^ >nan nun an^ H auf
bie ebene BAC bai ictt^ HJ , nnb iitijt JA , fo entfielt ber
SDBinfel HAJ. ffiirb nun in ber tjerldngerten AH ber ^unct
G genommen nnb an^ iijm b^aö iotlj GK auf BAC gejogen, fo
mu0 baffelbe in bie Serfdngerung Don AJ eintreffen. Senn ba
GK nnb HJ iottft auf BAC finb, fo ffnb fte mit einanber paraffef,
ttnb liegen fomit in einerlei .Sbene« älSfein HG fiegt in ber '
(Sbtnt AHJ, folglich mn$ ftd? auc^ GK in biefer Sbene befmben.
CCLIII. 3 um 36. @a^e. a) di feien a, b unb c bie
brei gerabV Linien ^ bei n)elc^en bie fletige Proportion a :b =
b : c (Statt (inbet , fo ijl ac =, b« b. ^. t>a^ Dled)tecf aud a unb
c ifl bem Duabrate von b gleich. Da aber andj abc=2>^
fe9n muß, fo ift baö (otl^rec^te $araBe(opi{xebum au^ a, b unb
c bem üQitrfel aud b gletc^. SQdren aber a, b unb c bie brei,
an einem ^irpermirifel liegenben @eitenfanten eined fcbiefeit,
^araOef opi))ebumd , fo todre biefed fo groß, al^ ein gleic^^
!antiged fc^iefe« Don bem ndmlic^en jt^rpertoinfel, beffen JKante
= b i|l.
b) Sßdre ( ^ig« löi ) JE tin lot^rec^ted ^aralleroyipebum
nnb FE : ED = ED : EG , fo »ftrbe biefer ^ivptt bem 9Bfti:feI
^ Aber ED g(etc^ fe^n. IDenn
' ^rpbm. JE : aSfirf. ED = FE . EG . ED : ED-^, SSeiu
ti ijl FE . EG . ED = ED^, folgfid^ anc^
^xpb. JE = 3Börf. ED.
CCLIV. 3um 37. ©a^e. SBenn A , B, C, D wer
gerobe Linien ali homologe @eiten Don loier d^ntid^en ^araOelo^
^)ipeben finb , unb ed i(i- A : B = C : D , fo muß au* A^ : B^
= C* : D3 feiert. SlKein jene Jtdrper t^er^aften fic^ mit bie
SBArfel biefer ünien ; folgfid) mAffen auc^ biefe ^itt Mirptt
einanber paartpeife proportionirt fei^n. dbtn fo einfach ift ber
Seivei^ beö nmgefe^rten ®age«. >
387
CCLV. 3ttm 38. Sage. Diefer Safe Um auc^ fcbr
elttf ad) auf fofgenbe Srt bewicfen »erben. STOan jiebe au6 E
ouf AD ba6 ?ott^ EG unb aud G auf AD in ber Sbene AB
ba^ ?ott) GF , fo jiel)t EG auf AB lot^recbt. ÜBenn nun bie
GE ni*t in ber ©benie CD tdge, fo mÄgte bad aud G auf
AD in ber (ibtx[z CD gezogne .?otl) in ber @bene EGF ent*
»eber biejfe^it^ .»on GE obcjf jeafeitd üonGE liegen, »eiche«
htiUi unmÄglid) ifl/ tt>eil avit G auf FG in ber Sbene FGE
nur ein ?otl) möalict) ifl.
CCLVI. 3 um 39. © a%t. Slu* lÄgt ff* bie ffialjr^
f^eft biefed @a^ed auf fo^nbr^ Krt bequem &berfet)en. l3d
btt @beneit DA, JM unb F& mit einanber pataUtl ffoib unk
alle- brei »on ber (Sben« DE^GB gefd^niften werbe» , fo fTn^
au* We 25ur*f*:nin^riniett TR imb EG parirtlen Dotjet td
ADTScv)AÖE<> unb fofglt* DT : DEniTS :EG; «aet*
c« i(l DTäI/^DE; forglfi*' au* TSii=yjiE&.: ^ ijl abit
EG = TR , foigli* TS Ä 1/2 TR.
CCLVII. 3um 4so. ®afee. -a) Der ®inft''*nb fefweß
btefe« ®afeed fan'ft auf fo(genbe 9)tt fel)r faßlt*^" itJEterfe^^n
n>etben; @d fci (^ig. 3i|0) ACBDFE ein VreiecKtef^ri^m^V
man verringere beffen ®runbfld*e DFE, ttelyme FHsrxDF;
gicbe EG mit DH gleicbfaufertb ; nel^e EG ab FH unb jiel)c
GH, fo 1(1 FEGH ein ^araBelegramm =2 2:a*ÖFE. 3if|)e
man nun bie geraben CH unb BG, fo ifl CpHlfeEG h'n bret#
ecfigei ^riöma,. ipefcbeö bem t)or^tn genannreti '^leic^ i(l,
tDetl man nur ba« ^araUrfopipebum FJ juergdnj^n brauet >
um ftci) }u äberjeugen/ baß \zu% ber- beibeh genannten brei#
crfige« ^ri^men bie $ÄIf^e tODOtt <|l. • *' . : * 'i
h) Kocb t^etleit wir ;folgeribeii IBewti« bftfe^ ©a^e« mtf^
»enn scADE^isjjcADF^^DFErirR ijli. 'j^kr'Daben bie
reAtwinfeltgen Dreiedt CFH; uttb DFE eineriei\S)6fye HF es
DF^ foifliid) ifl • ' ' ' ' ' .' ^'^
A CFH : A DFE = CF : FE, ba^er tfl
A CFH x: FE = A DFE X CF urtb foffllid^ '
IJrtftna CFHBEG =» ^rr^raa ACBDFE.
a5
388
tuni
CCLVIII. Sunt 1* 6a$e. a) ${n anitttt fßtrotii btefr«
Ga$ef tfi fofgettber. SOenit matt aiid brn QRtttelpitttctett bctbet
Ärelfe, N unb O bt( ^arbmejfer NC, ND unb OH, OJ tiac^
bctt Cnbpunctctt {toeter ^otnolognt ®ettett CD itnb HJ {te^t,
f9 (ittb CJVD unb HOJ 2tDet g(et(i)fc^fttfe(tge Sretetfe. Xa
nun, mnn man aC, AD ttttb FH, FJ littft, noegen AABG
CO A FGH ; A AED <N) A FKJ unb A BAE oy A <>FK
OU* 3CBAC = 5:GFH, JcEADcsjcKFJ unb 5c;BAE =
5: GFK , unb fofgri* 3C CAD =s jc HFJ tjl , fo mni audi)
je CND = 3C HOJ unb fomit A CDN cx> A HJO fet^n. «uit
ifty tDcnn man ba< gri^ere Polygon mit P, baß tUinttt mit
P bejeic^net, .
P : p = CD<! : HJ<i , atteitt
CDq : HJq = CN<i : OHq = BLq : GMi ,
forgH« P : p = BLq : GMi •
b) 9BAre BLs=2GM, fo müßte P:p = i:4 fe9tt. Unb tm
SI0gem€tnen, m<nnBL:GMs=:n:ii(i, fomuf P:p=n^:ife9it.
CCLIX. 3nm ä. ®a$e« a) (gtner ber i^ulf^fd^e )tt
bem Setoetfe biefe« Ga$e< tft ber erfie Bat^ bti X. Siic||e«^
wehren (SucHbctf auf folgenbe Ürt barfleOt
9Qenn (toef ungletdje (aber gleichartige) ®rjßftt CStg.
391 ) AB unb C gegeben (Inb / unb man nimmt wn bcr grAf
fern AB me^r al< bie ^dlfte, t)on bem bleibenben fRtftt
tDiebemm mebr ali bie i^Alfte unb fo fort , fo bleibt einmal
ein f/ttft, totlditx ((einer ali bie fleinere ^rdfe G ifi«
Q?« fei DE ein Sieifac^ed »on C unb größer alt AB.
gRan t^eile DE in bie, ber C gleiche Zfitilt BF, FG, GE,
389
ntljm wn ber AB mtf^x ali i^re S^Uftt b« (^« BH ttnb Mm
IRcile AH tDteber mtfit af» ifftt i^ffre b. ff. HJunb biefe« fo
lange ^ bii in AB fptrfele Übfc^tiitie aM in DE fliib.
Sa nun AB < DE nnb wn AB me^r M bie J^drfte, BH,
Mtt DE aber »eniger aW bie i^iffte, EG, ma^tnommtn
toixb , fo tfl ber Stefi AH < DG. ^olgltc^ ba t)on AH tne^t
ali bit ^ilftt , HJ, mu DG aber nur bie i^AIfu, GF, )oefl#
genommen mirb, fo iß ber SIefl AJ<DF.« SZiin ifi DFs=C,
olfo av^ AJ<;G
Sluf gleiche Hxt tptrb ber Smei« gefft^rf , wenn bei ber
gr^^ern^AB tai Seggenommene immer nur bie $difte betr>.
h) Der «)or^erge^nbe i^ft(f«fa$ lAft ffc^ auc^ fo ben>eifen.
üBenn a < b nnb mit t^m gleic^rtig i|l , fo mtt0 ein ®Iieb
ber 9tei^: sa, 3a , 4a , 5a na einmal gr60rr merben
aU b. DiefeS ifl fAr ffcb felbß einleud^tenb« Z)a^rr mn$ and|^
inberStei^e: Ha, Aa, 8a, l6a, 33a.«««. 3»a ein fo(d9^
@(ieb >b fe^n, nnb folglich muß auc^ nmgtfe^rt in ber Steige
b b b. b b b
a* 4' 8;' 16- 3a**'* i^ ^* ^^" ®''^* "^^ ^^*"*
c) 9Benn D nnb d bie Dnrc^^pr F nnb f bie glAd^tt
}meUr Areifi be^eid^nen ^ fo iß fär D : d = 2 : i ober =s 3 : i ,
ober = 4 : 1 ^ ober = n : i ^ nun aud^ F.: f = 4 : i , ober
a= 9 : 1 / ober = i6 : 1 , ober s= n* : i.
d) SBenn man bie Surc^mefptr }meter greife lot^rec^t auf«
etnanber fleSt nnb bie i^9)»otenufe {iet^t; fo ifl biefe ber tlurc^^
meffer einei ^eifed , welcher ben beiben gegebenen jufamminir
genommen g(ei€^ tft. Sluf i^nUd^e 9lrt finnen mehrere Greife
in einen etnjtgen uttoanMt n>erben/ fo mie anc^ bie Diferen]
jmeier ftreife burd^ einen Stttii bargeßeKt »erben tann* liebere
tiawpt tonn man Mei, toai in btefer ipinftd^t oben (LXXIIL)
x)ott ben Ctuabraten bemerft mürbe, nun auc^ auf bie Xrei<^
HiLd)tn anmenben«
GCLX. 3um 3* tSa$e. a) iDaf bie beiben Heinen
9>9ramiben etnanber congruent 0nb / folgt , nac^ bem ^ri^ern
(CLXXXXVUL), nid^t baxava, tt>ei( f[e wn gleich Dielen /
gleic^n nnb A^nlic^en Ebenen begvenjt finb , fonbern barand f
880
K.,.tttttt (nett H!itofe D oiic^ etiKutker. bfcfcit. 1><i^er f 6itneit
6eibe bretejdtge ^romtbett f^ in ctifatibrr gefleSt »eybea/ ba0
fic nur eine tüi^rge Uittn. . ; i , *"
b) äiuf ßltixkt nxf mxt> mii iit 9{c^nltc^fett ber htu
bett f (dneren «^iramib^n mit ber gegebenen ^praimbe erfannt
. CCLXl. : 3 um 4. @a$e. 9)hin {anit (Id^ anttjf^, ium
I33et)ufe bed SBrwetfe«^ bie tott^ iwn A auf BGC uab jümi O
auf EHF bcnfen ; »efcbc , nadj ber 8lnnat}rae, «inanbtr gicict^
fittb. £)aber ft(tb oiid) t^» 4)A(freil g(ent).uttb tfi i^
JOKJBLN : PaQEIVV =s BJiW : ETV , f Ojfflltc^: . .
JOKBLN + OLMKNC : PRQETY + RTSQVR = BLN :
ETV 3s BGC : EHF* üBetbrü mrh bie f Iriuertt .^^ramtbiett
aoif gfetd^e SIrt get^eiü^ fix idy. n>euti mad bicctn: btr erfhn
enlfle^enbeit ^ri^men mit S unb bie in ber anbetit lentfte^nbeit
mit s bejeicl^net, auci) je$t n>ieber / :
-: ; . Si : 8 == JOK : PRQ = BGC : EHF :
uttb eben btefe6 girt auc^ Den allen folgenben ^ri^mem^ llafyer
t)erl)&(t ftd) bie (Summe aller ^rt^mett in ber erjlen ^Dromibc
)Uf @umme Malier/ burd) eine gleich 'Dtelfac^e 2;i>et(ung ber
)metten ^promibe . entflet)enben $rtdmen> wie BGG :EHF.
,. CCLXIL 3um 5^ ©a^e. a) SBiton pfliegt biefe«, bt?
Stereometrie fet)r n>icf)tigen ®a^ oucd auf fotgenbt 3lrt j/u
beweifen^ (i^.fdien tit ^^tramiben Cfig* 392) ABCD unb
EFGEI üon finerlei ip6t)e a6er;t)erjb^tebenen @runb{Ift(i)«n BCD
unb FGH. äQirb nun jebt berfelben in fe^r fleiner (inU
fernung dou ber ®runb{{dc^e f)araXle(.mit ti)r unb. beiberfeittf
ltt 0tetd)em äfbfianbe gefc^nitten^ fo entfielen bit beiben* .^ärper
bcdBCD unt> fghFGH , welche afd breiecfige ^ridiiien »on
einerlei ^itft in betrad)ten ftnb mt fomit ffcb wie it^re ®runN
f&r^en ))erl)dUen« ^dfyrt man fo fort, beibe ^i^ramiben ^urcfe
&tin\idfz ^aralleUbencn )u tt)ei[en, fo ^at bei aßen. )>aam>eife
^terburc^ entfle^enben JTdrpenteben btefed aSer^&Ituig @tatt,
unb bie (Summe afler ^ri^men in ber erüen ^i^ramibe muß ff^
}ur ®nmmt aUer ^ri^men in ber sn^eiten^^tsyramibe t)er^a(ten,
tt>te fic^ BCD : FGH »erhalt. ^Uein btefc Summen bUben, ba
6€ibe ^H^ranriben ^Uidit i^d^cn fabelt , beit Snl^alr btefcY
9>9ramibem golgric* iß ott* ABCD : EFGH = BCD : FGH.
b) (S^ ifl alfb Ui^t, rine breiecttge ^^ramtbe ju btlben>
tt>elc^ mit. einer gegebenen breiecfigen einerlei ip6t)e ^al unb
in irgenb einem beflimmten 93ter^dltmffe i^re^ Sni^aUed gegen
(ie Ite^en feU. SBdren bie ©mnbfldd^rn bie(er »ixpvc G nnb
g, nnb ha$ gegebene Ser(^&ttni0 = m:ny fo bärfte man mt
Grgszmj: n mact^en, um ber ^obernng }u entfpred)tn« .
CCLXilL 3um 6* ®afte. ») 3ebe üielerfige ^pramibe
fann »Amlid^ bnrc^ ^iogooaJfldc^en tn fo Diele bretecttgt
geteilt u>erben^ a|^ ibte ©mnbflÄc^e @etteft tfat, tDeniger
Sioei; folglich bie n ecPije in. n — 3 breiecf ige. . 2)enn jebei
gerablimge n@cf fann bnrc^ >Diagpna(en, noelc^ aui einem
SBinfeli^uncte anöge^en, in n^\2 Z)reiecfe gtti)eiU n>erbei;r,
nnb burc^ jebe biefer. diagonalen tmb burd) bie @p\^t ber
^^ramibe ge|)t eine ^iagonalebene, weidet wn Jotx gegebenen
^l^ramibe eine breiecfige abfe^neibet
b) äBenn eine oieretfige ^ramtbe mit einer breiecfigen
gleiche ©rnnbfldc^e unb S^if^t i^at , fo l)aben beibe gleicben
Snt)a(t (&i feien (^ig. a93) EFGHJ nnb ABGD biefe ^»^rai
mtben , fo l^eile man bie erfiere bnrd) bie (Ebene £FH in bie
itoti breiecfigen EFJII unb EFGH. ^ier iji nun
EFJH : EFGH = FJH : FGH , ballet
EFJG + EFGH : EFGH =;FJH + FGH : FGH, b. |,
EFGHJ : EFGH = FGHJ : FGH, aHeitt
EFGH : ABGD = FGH : BCD , folglich
EFGHJ : ABCD = FGHJ : BCD. Kun ijl
FGHJ = BCD , folglich aud^
EFGHJ =: ABCD.
c) 3Benn alfo überhaupt mehrere ^^ramiben gleiche, aber
joerfcMebenarfige @runbfld(^en unb einerlei Spiiitn tjaUn, fo
ftnb fte gleid) am Sn^aite« @d (dßt fic^ ba^r eine gegebene
3e(fige in eine itjx gUid^e 4/ 5, 6... nccfige wn ber ndm^
iic^en ^tjc, «nb nmgefet)rt t^ernoanbeln«
CCLXIV. 3nm 7. @a$e. a) anfo^anltclier aU in ber
3ei(^nung be^ (Snclibti ge^t biefer &a$ aui bem breietfigen
302
f)ri<ma ACBDFE (gtg. 394) ^en^or. üBentt eine (Sftene burcft
bte 9>uitcte C, D unb E gefegt witb, fo entfielet bte bretfetftge
9>9raintbe CDFE ^ welche mit bem gegebenen ^rt^ma )BruntM
fldcbe unb ^itjt gemein ^at {lucb bleibt eine t)ierfeittge ^9#
ramtbe, beten ®runbfl4cbe ABED unb beten ®ptbe C ifl,
Abttg. 9Bitb biefe nun butd^ bte (Sbene DGB in jn>ei btei#
etfige ABDG unb DEBG gef^etlt, fo ^aben biefe ebenfaO«
itntet fid) gfeicbe (Btunb^dd^e unb ^6^e* STUein bie 9^tcanibt
ABDG (d^t fldi audy fo anfeben / ba0 AGB i^te ®tunb{{&(4e
«ab O ifyte Spt$e tft , loo (le benn mit bet etfien ^amibc
COFE (Stunb^A^e unb ^Al^e gemein Ifat — ^olglid^ ^aben
bte btei 9>9tamtben einetlet (BtunbflAd^r unb ^6tft unb ba^cr
andf gUic^eu 3nl)att.
h) "Latjtx ' tfl jebe bteietfige ^^xamiU bet fed^fte Zfftit
tinti ^atatteloptpebumd , weld^ed mit itit g(eic^f ®tunbfld(^e
unb i^di)e i)at. Slucb fann jebe bteiecfige ^^tamibe ^ietbutcf^
in ein t^t gleidiej titete(f4ge0 obet auch mel)tfeitiget ^ri€ma
obet $ataUelo))ipebnm ))ou betfelbigen ^6i)e k)ern)anbe(t iverbeti,
benn man batf nut bie ©runbfldd^e be< bteietfigen ^ri^ma^A
z= Vs obet jene bed 9>ataI(e(opipebttm^ =: % bet (StunbflAc^e
bet gegebenen ^^ytamibe mad^en unl ben Stixptv t)on bet
udmlic^en ^itat mit t^t wütnUn.
c) Sllle ftdbet t)on ecfigen ^tttfmen betoiefenen Set^dlfi^
niffe m&ffen ba^et nun auc^ oon bteiecfi^en ^^ramihtn gelten*
(S6 wetben biefe St6tptt mit P unb p, i^te Otunb^dc^en init
O unb g, tl^te i^dt^n mit H unb h bejeidtner, fo ift/ bei G = g
P : p = H : h, unb bei H = h
P : p :?: G : g unb äbet()aupt
P:p = GxH:gxh,
ba^et P=:p, wenn GxH=gxTi b. 1^. wenn G:g=h:H ijl.
d) l^al^et i(t ti Uidit, jebe gegebene ^ptamibe in ein
ii^t ^Uxdit6 ^titfma von gleicfiem 3n^al(e^ abet t)on t)etf(^te^
beuet (Sltunb{Idd}e unb ^6^e mit i^t; unb umgefebtr, }tt t)et*
toanbeln. Uebet^au)ot ifl bet allgemeine ®ab bemiefen :
9l0e etfige p^tamibalifd^e unb ptidmarifd^e Stötpn fielen im
(ttfammengefe^teu Set^dltniffe iiixtx (Sltunb^dd^en unb i^dl^en«
S93
CCLXV. 3ttiii 8. eüHt. a) aBenit bif ^tamiU (ff^.
395) DNMG in brm mtOfA^rltAett ^uitcte B biirc^ bte mtt
N MG iKMraKele (E6ettc BPC gerAhültH toiifb ^ fo t(l bte fleint
f>9ramibe DBPC ber ganten Al^nltd^. 3ft nnn DU ein S^t^
von D auf NMG , fo tm^ baffelbe bte ®litnbf(A4e BPC itt
finem t^niid^ (iegenben f>ttncte Q fc^neiben ; fo ^ baß , wtnn
NU nnb BQ getogen »ottb, ta* £>,i>av co/:iDB(i ift, lote
man Uiäft futbet. Nun ffl
DNMG : DBPC s NMG x DU : BPC X DQ. «Ilein
«MG : BPG SS NMq : BPq nnb
NM : BP = DU : DQ , folgrid^ anc^
DNMG : DBPC = NM« X NM : BP*i X BP.
SflTetn NMdxNM ßeDt ein ^araKeloptt^ebitm hat, beffei
®rnnb9dci)e ein Quabrat nnb beffen ^6^e bet €^eite btefe^
Duabtat« gfeic^ tfl. Da^er ifl NMq x NM ber SBArfel oon
ber Seite NM nnb BPqx BP ber SBSÄrfrt ber ©eite BP.
gofglif^ ift ber ®a$ 6en>tefen. — <Sin Al^nlid^er 93eioet« ijot
iti d^nitc^en t^ielecftgen- ^t^ramiben Statt.
h) ffienn DB:DN=i:a, ober = 1:3, ober = lr4,
ober Aber^aupt == i : n ifl , fo muß anc^ P : p = i : 8 ober
= 1 : 27 ober = 1:64, ober ä^erl^an^t =1:0^ fepn. Va
(5tg/209) AJ = i/jAB ifl, fo mnß AJOizsi/s^BGC fe^n,
tote anc^ bie unmittelbare Sonflructton (e^rt, ba AJOK=5
OLGM nnb jebe oon beiben = V3J0KBLN= V3LOMNKC ifl;
CCLXVI. 3 um 9. @a$e. 2)iefer @a$ ifl bereits oben
(CGLXIV, c) M Uid^M SoroDarium erwiefen morben, nnb
gwar nic^t bloß für breiedfige ^^xamiUn, toit ^uelibeS
l)ut tt)ut , fonbem für »ielecfige jeber Ütt.
CCLXVII. 3um 10. Sa$e. a) ®Iei*tt>ie Cuclibe«
in bem erflen gaOe btefe^ Setoeife« g^jeigt ^at, ba^ bte> in
ben gegebenen S^finber befc^riebenen ^ridmen jufammengenom^
mtn ben Sn^aft bti Sj^ltnberd fo genau barflelfen, ba^ ber
Unterfc^teb weniger ali irgenb eine angebüc^e @r60e betr>,
fo fann ooOfommen auf gleiche Srt bewiefe^ toerben / baß bie
&nmmt ber auf biefelbtgen (Srnnbjldc^en btefer ^ridmen
bffc^riebenen ^y^ramiben üon ber ndmlic^en J^i^e au^^i^m
394
änj^afle bf« Xegill, ton Ut\tibigtn (Stuni^id^t ttitb ^ii^t,
fQ nat).e (im«it^ baß ber Unkrfc^teb fdriiifr tjl^ ali jebe angebe
(ic^e 3rj0e^ /Daita tonn jener ^pHnber ald bie Suaiine ber
feemerf tett - ^'t^i^^tt unb bie fer ^egcl a(d bte @uiome ber
imzitttn. ^^xami^^n a0gefei)ett merb^tn^ SiBeitt biefe (eifere
@«mnie ift. V, iifr erfterti/ folflli* ^niig au4i ber Äegtl V» bei
Sslin^^^v^ ^E'^n b^rittbigett ©rii^b^ßdc^e imb i£)it)e fet^iu
b) 92ac4 btefer X)ar(leKung fatt« ieber S^Iiitber iild ein
yrtöm(irif4^er un)^ j^ber ^egel at^ emrpjp^raniibaUfc^er Airyer
t>on unenbfid) t)tc(en leiten angefeben loerbeii/ w^lAtt mit htm
^egel ober (Splmber tincrtei ^A^e ^(U. Saber tvorbett aSe
jene Serl)d(tnijTe , toe(d}e btöber t)on ben ecf igen prtdmatifcbett
linb 4)9raiaiba(ifc^en Körpern bemiefen ffnb , auc^ t)on ben
SD4tnbern unb J^egetn gjelten, ^tnn ba^er G itnb c jmet
(|^K»Unber> Kunbk ^wei .ßegel/ H unb h i^re ^ii^n unb O
vnb g i^re ©runbfl&c^en bebeulen, fo ifi, bei Hsh,
; . C: c = G : g aifc^
K : k s G : g) ferner/ bei
.G == g ift C : c = H : h unb
K : k = H : h.; bcinn ^
C : c =: R : k s= G X H : g X H, nnb t»entt
. G :rH = g, : h ifi/ fo mn^ CKndi G = c ober K=:k fetjit»
(Snc.fibei beweifet inbefen biefe @d^e noc^ befonberö
unb ixoar auf d^nti(^ Slrt, tote er ben lo. @a$ bewiefen M*
r GCLXVIII. 3 um 11* ©age. ^a^er ifi eö (eic^t,
«ifl^rere .(Splinber ^er £egel in einen ^^linber ober ^egel
)9on berfelbigen ^6^ {u oerwanbefn , n)elci)er ben gegebenen
jufammengenommen gleich i% 91ttc^ Idgt ffcb jebjer ^egel in
einen tl)m g(ei(i}eK S9Unl)er , unb umgefe^rt ein <S9Unber in
einen ibm gleid^em^egel oon ber n&mlicben i^dt^e oertoanbclit«
Sluf Al}n(ic^e 3Irt Idßt ffc^ ber Unterfc^ielT jmeier (Splinber
ober ^egel oon gleicher ^6i}« barjlellen. 3luc^ fann Vs/ Vs/
y5 unb überhaupt - eincö gegebenen ßplinberö ober Aegeli
in einen g^Iinber oon bejr ndntlid^en ^A^e oern>anbelt »»erben.
3n aQen biefen 0dllen barf nur. bie )u gnbenbe (Srunbjldc^c bai
995
pxtn fettfl geltr, »dc^e miKrbnt 8egxbettni,ettifrlti^6^c {)a6nt;
; .iCGLXM:« 3«m HO. ©a^e. a) Difftt @a$ feftt Wc
STufl^fung ber Slufgal^e i^etau^: @9lüiber junt» <5{ege{ ]u coti^
pmir^H, iDcIc^e tittwiter Al^tüi* fiiib*: @d .fei.:(gig» 396)
AßCl^'eiii fenlre^iei? e^l^ÄbcT/ fo. (<l>fciae-8tee EF auf bit
@^itbfidU?e Iat{)rrci)t 3linimt{mm^tiun:^i lAE.: Aa*=r ABj
AD;,' in btr 3«ic^«««S t»tf t:^^ nnt hHM «nett feiifrcd^eit
g^lin^ItU' AlafiG , b.t(|ht are JK ebeöfottd ««1 GH Io%t*t
(le^t, fo iß biefer flieiite fi^Iinber btin grißern i^trftc^; i^itQ
ufeer'cM ge0eitetier\Ke^(r( ABC ($tg: 397) bittet) bfn tpOKA^r^
fM^en 9Hitttt '£ biirc^ epftie^ette ^ataUü mit ber ®ntitbj{&<(i^t
jffftfenJttett/ .f(>;ijj»bet «j?flel A^^ ebcrifaUß bem gaitjeii Äegftl
ABC d^ttnt^. -211«* f>ielf tfnt ihan AD: BC = AG:EF.
b) )le6erf)(iupt Dar^ütlkrt flcb A^nlic^e €fUnber unb :^eg<f
wie bie SJiirfel t^rer iiixiUif fkgenfeen ®ckeiiti«ten* ÜöÄi»
I- 85;' < f{g> 396) AG j AD :^i 1 2, fo'tpörbe au* Si^linbct
AH:%r. AC = i»:8 fejjtti tg6en fo »^dre andi (^g. Ä9T'5
«eg- AEF^Äeg. ABC = if«> mnn AE: AB = i:a w&Ui^ri
' CGLXX. Sunt' 13. • ©a^e. (gilt «ri»ercr«Nn>ett Wtfc«
©ftgefüt folg^nb«: e§' f«i^^i^* 398) ABHG ein gegcbetii*
g^hnber/ ivetd^et in bm n)iKfu^r((ci)en ^ünct E t)ot| b€t@6e»e
EF parallel mit GH gefdjnitten »irb, fo fofl bebiefen »erben,
baß ■'<!** ßl^L'AHrig^l: EH =AG:EG i>ert)dlt
3);a . bi^. Sinien AG. unb EG ein ^mtitt^djaitlid^i 9J?a|
^aben, fo fei CG bajfette* it^ man bur* C, nlit GH glei<^
laufenb; eine X)urc^fc^nitld^ebeney fo entfl«t)t ein fkiner @9(tn#
»er CH'j toefdjer fo oft tn AH unb EH enthalten tjl, wie oft
c^ CG in Ag unb tn EG ijl. aßdre baljer AG = m . CG
unb 1:6 snn . CG, fo ttiuß «U* AH==in.CH iinbEH = n-.
CH nnb folglich AH r EH = m ? n = AG : EG=± JL : KL fe^tt;
3|i ber gegebene S^Iinber ein fenfrec^er, fo ftnb AG unb
EG jugleic^ bt« ^it^tn beö ganzen unb be^f leinern ßplinber^.
ülQenn er aber fc^ief ifi, fo f[el}t man Uidft, ba9 fiel) biefe
Linien fo ju einanber ^txfjalUn, toie iit ))oa A unb &auf GH
^t\aÜUn ^ot^e*
396
CCLXXI. gtt» HL 6a(C a) «ttcffbc« fB(t fßtt^
ba er btc arm aI6 i^A^en MQibt, fntfre4te (Eyltnber mtb fcob
uditt Jtegel )»orait<« (S0 muf ober srtetsi locrbcii, ba# bte
Cel^aitptttiig aud» Dott fc^tefett i^Arpent gilt«
IDer lu 6a$ , naät" wIAcm f{4 fowol^f Cyltnber aU
Kegel von gleti^ i^6^ett iDieJ^re @niiibf[dffecit vntfilun,
Ifüt ntd^ 6Io$ (et fenfre^^UH/ fonbertt, »te man (14 (eii^f ou^
bem SetDeife i6er|ettgt , , mtk (et fcbtefen A6ryent 6tatt.
ffiettn ba^er fdktefe Sylüiber unb Jtege( gleiche i^6^en i^abcn ,
fo Der^aften f[t fic^ ebrnfoK^ toit l^u (Sntnbfidcbeir.
b) 2)a^r fbib itoci fcbtefe (Syliiiber ober |n>et fd^tefe Aegel
eteattbrr gteti^ , loenn fic^ 6et gUfa^ ®runbfl&c^n ttnb t^er«
fd^tebener <5(^tefe , gleite lot^rec^te S^it^tn ^abeit« 9Ratt tanu
ba^er jebeit gegebenen 69linber ober Aegel Ui^t in einen
cutbern, t^ gleid^en «enoanbeln/ beffen Sbe trgenb einen
gegebenen SBSintel mir fetner @rnnbpdiibe bitbet
1 c) SQeon nnn ( gtg. 399 > bie )mei S^Itnber ABCD nnb
£FGH gleiche (in einerlei Sben^ liegenben) (Srunbfl&c&en DG
nnb HG, aber )>erfc^iebene ^6tnn BJ unb FL, andy Derfcfttebene
64tefen ^aben^ fo t)er(dngere man nnr bie (Sbene £F bii
MN , fo iß (S^U £G = 69L MC nnb NO = FL. Xa abtt
S9I. AG : (S9(. MG = BJ : NO, fo mu9 an^f (S9I« AG : (S9I*
EG = BJ : FL fe9tt*
d) £)a bie Jtegrl, aK Srittbeife ber iffutn entf|)re(^enbeit
tSüflinitv , mit ii^nen gleiche Ser^dUniffe ^aben , fo gilt biefer
Gab ancb t^on ben Jtegeln. Slnc^ finnen bnrc^ i^dlfe beffelben
biefi Körper leidet in einanber oenoanbelt iDerben«
GGLXXIL 3 um 15. Gabe« . a) (gi feien G nnb c {»et
diflinUt, G nnb g ibre ©runb^dcften/ H nnb h ibre i^i^en,
fo benfe man (leb einen britten (S9(inber (&, ber tint ©runb«
jL&^t G unb mt ip6^e li t^at ^ier i(l
G : S = H : h (14. ®ab) unb
g ; c = G ; g (11, ©a^) folglid^
(g:c =7GxH:gxh. äBenn nun
c; X H =: g X h, b. §.
G t g = h : H
397
fft; fo nutfl antb €irc feptt. S03&re aber C=sc, fi> mi^tt
^a0 eben biefe Seir^(ditffe audf Doii Xegc^R geltnt/ ttt^
^tijt fidi nmtme^r Dott feI6ft*
b) iOa^er tjl nunmehr , iDettn P nttb p priimati^iht ititb
tj^rarnfbaHfc^e ^6r))er ftber^aupt/ mit Sitifc^IuS ber (S^Ifitbet
unb ^ege(^ G unb g t^re ©ruttbfldc^en, H unb h ifjtt ^if^tn
bebeuten^ ganj im KKgemetnen bewtefett:
U 8e{ G = g ijl P : p = H : h.
ü. »ei H = h tp P : p = G j g.
3. SSef G > g ttitb H > h ijl P : p = G X H: gXh.
4. 8ei G X H = g X h f jl P =: p.
5. S5ei P = p tfl G X H = g X h.
c) 9facb btefen @A|en tß ti nun fe^r leicht/ yri^ntaltfc^e,
y9rQmtba(tf^e^.C9ltnbrtfc^e unb fegelfirmtge J{6rper gegen#
feitig in etnanber ju t)emanbeto unb i^ttr <9rdf c nac^ ntif
cinanbev ju loergletc^en*
GGLXXIII. 3 um i6. ®a^e. paf iai bon J auf BB
gef&Ste Sot^ JK nic^t in G etntrefen fann, folgt barau^^
totil bann aui G auf BG )tt)ei Sot^e, GA unb GJ ®tatt
f)&ttt\i, \0ai unmjgftd^ ijl« S6en fo lotnig fann biefe« iotlf
2n)if(|en G unb £ eintreffen* Siber wn 3 nad^ D fann e^
auc^ nic^t faOen. X)enn »enn man avA bem 9Rttte(t)uncte be<
streife« nac^ J einen ipalbmeffer {dge , fo entßdnbe Aber JD
ein gleic^r^enfeligeö tittUd, n>orin ber S^infel bei J aucH
ein recbter ko&re^ toai miberfpred^enb i%
CCLXXIV. 3nm 17» ©a|e* a) SBenn concentrifi^f
streife um i^ren feßen SDnrc^mejfer aK Sirenlinie rtngö um^er
gebrebt werben/ foentfhlb^nbi^rbttrcbcotictntrifc^e Angeln^
iveld^c in biefem ®a^ ali i^^potbefld jum ©runbe iiegen.
b) Daf iebe jSugel , bntdf eine (Eb^ne gefci^nitten / tintn
Stttii ali X)urd)fc^ntttifld(^e gebe, folgt nic^t mit btQldngv
lieber Strenge mi ber citfrten i4. (SrH&rung be< XI. Sucb«.
ZHiber fieOe ( ^tg. 4oo ) FANBH eine Augel , C ibren mtttU
pmct unb APBQ ben £)urd^f(^nitt berfelben bur^i eine (Sbent
Mr. 3i^b^ ^<^A b<(^ au« bem SRittelpuncte C auf biefe Sbenr
tai Sotb CD , nimmt bie m1iti\tftlld)^^ ftmitt £ unb J an
598
»IIb jie^t DE, DF, CE «nb C/, fo fittb hit ©tmrfe -CDE
unb CDJ red)ttt>mfeltg. 2)a lml^ (n i^nen CE :r: GJy «nb
atxdi J)E=:DI i(l, fo mut DEx=DJ fe^m Sluf dJ)nli*c Slrt
tDirb beiDtefcn^ ba^ D Don jeban '^uncte ,tn bem Umfci«ge
AEQJBP gletdjwctt entfernt ifl. .Jja^er muß biefe Umfangö^
«
Intie ein Ar cid feijn.
. -JDa DEi = CE« ^ CD*i ifl ntlb CDa immer f feiner mt^ ,
je nA()er bie Durd^fc^nirtöebene :bem ^tttelpuncte rncft, fo
muffen bie ent(Iel)enb^n: Äreife ^ier immer größer »erben. —
%{\x einen ^dinitt inxdj ben SWittefpunct i(l CD =30, folQÜdi
ÖEszrCE unb-man erl)ÄIt ben gr&ßten Äreid b. ^. jenen ^
auÄ beflfen Umbrel^ung bie Ängel entflanben ijl/ SBBirb CD =
CN = CE, fo entfiel)! fein Surdjfdinittöfrei« me^r»
CCLXXV. . 3 am 18. ©aße* a) ^ier j>erblenet bcr
bon Sircbimebed juerfl bemiefen^ @a& eine ©teile, nad)
iDcIc^em bie Äitgel, i^rem for^erlidjen 3nt)a(te nacfe, jmef
Drittl)eile eined (St[)Iinberö betrdgt, beffen ®rttnbfl[ic^f i^r
größter ^rei« unb beffen" S)iiit xijx Surcbmeffer ifl.
©ö fri ( gig. 401 X BMA ein ipalbfreid, an6 By:.C unb A
feien t>iz ?ott)e.BD = CM = AG errietet mb bie Sinien DiM,
MG, CD, CG gejoge«, folfi CMOA ein Q^abrcint, CMGA
«in Cuiabrat unb.CMG ein rec^tminfeliged I)reiecf, »eld^e«
aUtn bie JJinie MC gemein i%
-ÜBerben nunbiefelben um biefe ?inie MC, ali .fefiftef^enbe
Wre, einmal gdnj um^ct bewegt^ fo :bcfd)retbt bet Quobrant
bie ^albfngel/ baö.Duabrat einen (enkect)ten iSpIinber unb
tai rect}tn)infe(ige Dretecf einen, fenf rechten. ^egfl,.n>e((^e
Äörpeir bie §61)« MC gemein ^xiben. , ,
UBenn nun bie mit B A jpaxaMt Sftene QF : btefe bret
Ä6rj)er burd^fdjnribet^ fo 1)at ber. Diirdjfc^mttöfreid im (Splinber
bie Sinie NF, jener in ber ^albfugcl bii NO mtb.jeiiifr im
Äegel bie NH gnm; ij)aI6me(ff r; . 5 : :
Bie^f hion nun CO , fo ifl COq m NOa + »Cv afiet«
CO = CA == NF. ttnb NH zz NC , bal)er Äud) NF< rzz:; «0-^.+
NHq- X)a ffct) aber bie Äreidjldc^enjiptc bie'Quabrate i^rer
fSaWen t)erI)aUeti/ fo ifl ber Äreid m NE fo jrof ,..aWTWt
iJreife um NO wnb itm NH jttfammeli.
'.I* v» .
389
TbvxlX matt ffc^ nuit ettte jiDeife Z)ur(^fci^tt{ft$e6ette mtt
QF flletc^Iaufenb unb fe^r na^e bei t^r, fo Hegen gtDifdjeit
Beibeit brei ßipltrtber V)on gfetdjer ,^Ä^e / beten einet einin
S^^eil be^ gtoßen S^Iinbet^ , bet anbete einen ^i)ei( bet ipatb^
fugel unb bet britte einen %\\t\\ bed ^ege(ö 6t(bet
üBeil f!c^ nun ß^Iiubet üon gfeidjen i^ß^en »ie ij>te
^ ®tunbfldd)en t)ett)a(ten ; fo mu^ bet juetfl genannte (S^h'nbet
t>en beiben anbetn gufammengenommen g(ei(i^ fe^n.
Siaeitt biefe« S3eti)Aimi9 gilt auc^ ^t Jeb« anbete btei ,
|tt>if(i^en jttjei folcfeet ^ataOefebenen ent^aftenen S^Iinbet, unb
fca bie Sthx'ptt gleiche i^i^e MG t)aben , fo f innen auö jebem
foüiefe foldj^t (Splinbet etl)a(ten »etben, tote an^ beut anbetn*
^olglic^ ifl bet a}x% Umbtebu>tg t>on MGAG entßef)enbe (Si^tinbet
fo gtoß/ a(6 bie J^a(bfuge( unb bet Jtegel jufammengenommem
S^a abet fettetet ein £)titt^ei( iene« (Splinbet^ iß , fo mvi% bie
i^albfug«! {wei 1^tinbet(e beplben bettagen unb bie ganje
^ugef beth boppelten S^Iinbet b. % einem fotogen gleid) fe^n,
beffen ©tunbfldc^e bet gt6fte Jtugelfteid unb bejfen ip6^e i^t
SDutc^imeffet ijl* * .
b) üBenn a(fo jmei Augeltt t)oni)etf(4iebette»t X)ut(4meffet
gegeben ffnb , fo ijl jebe V3 ^«^ Sijrinbetd , bet i^ten gtif ten
9xt\t )Ut ®tunbflid?e u)tb i^ten X)utd)me{fet gut $j^e ^at
Siefe }tt)ei fenftec^te S^Iinbet {!nb abet einanbet dl)nltd9 unb
))ett)afte0 ftc^ loie bie 9BAtf«( if^tet X)utd}me{fit. ^otgliil^
(lel}en ade kugeln tm getaben Set^dltniffe ^tx 9Bfttfe( i^tet
X)ut(^meffet. SBettn biefe Sutc^meffet toie 1 : 1, obet toie 1 : 3,
obet Aberf)au))f noie 1 : n finb; fo t)er^a(ten {Tdi bie Jhtgeltdnme
it>ie 1:8/ tt^i« 1:27/ obet toie 1 : n'* Sejeicftnet xxi(kX( biefe
X^utc^meffet mX D , d , bie ^ti})^etiert ykfttx gtöf te« Äteif«
mit P,-p, bie giddjen biefet Ätcife mit F, f, fo ijl '
1) D : d = P : p»
a) D» : d* = F : f unb
3) D3 : d3 =5: K : k,
»enti biefe Ättgeln mit K, k bejeid^net toetbem
400
^ n ^ a n g.
^a itQtntoitii^t 6(brtft alt tc^rSttcft btt ^Iemetitar#
®eometrte bicnen foO/ »o?t|i bte (^eorerif4ieit (S&$e t)oit bcr
S9ercd)nttitg ber Figuren itnb Stitptv nidjt fel)(ett b&rfeit, fo
muß l)ier hat 3littiiQftt ba»on t)otgetragen merbem
CCLXXVI. Serecbnnttg ber ebenen gerablinigett
nnb gemtfcfetlintgen $tg^ren•
a) 3n bem Sor^rge^enben (LXXV, a^-^e) fTnb beretU
bte aUgemeinßen begriffe unb ^älfdfA^e wm Sfu^meffen geraber
Stnien unb tttbltoinUli^tt 9>ataKe(pgramme tntwidtlt wotbeu.
Um btefe ?e^re ^ter tttpat totiUt att^iufut)ren; bemerfe man, bag
eine toiVX&f)xlii^ gemd^Ue gerabe Unit, alt (Sinljtit Ut 2&ngen#
ma$zt, ber $u^ genennt nptrb« ®etn }ei)nter Zi^til xoitb
3 od nnb Ut Sollet {runter S^tyetl ti^trb Sinie genennt dint
{&nge S)on a<^>< %^9 ¥^9^ ^^»^ 9{jit^e* 3)ie Stid^in für
Stutzen ^ 9u0e/ Sode unb Stuten ffnb/ tu ber genannten Orb^
«uttg, biefe: ^ f, ", '" unb ed bebeutet j, ©• ia<» 6' 5" 7'"
fo«)ie[ a(0 18 Sttttijen, 6 ^u^t, 5 BoKe unb 7 Stniem
!Bei biefrr je^nt^eiligeu Unterabt^eüung ffnb bie Slebnc^
ttonen l^j^rer 9Ra0e in niebere, unb umgefe^rt^ fe^r tinfac^
eo i|l j* S5. 24®=:a4o' = 24ao"=a4ooo"'; ferner 16*» 8' =
168' = 1680'' = 16800'"; weiter 3a« 5' 3" = 3M3" =
30030"'; bann 8« 7' 3" 5'" = 8735'" ; be^glei^eu la« 3";=
1203" = 12030'"; ferner 18« 7'"= 18007'" u* f. »•
Umgefe^rt t(l 48327'" = 48« 3' 2" 7'"; »eiter 30084'"=
30« 8" 4'"; ferner 40008'" = 4o« 8'" u. f. xo.
SBenn nun eine gegebene gerabe Stnie nic^t t^onrommeu
genau mit Stutzen au^gemeffen werben fann / fo befltmmc man
ttoc^ bie in i^r enthaltenen $uße. S3(ei6t ^ud^ l^ier nod> ein
401
9lc(l f fo trfttfc man t^n burc^ 3o0e ant ^ ttnb loentt biefe^
Mc^ einmal ber ^a0 tfl/ burc^ Sinten*
b) £te gen)it)nlt(i)e @int)nt beö gldcbenma^e« t|l bet
DuabratfuS b« ^. ein Duabrat/ beffen @eire bie S&nge etnc^
^n^ed.^at ipieranö ergibt ed fid; fogfeic^; load man Duaii>
bratrut^e/ Duabrat{oU unb Duabratfinie nennt Sie
Beic^eit finb biefe: q® q' q'' q"/ nnb e^ l)eigt 46*i<> 18^' 27^'
B<i''' fooiel M 46 Quabratrut^en / 18 O« guße, 27 a BoUe
atnb 8 £l Linien.
Sind bem/ waö oben (LXXV, d) A6er bie 9(u4mepng be^
Cuabratei bemerfl lootben ifl« ge^t beutlic^ b^^oor^ ba^ l^i«»
= 100«'; ferner l*i' = 100«i''; be6g[cid)en i^^zzioo^i^" i|l.
Saber finb aucb biet bie gtrbuctionen fe^r einfach. - ^i jÜ
j. ©• 38^« = 8300q' = 830000«!"^= 83000000*"'; ferner 24^»
16*' = 24l6q' = 24i6oo*i" = 24i60000<i'"; be«gleicben 36<i»
a4*i' 154'' = 362415«" = 3624l500*i'"* SfttC^ i|l 12«<» 81' =
i208^ = 1208004"; ober 234« 6*' a«'" = 23060008*'" H» f. f»
Umgefe^rt ift au* 5872634*'" = 5*<> 87*' 26*" 34" ; ferner
36004008«"' = 36** 40*" 8"" ; bedgUic^en 400006*'" = 4o*<»
6*" tt. f . ».
c) Um nun ben gl&c^enirtl^alt ber St^omboibe. ABCD ( ^ig«
387) ju finbeu/ jie^e man t)on A auf DC bad Sot^ AB unb
i)on B auf bie Derldngerte DC baö Sot^ BF, fo i|i ADCB =
= A£FB. SQirb nun £F unb A£ gemr ffen unb ein ^robuct
beiber ^a^e gebilbet , fo fleOt biefe6 bie 9Renge ber quabrati^
fcben ^Raftbeife Dor^ melcbe bad Slec^tetf AEFB unb fomit
aud) bie St^omboibe ADCB ent^dlt Da £F = DC ifl , fo
(ann man aucb baö ^robuct au^ ben 3Ra$tl)eüen oon DC in
jene t)oti A£ ali ben 3n^a(t berfelben betrad^ten. £aber ent#
(tel)t bie Siegel: 2)er gidcbeninbair einer St^omboibe mirb
gefunben^ rotrm tat SRag il^rer @runblinien mit bem. SSHa^t
t^rer fenfrecbten ip6^e multiplicirt wirb. Da bie (Sbene ber
St^omboibe nicbt mit quabrarifd^en üRaßtl)ei(en genau ou^^
gefüllt werben fann^ meil jene feine rechte äQinfel/ fonbern
fpi^e unb ßumpfe entölt, fo wirb fle erfi in txn i^r gleic^ed
Stec^fed oermanbelt/ bei meld^em biefe« mdglic^ ifi.
26
402
« friDCsriS« «rmib A£ = 4'»6', fofd ADCB = iS4
>C 46 = 846*1' = 84i* 641'. — SJJdre DC = 6® 3' 8" nsb
AE = 1« V 3'% fo »Urtc ADCB = 638 X 193 = ÜUIJH" =
!»• 311' 341".
d) SBArr ( ^tg. 389 ) ABCD eine Stonfc nnb A£ ein hi^
l»OB A auf DC , fo iD&rbe bad f>robiicr au^ bem SRaßr »on DG
in jened von AE t^ren ^lAcfetninbalr barßrOen. ^nn fie it
einem ütecbfecfe gfeidlf/ brffen @runbünte = DC nnb beffen
ig^6be = AE. Setfpiele in ^oisiXtVL iaffcn fid^, »te Dor^in^
leidet berechnen. '
6f$t man ba^ 9Va8 ber (SrnnbKnie etne6 gegebenen f>a#
raDelogrammtf = g , bad SRaf fetner i^6!)e = h , fo f}f Dt tod
^robncr gxh feinen qnabtanfcben Snb^lt im StSgemeincn
bar. Sencnnr man btefen mir f, fo ift f:§=:H nnb f:h = g.
e) Ter 3nt)jft etriff recbeminfeligen Sreietfd ADC r ^ig.
367) worin AD=DC ober JML (gig. 369) worin JM<ML
ifi/ tDtrb gefunbm, ioenn ba^ 9Ra0 ber einen ^a^t^eie DG
ober ML mir jenem ber anbern (gnt^eie DA ober MJ muUi#
X\\i\xt nnb bad ^robucr b^Ibirr n>irb. Denn toenn boi
Cuabrar ABCD ober bad ISecbrecf JKLM ergdnjt wirb , fo
i(l A ADC = Vi Quabr. ABCD mx^ A JML = Va JRec^f.
JKLM.
gär JM = 8<> 4' nnb ML = 17^ 3' wirb A JML =
L^-l!5 -. 4*^ X 173 =, 7*266^' iz: 11^^ 66*i^
3
Ge^r man bie ®runb(inie, i^rem SRa^e nacftf = %^ ebenf»
bie ^«^e = h mtb bie gfic^e = f, fo ijl f= ^^'=1/3 gxB
si/j^XS' ^^^^^ '"'^ 9equem(id}feir % g ober Va b aM
gactor genommen wirb, wenn g ober h eine gerabe 3<^bl '\%
gerner wirb fzi/^grrh nnb f :% h = g, ober and) f :g =
»/j h nnb f : h = i/j g. •
f) Um ben 3nbair be^ fpt^wtnferigen rretecT« DER ( gig.
350) ju berechnen, i\t^^ man bad Sott) DJ oon D auf £K. unb
erinnere fld) nun au^ ben fräl)ern ®&$en, ba^ e^ bie j^difre
bed 9Iecl)te<r« ifl ^ welc^d EK jur (Hrnnblinie unb DJ jttr ip^l^
403
fjat Ibafttt tntrg andf ^ter ba^ Wlaf wn ER mit j?nem ^on
DJ ntuUipItctrt unb biefed ^robuct ^albirt n>erben.
iSi fei EK = 14<^ 8'' unb DJ = 12^ 4', fo i(l ADEK =
1408 X = 1408 X 620 = 872960*1" = 87^*^ 29'»' 60^'»
. Üuf A^nlt^e SIrt wirb andf tai flumpfmiitff (ige ICveiecf
(erecbner^ bn n>el(jbem ba^ ^öti^^auf bte Serl&ngeirung ber
^ntirblinie fallen fann. Slllettt>, »om @cbetre( bc6 ßumpfeit
SEBinfel^ S^jofl^n, fdllt eö immer innerhalb be^ Z^retecfd, 9iuf
g(f icfce älrt f6nnte au(^ ber 3n^att bed rec^twittfeiigen £)re(ecfd
Sefanbetf werben.
g) Doö ^araUertrapej ABDC (^ig. 271 > wirb b«r* bie
£UierItnte BG in )wet Dreitcfe ABC unb BCD gettyettf, weld^e,
in Se^ng auf bte @runbltmen AB. unb CD, einerlei ^6l)e^
»&miicb ben tibflanb ber ^araBelen AB unb CD ^aben. @e^t
man benfelben =: h, nimmt CD = G unb AB=g, fo ifl
Gxh axh. '' h G + ß
ABDC= -^+?^ = (G + g)X-==-Pxh, b.l).
ber l^nbolt bed ^araOeltrapej wirb gefunben, wfun bad ^a0
iber Gumme feiner ^araUelfeiten mit Um falben QSaße i^re^
gfgenfeirtgen Sibßanbed multiplicirt wirb.
(S^ fei Giz24« 8', g = i8® 2' unb h=9<> 2'^ fo wirb
92
ABDC = (248 + 182) X :r; = 430 X 46 = 19V80<i' —
197*1® 80q'
(gin Ztap^i ä6er()aupt wirb berechnet, tnbem man ed burc^
f ine Diagonale tn jwei X)reiecfe ti)etlt, biefe nac^ i^rem 3nbaUe
6eflimmt unb fummirt Wlan wAblt t)terbei eine folcfoe X)iago#
itale^ auf welcbe jebe^ ber jwet oon ben it)r gegenft&rriiegenbett
€pi$en bet Dreircfe gezognen ^oti^e ttift, um ba^ wirf (ic^e
SReffen einer \)ierten 9ittie ju erfpc^ren. Senennt man mit G,
U unb h ba^'URag btefer Diagonale unb bei; beiben Soti)e auf
, GxH Gxh , G /H + h\
ffe, foifl^ + -^. = (H + h)x- = (-^;xG
btt aSgemetne Slitöbrutf beö 3tt^a(te0.
^ 26 ♦
/
404
h) iDa itUi gerabKntge Siefecf bttr^ Qitfrltitiett ttt Drcu
tdt QtttftiU werben faitn; fo^ haf in etitem gfrablmtgm
D(Scfe l)!erburcb d — 2 Dretedfe enrfte^n, fo btttdint man bett
Snl^alt jebed bf efer ^retrcfe unb tl^re 6uinme gibt ben ^(Ac^en^
raunt be^ Stefecfd. @d tfl {wecfmd^tg / bte Diagonalen fo jn
{teilen, l^a^ iebe^ tt>o ed nnr immer m jg(i4 ift/ ald ®riinblittte
jmeter ffd» gegenö6er(tegenben Dreieck angefe^en wecbrn fann.
Üudi tann bei einer t>ielfeitigen / ablang geflaltetcn gerab#
linigen ^igur nad) i^rer ganjen {dnge eine gerabe Sinie mitten
burd^gegogen werben , wcburc^ (!e in imi Z\)tilt get^tft »irb.
3ie^t man nun 9on jebem ju itfttn betben Seiten (tegenben
SBinfelpuncte ein ictt) auf biefelbe, fo entfiel^en ^araOeO
trapeje, »efc^e auf bie oben (gO bemerfte ffieife leicftt b^
tidintt werben f6nnen. SIbbirt man {u it)rer <5nmme bte an
ben beiben Snbpuncren ber Querlinie (iegenben red^tminfeltgett
Dreiecfe, fo ift bie @umme ber 3n^a(t ber gegebnen ^tgttr.
Seid^nungen / welche biefeö erfdutern ^ ftnb fe^r leidet jn tau
werfen.
i) @oO ber 3n^a(t einer ^ipr bt^immt werben ^ welche
)um Ztftil \>t>n einer frummen Einie eingefcbfoffen ifT, fo tritt
ber für hai practtfc^e Sebärfni^ ^inveic^enbe ®runbfag etn:
SUlan tann in jeber Trummen Stnie fo Heine SC^eile nebmen,
ba^ fte^ o^ne bebeutenben %tf)Ut , ali gerabe Linien ju be^
trachten fiub* £)6wo^( nun bie Ztitih ber frummen Sinien
felbfl wieber frumm flnb unb immer frumm bleiben , fo nd^em
ffe f[d^ b0(^ immer met)r bem ®eraben/ je Heiner {Te genommen
werben. QBeun nun eine gfigur auf ber einen &tiu butdt
äßinf eUinien , auf ber anbetn aber burc^ eine .frumme Stnie'*
umgreuit ift/ fo jie^e man t>om SInfange jnm (Snbe biefer
le^tern tint gerabe Unit burc^ biefefbe , neunte in ber frummen
Sinie fo Heine 6täcfe, ba^ ((eo^ne merf baren ^e^Ierfär gerabe
gebalten werben / jte^e aui bem (Snbpuncte eined jeben ei«
8ot^ auf biefe Duerlinie, fo entfielen ebehfaW mel^rere 9>araU
leltrapeje; welche na* bem »origen leicht berechnet werben
(innen. SDirb nun hierin ber Snl^alt ber nbdb entfle^enbett
401»
t^xtitdt abbin, \o i(t bie ®itiitme ber Sii^alt bet gesebeneit
gifittr. dtlinUtuti^tn bitrcb B^i^^vinQtn finb (eic^t su geben*
auf d^nlicbe 9lrt I&^t fk^ auc^ ber 3ti^aft einer giguv
bered^nen/ melcbe ring^ um^er in eine fntmme ^Einie einge^
fc^loffen i|l*
CCLXXVIL Ärei«rec^nattgen. a) di iflt ani Um
SSorbetge()enben befannt , hai ber ipqlbmeffer etne^ jereifeS }U#
gletcb aud) bie @ette tti in ib» befct)rtebenen regedn&gigen
©ed^^ecfd i|l* S(Betttt baber Cgig- 124) AG = GB = AB , fo
ifl AB bie (Seite be^ regttl&ren @ed}^ecf^ in bem mit GA aud
G befcbriebenen Areife. 2)enft man (ti^ ttitn aud G ein ^otb
«nf AB, ba, u>o tt biefelbe fcbnetbet/ ein'J unb ba, too ed
ben Sogen AB ^albirt m M» unb gie^t bie geraben AM nnb
fiM, fo iftAMszBM. @ebt man nun GA=:AB=ri, fo iü
A J = % unb e« wirb GJ = /^(i— i/^) = ^ 3/^ = V"* ^**"
t|l JM=GM— GJ=i— ^-- nnb farni ebenfaB* berec^t
tverben. ferner »irb AM=: -/*(V4— -JM^) unb i|l bafier
ebenfalls (eicbt }u berechnen. <Sd iß aber AM bie @eite bed
tn ben SttU in befcbreibenben regeimdßigen üiScfd* ^ofglicb
fann bie (Stiit biefer Seite unb folglicb auc^ ber Umfang
biefed laSde leicbt beßimmt merben*
Durc^ eine biefer gan{ &^n(i(ben Stecbnung finbet man an4
ber (Sv6$t ber ©eite bed regelmäßigen 12 (Scf d jene bed 24 Scf d;
an^ biefet »ieberum jkfie bed 48(E(fd, bed 96$(fd unb jebe*
fo^genben regelmäßigen jDoppeletfd* Slucb ergibt ftcb ^ieraud
ber Umfang jebed biefer regelmäßigen SSielecfe, unb ed ge^t
aud ben ^ä^ern @&ben ber ©eometrie t^eroor^ wie ^ierburc^
ber Umfang jjebed um ben Areid befcbriebenen regelmäßigen
6 (SM, I3$cfd/ 24(S(fd, 48(S(fd n« f. f* beredjnet werben fanm
b) jDer (Srfie, welcher ben Umfang bed Areifed burc^
regelmäßige Sielecfe, in unb um benfelben brfcbrteben / {d
bedtmmen fttc^te, warber ifod^bttüt^rntt 91 regime bed/ geboren
in (Samod im 3* Ml }0. Sbr. ®eb. unb im 79. Sa^re feined
3l(terd bei ber Sroberang i^on ^racud burd^ bie 9t6mer i^on
406
etilem iSoItateit crmorbet (Sr Bered^nete/ fo ttimonfommett
ciiHf) bie 9(ritl)mettf ber ®rtfcf)ett gemefen t|t> ben Umfang
lüted in unb um b/n Kretd Sefcbrtebenen regefmdgigen 96@cK^
}n)ifd)en n^elcben bie Peripherie biefed ^reifed notbwepbig
faOen mug* Sr fanb, bog baö S^rl)d(tni9 oom Surcbtneffer
um Umfange be^ ^reife^ f leiner fei / alö 7 : 112 , aber gröper
aU 71 : aaa. @e$t man
7 : aü = 1 : «unb
71 : aäi = 1 : z, fo »trb
2 = 3,14090965 . . •'. unb
Z = 34^282657 . • . .
unb bie ^eripl^erie mu^ > z ober < Z fe9n. aOetn feine
fRec^nnngen flnb nict)t mit ge^6riger ®c^&rfe gef&^t.. Denn
genauere iSerec^nungen geben *
% = 3;i4i05a3a • . • . linb
Z = 3,l4a73679 ♦ . . ♦
Z + «
j»ifi^tt »etcfee be« Äreifc« Umfang liegt. SBoffte man — ^
f&r bie ®rjfie biefed Umfangt fe^en, fo wAre ^ierju fein geo^
metrifc()er @runb »ori)anben, unb ed bleibt )ur genauem 93e#
flimmung ntcbt^ &brig, oXi bie innern unb AufTern SSielecfe m
jBejug auf i^re Oettenjai}! ju üerboppeln unb ibre Umf&nge
burd) febr miit>t)cUe dted^nungen beßimmen. t)ai:z = i:3,l4..
unb i:Z = i:344... folgli* au* i:z=ioo:3i^ unb i:Z
= 100:314 iil^ fo fagt man gen>6t)nficb ^ ber X)urcbme(fer
bed- ^retfe^ verhalte fl* ju feinem Umfange, wie 100:314/
U>e(ci)ed Ser^dltnip für mancherlei Sinmenbungen ^inreic^enb
^ genau ift. •
c)Durd) d^nlid)e 9le*nungen ^at ^ubofpMan Seulen
biefe Annäherungen bic( )u re u'mAgigen Sieierfen oon laufcnb
Sßiffion Seiten mit unglaublicber ^J9lAI)e fortgefAi)rt in ber
6ci)rift: Van den Girkei, baerin gt)elerrt werbt te oinben be
ttaeße ^roportie bed Sirfeld Ciameter tegen f^nen Omioop*
Celf 1596. @pAter ging er no* weiter unb fanb/ bn^ (tc^
ber Cur^mclfer )um Umgreife t)ert)alte wie
i:3/l4l59a 653589 793338 463643 383279 5038...
407
3tt itettern Otiten tiat man noc^ mit mit grif crer Gt^ftrfc
foljjenbeö Ser^&Ittit^ geftinben:
1:3,14159 a6536
26133
69399
59230
86'J80
821)8
09384
83279
37510
78164
34825
08651
46095
89793
50288
58209
06286
34211
32823
50582
23846
41971
74944
20899
70679
06647 '
26136.. •
3>tefe 3o¥ 3;i4 • .« nrirb QtwifinUdi mit n bejetcbrirt
d). @oa iiMtt {u einem gegebenen IDurcbmeffer = d bte
^en>^erte =p beregnet n^erben, fo tft bte 9ro))ertioti biefe:
•„;- 1 : 5r = d : d^P •
I
itnb dn ilfllr* bi^fenAUmfang in 3<^b'^n ^<it.
gfir d = lö? «wrb p = 31^ 4' t" 5«' • ♦ . gftr d = looo« ,
tt)trb p = 3141° 5' 9" 2W*.* gftr d=l5° »irb p = l6 x
3,14159.-. .
Um für einen gegebenen Umfang Un 3)urc^meffer 2tt ftnben^
fe^e man bie ^rQ)>ortton
3r : 1 = p : d,
woburx^ d= - tt)irb. 3Da auc^ d = px - i(l^ fc berechne
1 1
man ben SDBert^ t)on - in ^^tjUn. Cd i(l nimlicfe -=:
o,3i83098«6i 83790671 53. ., SBBdre nun p = iooo<>, fo »ürbe
j^terna* d = 318*^ 3' o" 9'" lu f. ».
e) Siuc^ f ann , bei gegebenem X)nrd)mr{fer unb bem in
©raben gegebenen SRIttelpunctewinfel , bie ®r6gebed i^m
)nget)6ctgen Itnrri^bogend bered^net n>erben. :Denn e< wirb
ftd) immer 3öO° ju bem gegebenen SBinfel üerbaUen/ loie fic^
bie ganje ^eripberie .jn bem }u, flnbenben Sogen orrbdlt
@eßt man btefen SBinfil n= q°, bie ^erip^erie bei JtreifeS
= p , fo ijl ^ier
360'
n'
= p : X unb
360
408
I
®an) auf A^trltc^e 3Beife tann man ani ha gegebenen
®xip etned ^ret^bogend unb aM ber 3(i¥ ^^^ ®rabe , totiä^t
bet il>m jU9el)6rifle ÜWittelpunct^winfel ent^dlt, ben Diin^^
mtffer be^ Aretfe^ beredjnen^ 3(1 ber gegebene Sogen = b ,
bie S^tjl ber ®rabe bed gi^gebenen SOSinfeld ;= n^, fo tji
no : 360® = b : p,
360
»oran* bie ^en^^erie be« Äreife* ober p=: — xb »irb,
tt)oraud man fobann feinen IDurcbmeffer bered^net
, 3<^b(enl^e{fpte[e fdnnen fei)r (etc^t bered^net werben« Sfud) I>
ffc^ feid^t folgenbe ^rage beantn)orten : 9Bie gro^ tfi iener Wiu
telpunct^wtnfel in einem gegebenen greife , beffen Sogen bem
©urc^mejfer biefed -Äreifed, ober feinem ipalbmeffer gleich ifl?
£) Die jtrei^flddje ijl einem Drciecfe fltei<i)f/'^ beffen ®runb«
Knie feiner ^eripljerie , bejfen ^itft feinem ^;!^älbmejfer gfei<^
i% — Denn noenn man in einem jlreife ein Onabrat/ bans
ein regelmdßiged sdd, i6@cf/ 32@cf, 64(Scf u/f. f. bt^d^uibt,
fo i(l ^hen (XII. ^ud^f % @a$) bew.iefen/ baß man ^ier#
burd) t)on bem greife me^r aH bie ^dlfte , bann ten bem
Stefle n)ieber mei)r a(d bie J^dffte n* f. n). t)inn>egnimmt«
SBenn aber biefe6 immer fort gefd^e^en fann, fo bef^mmt
man einma( einen [Refl, toeld^er f leiner a(^ jebe angegebene
(Svi^t i|l ( CCLIX a u. b ) , folglich entfielt einmal tin regele
m&ßiged 2°@cf im Jtreife, tp^'^c^^^ bemfelben fo na^e f6inmt/
ba§ bei^ Unterfc^ieb feiner ^(&d)e t)on jlener be^ ^eife^ fleiner
a(d jebe gegebene ®r iße ifi. Deitft man (tc^ oom 9)7itre(puncte
nad) jebem 6c^eitefpnncte biefed Sielecf^ eine gerabe Sinie, fo
befielt ber Xxtii an€ 2^ congruenter Dreiecfe. Da aber, mit
man (eic^t einfielt ^ bte ®nmmt ber @runb(inien aOer biefer
Dreierfe ( bii$ auf etwad tjidi^ unbebentenbeö ) ber ^erip^erie
bed ^reifed nnb bit $}iiit eineö biefer Dreiecfe ( ebenfaSt o^ne
merf baren ^et^Ier) ber i^albmeffer ifl, fo ge^t ^terauö bte
SQa^rt)eit obiger Sebauptung ^ert)on
g) Sllba^er bie^eripi^erie eine« Greife« =::p, fein Dur(^#
meffer =d, fo ijl feine gldcbe F = px -. Da aberp=«d
'' I
409
tneffer bejetd^net , ia tai Duabrat bed 9tabtu* ber t>tevte S^^eil
tem Duabratt bed 2)ur(4mefferd tß. 9&r rssio^ mrb F=:
100X37i4i5**. = 3l4^ 1' 5'' !;♦[•».
F i
I)a Fzsr«^, fo ifl and) - = r« = Fx- = F.X
0,3^830988618379 . * . folglich r = ^F X 0,31830988 . . . . =s
V^ 0,31830988 •♦• xV" F. ffiirb llUtt i/" 0,31 8 30988 •..*
ein f&r aUtmal btxtd^ntt , fo ifl ffe ein befidnbiger ^actor t)on
V^F unb bad ^robnct gibt ben $a(bme(fer bed ^reifeS bei
gegebenem 3ni)a(te*
h) tffienn bet Snrc^meffer be4 jtreifed nnb bie ®tiit tinti
titnttimnUU in ®rabcn gegeben tfi , fo (ann ber gldc^enraum
beö ibm entfprecbenben Slu^fc^nttte^ berechnet »erben. X)ettit
H t)er^dtt ffcb 360^ ju n^ wit hit g^nje ^reiifldd^e (Ic^ ju
btefem Su^fc^nitte t)erbdlt X)(r^er toirb ^ier
360® : n^ = r*« : A
nnb forglidlf anöfd^nitt A=^r^tnr=r»nx^. ffiirb ber
3a^Ien»ert^ »on biefem SBruc^e — berechnet, fo fjl berfelbe
tin bejldnbiger gfacter sion r^n» nm A )u beflimmen*
_ ^ ^ nr^w , , ^ 360A 360^ A
300 ^ r'w- or r*
SQtrb ^ter bie 3<i^I — (in für aKemal bered^net; fo barf ffe
' A
tiwx mit — multi|)ficirt n^erben/ nni and bem i^albmeffer eine«
greife« nnb ber 0(dc^e feine« STnöfd^mt» ben SOSinfrl biefe«
9[n«fc|fttin« )tt ftnben«
Stac^ biefem SRnfkr Kmten anc^ anbere/ biefen dl^nUi|t
Sbtfgaben bebanbell »erben«
i) jtreiöabfc^nitte »erben berechnet/ »enn man twn ben
tbnen entfprec^enben Sndfd^itten bie barin liegenben Z)f eiecfe
»egntmmt; Ibit 0r j^ ber Xn^fc^nitte »irb nadl^ bem Sorl^r#
^
410
fitljfnUn (cilimmt; hai IDveiecf aSet ani htm !Ra9e feiner
©runblinte unb ^6^e (wenn fic^ ntc^t eine 6e(fere SRet^obe
bar6tctet) berechnet.
£ie ^fdcbe eined Ringet, b. tf. bed Unterfcbiebed jweier
concentrifct^er Jtretfe wirb , n>enn ber größere Stabin^ == A ,
ber f feinere =r gefegt wirb, burd) R^jr — r*« = (R* — r*)«
beflimmt. @o0te ber Sitng ein b e fl i mm t er Zi^til bed
grigern Xretfed fe^n^ fo miißte (R* — r*) w ein folcber St^eil
t>on l^^n , folglieb R^ — r» eben biefcr ZM toon R* (eijn.
6oOre {. S. ber Sting Un fecbften S^eil bed grdßerit
R*
Äreife« betragen , fo müßte and) rr^— — ^rzö, folglich R* =
6R*— 6r* unb 6R* — R*=:6^^ baber5R*=6r* unb r* =
y^R* fe^n. SRun i|i e* leiAt, ein Duabrat ju finben, totldbt^^^^
tinti gegebenen ifl (CLXiV.) , fo(glid) ift r bierburd) beßimmt.
Und) laffen ffc^ leicht ik Sluc^fc^nitte be« Sting«
6ered)nen*
CCLXXVIII. IBeredjnnng ber Äirper unb t^ret
JD6erfl&d)en.
a) Sad äRag {ur QSencbnung ber Sirptv muß felbfl ein
AJrper fe\)n. 3ur gint^ett biefeö ^JReffene tt)db(r man ben
Subif fuß/ b. i). einen ^i5ärfe(, beffen ®nU einen guß betrdgt«
Senft man ffd) nun einen /i8iirfel> be(fen Seite einer Stutze
gleid) ifl, fo fdnnen 10 Subtffiiße an biefer ^iu neben tiiu
onber unb ebenfalls lo bcrfelben an bie aubere @eite ber
®runbflAd)e neben einanbrr, unb fofglid) iomat 10 b. b- ioo
auf bie gauje ®run^f[äd)e ge(}eOt werben. Da nun aud? 10
Subiffuße in ber @eite, n>e(d)e bie ip6t)e ber @ubifrutl)e hu
ftinimt, Aber einattber ju (teilen jlnb; fo mu^ ber Staum ber
(Subifruti)e 10 £d)id)ten folcber (Subitfuße, in beren jebcr fldb
100 beftnben , b. b. er muß ioomal io ober iooo (Subiffuße
entt)aUen. IBejeid^net man tit Subifrut^en mit «s @ubtffuße
mit «% (SubifjoUe mit ^" unb ßubiflinien mit «''', fo bat matt
!«• =: 1000"^' ; 1«' = 1000«" ; 1^" = lOOO*'"'.
b) 92acb biefem finb bie Stebuctionen ^6^eret ÜRaßt^etle ttt
nitUxt, itttb umgefel^rt, aud^ ^ter fe^r etnfadi^. 9i ift )* 8.
411
85" 4a5«^' = S34ü5«'; oler 46*' 58«^ = 46058«"; ob«^7«<»14«'
agcf/ 22 7014028«^''; ferner 14*^0 ia«"'=i4öooooooia«'"u. f.w.
8lu* ift miigefetjrt 843a5«o=: 84<^o 335«'; ferner 43a98764c'"
= 43*^' 298*^" 764«'"; ober 53007800046«'" = 53«=« 7«' 8Ö0«"
46*='" u. f. TO. .
c) @oIl nun ber 3nt)a(t eineö gegebenen SBftrfel« gefunben
»erben , fo meffe man feine ®tite^ fo genau e^ miglid^ t|l/
burcb @d»ube , BoOe , Linien ; YnnftipNcire biefe« Wag {wetmal
mir fid) felbfl, fo geigt baö ^robuct bie 9Renge ber Subifmag^
t^eife feinet Snbalte^« Cenn ed t(t nad) bem 93orberget)enbcit
Kar, baß ber Siaum bed ^Arfe(<^ burd^ bie ^ier .gefunbene
3^41 ber ßubifmagtbeife genau ausgefällt werben fann,
ff« fei ba« ®?aß feiner ©eite = 8<* a" 5'", fo i|l befiVn
Sn^ialt = 80'i5 X 80a5 X 8025«'" = 416815016635«'" = 4l6««
3i5«' 16«" 635«'". «BJdre bie ©eite be« ffiftrfeW = 3' 4"/ fo
»ftrbe fein 3nl)alt =34x34x34«"= 39304«"= 39«' 304«'^
fepn.
d) Um ben 3ni)art eine« fenfred^ten ^araKelopipebum« mft
red)ttt)inff(iger ®runbf[äd)e }u ftnben^ meffe man fon)ol)I bie
©runbhnie tinb i^6t)e ber ®runbfldd)e , a(« aud} bie i^6l)'e mit
bemfelbigen Wage^ ). tB. mit Um S&ngenfuge; muftiplicire
biefe brei 3^t)Ien mit einanber, fo jetgt ba« ^robuct bie 9Renge
ber 6ubiffu0e an^ »eld^e ber A6rper entt)Alt. renn mentt
2* 9. bie (Srunbltnie ber ®runbfldd?e = 6' unb it)re i^^b^ = 4'
{(l, fo fjnnen auf ibre ^Ldd)e 6x4 = 34 Subiffuge gefleOt
toerbcn. Beträge nun bie jp6be 8 ^\x%, fo n>ürDen 8 ©d)id)tett
t)on (Subiffugcn^ beren jebe 34 entt)dlt, iibereinanberge|}c((t/
ben 3nt)alt bed A6rper« biiben, n^elc^er ba^er =:i4x8 =
192«' ift.
©cU ber 3nba(t eine« fdjiefen ^araKelopipebum« von
fd}iefn>infeliger ®runbfldd)e gefunben n>erben, fo meffe man
bie ®runbliuie unb bie feufred^te i^ib< ber @runbfl&d)e , nebft
ber forbred)ten Sii\)t be« ^6rper« mit einerlei (Angenmage/
mulriplicire biefetbe mit einanber, fo (lettt ^a^ $>rot)uct bie
(Sttbifmaßtbeile beffelben «)or* Denn e« wirb l)ier ber 3n^a(t
eine« burc^on« fenfred^ten ^araOelopipcbum« gefuttbeu/ toeld^e«/
412
tia^ bettt Sot^erge^cnkeit , mit btm gegefrenen einerlei Sn^alr
bat , Saffen fic^ biefe brei Sinien nic^t genau mit %n^tn au,^
meffen/ fo befiimme man.ffe noc^ in 3oK^ ttnb Linien« &
fei bie er(le = 4' 7", bie gweite = 3' a" unb bie bf ittc = 8'
1", fo ijl ber Sn^aU = 47 x 32 x 81«" = iai8'i4<^'' = iav^'
824«^
e) Sa iebe« breiedPige ^rijma bie ipdifte eined ^araEelo^
')>ipebumö t>on ber bo))pe(ten @runbfIAcbe unb ber ndmlic^en
j^6^e ifi/ fo jtnbet man ben 3n^a(t breiecfiger ^ri^men^ wenn
ba^ 3ßaß i^rer ®ntnb{Id(^en mit jenem ifyrer fenfrec^ren ip6^en
mviti^Xkixt »irb* ^dre bie ©runbfidiite =34<i' unb bie lolb'
rechte ^6l)e =15', fo »firbe ber 3n^«U = 510«' fejjn»
. ®oII ein melecftged ^ridma berechnet noerben , fo mufti^
yficire man bad ^a^ feiner (9runbf{dc^e ( xoii^t a(ö Siefetf
auögemeffen tvirb ) mit jenem fetner lot^rec^ten S}h\)t* Denn
ein fold^ed n etfiged ^riöma befielt ani n — 3 breiecf igen ^ri^^
men, n>e(c^e in i^rer @umme bem ebengenannten ^robucte
gleich jinb* ZaljUnhtxSpHlt {innen leicht ^ier&ber berechnet
werben«
f) Da aOe (Sigilinber yri^matifc^e jt dryer ftnb , fo ifl i^t
Sn^ak ebenfaKö bem^i^obucte ant bem 3n^a(te i^rer @ntnb#'
fldc^en in bad 9Ra$ i()rer fenfrec^ten.^d^en gleich« @e$t man
ben ^albmeffer ber (Srnnbfidcbe sr, bie ferif rechte ipoi^e =li,
fo i(i r^tnr ber Sn^alt ber ©runb^dc^e unb v^nh (lettt ben
3n^a(t hti (S^Iinberd bar« Stimmt man biefen = G , fo ifi
c c / c
C = v^nh , folglich ^ = ,:i^ «"'^ ^^ = ^» *>^^^^ "■ = V iä '
worüber man leicht Se{ff)iete in ZcAiUn berechnen (ann.
Der Umfang eineö fentrec^ten (S^Iinber^ ifl einem 9lec^te(fe
gleich/ beffen ©runblinie bie ^erip^erie feiner ©runbfid^e unb
fleffeu ^6l)e feiner @eite/ ober anc^ feiner Sljre gleich \%
Denn fo wie man gc^ bem Sn^alte bei ^reifeö feiner ®runb<
bdc^e burd^ eingefc^riebene Sielecfe wn immer i^erboppeltcr
©eitenjo^t fo weit onnd^m tann, olf man wiU (CCLXXVIl, f),
fo gilt biefe Sthndt^erung anij i&v bie fortgefegt in bem (ot^^
if^iiittn (Splitter befc^riebenen «»ielfeitigen $ridmen> woburd^
415
•
bfe Bnvmt iffttt Gctoitflitfeen brv fnttnmett ßtiUnf^ü^t M
^tntxtd^tmSpUnbtxi tbtnfaU fo tia^e timmt, ali man mtL
Simmf man ben ^albm^tt bev (Sruiib^Ac^e = r , bte ®eire
be6 @9(iiib€r< = s ^ fo tfl Unrs feiner frumtnen @ettenfl&(^e
QUid)\ Kennt ntdn ffe F, fo tjl F = arw8, folfllic^ r =
FF
— uttb 8 = — , tppjtt ffc^ leicht S3dfpte(e berechnen (äffen*
3^e fntmtne OeUenfi&c^e be6 fd^iefin SyltnberS t(i
toett fc^noiertger ju berechnen«
g) SBlan ftnbee ben 3n^a(t einer breierf (gen ^Sj^ramibe ,
tüenn Väi ^robnct ani htm jDlage t^rer (Srnnbffdc^e in ienci
itirer fetifrecbten ^itjt mit 3 bti)ibirt tt)itb* IDenn fle ifi ber
dte %t)til timi breiecfigen ^^ri^m«'^ wn ber n&mli(f)rn (Smnbi^
f[&(^e nnb $6^e. Sa jebe netftge 5>9ramibe ff^ in ü^%
breiccfige t>on berfelbigen ^6^e jert^eifen Idßt / fo mrb an<^
jebe melecfige auf dbnlit^e 9lrt bered^net 3fl i^re &xuv^
flidft, bem QRa^e nad}/ =g9 bie ^6^e =h, bie ^ipramibe
= P, fo i|iP = ?^=g/3Xli=-.x g,.worWcr (li^
(eid^t Seifpiele berechnen laffem
liT I^r ^egel tfl^ note befamtt, ber MtU Zijtil timi
(S^Hnber^ Don berfelbigen ©mnbfldd^e unb S)6ijt. @e^t mmt
ba^er ben ^albmeffer biefer (Srunbiläc^e =z r , bie ^itjz Ui
Stt^M = h , fo t|t -y- ber Snl^olt bCefe* Stixpcti. Kennt
man i^n K, fo i(l K = -— , bal^erh=:-j- nnb r«=:-r>
forali* anc^ r = ^ ^•
2)ie frumme @eitenf!it^e eined fenftrec^ten Stgdi {(lefittm
Sreiecf^ Qttiä^, beffen ®runblrnie bie ^erii>^erie fetner 9ninb#
^idjt unb beffen{»6^e feine Seitenlinie iß. Denn menn man
fl(^ biefe ^ttiptjtm ali ein regelm&^iged Sielecf Don fe^r
Dielen @eiien benft, unb; Don jebem ®i4eite()9uncte befelbcn
iiAdr ber @pi$e Ui ftt^elt eine gerabe Um litiftf fo bef}el)t
^ie ^egetflAi^e an^ fe^r Dielen utfter tfUtf congrnenlen Creietfen,
4U
bereit ®amine aM bie Aegel^ic^e fe(6fl ju fietrac^rett tfL Dtef«
®iiinme tfl ahtt, wie man (etcbt fiet^t, bem uorerkvA^ttreit
2)reiecfe sletd). $9ettit r ber ipalbmefer ber ®runbfldcbe nnb
s bie Seite bed ÄegeW ip, fo wirb feine gIdc^e = F =
F F
s:z T7CS i folaliih iß r= — unb s = — .
' ^ie ISeredbrnntg ber Oberfidcbe bed fd^tefeit ftegeK bietet
bebeutenbe ®ct)n)ierigfeiten bar.
i) Da ber ^ntmU.ber Xugel y^ eined (S^Hnberö gTeic^
tfl, bcffen ®ruttb{{äcbe Don ibrem gr igten streife unb beffen
, ^t)e tron it)rem Sitrcbmeffer gebilbet wirb; fo fatrn ibr 3nbalt
letcbt bierbitrcb berechnet werben. 96 fei r itjx Durcbmeffer ,
fo iß r»ar bie 9ldcbe itfxti größten Äreifed «nb folglich r^n
' X ar =. aH^r ber f drperlicbe 3nbaH bed S^^linber« , »on
welcbem ffe. Va tfl.. Kennt man bie Xuge{ K, fo ifl KsOr^tr
><Vj = -j- = r3 X — = 4,1887901 . . . X r^.
■pr r= 10' »örbe fomit K = 4,1887901 X 1000 =
4188,7901«' = 4" 188" 790«"...!
Pr r s= 1' wirb K = 4«' 188«" 790"' ... au« K =
-^folöt no(4 »titer r'^ - uftt) r = y/- = ^--X
.- leicbt in ^ai^Un (erec^nit
itnb a(f befl&nbige ®xifit gebraucht werben f ann. 2)ieff ^or#
me( fär r bient baju, um bie (Sröge be^ ^albmeffrr^ einer
Augel )u ftnben, welche einen beflimmten ^ntfalt ()aben foO.
k) Um bie JDbetfIdcbe einer fiugel {u berechnen / bemerfe
4nan.folgenben ipölfe^fa^ : Sie ^ogei ifl einer ^prcimibe gleicbf
weiche )ur (SninOfldche bie Dber^che ber ^ugel unb jur $}itit
tbreiTiipalbmefrer l)at. Ter Seioet^ fo^gt and ben ie>iklfdfd$e«
{m 17; u. 18. 6aQ€ bed XIL 9Ät(hd ber JSlemente mt tau
auf pcpulAre 9lrt auch fo gefä^rr werben.
gnan benfe fleh bie, £)berflAcbe ber fiugel in eine febr
^roße 3a^( fe^r iltintt, unter fld^ gleicber SSierecfe get^eUl
415
»nb ani iifxm SBliMpunxtt iio(^ jkbem t^rer ^c^ittterputtcfe.
gerabe {inten gebogen ^ fo beßel^t bit JCugel au^ einer eben fo
großen ^JRenge fet)r ffetner unter ptb congruenrer t)ierecfigen
^pramiben ; beren gemetnfcbafrlicbe f)6tic ber Stabiud ifl. Da
nun bie @iiinme. .r^rcr (SiTunDflikben bie Cber^dcbe ber £nge(
bildet, fo mu§ ibr fArf)ertic^er Sn^alt ber oben bemertte«
9>9ramibe gleid) fepn.
&€$t man nm it^ren . Stt^alt ?= K , t f^e Oberflit^e = F
unb il)ren i^ülbmeffer =r, fo ift nunmehr K = Fx-- , fofg^ '
... . . .• .j
nc^ au* F = f , 2.Kei„ K = *I^, bcljer F= '-^^=
4r*3r* 2)a nun r^^r ben. Snbalt bed ^rdgteit Är^Äfe^.ber
Jiugel barflellt/ fo iß ber aOgemeine ®a$ 6en>iefen: Die &ber#
fldcbe ber Mn^tl ifi oicrmal fo groß al6 hie ^(Ac^e i^red
größten jtrcife^.
Da F = 4r^3r = r*x 4^ = r*X 13,56636 ..• . ift, fo
bient biefcr befiAnbige gactor bequem jur 93erejftuung ber
Äugelfl4d)e. gfir r = lo' »firbe F = loo x 12;56636 . ♦ . =
ia«io 5öq' 63q"*»..
F
SlUÖ Fz=:r*xi2,56636*., folgt auc^ r»=-— ^r-^—
ber (e^te ^actor at6 untoeränberlic^e 3^^^ ^^^ für aUcmal
berechnet »erben fann.
F
Durc^ Cogaritl)men wirb bie gformef r* = — biefe :
ü ?og* r = ?og. F — ?og. iny bat)er
gofl. F — ?oa ^JT
8og. r = —2 ~ — 2 ^ (g^ fei F = 64^', fo ift
?og. 64 = 1,8061800. gerner ift
?og. n = 0,497 i4i^87i69n3385435n7..*
?og. 4 = 0/6020 600 , aifo
?og. 47r =^ 1,0992098, nun war
8og. F = 1,8061800, ba^er
s^
416
, e^g. F ~ «og* in SS O,7O6Q70a llttb
0/706970a
?Ofl. r = -^ — = 0,3534851^ »Oitt tit 3i^I
"• > * *
a,a567 • . . geirrt. Da^er t'd r = a' n" 5'" . . • •
'Z^er ^wtd gegenwdrttger ©c^Ttft gemietet ^ bUfe» ®egen^
ftattb ^ier nid^t weiter ju k)erfiorgeir« SBerait^fii^cItc^ere, eie#
tnentare Sefe^rung aber bte Serecbnung fdrperlic^er Slbfcbuitte
iinb it^rer Oberfl&i^fn verlangt, ^bet (te tnni eitlem })0)m(&ren
jDarfleDting ber ®runb!e()ren ber ®tereotnetrte u. f. no. SRainj, N
1857. Sei '%L jtupfetberg. ®. 180— a38- «u* »irb barin
(@. a85-^3i2) ))on ber (Srhaufltond^SRet^obe/ )oon ben IData
be& @uclibed/ V)on ben Semmen bei Sirc^imebeö unb t)on ben
'^etiimti ge^anbctt.
SW a i n j,
gebrufft bei S^forian Aifpferber^.
■V
^
^
e ^
-/
e-
^
^-^
;
408
1
@an{ auf &t)irlt4ie Sßetfe fattn man ani ber gegefteneii
®r j^e eined ^ret^bogend uttb ani ber 3<tM ber ®rabe , totidft
ber {t>m juge^rtge ^itulpunMmnM tntif<, ben Dun^^'
mtffer bed Äreife« beredjnett^ 3|l ber gegebene Sogen =b,
bte S^¥ ^^^ ®taU beö gi?ge6enen SBinfeld = n^, fo ifl
n<> : 360^ = b : p,
»oraui bie yerip^erie beg Äreifeö ober p = — xb »itö;
tt)oraud man fobann feinen X^urcbmeffer berechnet
, SM^tthti^pidt f6nnen fet)r (etc^t berechnet merben« Sfuc^ liit
ffc^ Uidüt fofgenbe ^rage beantworten: 9Bie gro0 ift jener ÜRit^
telpunct^n)tnfe( in einem gegebenen greife, beffen Sogen bem
jDurcbmeffer biefed -Äretfed , ober feinem ^albmeffer gleich ift?
f) 2)ie Ärei^fldcbe iji einem ©reiecfe gletc^/'^ bejfen @runb^
Knie feiner ^eripljerie , bejfen ^itft feine« ^Älbmeffer gfeidi
ift. — IDenn toenn man in einem jireife ein Onabrat/ bann
ein regelmäßige^ 8@cf, i6@cf, 3aScf/64(Scf n. f* f- befc^reiW,
fo i(l phen (XU. ^ndj, % @a|) bemiefeu/ baß man ^iti#
burd) wn bem Areife me^r al^ bie ipdifte ^ bann t)ott benl
Stefle noteber meljr ald bie ^dlfte n« f* m« ^inmegntmmt«
SBenn aber biefed immer fort gefct}e^en fann, fo befdmmt
man einmal einen 9tefl/toe(c^er Heiner aH jebe angegebene
Orißje ijl ( CCLIX a u. b ) , fo! gtic^ entfielt einmal ein reget
mdßiged 2°(Sc( im Jtreife/ ipeld^ed bemfelben fo na^e fommt,
bag bei^ Unterfc^ieb feiner gl&d^e t)on jener t^e^ ^eifed {leiner
aK jebe gegebene ®r6ße ifi. Settrt man f[c^ oom ä^ittelpuncte
nac^ jebem ©d^eitelpnncte biefed fßitUäi eine gerabe Stnie, fo
befielt ber Jtrei^ au^ n^ congruenter X)reiecfe. ^a aber, wie
man leicht einfielt; bfe @umme ber @runb(inien aller biefer
X)reie(fe ( bi^ auf etn)ad l)6c^fl unbebeutenbe^ ) ber ^erip^erie
bed ^reifed nnb bit ip6^e eine6 biefer Creiecfe ( ebenfaOtf o^ne
merf baren ^e^ler) ber i^albmeffer iß, fo ge^t ^terauft bie
SQa^r^eit obiger Se^auptung ^eriDon
g) Sflba^er bie^erip^erie eine^ Äreife« =?, fein 2)ur(^^
meffer =d, fo ijl feine gldcbe F = px -. ©a aberp=flrd
409
d d*
ift, fo tt)irb F = 7rd>j!:T = wx =m^, ttjcnn r ben ^aw'
meffer Begeic^net , ba bad Duabrat bed Stabtu^ ber loievte SS^eil
)9om Dtiabrafe be6 2)urc^mefferd tfl. %&t rsio^ tt>irb F=:
100X3,1415 •.. = 314^ 1' 5'' II, f. W.
F i
Da Fzsraw, fo jflt auc^ - = r*=:Fx- = FX
0,3« 830988618379. •♦ fofgM r== V^Fx 0,31830988 •..• =
V^0,31830988 .•• X •/'f. ffiitb nun V^ 0,31 830988.. •*
ein ffir aOemal 6ered^nee, fo ifl ffe ein befldnbtgcr ^actor t>on
V^F uRb bad ^robuct gibt ben ^a(6me(fer btd ^retfeS bei
gegebenem 3ni)a(te.
h) SBenn ber Durc^meffer bed jtreifeö unb bie ©rä^e etneA
tSentritt>{nfeM in ®raben gegeben ifl , fo fann ber ^(dd^enraum
bed ihm entf))red)enben 9(u^f(^nitteö berechnet werben. X)entt
ti t)er^dit ffd) 360^ ju ii<> n>ie bie qfinit ^rei^fldd^e flc^ jn
biefem Slu^fc^nttte Der^dlt. Da^er n>trb ^ier
360^ : n^ = r*w : A
nnb fofglic^ anafd&nitt A = r^ r^w = r«n x ^. SDBirb ber
Sa^tenwert^ »on biefem Sruc^e — berechnet, fo t|l berfelbe
tin beßdnbtger %aatt oon r^n» nm A jn beflimmen.
Sind A = -— - »irb nun and) n = — ^-^ = "z: x 3*
SSirb ^ier bie 3«^! — ^i» föjf aUemal bered^net; fo bairf ffe
i A
nur mit — m\x\Xxpl\t\xi iDerben , um mi bem ipalbmeffer eineS
SLxtrSt* nnb ber ^(dc^e feinet STnöfd^rntt« ben SQittfd biefe«
Siudfc^ttitt^ }u finben«
SRacfe biefem aRnfkr fimten anc^ anbert/ biefen d^nlu^t
Hufgaben be^anbeU »erben.
i) Xreiöabfc^nitte loerben berec^met , n^entt man twn ben
tbtun entf))re(^fttben Sn^fd^itten bie barin liegenben 2>reietfe
wegnimmt; Die @r<^ ber ilutfc^nttte wirb nodj^ bem Sor^r»
410
fitlftnVtn benimmt; hat Ibttitd ain ant htm Sfafe fenttv
®runb(tnte tinb Jg)i^€ (wenn {t(^ nic^t eine beffere SRet^obe
haxbittft} berechnet.
Vii ^fAfbe eine^ Kinge^, b. ^. be6 Unterfcbiebed gmeter
concentrifcber Jtretfe »trb , n>rnn ber gr60ere Stabtn^ = R ,
ber flfinere =r gefegt witt, burdj R»3r — H« = (R* — r^x
befltmmt. BoUu ber 9tiiig ein beflimmter 52! beil be^
0r6Sern Jtretfed fet^n, fo m&itt (R^ — r^) tir ein felcber S!^eil
wn R*7t , folglid) R* — r» eben biefcr Zbeil »on R* feijn.
eoflfe {. 8. ber 9iing b'en fed^Hen S;^U beö grißent
R*
Äreifed betragen, fo mfißtc aucb ^^ _ i ~^/ fofglicft R* =
6R*— 6r» unb 6R* — R^ssör*, baber 5R*=:6r* unb r» =
Vd^^ f^9"* ^un tfi e^ (eicbt, ein Duabrat (U ftnben, tDelcbed^^
eines gegebenen iß (CLXIV.) ^ folglicb ift r bierburcb beftimmr.
Und? laffen ftc^ leidet iit 9u(^fc^nitte teö 9ting«
6cre(i9nen.
CCLXXVIIL Cerecfennng ttx Stixptt unb i^ret
iDberfldcben.
a) tai Wa0 )ur Serccftnnng ber Sivpct mug felbfl ein
AJrper fe^om 3ur (Einheit biefed ^JD?effenö wdbft man ben
(Subtffu§, b. i). einen ^B&xUl, beffen (Seite einen ^ug betrdgt
jDenft man fid? nun einen ^iBArfe(> beffen ®eire einer Kuti^e
gleid) if}/ fo f innen lO ßubiffiige an biefer ®eire neben ein^
anber unb ebenfaOä lo bcrfelben an ti^ aubere @eire ber
(Brunbfidcbe neben einanber/ unb folgticb iomo^ lO b. f), loo
auf tit ganje ®run^fI(!lcbe geßellt werben. 'Ba nun autb lO
Subtffuße in ber @eite, n)e(cbe bie ip6t)e ber 6ubifriüt}e be^
gimmt, Aber einanber ju flellen ffnb, fo mu^ ber 9taum ber
(Subtfrutl)e lo Scbtcfoten fold^er (Subitfuße, in beren jebcr ft^
100 beftnben , b. b. er mag ioomal io ober iooo (SubtffuSe
entt^aUen. Sejeicbnet man bie Subifrut^en mit «o, gubtffu0e
mit «^ (SubifjoUe mit «'' unb (Subiflinien mit «% fo ^at man
!«• == 1000*' ; 1«' = 1000«=" ; 1«^" = 1000*^'",
b) 3ladi biefem ffnb bie Siebuctionen ^i^erer SRa^t^ife tu
»teuere/ iiitb umgefel^r^ au^ ^ter fe^t einfad^. di tfi ). 8.
411
83«o 435«^ = 83415«'; oler 46*^' ÖS»" = 46058«'' ; obc^r 7«<» i4«'
38*"= 7014028«"; ferner l4«<> 13«'"= 14000000012«"' u. f. W.
Uni* ift iimgefebrt 843a5«o=84«o 335«'; ferner 43a98764c'"
= 43*^' 298*"' 764«'" ; ober 53007800046«'" = 53«« 7«' 800«"
46W lt. f. »• .
c) iSoK nnn ber 3nt)n(t etne^ gegebenen 9Qärfe(d gefunben
toerben, fo meffe man feine ®tite/ fo genau ed möglid^ i|l^
bnrd) Scbube / SoKe ; Sinieti ; \nufttpltctre biefe^ Wag jwdmaf
mir (?ct) felbj}, fo jeigt ba^ ^robuct bie QRenge ber d^hif map
t^eiie feinet Snbalte^« X)enn ed f(i nacb bem S3ort)erget)enben
f(ar, baß ber Staunt bed SB&rfel^ burd? bie ^ter «gefunbene
3a^( ber 6ubifniaßft)^i(e genau ausgefällt noerben (ann.
(Si fei bad SERai feiner ©eite = 8^ 2" 5'", fo ifl befpen
3nt)alt = 80i5 X 8025 X 8025«'" = 4 16815016625«'" = 4l6««
315«' 16«" 626«'"., aöAre tte ©eile bed ffiurfeW = 3' 4", fo
»Ärbe fein 3«t)alt =34x34x34«"= 39304«"= 39«' 304*"*
fei^n.
d) Um ben Sn^aft etne^ fenfrecbten ^araDefoptpebumö mit
recbtn>infcliger ©runbfläcfae ju ftnbeu/ meffe man fon)ol)( bie
©runbhitie unb i^6t)e ber ®runb{Idd)e / aii auch bie i^it^e mit
bemfelbtgen Wa^e , j. S, mit bem S&ngenfuge, inuftiplicire
biefe brei 3^t)I^n mit einanber, fo {etgt Daö ^robuct bie 99?enge
ber (Subiffuge an, noeldje ber Körper entt)d(t* X^enn menn
}• ©♦ bie Orunblinie ber ®f unfcpAcfce = 6' unb tl)re ^itic =4'
ifi/ fo rennen auf it)re ^lAcbe 6x4 = 24 ßubiffuße geflelft
»erben. Beträge nun bie ^6t)e 8 ^ug, fo wärDen 8 &(bxd)ttn
t)on (Subiffußen, bereu jeDe 24 entt)d(t, tibereinanbcrgelleßt/
ben 3nt)aft beS jt6rperd biibeU/ welcher ba^er =24x8 =
i92«' ifl.
(SeU ber 3nba(t eined fcfatefen ^araUelopipebum^ i»on
fcbiefminfeliger ®runbf{dcbe gefunben n>erben, fo meffe man
bie (Sfrunblinie unb bie feufrecfcte ipöl)e ber ®runb^dci)e , neb|l
ber fotbrecbten SfitfC beS, Körpers mit einerlei Sdngenmage,
tna(tip(i€ire biefetbe mit einanber, fo fieltt ta^ 9>Vot)uct bie
(Subifinaßtl^eiie beffefben t)or. 'Dtnn c6 loirb i)ier ber 3n^a(t
tinti burc^an^ fenfred^ten ^araOetopipcbum« gefunbcu/ ml^tt^
412
itac^ beut SSor^erfit^cttkeit p mit btm geseftetteti einerlei 3n^dft
l)at , Saffett flc^ biefe bret Stnien sticht genau mit ^n^en au^
meffen/ fo befiimme man.ffe noc^ in Z^V^tXi uab Siniett« (6A
fei bie erfle = 4' 7"/ bte jweite = 3' %" nnb bie bf ittc = 8*
1", fo ijl ber Sn^t =47x32X8i<^'' = i2l8a4<^'' = i2i*'
e) IDa jebe« breiecfige ^rijma bie i^dlfte eined ^aroOelo^
'))ipebumd t>on ber bo|)ye{ten @runb{Iici^e unb ber ndmh'dSien
S^h^z ifl/ fo ftnbet man ben 3n^alt breiecfiger ^ri^men^ toenit
^9i^ Sßaß ii^rer (^nb^dc^en mit \tmxa ifyrer fenfrediten ^6^en
multiylicirt wirb/ 9Bdre bie ®runbfld(lte =34^' unb bte lot^
rechte ipi^e = 15', fo nodrbe ber 3n^a(t = 510«' fe9m
. ®oIl ein t>ie(ecfige6 ^ri6ma berechnet tperben/ fo multi^
y licire vclm, bad Sßa0 feiner (^rnnb^dd^e ( tpel^^e a(ö Stetetf
auögemeffen tvirb) mit ienem feiner (ot^rec^ten i^i^e« Senn
ein folc^ed n ecfige« ^riöma beße^t wsA q — 2 breiecf igen $ri^
men/ meiere in i^rer @umme bem e6engenannten ^robircte
gleich finb. 3a^(^n^tf))ie(e Ihvccm, kic^t ^ierilber berechnet
tt>erben«
f) Da äffe Si^Iinber priitmatifc^t JtAr))er ffnb , fo ifl i^r
Sn^It ebenfaS^ bem^i;obucte ^VA bem Sn^alte t^rer @mnb^-
fidc^en xsi "^^^ 9Ra^ i^rer fenf rechten J^i^en gleich* @e$t man
ben ^albmejfer ber ®rttnbf[dcbe sr^ bie fenfrec^te ^jl^e =119
fo iü r^Tt ber 3ni)<i(t ber ©runbfldc^e unb r^^rh fteKt ben
Sn^alt bej (S^Iinber^ bar* Stimmt man biefen =G, fo iß
c c / c
C=r»:Frh, forgli« h = ^ unb r* =^, bal>err= y ^,
tDor&ber man (eic^t Seifpie(e in 3<^()kn berechnen f ann.
X)er Umfang eine^ fenfrec^ten (S^Iinberö ifl einem Stec^tecfe
g(eic^/ beffen ®runb(inie bie ^erip^erie feiner ©runb^dc^e unb
flejfen ^6t)e feiner ©eite, ober att(^ feiner Sljre gleich ift
Denn fo koie man ßc^ bem 3nfya(te bed ^rtttfe^ feiner ©ntnb«
bdd^e bnrd) eingefc^riebene Sielecfe tron immer Derboppelter
^citenja^t fo toeit annd^m l^mi, ol^ man n>ia (CCLXXVII, f),
fo gilt biefe anndiyfrnng onc^ f&r bte fortgefe$t in ^tm lot^
fechten 6|^iÄfr befd^rtebenen melfeitigen ^ri^men^ toobnrd)
415
kie (Stttttme {^rer Geitrn^Ac^eit ber fntttroien GeifenffAc^e betf
fntf rechen 'S^Itfiberd cbenfaB^ fo tiabe limmt , ali man wiL
9lxmmt malt bett ^albmtfftt ber (SrunbflAcbe = r , bie (Seite
be6 S^finber j = s , fo ijl Snrs fetner frttmtnen @ettenf[d(^e
gletc^^* SÄertttt man (fe F, fo ijl F = awrs, fofglic^ r zz
F F
— itttb 8 = — , »ojtt jic^ leicht S8eif))tefe berechnen laffe«.
2)je frumme @ettettf{^e Ui fd^iefeit Sylinbert ift
totit fc^totertger ju berecbtten.
g) SBian {tnbet beti Stt^alt etttcr bretecftgeit ^^ramibe,
tüenn Vai ^^robHCt ani bem 9Ra0e tl)rcr (Brnnbflic^e in fene^
if^rer feftfrecbten ^6tit mit 3 btotbtrt toitb* IDenn (ie t^ ber
dte Xtjtü zimi bretecfigen ^^ri^tn«'^ wn ber n&mUd^en ®rttnbi^
f(&(^e nnb fy^t. IDa jebe nerftge f^^ramibe ff^ in n-^9
toreiecfige Don berfe Ibtgen ^itjt jert^eiifen lA^t , fo toirb aoc^
jebe melecfige auf dbniidje 9lrt berechnet 3fl t^re iSxnv^
flid)t, bem SRaße nad}/ sg, bte ^6^e =:h, bte ^pramibe
= P, fo i|l P==^-^=V3><1^ = 3.>< g>.»orWer ffc^
leidet Setfptele berechnen laffem
hy ^er Äegel tfl, tote ittamt, ber bWtte SC^etf timi
Splinberö Don berfelbigett ®ntnbjldc^e uitb ^6iit. @e(t man
ba^er ben i^albmeffer biefer ©runbfläc^e :=: r , bte ^6^e bed
Stt^tli =li, fo ijl — ^ ber Sn^olt biefe« ÄÄr|)er«. Kennt
man i^n K, fo i|l K = -— -^ ba^erhss-^ nnb r» = --r>
foran* auc^ r = y^.
S>ie frumme @eitenflitf^e tinti fenfret^ten Sttgdi iß. einem
Sreiecfe gleich, beffen ®rnnb(inie bte ^erti»^erte fetner 9ninbir
tldc^e unb beffen {)64e feine 9etten(inte ift* 2)enn menti «an
^ biefe ^ttiptjtm ali ein regelmdftged Steied Don febr
Dielen &tittn benft, unb; Don jebem ®d)ette()»unctc befettcn
tt^cfy ber Spt^e bei Regelt eine gerabe Stute jie^t^ fo befielt
^ie ^egeljldc^e au€ fel^r Dielen unter fk^ congritenten 2)reif rfrn.
414
Httu eumrnt oU bir JtefielfUc^ frKft pi Betradrfm tjfL Sirft
&nmmt tfl aber, »ir man leicbr (ir^t, brm oererwA^iirftt
Sretr(fe gleich. Sßcnn r ber ^albmc fcr brr (SmnbßAäK onb
8 bte (Btitc bti Stt^cli tfl, fo toirb feine ^(i(^e = F =
F F
z^TTc%; fofglicb tß r=: — nnb 8 r= — .
85r nr
Sie IBrrecfcmmg bcr Oberfldcbe bed (cbicfen ^geK bietet
bebenUnbe ®d)n>tertgfetten bar.
]) Z)a ber 3nba(t . ber Xngel y, eined (S^finber^ gfei^f
iftf bcffen ®ruttbfli(fcr oon tbrem gr60ten Jtreife unb brffen
^b< t^on tbrem £urcbme(fer gcbübet n>irb/ fo famt ibr 3nbalt
Ittibt bterbnrdi berechnet »erben« <tt fei r i^r Surcbmefper ,
fo tft r^Tt bte %\k&it tbred gr i^ten ftreifed unb fofgUc^ t^n
X 2r =:: 3r^?r ber f 6rper(t(be 3nl)aft bed Splinberö , l>ott
toeicbem fte. V3 tfl*. SBennt man bie Jtuge{ K, fo t(l K=3r^
yfir r = 10' »firbe fomit K = 4,i88790i x iooo ==
4188,7901«' = 4«« 188«' 790«" ...i
pr r = 1' wirb K = 4«' I88«" 790"' ♦ ♦• aiud K =
-3- forgt noc^ »euer r3 = - unb r =:: yj - = ^--x
3 / 3 .
;^K., tt)o ber erfle pctor ^4" ^^'*^ ^« Saufen berechnet
unb ald befl&nbige ®r6|e gebraucht werben fann. X)iefe gor^
me( für r bient baju, wvx bie ®r66e be^ ^a(bme(frr^ einer
Augel )u ffnben, welche einen beflimoiten 3ttt)a(t ()aben foO.
k) Um bie £DbetfI&cbe einer ftugel {U berechnen , bemerfe
tnan.folgenben ipölfe^fa^: X)te ^ngel tfl einer ^^ramibe gleiche
«i^elcbe )ur ®ninb|Idcbe bie DberfUcbe ber Sugel unb jur {)il)e
tt)retr!ipaibtne(f^r i)at» Ter Seweii^ fo^gt a\\^ ben Äälf^fd^ei
im 17. u. 18. So^e bed XIL ^cb£ ber. Elemente unb fani
ouf ))epuldre Sirt aud) fo gef&^t »erben.
SRan benfe ficb bte OberflAcbe ber Jtugel in eine fe^r
gro^r 3aM fe^t «einer, unter fic^ gleicher SSierecfe get^eitt
xV3i=:-T- = r3 X — = 4,1887901... Xr^
41$
utib ani iiftm 9Ritter|)ttitcte nac^ jkbem iifttt (^dtiitiulpmctt ^
gerabe hinten jse jogrn ^ fo bcflel^f bie Jtugel ani einer e6en fo
großen ^J07enge fet)r Heiner unter ffd) congruenrer oierecfigett
^^ramiben; bereft gemeinftbafrlicbe ^di)e ber 9tabiu^ i(l. X>jEt
nun hie @itinme :.rt)rer ^rnnbßdiben bie Cberfldcbe ber ^ngel
bilbet, f(^ muS ii)r fdrperiu^er 3"^aU ber oben benierüett
^ramibt Qleidi fepm
&e^ man tmn i^ren ^ üü^alt s= K , i^re Oberflid^e = F
«nb il)ren iparbmeffer =r, fo ift nunmehr K = Fx- , folfli» '
Iic^ awd) F = — . aileitt K = -— -^ ba^er F= — =
. r 3 ' 3r
4r^3r. Da nun r^^r ben, SnbaU bed ^rigte^ l^mfe^.ber
Jiugel barflcUt/ fo iß ber aOgemeine @a($ bemiefen: Die &ber#
fiäcbe ber jtuget ifl t)itrmal fo gro^ a\^ bie gl&c^e i^red
größten Jtreifc^«
Da Fz=4r^7r = r«X4ar = r*X: 13/56636 . •• ♦ ijl, fo
bient biefer btftdnbige ^acror bequem jur 9ere$bnung ber
Äugelfiddje. gur r = lo' würbe F = loo x 12,56036 . . • =
m«i« 66q' 63q" . • . .
Sluö F = r» X 12,56636*. • folgt auc^ r^ =
ber le^te ^acror aH unt)eränberlic^e 3^^^ ^i» für aKcmal
berechnet werben fann*
F
Durc^ {ogaritl)men wirb bie g-ormef r^ = — biefe :
2 ?og, r = ?og. F — ?og. 4t?T, bat)er
Sog. F — ?oq ^n „ , , •
«og. r = —2 ^^ — ^ ^ @^ fei F = 64^', fo f
8og* 64 = 1,8061800. gerner ift
?og. n = Ö,497l4t^87i69n3385435127*.»
?og. 4 = 0,6020 600, alfo
8og. 4ar ^T/0992098 , nun war
8og* F = 1,8061800, ba^er
.^
416
0/7069702
«Og. r = -^-— = 0,3534851^ »OJtt bie 3 1^1
'Cer 3n>^tf oegeniDdrttgcr (Sc^ift geartet ^ btefett (Segens
fiaiib ^ter nidit totittt {u Derfolgeir« SBeran^fii^cItc^ere/ rff#
metitare fBele^ning über bie Seretbnung f6rperlic^ Sibfcbmtte
linb if^ut Dbtx^U^tn txrlottgt^ finbetfte in mein er ))opttI&ren
iDarfleOutig ber ®runble^ten ber ©tereometrie u. f. to. Wainj,
1817* Set '%U ji:up(et6erg. @. 180—238. 3(uc6 wirb bann
(@. 285—313) )>on ber (Sr^aufliond^SRet^obe/ t)on ben Data
Ui Suclibe^/ ))on ben Semmen be^ Slrc^imebeö unb t)on brn
^oriömeit gel^anbeU.
SW a i n j,
gebrucft bei Sfottan ^ifpferberg»
'S
e-
^
^ ^
^i:?--
;
)
■&:
-3 ^^
^.
£_^ ^
\/t*4A^ ^^u/^yveM^^
-./■
_
•>^ ;
^a^ Oe^>9nejfr/i
^.
J
>■*•
• *' .
^
4^ jfy ^^
I
&
'€^m>^^€^ a^
r,
^
^^^^
N
r
I
1
f
I
3
ci.
^L^iy
Sir
7/
A
/
5—
/
'
vP
/
/
^
/
/
c >>
A^/P / ^i
/mffr/.
I.
1'
1
ll
^o
.4^
y
^
c U.
. (S a
>/^i
i
t
O'
^
^
I
0^^ iT
.4C
^
\ \
/.
^
u
/i
9>
Jy
^
3JS/\
1-
4
i.«*nf •
J
, /
.w*
f
^ '2
*>*
IH^/
